Genel Konular 4 - Rijit cisimlerin dengesi Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 STAT STAT İ İ K KProf. Dr. Muzaffer TOPCU 2 B B Ö Ö L L Ü Ü M 4 M 4 R İJ İT C İS İMLER İN DENGES İProf. Dr. Muzaffer TOPCU 3 4.1 G 4.1 G İ İ R R İŞ İŞ VE TANIMLAR VE TANIMLAR Kuvvet etkisindeki bir konstrüksiyon (yapı), rijit bir cisim gibi hareket etmiyorsa dengededir ( Şekil 4.1). Rijit cismin hareketi, ötelenme yada dönmedir veya ikisinin birle şimi şeklinde olabilir. Yapının dengede kalabilmesi için, yapıyı döndürmeye veya ötelemeye sebep olan kuvvet mesnet noktalarındaki tepki kuvvetleri ile dengelenmelidir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 4 Şekil 4.1 Rijit Cismin Dengesi F 1 F 3 F 4 F 2 i O y x zProf. Dr. Muzaffer TOPCU 5 İki boyutlu bir yapının herhangi bir yönde hareket etmemesi için gerekli olan şart, o yapının birbirine dik herhangi iki yönde hareket etmemesi şeklinde tanımlanabilir. Normal olarak ( şart olmamak ko şulu ile) bu yönler yatay ve dikey alınır. Yapıya herhangi bir yönde kuvvet etki etmez ise yapı o yönde harekete zorlanmaz. Bundan dolayı yatay yönde herhangi bir hareket olmaması için o yönde etki eden bütün kuvvetlerin toplamı sıfır olmalıdır ( ?Fx = 0). Benzer şekilde, dikeyde hareket olmaması için ( ?Fy = 0) olmalıdır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 6 Bir yapının düzlem içinde dönmeme şartı, o yapının bir eksende dönmemesi ile belirlenir. Böylece, düzlemin herhangi bir noktasında kuvvetlerin bile şke momentinin olmaması lazım gelir. Bundan dolayı, düzlemde dönme olmaması için herhangi bir noktada momentlerin toplamı sıfır olmalıdır. Yani, sistemin içinde yada dı şında noktaya göre alınan moment sıfır ( ?M = 0) olmalıdır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 7 Şekil 4.2: Kuvvetlerin Gösterimi x y 0Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 8 İki boyutlu bir yapının tamamıyla dengede olabilmesi için; ?Fx = 0: bütün yatay kuvvetlerin cebirsel toplamı sıfıra e şit ?Fy = 0: bütün dikey kuvvetlerin cebirsel toplamı sıfıra e şit ?M =0: bütün kuvvetlerin herhangi bir nokta (eksen) etrafındaki momentlerinin cebirsel toplamı sıfıra e şit demektir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 9 Bunlar iki boyutlu (düzlem) yapıların statik dengesi için 3 denge denklemi olarak bilinir. Yukarıda denklemlerin sa ğlanabilmesi için yeterli ba ğların ve bunlara kar şılık gelen mesnet reaksiyonların sa ğlanması lazımdır. Üç ayrı denklem ile üç bilinmeyenin şiddeti belirlenebilir. E ğer yapı sadece yeterli mesnetlerle ba ğlanmı şsa (3’ten fazla olmayan bilinmeyen reaksiyonlar), yapı yukarıdaki e şitliklerle tamamıyla analiz edilebilir ve statik olarak belirlidir ( İzostatik). Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 10 E ğer bilinmeyen sayısı üçten fazla ise, sadece yukarıdaki denklemleri kullanarak çözüm mümkün de ğildir ve yapı statik olarak belirsizdir (hiperstatik). Bu tip problemler, elastik cisim mekani ğinde cisimlerin şekil de ği ştirmelerine ba ğlı bilinmeyen sayısı kadar yeni denklem yazılabilirse bilinmeyen tepkiler bulunabilir. İki boyutlu yapılarda üçten az mesnet reaksiyonu varsa, eksik ba ğlıdır. Yapı rijit cisim olarak hareket eder. Bir cisim (yapı) üç yada daha çok noktadan ba ğlı olmasına ra ğmen yukarıdaki denklemlerden birini sa ğlamıyorsa böyle sistemlere yetersiz ba ğlı sistemler denir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 11 4.2 MESNETLER VE MESNET 4.2 MESNETLER VE MESNET REAKS REAKS İ İ YONLARI YONLARI Sadece bilinmeyen bir reaksiyon sa ğlar ve hareket yönüne pozitif bir açı ile etki eder. Böylece kayıcı mesnetler, bir do ğrultuda lineer harekete ve dönmeye müsaade ederler. 