Mukavemet Malzeme Mekaniği 10 - Çökmenin Hesaplanması ( Enerji Yöntemleri ve Singülarite Yöntemi ) ( Mukavemet II ) Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I Y Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I Y Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I YY) MUKAVEMET Y) MUKAVEMET Y) MUKAVEMET- - -II II II © 2008 NM KİRİŞLERDE ÇÖKMENİN HESABI-III (ENERJİ YÖNTEMLERİ ve SİNGÜLARİTE YÖNTEMİ ) (10-). HAFTA 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 2 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • Uniform kesitli bir çubuk yavaşça artan bir yüke maruz kaldığında, • Çubuğun dx kadar uzaması ile P nin yaptığı elemanter iş ki bu da yük-def. eğrisi altında dx genişliğindeki alana eşittir. iş elemanter dx P dU = = • x 1 kadar uzama ile yük tarafından yapılan toplam iş, bu çubuğun genleme enerjisinde artışa neden olur. enerjisi enleme g iş oplam t dx P U x = = = ? 1 0 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 x P kx dx kx U x = = = ? • Lineer elastik deformasyon halinde GENLEME ENERJ GENLEME ENERJDD S SDD ( (Strain Energy Strain Energy) )04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 3 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Genleme Genleme Enerjisi Yo Enerjisi Yoğ ğunlu unluğ ğu u • Boyut etkisini elemine etmek için, birim hacım için genleme enerjisi , yogunlugu erjisi en enleme g d u L dx A P V U x x = = = ? ? 1 1 0 0 ? ? ? • Yük kaldırıldığı zaman gerilme sıfıra döner fakat kalıcı (plastik) deformasyon vardır. Bu nedenle genleme enerjisi koyu renkli üçgen alan ile temsil edilir. • Kalan enerji ısı olarak açığa çıkar. • Toplam genleme enerjisi younluğu, ? 1 e kadar eğri altındaki alana eşittir. 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 4 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • Gerilme –genleme eğrisi altındaki toplam alan TOKLUK MODÜLÜ nü tanımlar (? 1 = ? R ) • Malzemeyi koparmak için gerekli birim hacım enerjisi en büyük çekme dayanımı ile olduğu kadar süneklik ile de ilgilidir. • Gerilmeler orantı sınırı altında kalırsa, E E d E u x 2 2 2 1 2 1 0 1 1 ? ? ? ? ? = = = ? • Elstik bölgede genleme enerjisi yoğ. da REZDLYANS MODÜLÜ diyoruz. resilience of modulus E u Y Y = = 2 2 ? Genleme Genleme Enerjisi Yo Enerjisi Yoğ ğunlu unluğ ğu u04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 5 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM NORMAL GER NORMAL GERDD LMELER LMELER DD Ç ÇDD N ELAST N ELASTDD K GENLEME ENERJ K GENLEME ENERJDD S SDD • Genel hal için gerilme dağılımının düzgün olmadığı bir elemanda, enerjisi genleme toplam dV u U dV dU V U u V = = = ? ? = ? › ? 0 lim • Orantı sınırının altında , u < u Y , enerjisi genleme elastik dV E U x ? = = 2 2 ? • Eksenel Yükleme, dx A dV A P x = = ? ? = L dx AE P U 0 2 2 AE L P U 2 2 = • Uniform (sabit) kesitli çubuk için, 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 6 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM NORMAL GER NORMAL GERDD LMELER LMELER DD Ç ÇDD N ELAST N ELASTDD K GENLEME ENERJ K GENLEME ENERJDD S SDD I y M x = ? • Eğilmeye zorlanan bir kiriş için, ? ? = = dV EI y M dV E U x 2 2 2 2 2 2 ? • Ucundan yüklü ankastre kiriş , EI L P dx EI x P U Px M L 6 2 3 2 0 2 2 = = - = ? • dV = dA dx ile, dx dA y EI M dx dA EI y M U L A L A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 dx EI M U L ? = 0 2 204.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 7 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Kayma Gerilmeleri Kayma Gerilmeleri DD ç çin in Genleme Genleme Enerjisi Enerjisi • Düzlemde kayma gerilmelerine zorlanan eleman için, ? = xy xy xy d u ? ? ? 0 • Orantı sınırının altında ? xy için, G G u xy xy xy xy 2 2 2 1 2 2 1 ? ? ? ? = = = • Toplam genleme enerjisi, ? ? = = dV G U dV u U xy 2 2 ? 