Genel Konular 6 - Alan ve kütle atalet momentleri Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 STAT STAT İ İ K KProf. Dr. Muzaffer TOPCU 2 B B Ö Ö L L Ü Ü M 6 M 6 ALAN ve KÜTLE ATALET MOMENTLER İProf. Dr. Muzaffer TOPCU 3 6.1 G 6.1 G İ İ R R İŞ İŞ VE TANIM VE TANIM Atalet; direnim, kar şı koyma anlamına gelmektedir. Bir cismin atalet momenti geometrik olarak dizaynda cismin (e ğilme, burulma vb.) zorlanmalara kar şı direncinin bir ölçütüdür.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 4 Şekil: 6.1 2 2 2 y x r + = ? + = = = A y x 2 O O I I dA r I JProf. Dr. Muzaffer TOPCU 5 ? = dA y I x 2 A alanının x ekseni etrafında atalet momenti ( ikinci momenti ) ? = dA x I y 2 A alanının y ekseni etrafında atalet momenti ? = dA r I O 2 A alanının kutupsal atalet momenti ? = xydA I xy A alanının çarpım atalet momentiProf. Dr. Muzaffer TOPCU 6 I o = ? dA r 2 = ? + dA y x ) ( 2 2 = ? dA x 2 + ? dA y 2 =I x + I y = I o I x , I y ve I o her zaman pozitiftir, I xy ± olabilir. I x , I y ,I o , I xy = (L 4 ) m 4 , cm 4 , mm 4 ’dür.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 7 6.1.1 ATALET YARI 6.1.1 ATALET YARI Ç Ç APLARI APLARI i x = A I x > 0 I x için atalet yarı çapı i y = A I y > 0 I y için atalet yarı çapı I xy için atalet yarıçapı yoktur.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 8 i o = A I o > 0 I o için atalet yarı çapı i o = 2 2 y x y x i i A I A I + = + i x , i y , i o >0 ( L ) (mm,cm,m)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 9 Ö Ö rnek 6.1: rnek 6.1: Dikdörtgenin tabanından geçen eksene göre atalet momenti y h d y b y x dA = b.dy I x = ? dA y 2 = ? = h h b dy y b 0 3 2 3 . . I x = 3 . 3 h b I y = 3 . 3 b hProf. Dr. Muzaffer TOPCU 10 Ö Ö rnek 6.2: rnek 6.2: Dikdörtgenin a ğırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti h x G b / 2 b y dy h / 2 y I x = ? dA y 2 dA = b.dy 12 . 3 . 3 2 2 2 2 3 2 h b I y b dy y I x h h h h x = = = ? - - Benzer şekilde; I y = 12 . 3 b hProf. Dr. Muzaffer TOPCU 11 Cismin tabanından geçen eksene göre ve a ğırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri farklıdır. A ğırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti minimum atalet momentidir. A ğırlık merkezinde; I xy = ? = 0 . . dA y x , i x = 12 . 12 . 3 h h b h b = i y = 12 b i o = 12 12 2 2 b h +Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 12 E ğer kesit bir simetri eksenine sahip ve xy eksen takımının eksenlerinden birisi bu simetri ekseniyle çakı şacak şekilde seçilirse ve buna ek olarak xy eksen takımının orijini G a ğırlık merkezinde ise kesitin çarpım atalet momenti I xy = 0’ dır. (SE: Simetri Ekseni)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 13 x y a a G t t S.E I xy ? 0 G S.E I xy = 0 y x x I xy = 0 y GProf. Dr. Muzaffer TOPCU 14 G x y S.E I xy = 0 G x y S.E I xy ? 0 Şekil: 6.2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 15 Ö Ö rnek 6.3: rnek 6.3: Üçgenin alan atalet momentinin hesabı h b x y y w dy I x = ? dA y 2 dA = w.dy h y h b w - = w = () y h h b - , 0 2 ? ? ? ? ? ? ? - = h x dy y h b h h b y I I x = 12 . 3 h b 36 I 3 3 2 3 2 G x bh dA y h h = = ? -Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 16 Ö Ö rnek 6.4: rnek 6.4: Daire kesit için atalet momenti y x r r r r dr R r dA = 2 ?r.dr I o = ? ? = R rdr r dA r 0 2 2 2 ? I x = I y I o = 2 2 2 4 0 4 4 R r R ? ? = I o = I x + I y I x = 2 o I I x = y I R = 4 . 