4.2.1 Kay 4.2.1 Kay ı ı c c ı ı Mesnetler MesnetlerProf. Dr. Muzaffer TOPCU 12 Şekil 4.3: Kayıcı Mesnet A x y u ? R Ay v Şekil 4.3’den de anla şılaca ğı üzere, y yönünde deplasman yoktur yani sıfırdır ama y yönünde bir tepki kuvveti meydana gelir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 13 4.2.2 Sabit Mesnetler 4.2.2 Sabit Mesnetler Şekil 4.4: Sabit Mesnet Tek noktada sabitlenmi ş mesnetler yatay ve dü şeyde iki reaksiyon verir dolayısıyla iki yönde cismin hareketine engel olur. Fakat dönmeyi sa ğlar. x ve y yönünde yer de ği ştirmeler sıfıra e şitken, x ve y yönünde reaksiyon kuvvetleri , R Ax , R Ay meydana gelir. ? ?0 oldu ğunda M A olmaktadır. y x u v ? R Ay R AxProf. Dr. Muzaffer TOPCU 14 4.2.3 Ankastre (Konsol) Mesnetler 4.2.3 Ankastre (Konsol) Mesnetler Şekil 4.5: Ankastre Mesnet Yönü ve şiddeti bilinmeyen iki reaksiyon ve momenti sa ğlar (toplam üç bilinmeyen). Böyle bir mesnet iki do ğrultuda lineer hareketi ve bir eksen etrafında dönmeyi engeller. Burada ise x=y= ?=0’ dır ve R Ax ? R Ay ?M A olmaktadır. Bu mesnetlerin birlikte uygulanmasını şekil 4.6’deki gibi görebiliriz. x y R Ay u v ? R Ax M AzProf. Dr. Muzaffer TOPCU 15 Şekil 4.6: Kayar ve Sabit Mesnet’in Birlikte UygulanmasıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 16 4.3 4.3 ÜÇ ÜÇ YERDEN PUNTALANMI YERDEN PUNTALANMI Ş Ş D D Ü Ü ZLEM YAPILAR ZLEM YAPILAR E ğer yapı üç noktadan sabitlenmi ş ise (mente şe gibi) ( şekil 4.7), öyle ki yapının bir parçası di ğer parçanın dönmesinden ba ğımsız olarak pim etrafında dönebiliyor, böylece özel bir çe şit denge e şitli ği daha yazılabilir, çünkü pim etrafındaki bütün kuvvetlerin momentleri toplamı sıfır olmalıdır. Bu mesnet reaksiyonunun bilinmeyen bir bile şeninin belirlenmesini sa ğlar. Şekil 4.7: Üç yerden puntalanmı ş kavisli yapıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 17 4.4 UZAY YAPILAR 4.4 UZAY YAPILAR Üç boyutlu bir yapı, uzay yapıdır. Kar şılıklı dik yönler, bir uzay yapı için kuvvetlerinin toplamı, sıfır olmalı ve üç tane kar şılıklı dikey eksen (x,y ve z) etrafındaki kuvvetlerin momentleri toplamı da sıfır olmalıdır. Bundan dolayı, ?Fx = 0: X yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra e şittir. ?Fy = 0: Y yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra e şittir. ?Fz = 0: Z yönündeki kuvvetlerin toplamı sıfıra e şittir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 18 ?Mx = 0: X ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra e şittir. ?My = 0: Y ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra e şittir. ?Mz = 0: Z ekseni etrafındaki momentlerin toplamı sıfıra e şittir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 19 4.4.1 B 4.4.1 B ü ü y y ü ü k Yap k Yap ı ı lar lar Yapının, Şekil 4.8’de barajda görüldü ğü gibi dengeyi sa ğlaması kendi a ğırlı ğına ba ğlıdır. Böylece, denge için, P W V R T T x T y O Şekil 4.8 : Baraj duvarıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 20 ?F y = 0: Yapının a ğırlı ğının (W) ve yükün (T) dikey bile şenleri (T y ) yapının altındaki dikey yukarı yöndeki yer tepkisi (V) ile dengelenmelidir. ?F x = 0: Yükün (T) yatay bile şeninden (T x ) kaynaklanan do ğrusal yöndeki kayma e ğilimi, yükün arkasındaki tepki kuvveti (P) ve/veya yer ile yapı arasındaki sürtünme kuvveti (R) tarafından engellenmelidir. ?M 0 =0: Dönme merkezi (O) etrafında yükten kaynaklanan döndürme momenti aynı noktada kendi a ğırlı ğından kaynaklanan yenilenme momenti tarafından dengelenmelidir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 21 Kütle yapısı döndürmeye kar şı güvenlik faktörünü sa ğlamak için a ğırlı ğı denge için minimum gerekli a ğırlıktan daha büyük olacak şekilde dizayn edilmi ştir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 22 Ö Ö RNEKLER RNEKLERProf. Dr. Muzaffer TOPCU 23 Şekil 4.9: Bir kapıda; a) Tek mente şe olması durumunda gelen kuvvetler b) Çift mente şe olması durumunda meydana gelen kuvvetler Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 24 Şekil 4.10: Bir kepçenin çalı şması esnasında meydana gelen tepki kuvvetleriProf. Dr. Muzaffer TOPCU 25 Şekil 4.11: Arabanın dengesiProf. Dr. Muzaffer TOPCU 26 Şekil 4.12: Vinç’te denge sistemi W 1 D 1 D 2 W 2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 27 TABLOLAR TABLOLARProf. Dr. Muzaffer TOPCU 28 Tablo Tablo 4.1 4.1 İ İ ki ki Boyutlu Boyutlu Cisimler Cisimler i i ç ç in in Mesnet Mesnet ve ve Ba Ba ğ ğ Tepkileri Tepkileri Ba ğlantı Tipi Reaksiyon Bilinmeyen Sayısı Kablo veya A ğırlıksız ba ğlantı çubu ğu Kayıcı Mafsal Bir bilinmeyen. Reaksiyon kuvveti çekme kuvvetidir ve bu kuvvet ba ğlı bulundu ğu elemandan itibaren kablo do ğrultusundadır. Bir bilinmeyen. Reaksiyon, kuvvettir ve bu kuvvet ba ğlantı çubu ğu boyunca etki eder. Bir bilinmeyen. Reaksiyon, kuvvettir ve bu kuvvet temas noktasındaki yüzeye dik olarak etki eder.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 29 Ba ğlantı Tipi Reaksiyon Bilinmeyen Sayısı Bir bilinmeyen. Reaksiyon, kuvvettir ve bu kuvvet yarı ğa dik olarak etki eder. Bir bilinmeyen. Reaksiyon, kuvvettir ve bu kuvvet temas noktasındaki yüzeye dik olarak etki eder. Bir bilinmeyen. Reaksiyon, kuvvettir ve bu kuvvet temas noktasındaki yüzeye dik olarak etki eder. Kayıcı Mafsal veya veya Kayıcı Mafsal Pürüzsüz Temas Yüzeyi Düz çubuk üzerindeki bilezi ğe ba ğlı mafsal Bir bilinmeyen. Reaksiyon, kuvvettir ve bu kuvvet çubu ğa dik olarak etki eder.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 30 Ba ğlantı Tipi Reaksiyon Bilinmeyen Sayısı İki bilinmeyen. Reaksiyonlar, iki kuvvet bile şeni veya ? do ğrultusundaki bir bile şke kuvvettir.( ? ve ? açısı 2. ba ğlantı tipindeki gibi olmadıkça birbirine e şit olmak zorunda de ğildir. İki bilinmeyen. Reaksiyonlar, kuvvet ve momenttir, ve çubu ğa dik olarak etki eder. Üç bilinmeyen. Reaksiyonlar, iki kuvvet bile şeni ve momenttir. Veya ? do ğrultusunda bir bile şke kuvvet ve momenttir. Mafsal veya veya Düz bir çubuk üzerinde bilezi ğe ankastre ba ğlantı Ankastre mesnet Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 31 Tablo 4.2 Tablo 4.2 Üç Üç Boyutlu Cisimler i Boyutlu Cisimler i ç ç in in Mesnet ve Ba Mesnet ve Ba ğ ğ Tepkileri Tepkileri Ba ğlantı Tipi Reaksiyon Bilinmeyen Sayısı Üç bilinmeyen. Reaksiyonlar, üç kuvvet bile şenidir. Dört bilinmeyen. Reaksiyonlar, iki kuvvet ve iki de momenttir. (1) (2) Küresel Mafsal Radyal Yük ta şıyan