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 8 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ? ? = = dV GJ T dV G U xy 2 2 2 2 2 2 ? ? • Burulmaya zorlanan mil için, • dV = dA dx ile, ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = = L L A L A dx GJ T dx dA GJ T dx dA GJ T U 0 2 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 ? ? • Sabit kesitli miller için, GJ L T U 2 2 = Kayma Gerilmeleri Kayma Gerilmeleri DD ç çin in Genleme Genleme Enerjisi Enerjisi J T xy ? ? =04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 9 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK RNEK- -1 1 a) Sadece eğilme nedeniyle oluşan normal gerilmeleri dikkate alarak şekildeki yükleme hali için genleme enerjisini hesaplayın. b) Kiriş W10x45, P=40 kips,Evaluate the strain energy knowing that the beam is a W10x45, P = 40 kips, L = 12 ft, a = 3 ft, b = 9 ft, and E = 29x10 6 psi. SOLUTION: • Determine the reactions at A and B from a free-body diagram of the complete beam. • Integrate over the volume of the beam to find the strain energy. • Apply the particular given conditions to evaluate the strain energy. • Develop a diagram of the bending moment distribution. 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 10 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ÇÖZÜM : • A and B deki mesnet tepki kuvvetleri L Pa R L Pb R B A = = • Eğilme moment diyagramını çizin v L Pa M x L Pb M = = 2 1 Ö ÖRNEK RNEK- -1 104.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 11 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM v L Pa M böl. BD x L Pb M böl. AD = = 2 1 4 3 in 248 ksi 10 29 in. 108 in. 36 a in. 144 kips 45 = × = = = = = I E b L P • Kirişin tamamı için genleme enerjisi. ( ) b a EIL b a P b a a b L P EI dx x L Pa EI dx x L Pb EI dv EI M dx EI M U b a b a + = ? ? ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? = + = ? ? ? ? 2 2 2 2 3 2 3 2 2 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 1 6 3 3 2 1 2 1 2 1 2 2 EIL b a P U 6 2 2 2 = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) in 144 in 248 ksi 10 29 6 in 108 in 36 kips 40 4 3 2 2 2 × = U kips in 89 . 3 · = U 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 12 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Tekil Tekil ç çekme y ekme yü ük kü ü i iç çin in DŞ DŞ ve ENERJ ve ENERJDD • 2. slaytta sabit kesitli çubuk için genleme enerjisi ifadesini bulmuştuk, ( ) AE L P dx A E A P dV E dV u U L 2 2 2 2 1 0 2 1 2 = = = = ? ? ? ? • • P P 1 1 çekme yükü için iş aşağıdaki gibi de bulunabilir, ? = 1 0 x dx P U • Elastik deformasyon için, 1 1 2 1 2 1 2 1 0 0 1 1 x P x k dx kx dx P U x x = = = = ? ? • Kuvvet deplasman arasındaki ilişkiyi biliyoruz, AE L P AE L P P U AE L P x 2 2 1 1 1 2 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? = =04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 13 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Tekil y Tekil yü ük alt k altı ında nda DŞ DŞ ve ENERJ ve ENERJDD • Diğer tekil yükleme halleri için de iş ifadesi yardımıyla genleme enerjisi. EI L P EI L P P y P dy P U y 6 3 3 2 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? = = = ? • Tekil eğme yükü EI L M EI L M M M d M U 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 = ? ? ? ? ? ? = = = ? ? ? ? • Eğilme momenti JG L T JG L T T T d T U 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 = ? ? ? ? ? ? = = = ? ? ? ? • Burulma momenti 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 14 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK ; Tekil Y RNEK ; Tekil Yü ük Alt k Altı ında Deplasman nda Deplasman • Eğer yapıdaki tekil yük nedeniyle olan genleme enerjisi bilinirse, iş ve enerji arasındaki eşitlik deplasmanı bulmak için kullanılabilir. l L l L BD BC 8 . 0 6 . 0 = = statikten, P F P F BD BC 8 . 0 6 . 0 - = + = geometriden, • Dş ve enerjiyi eşitlersek, AE Pl y y P AE L P U B B 728 . 