4 ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 17 I x = I y = 4 4 R ? D = 2R I x = y I D = 64 . 4 ? I o = 2 4 R ? D = 2R I o = 32 4 D ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 18 6.2 EKSENLER 6.2 EKSENLER İ İ N KAYDIRILMASI N KAYDIRILMASI (PARALEL OLARAK) (PARALEL OLARAK) ? dA y. ? dA x. x x` y` b a G dA y I x = ? dA y 2 I y = ? dA x 2 I xy = ? xydA biliniyor I x` = ? dA y 2 ` I y` = ? dA x 2 ` I xy` = ? dA y x ` ` S x = ? dA y. =0 S y = ? dA x. =0Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 19 x` x y y` b a x` y` G dA ( a , b ) G ( x`, y`) takımındaki koordinatları x` = a + x I x` = ? dA y 2 ` y` = b +y I x` = ? + dA b y ) ( I x` = ? + + dA b yb y ) 2 ( 2 2 I x` = ? dA y 2 + ? ? + dA b dA y b 2 . 2 I x` = I x + A.b 2 > 0Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 20 I y` = ? dA x 2 ` I y` = ? + dA a x 2 ) ( I y` = I y + a 2 .A > 0 I x`y` = ? dA y x ` ` I x`y` = ? + = + + A b a I dA b y a x xy . . ) )( ( > 0 Bir cismin a ğırlık merkezinden geçen eksenlere paralel herhangi bir eksene göre atalet momenti, cismin a ğırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momenti ile bu paralel iki eksen arasındaki uzaklı ğın karesinin, cismin alanıyla çarpımının toplamına e şittir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 21 Ö Ö rnek 6.5: rnek 6.5: Paralel eksenler teoreminin uygulaması d x y x` y` b h G I x` = I XG + d 2 A d = 2 h I x` = 3 . . 2 12 . 3 2 3 h b h b h h b = ? ? ? ? ? ? +Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 22 Ö Ö rnek 6.6: rnek 6.6: Paralel eksenler teoreminin uygulaması x x` b d G h y` I x` = I XG + d 2 A 2 . 3 36 . 2 3 h b h I h b XG ? ? ? ? ? ? + = I XG = 36 . 3 h bProf. Dr. Muzaffer TOPCU 23 Ö Ö rnek 6.7: rnek 6.7: Yarım dairenin atalet momentinin hesabı x` x R G O S.E y` I x = I y = 4 . 4 R ? ( Tüm daire ) I x` = I y` = 8 . 4 R ? ( Yarım daire ) I x` = I XG + d 2 A 8 . 4 R ? = I XG + 2 . . 3 . 4 2 2 R R ? ? ? ? ? ? ? ? I XG = 8 . 4 R ? . ? ? ? ? ? ? - 2 9 64 1 ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 24 6.3 B 6.3 B İ İ LE LE Şİ Şİ K C K C İ İ S S İ İ MLER MLER İ İ N ATALET N ATALET MOMENTLER MOMENTLER İ İ x y 1 2 A 1 A 2 A = A 1 + A 2 I x = I x1 + I x2 I y = I y1 + I y2 I xy = I xy1 + I xy2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 25 Ö Ö rnek 6.9 rnek 6.9 y y g 2cm 2 cm 2cm 8 cm x 2 cm a) Verilen profil kesitte I x , I y ve I xy atalet momentlerini b) Cismin a ğırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentleri Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 26 0 33 , 41 12 2 . 8 12 6 . 2 . 12 . . 12 . 33 , 1317 16 . 4 12 8 . 2 12 . 9 12 2 . 6 . 12 . . 12 . ..) 4 3 3 2 2 2 3 2 2 1 2 1 3 1 1 2 1 4 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 1 2 1 3 1 1 2 1 = = + = + + + = + = = + + + = + + + = + = xy y y y y y x x x x x I cm I A d h b A d h b I I I I cm I A d h b A d h b I I I I a y y g 2cm 2 cm 2cm 8 cm x 2 cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 27 () () 0 33 , 41 12 2 . 8 12 6 . 2 . 12 . . 12 . 76 , 260 16 . 14 , 6 4 12 8 . 2 12 . 14 , 6 9 12 2 . 6 . 12 . . 12 . 14 , 6 16 12 16 . 4 12 . 9 . . 0 ..) 