Yatak Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 32 Ba ğlantı Tipi Reaksiyon Bilinmeyen Sayısı Be ş bilinmeyen. Reaksiyonlar, üç kuvvet ve iki de momenttir. Be ş bilinmeyen. Reaksiyonlar, üç kuvvet ve iki de momenttir. Altı bilinmeyen. Reaksiyonlar, üç kuvvet ve üç de momenttir. (3) (4) (5) Döner mafsal Mente şe Ankastre mesnet Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 33 ÇÖ ÇÖ Z Z Ü Ü ML ML Ü Ü PROBLEMLER PROBLEMLERProf. Dr. Muzaffer TOPCU 34 Problem 1: Problem 1: O’ da do ğacak mesnet reaksiyonlarını hesaplayınız. Fx= 500 N Fz= 600 N 30cm Fx F z 40cm x y O zProf. Dr. Muzaffer TOPCU 35 Çö Çö z z ü ü m : m : Ncm M Ncm M Ncm M k j i M k j i M k j i M oz oy ox o o 15000 24000 18000 15000 24000 18000 ) 15000 0 ( ) 0 24000 ( ) 0 18000 ( 600 0 500 0 30 40 - = = - = ? - + - = - + - - - - - = - = ?F x =0 ? O x =500N ?F z =0 ? O z =600NProf. Dr. Muzaffer TOPCU 36 Problem 2: Problem 2: A’da do ğacak mesnet reaksiyonlarını hesaplayınız. C 30 cm 1000 N 500 N B A 40 cm z x yProf. Dr. Muzaffer TOPCU 37 Çö Çö z z ü ü m : m : 30 cm 1000N 40 cm A z A y A x 500N ? = 0 x F -A x +500=0 A x = 500N ? = 0 Fy A y -1000=0 A y = 1000N ? = 0 Fz A z =0 ? = 0 x M M x =1000.30=30000 Ncm ? = 0 z M M z =1000.40=-40000 NcmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 38 Problem 3: Problem 3: ABCDE kiri şini A noktasından sabit bir mesnet ve D noktasında kayıcı bir mesnetle Şekil 4.13’de görüldü ğüg i b i mesnetlenmi ştir. Üç noktadan kuvvetler etki etmektedir. Reaksiyon kuvvetlerini belirleyiniz. Şekil 4.13: Çıkmalı kiri ş yük diyagramıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 39 Çö Çö z z ü ü m : m : A da ve gibi iki reaksiyon kuvveti ve D de dikey olarak etkiyen sadece tek bir reaksiyon kuvveti vardır. Bu reaksiyonlar serbest kuvvet diyagramında gösterilmi ştir ( Şekil 4.14). Sadece üç bilinmeyen vardır; burdan sistem statik olarak belirlidir ve bilinmeyenler belirlenebilir. A x D y 20kN 10kN A y 5kN Şekil 4.14: Serbest kuvvet diyagramıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 40 Yatay yük yoktur; bundan dolayı, 0 0 = = ? x x A ise F 1.) D y ’yi belirlemek için A etrafında momentler alınır: ( ?M A = 0) -(10 x 1) - (20 x 3) - (5 x 5) + (D y x 4) = 0 D y = +23.75 kN 2.) A y ’yı belirlemek için ( ?F y = 0) +A y + D y – 10 – 20 – 5 = 0 +A y + (23.75) – 35 = 0 A y = +11.25 kNProf. Dr. Muzaffer TOPCU 41 3.) D etrafında alınan momentler kontrol edilir: ?M D = +(A y x 4) – (10 x 3) – (20 x 1) + (5 x 1) = +(+11.25 x 4) – 45 = 45 – 45 = 0Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 42 Problem 4: Problem 4: ABCD kiri şi A’da sabit bir mesnede ve C’de kayıcı bir mesnede sahiptir. Şekil 4.15’de gösterildi ği gibi, kiri ş, herbiri 15 kN olan iki tekil yük ve 2 kN/m lineer yayılı olan yüke maruzdur. Reaksiyonları belirleyiniz. Şekil 4.15: Çıkmalı kiri ş yük diyagramıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 43 Çö Çö z z ü ü m : m : Şekil 4.16 Serbest kuvvet diyagramı 0 0 = = ? x x A ise F Yatayda yük yoktur.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 44 Cy’yi belirleyelim; A etrafındakimome n tl erial al ım: yayılı yükün momenti, (2 x 3 = 6 kN) x( 4.5 m) dir. ( ?M A = 0) (15 x 2) + (C y x 4) - (2 x 3 x 4,5) - (15 x 6) = 0 C y = +36.75 kN A y ’yı belirleyelim; ( ?F y = 0) + A y – 15 + C y – (2 x 3) – 15 = 0 + A y – 15 + (+36.75) – 6 – 15 = 0 A y = -0.75 kN