4 3 3 2 2 2 3 2 2 1 2 1 3 1 1 4 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2 1 2 1 3 1 1 2 1 2 2 1 1 = = + = + + + = = - + + - + = + + + = = + + = + + = = xy y y x x g g I cm I A d h b A d h b I cm I A d h b A d h b I cm A A A y A y y x b ı ı ıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 28 Ö Ö rnek 6.10: rnek 6.10: Verilen profil kesitin a ğırlık merkezinden geçen eksenlere göre atalet momentlerini hesaplayınız. x y 10 cm 6 cm 2 cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 29 Çö Çö z z ü ü m: m: 85 . 1 12 16 12 . 3 16 . 1 ? + + = g x 85 , 3 12 16 12 . 1 16 . 6 ? + + = g y I x` = () () 12 . 85 , 3 1 12 2 . 6 16 . 85 , 3 6 12 8 . 2 2 3 2 3 - + + - + =260,76 cm4 I y` = () () 12 . 85 , 1 3 12 6 . 2 16 . 85 , 1 1 12 2 . 8 2 3 2 3 - + + - + =68.76 cm4 I x`y` = I x1y1 + I x2y2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 30 = x 1 .y 1 .A 1 + x 2 .y 2 .A 2 = (1-1.85).(6-3,85).16 + (3-1,85).(1-3,85).12 = (-0.85).(2,15).16 + (1,15).(-2,85).12 = -68.57 cm 4Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 31 6.4 EKSENLER 6.4 EKSENLER İ İ N D N D Ö Ö ND ND Ü Ü R R Ü Ü LMES LMES İ İ ( ASAL ( ASAL EKSENLER VE ASAL ATALET EKSENLER VE ASAL ATALET MOMENTLER MOMENTLER İ İ ) ) Atalet momentlerinin seçilen eksenlere göre yer aldıkları ve bu eksenlerin de ği şmesiyle tabii olarak de ği ştiklerini daha önce görmü ştük. Şimdi eksenlerin döndürülmesi halinde atalet momentlerinin nasıl de ği şti ğini inceleyelim. ? y x u x ? ? u dA y v u= x.cos ? + y.sin ? v = y.cos ?-x.si n ? I u = ( ) ? ? - = dA x y dA 2 2 sin . cos . ? ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 32 I u = ? ? ? + - dA x xydA dA y 2 2 2 2 sin cos sin 2 cos ? ? ? ? 1.) I u = I x .cos2 ? -2 .I xy .sin ?.cos ? + I y .sin2 ? I u = () ? ? ? ? ? + + = - = dA y dA y x dA x dA y x dA 2 2 2 2 2 2 sin . . cos . sin . 2 cos sin . cos . ? ? ? ? ? ? ? 2.) I v = I x .cos2 ? + 2.I xy .sin ?.cos ? + I y .sin2 ? 3.) I uv = ( ) ( ) ? ? - + = ? ? ? ? ? sin . cos . sin . cos . . . x y y x dA uProf. Dr. Muzaffer TOPCU 33 I uv = I x .sin ?.cos ?-I y .sin. ?.cos ? + I xy .( cos2 ? -si n2 ?) 2 sin. ?.cos ? = sin.2 ? cos2 ? -si n2 ?= cos.2 ? dönü şümleri yapılırsa I u = ? ? 2 sin . 2 . cos . 2 2 xy y x y x I I I I I - - + + I v = ? ? 2 sin . 2 . cos . 2 2 xy y x y x I I I I I + - + +Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 34 I uv = ? ? 2 cos . 2 . sin . 2 xy y x I I I - - I uv = 0 ise y x xy I I I - - = . 2 2 tan ? E ğer I u , I v , I uv den ?’l ı terimler yok edilirseProf. Dr. Muzaffer TOPCU 35 A I max I u.v I u , I v I min I ort B R I max = I ort + R I min = I ort – R Atalet momentinin maksimum ve minumum de ğerine asal atalet momentleri, Bunların bulundu ğu eksenlere asal eksenler denir. Asal eksenler üzerinde I xy = 0 ‘ dır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 36 I ort = 2 I I y x + , R = 2 xy 2 y x I 2 I I + ? ? ? ? ? ? ? ? - I max , min = 2 I I y x + ± 2 xy 2 y x I 2 I I + ? ? ? ? ? ? ? ? -Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 37 Ö Ö rnek 6.11: rnek 6.11: A şa ğıdaki şekilde min max xy y x I , I , I , I , I hesaplayınız. x y 8cm 6cm 1cm 1cm 1cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 38 Çö Çö z z ü ü m: m: cm A A A x A x x g 2 6 8 6 . 4 8 . 5 , 0 2 1 2 2 1 1 = + + = + + = cm A A A y A y y g 5 , 2 6 8 6 . 5 , 0 8 . 4 2 1 2 2 1 1 = + + = + + = () () 4 2 3 2 3 16 , 85 6 . 5 , 2 5 , 0 12 1 . 6 8 . 5 , 2 4 12 8 . 1 cm I x = - + + - + = () () 4 2 3 2 3 16 , 50 6 . 5 , 2 4 12 6 . 1 8 . 2 5 , 0 12 1 . 8 cm I y = - + + - + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 39 I xy = x 1 .y 1 .A 1 + x 2 .y 2 .A 2 = (0,5-2).(4-2,5).8+(4-2,5)(0,5-2,5).6 = -36 cm 4 y x xy I I I - - = . 2 2 tan ? o 32 16 , 50 16 , 85 ) 36 .( 2 2 tan = - - - = ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 40 I max , min = 2 y x I I + ± 2 2 2 xy y x I I I + ? ? ? ? ? ? ? ? - = 2 16 , 50 16 , 85 + ± 2 2 ) 36 ( 2 16 , 50 16 , 85 - + ? ? ? ? ? ? - I max = 67,66 +40,02 = 107,68 cm 4 I min = 67,66 -40,02 = 27,64 cm 4Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 41 NOT: Bir kesitte delik varsa dolu kesitin atalet NOT: Bir kesitte delik varsa dolu kesitin atalet momentinden deli momentinden deli ğ ğ in atalet momenti in atalet momenti ç ç ı ı kar kar ı ı l l ı ı r. r. x h y b D x I x = 64 . 12 . 4 3 D h b ? - I y = 64 . 12 . 4 3 ? D b h -Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 42 I x = D d x ( ) 4 4 64 d D - ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 43 Ö Ö rnek 6.12: rnek 6.12: Şekildeki cismin xy y x I , I , I hesaplayınız. x y 8cm 2cm 2cm 1cm 1cm 1cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 44 I x = () 2 . 5 . 5 , 4 12 1 . 5 12 8 . 1 2 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? + + =246cm 4 I y = () ? ? ? ? ? ? ? ? + - ? ? ? ? ? ? ? ? + 16 . 5 , 1 12 2 . 8 2 12 5 . 10 12 1 . 5 . 2 12 1 . 8 2 3 3 3 3 veya =21,5 cm 4Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 45 Ö Ö rnek 6.13: rnek 6.13: Verilen profil kesitte a ğırlık merkezinden geçen x, y eksen takımına göre atalet momentlerini hesaplayınız. G y x 5 cm 7 cm 8 cm 1 cm 1 cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 46 x = 0 , 2 20 7 . 5 , 3 8 . 5 , 0 5 . 5 , 2 3 2 1 3 3 2 2 1 1 = + + = + + + + A A A A x A x A x cm y = 5 , 4 20 7 . 5 , 0 8 . 5 5 . 5 , 9 3 2 1 3 3 2 2 1 1 = + + = + + + + A A A A y A y A y cm I x = 4 2 3 2 3 2 3 6 , 282 7 . 4 12 7 . 1 8 . ) 5 , 0 ( 12 8 . 1 5 . 5 12 1 . 5 cm = + + + + + I y = 4 2 3 2 3 2 3 6 , 74 7 . ) 5 , 1 ( 12 7 . 1 8 . ) 5 , 1 ( 12 1 . 8 5 . 55 , 10 12 5 . 1 cm = + + + + +Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 47 I xy = x 1 y 1 A 1 + x 2 y 2 A 2 + x 3 y 3 A 3 = 0,5.5.5 + (-1,5)(0,5).8 + (1,5)(-4).7 = -35,5 cm 4 o 42 , 9 6 , 74 6 , 282 ) 5 , 35 .( 2 2 tan = - - - = ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 48 I max , min = 2 y x I I + ± 2 2 2 xy y x I I I + ? ? ? ? ? ? ? ? - = 2 6 , 74 6 , 282 + ± 2 2 ) 5 , 35 ( 2 6 , 74 6 , 282 - + ? ? ? ? ? ? - I max = 178,6 +109,89 = 288,49 cm 4 I min = 178,6 -109,89 = 68,71 cm 4Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 49 6.5 K 6.5 K Ü Ü TLE ATALET MOMENTLER TLE ATALET MOMENTLER İ İ x ı x T ? m Şekil 6.3Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 50 xx` eksen takımından r kadar uzaklıkta bir ?m kütlesi dü şünelim buna bir kuvvet çifti uygulayalım (T). Sistem hareketsizken ?m kütlesi xx` ekseni etrafında dönmeye ba şlayacaktır. Burada sistemin verilen bir dönme hızına eri şmesi için gerekli zamanın ?m kütlesiyle orantılı oldu ğunu göstermek istiyoruz. Bundan dolayı r2. ?m çarpımını sistemin ataletinin ( eylemsizli ğinin ) yani sistemi harekete geçirmeye çalı ştı ğımızda bunun direncinin bir ölçüsüdür. r2. ?m çarpımına ?m kütlesinin xx` eksenine göre kütle atalet momenti denir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 51 m = ? = = ? n 1 i i m ( ?m 1 + ?m 2 + ?m 3 +............+ ? mn ) I = n n n 2 2 2 1 2 1 i 2 1 m r .......... m r m r m r ? + + ? + ? = ? ? I = ? = m k dm r 2 2 k = m I ( atalet yarıçapı ) Burada k atalet yarıçapı, I sabit kalmak üzere cismin tüm kütlesinin konulması gereken uzaklı ğı ifade eder.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 52 6.5.1 PARALEL EKSENLER TEOREM 6.5.1 PARALEL EKSENLER TEOREM İ İ x y dy dm x` y` z` z dz d dx G d = 2 2 2 dz dy dx + + I = I G + m.d 2 ( I x ) k = ( I G ) k + m.d y2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 53 Ö Ö rnek 6.14: rnek 6.14: İnce Levhaların Kütle Atalet Momentleri ?: birim hacmin kütlesi ( kg / m 3 ) t : sabit dA x r r (I xx ) kütle = ? dm r 2 d m =t ?dA (I xx ) k = ? dA t r ? 2 = ? dA r t 2 ? burada ? dA r 2 Polar At. M (I xx ) kütle = alan xx I t ) ( ? birimi ise (kg.m2 ) dir (I yy ) kütle =t ?(I yy ) alan (I o ) kütle =t ?(I o ) alanProf. Dr. Muzaffer TOPCU 54 y x z a b (I xx ) kütle = alan xx ) I ( t ? =t ?( ) 12 ab 3 (I yy ) kütle = alan yy ) I ( t ? t ?( = 12 ba 3 ) V=a.b.t ve m= ?V yukarıdaki ifadelerde yerine konulursa (I x ) kütle =mb 2 /12 ve (I y ) kütle =ma 2 /12 (I o ) kütle =(m/12).( a 2 +b 2 ) elde edilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 55 6.5.2 L 6.5.2 L İ İ NEER VE A NEER VE A Ç Ç ISAL HAREKET ISAL HAREKET Sabit bir noktadan r kadar uzaklıktaki m kütlesi sabit bir eksen etrafında döndürülmek istensin. Bu lineer hareket Newtonun ikinci kanunundaki kuvvet ve ivme tanımlanabilir. Sadece dönme olarak ele alınsa da bu dönen sistemede ikinci kanun uygulanabilir. Ve buradan kütle atalet momenti tanımlanabilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 56 ?=F.r ? = ?=m.a.r m.a.r=I I=mr 2 Açısal hareket ?=I ? m r Açısal hareket için Newton’un İkinci kanunu F=ma m r Lineer hareket Newton’un İkinci kanunu r a tProf. Dr. Muzaffer TOPCU 57 6.5.3 BAZI C 6.5.3 BAZI C İ İ S S İ İ MLER MLER İ İ N K N K Ü Ü TLE TLE ATALET MOMENTLER ATALET MOMENTLER İ İ Rod Thin 12 1 2 ML I = L İnce Çubuk Rod Thin 3 1 2 ML I = L İnce ÇubukProf. Dr. Muzaffer TOPCU 58 R Disk Solid 2 1 2 MR I = DiskProf. Dr. Muzaffer TOPCU 59 R 1 R 2 I=1/2M(R 1 2 +R 2 2 ) İçi bo ş silindir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 60 R Cylinder Hollow d Thin Walle 2 MR I = İnce Cidarlı silindirProf. Dr. Muzaffer TOPCU 61 a b I=1/12M(a 2 +b 2 ) Dikdörtgen levhaProf. Dr. Muzaffer TOPCU 62 a b I=1/3Ma 2 Dikdörtgen levhaProf. Dr. Muzaffer TOPCU 63 R R I=2/5MR 2 Küre I=2/3MR 2 İnce cidarlı bo ş küreProf. Dr. Muzaffer TOPCU 64 ALAN ATALET MOMENT ALAN ATALET MOMENT İ İ İ İ LE LE İ İ LG LG İ İ L L İ İ ÇÖ ÇÖ Z Z Ü Ü ML ML Ü Ü PROBLEMLER PROBLEMLER Problem 1) 2 6 1 5 2 2 x y a) A ğırlık merkezini bulunuz. b) A ğırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentlerini hesaplayınız. Not: Ölçüler cm’dir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 65 4 2 3 2 3 4 2 3 2 3 31 , 76 91 , 4 4 65 , 6 75 , 60 ) 64 , 5 5 )( 12 ( 12 6 2 ) 64 , 5 5 , 6 )( 9 ( 12 9 1 75 , 99 27 36 36 75 , 0 ) 5 , 4 3 )( 12 ( 12 2 6 ) 5 , 4 5 , 6 )( 9 ( 12 1 9 5 , 4 21 3 12 5 , 6 9 64 , 5 21 5 , 118 12 9 5 12 5 , 6 9 cm I x x I cm I x x I cm x x y cm x x x y y x x = + + + = - + + - + = = + + + = - + + - + = = + = = = + + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 66 Problem 2) Problem 2) Verilen kesitin; A ğırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayınız. A ğırlık merkezinden geçen koordinat eksenine göre atalet momentlerini hesaplayınız. Asal atalet momentlerini hesaplayınız. x y 2cm2cm 10cm 1cm 8cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 67 1 2 x y A A x A y 5 8,5 10 50 85 3 4 16 48 64 Toplam 26 98 149 1 2 a) cm A xA x 77 , 3 26 98 = = ? ? = cm A yA y 73 , 5 26 149 = = ? ? =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 68 b) 4 4 2 3 2 3 4 2 3 2 3 38 , 55 ) 77 , 3 3 )( 73 , 5 4 .( 16 ) 77 , 3 5 )( 73 , 5 5 , 8 .( 10 28 , 113 16 . ) 77 , 3 3 ( 12 2 . 8 10 . ) 77 , 3 5 ( 12 10 . 1 78 , 210 16 . ) 73 , 5 4 ( 12 8 . 2 10 . ) 73 , 5 5 , 8 ( 12 1 . 10 cm I cm I cm I xy y x = - - + - - = = - + + - + = = - + + - + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 69 c) () () 4 min 4 max min max 2 2 2 2 min max 25 , 88 81 , 235 78 , 73 03 , 162 38 , 55 2 28 , 113 78 , 210 2 28 , 113 78 , 210 2 2 cm I cm I I I I I I I I xy y x y x = = ± = + ? ? ? ? ? ? - ± + = + ? ? ? ? ? ? ? ? - ± + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 70 Problem 3) Problem 3) 2 3 2 5 6 2 8 2 y x Verilen profil kesitte; a) A ğırlık merkezini, b) A ğırlık merkezinden geçen eksene göre atalet momentini, c) Asal atalet momentini hesaplayınız. (verilen ölçüler cm’dir)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 71 A x y A x A y 1 14 6,5 11 91 154 2 16 6 6 96 96 3 26 6,5 1 169 26 T 56 356 276 35 , 6 56 356 = = x cm 92 , 4 56 276 = = y cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 72 b) 4 4 2 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 2 3 628 , 8 ) 92 , 3 )( 15 , 0 ( 26 ) 08 , 1 )( 35 , 0 ( 16 ) 08 , 6 )( 15 , 0 ( 14 1 , 431 26 . ) 15 , 0 ( 12 13 . 2 16 . ) 35 , 0 ( 12 2 . 8 14 . ) 15 , 0 ( 12 7 . 2 1 , 1034 26 . ) 92 , 3 ( 12 2 . 13 16 . ) 08 , 1 ( 12 8 . 2 14 . ) 08 , 6 ( 12 2 . 7 cm I cm I cm I xy y x - = - + - + = = + + - + + + = = - + + + + + = c) () () 4 min 4 max min max 2 2 2 2 min max 03 , 237 ; 17 , 1228 57 , 495 6 , 732 628 , 8 2 1 , 431 1 , 1034 2 1 , 431 1 , 1034 2 2 cm I cm I I I I I I I I xy y x y x = = ? ± = - + ? ? ? ? ? ? - ± + = + ? ? ? ? ? ? ? ? - ± + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 73 Problem 4) Problem 4) 50 mm 50 mm 10 mm 10 mm 100 mm 10 mm 10 mm x y Şekilde verilen profil kesitin a ğırlık merkezinden geçen eksen takımına göre atalet momentlerini ve asal atalet momentlerini hesaplayınız. (Ölçüler mm’dir)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 74 a) Şekilde verilen parça 3 kısma ayrılarak çözülür. Burada; hesaplanması; xT I 3 2 1 x x x xT I I I I + + = 4 2 3 2 3 3 1 1820000 600 . 55 12 10 . 60 . 12 . mm A d h b I I x x = + = + = = 4 2 3 2 3 2 33 , 833333 1000 . 0 12 100 . 10 . 12 . mm A d h b I x = + = + = 4 33 , 4473333 mm I xT =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 75 yT I hesaplanması; 3 2 1 y y y yT I I I I + + = 4 2 3 2 3 3 1 555000 600 . 25 12 60 . 10 . 12 . mm A d h b I I y y = + = + = = 4 2 3 2 3 2 33 , 8333 1000 . 0 12 10 . 100 . 12 . mm A d h b I y = + = + = 4 33 , 1118333 mm I yT =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 76 xy I hesaplanması; 3 3 3 2 2 2 1 1 1 A y x A y x A y x I xy + + = 600 . 25 ). 55 ( 1000 . 0 . 0 600 ). 25 .( 55 - + + - = xy I 4 1650000mm I xy - = b) 2 2 min max 2 2 xy y x y x I I I I I I + ? ? ? ? ? ? ? ? - ± + = buradan; 4 max 4 min 496 , 5148811 , , 164 , 442855 mm I mm I = = olmaktadır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 77 Problem 5) Problem 5) y 2cm 1cm 10cm 2cm x 6cm 2cm A ğırlık merkezinden geçen eksen takımına göre; Atalet momentlerini Asal atalet momentlerini hesaplayınız. a) b)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 78 x y Ax Ay A 1 2 9 4 8 36 2 0,5 5 10 5 50 3 3,5 1 10 35 10 Toplam 24 48 96 2 24 48 = = ? ? = A xA x cm 4 24 96 = = ? ? = A yA y cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 79 a) 4 3 3 3 2 2 2 1 1 1 4 2 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 2 3 60 10 ). 4 1 ).( 2 5 , 3 ( 10 ). 4 5 ).( 2 5 , 0 ( 4 ). 4 9 ).( 2 2 ( 68 ) 2 5 , 3 ( 10 12 5 2 ) 2 5 , 0 ( 10 12 1 10 ) 2 2 ( 4 12 2 2 288 ) 4 1 ( 10 12 2 5 ) 4 5 ( 10 12 10 1 ) 4 9 ( 4 12 2 2 cm I I y A x y A x y A x I cm I I cm I I xy xy xy y y x x - = ? - - - - - + - - = + + = = ? - + × + - + × + - + × = = ? - + × + - + × + - + × = b) () 4 min 4 max 2 2 min max 7 , 52 3 , 303 3 , 125 178 2 2 cm I cm I I I I I I I xy y x y x = = ± = + ? ? ? ? ? ? ? ? - ± + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 80 K K Ü Ü TLE ATALET MOMENT TLE ATALET MOMENT İ İ İ İ LE LE İ İ LG LG İ İ L L İ İ ÇÖ ÇÖ Z Z Ü Ü ML ML Ü Ü PROBLEMLER PROBLEMLER Problem 1) z x y x ’ y ’ G r=20 mm, L=50 mm ve ?=7.85 gr/cm3 olan içi dolu bir silindirin; z ekseni etrafında dönmesi durumunda meydana gelen kütle atalet momentini y’ ekseni etrafında dönmesi durumunda meydana gelen kütle atalet momentini y ekseni etrafında dönmesi durumunda meydana gelen kütle atalet momentini hesaplayınız. a) b) c)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 81 Çözüm: V= ?.r2.L= ?.22.5=62.831 cm 3 m= ?.V=7.85.62,831 m=493,223 gr a) 2 2 2 . 46 , 986 ) 2 .( 223 . 493 2 1 . 2 1 cm gr I I r m I z z z = = =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 82 b) 2 2 2 . 548 , 1027 ) 5 .( 223 . 493 12 1 . 12 1 ' ' ' cm gr I I L m I y y y = = = c) 2 2 2 . 19 , 4110 ) 5 .( 223 . 493 3 1 . 3 1 cm gr I I L m I y y y = = =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 83 Problem 2) Problem 2) 20 mm 25 mm 150 mm x y z 10 mm 5 mm z y Şekilde gösterilen cismin x ve z eksenleri etrafında döndürülmesi durumunda kütle atalet momentlerini bulunuz. ( ?=7,85 gr/cm 3 )Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 84 Çö Çö z z ü ü m: m: 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 . 625 , 4415 ) 15 .( 875 , 58 . 3 1 3 1 875 , 58 5 , 7 . 85 , 7 . 5 , 7 15 . 1 . 5 , 0 3 1 cm gr I a m I gr m m V m cm V a m I x x x = ? = = = ? = ? = = = = ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 85 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 . 815 , 12928 19 , 8557 625 , 4415 . 19 , 8557 ) 5 , 17 .( 71 , 27 ) 2 5 , 2 .( 4 71 , 27 . ) ( 4 . . ). ).( ( 4 . . ). ( 4 71 , 27 53 , 3 . 85 , 7 . 53 , 3 5 , 0 ). 2 5 , 2 .( ). .( . . ). ( 4 cm gr I I I I I cm gr I d m r R m I d m t r R r R I d m t r R I gr m m V m cm t r R V d m t r R I xT xT x x xT x x x x x = + = + = = + + = + + = + - + = + - = = ? = ? = = - = - = + - = ? ? ? ? ? ? ? ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 86 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 . 82 , 13043 2 , 8628 625 , 4415 . 2 , 8628 ) 5 , 17 .( 71 , 27 ) 2 5 , 2 .( 71 , 27 . 2 1 . ) .( . 2 1 . 625 , 4415 ) 15 .( 875 , 58 . 3 1 3 1 cm gr I I I I I cm gr I d m r R m I cm gr I I a m I zT zT z z zT z z z z z = + = + = = + + = + + = = = =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 87 Problem 3) Problem 3) 15 mm 15 mm x y z 40 mm 50 mm 60 mm 45 mm 45 mm 45 mm 38 mm Şekli a şa ğıda verilen cismin kütle atalet momentini hesaplayınız. ( ?=7850 kg/m 3 )Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 88 Çö Çö z z ü ü m: m: Cismin atalet momenti paralel eksenler teoremi ile çözülebilir. I = I + md 2 . Cisim a şa ğıdaki gibi atalet momenti kolaylıkla hesaplanabilen küçük parçalara ayrılır. x y z x y z x z yProf. Dr. Muzaffer TOPCU 89 Dikdörtgen cisim için; m = ? V V = (0.15 m)(0.09 m)(0.03 m) V = 4.05 x 10-4 m 3 m = (7850 kg/m 3 )(4.05x10-4 m 3 ) m = 3.18 kg 2 1 2 2 1 1 . 02385 , 0 ) 15 , 0 .( 18 , 3 . 3 1 3 1 m kg I a m I x x = = =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 90 Yarım daire için; kg m m V m m V t r V 0 , 1 10 . 27 , 1 . 7850 . 10 . 27 , 1 04 , 0 . ) 045 , 0 .( 2 . 2 . 4 3 4 2 2 = = ? = = = = - - ? ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 91 x y z x’ 130 mm 15 mm x’’ C x x’ x’’Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 92 2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 2 . 0171 , 0 ) 13 , 0 .( 1 8 ) 045 . 0 .( 1 15 . 875 . 8 . . . 8 . m kg I I d m r m I d m t r I x x x x = + = ? = + = + = ? ? Tam daire delik için; kg m m V m m V t r V 068 , 1 10 . 36 , 1 . 7850 . 10 . 36 , 1 03 , 0 . ) 038 , 0 .( . . 4 3 4 2 2 = = ? = = = = - - ? ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 93 2 3 2 2 3 2 2 3 . 0041 , 0 ) 06 , 0 .( 068 , 1 ) 03 , 0 .( 068 , 1 . 3 1 . . 3 1 m kg I I d m L m I x x x = + = + = Sonuçta hepsini toplarsak; 2 3 2 1 . 03685 . 0 0041 , 0 0171 , 0 02385 , 0 m kg I I I I I I xT xT x x x xT = - + = - + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 94 Problem 4) Problem 4) Z 50 mm 100 mm 10 mm 5 mm 20 mm 50 mm Şekilde verilen cismin z eksenine göre kütle atalet momentini bulunuz. ( ?=7,85 gr/cm 3 )Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 95 Çö Çö z z ü ü m: m: 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 . 85 , 94 ) 2 5 .( 25 , 39 . 12 1 ) ( 12 1 25 , 39 5 . 85 , 7 . 5 5 . 5 , 0 . 2 cm gr I I b a m I gr m m V m cm V z z z = + = + = = = ? = = = ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 96 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 . 39 , 4183 54 , 4088 85 , 94 . 54 , 4088 ) 10 5 .( 5 , 392 . 12 1 ) ( 12 1 5 , 392 50 . 85 , 7 . 50 5 . 1 . 10 cm gr I I cm gr I I b a m I gr m m V m cm V zT zT z z z = + = = + = + = = = ? = = = ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 97 Problem 5) Problem 5) R r z L t R=100 mm, r=25 mm, L=300 mm, t=5 mm ve ?=7.85 gr/cm3 olan şekildeki parça için z ekseni etrafında dönmesi durumunda meydana gelen kütle atalet momentini hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 98 Çö Çö z z ü ü m: m: 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 . 14450 ) 5 , 2 .( 03 , 4624 . 2 1 . 2 1 03 , 4624 04 , 589 . 85 , 7 . 04 , 589 30 . ) 5 , 2 .( . . cm gr I I r m I gr m m V m cm V V L r V z z z = = = = = ? = = = = ? ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 99 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 . 5 , 75862 5 , 61412 14450 . 5 , 61412 ) 5 , 2 10 .( 1156 . 2 1 ) .( 2 1 1156 26 , 147 . 85 , 7 . 26 , 147 5 , 0 ). 5 , 2 10 .( ). .( cm gr I I cm gr I I r R m I gr m m V m cm V V L r R V zT zT z z z = + = = + = + = = = ? = = - = - = ? ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 100