0 364 . 0 2 1 2 = = = • Genleme enerjisi, ( ) ( ) [ ] AE l P AE l P AE L F AE L F U BD BD BC BC 2 3 3 2 2 2 364 . 0 2 8 . 0 6 . 0 2 2 = + = + =04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 15 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK RNEK- -2 : 2 : Yukarda boyutları ve yükleme hali verilen kafes sistemin, P yükü nedeniyle, E düğümündeki yer değiştirmeyi bulunuz. Using E=73 GPa. SOLUTION: • Find the reactions at A and B from a free-body diagram of the entire truss. • Apply the method of joints to determine the axial force in each member. • Evaluate the strain energy of the truss due to the load P. • Equate the strain energy to the work of P and solve for the displacement. 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 16 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ÇÖZÜM: • A ve B deki tepki kuvvetleri. 8 21 8 21 P B P A P A y x = = - = • Düğüm yöntemi ile her bir elemandaki kuvvet. P F P F CE DE 8 15 8 17 + = - = 0 8 15 = + = CD AC F P F P F P F CE DE 8 21 4 5 - = = 0 = AB F04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 17 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • P yükü nedeniyle kafesin genleme enerjisi. ( ) 2 2 2 29700 2 1 2 1 2 P E A L F E E A L F U i i i i i i = = = ? ? • P tarafından yapılan işi genleme enerjisine eşitleyerek, deplasman için çözersek. ( ) ( ) 9 3 3 2 2 1 10 73 10 40 10 7 . 29 2 29700 2 2 × × × = ? ? ? ? ? ? ? ? = = = E E E y E P P P U y U Py v = mm 27 . 16 E y 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 18 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Birka Birkaç ç y yü ük alt k altı ında nda Dş Dş ve Enerji ve Enerji • Dki tekil yük nedeniyle kirişin sehimi, 2 22 1 21 22 21 2 2 12 1 11 12 11 1 P P x x x P P x x x ? ? ? ? + = + = + = + = • Uygulama sırasını ters çevirirsek, ( ) 2 1 11 1 2 21 2 2 22 2 1 2 P P P P U ? ? ? + + = • Dki ifade eşit olmalı, burdan ? 12 =? 21 (Maxwell’s reciprocal theorem). ( ) 2 2 22 2 1 12 2 1 11 2 1 2 P P P P U ? ? ? + + = • Önce P 1 daha sonra P 2 yi yavaşça uygulayarak yapılan iş ifadesinden genleme enerjisini hesaplarsak, ( ) 2 2 22 2 1 12 2 1 11 2 1 2 P P P P U ? ? ? + + = • Önce P 1 daha sonra P 2 yi yavaşça uygulayarak yapılan iş ifadesinden genleme enerjisini hesaplarsak,04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 19 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Castigliano Castigliano’ ’s s Teorem Teoremi i ( ) 2 2 22 2 1 12 2 1 11 2 1 2 P P P P U ? ? ? + + = • Dki tekil yüke maruz elastik bir yapı için genleme enerjisi, • • Castigliano Castigliano’ ’s theorem s theorem: n tane yüke maruz kalmış elastik bir yapı için şekil değiştirme enerjisi U’ nun herhangi bir dış kuvvette göre kısmi türevi , o kuvvetin (P j ) etki ettiği noktadaki yer değiştirmeyi (deflection x j ) verir. and j j j j j j T U M U P U x ? ? = ? ? = ? ? = ? ? * 2 2 22 1 12 2 1 2 12 1 11 1 x P P P U x P P P U = + = ? ? = + = ? ? ? ? ? ? • Yüklere göre kısmi türevini alırsak, 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 20 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Castigliano Castigliano’ ’s s T Teoremi eoremi ile ile yerde yerdeğ ği iş ştirmenin tirmenin bulunmas bulunması ı : : • integrasyondan önce toplam genleme enerjisinin (U), P j tekil yüküne göre kısmi türevin alınması Castigliano Castigliano’ ’s s theorem theoremi inin uygulanmasını kolaylaştırmaktadır. • Basit kiriş için, ? ? ? ? = ? ? = = L j j j L dx P M EI M P U x dx EI M U 0 0 2 2 • Kafes yapı için, j i n i i i i j j n i i i i P F E A L F P U x E A L F U ? ? = ? ? = = ? ? = = 1 1 2 204.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 21 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK RNEK- -3: 3: Yukarda görülen kafes sistemde P yükü nedeniyle C noktasında oluşan yer değiştirmeyi hesap ediniz. Using E = 73 GPa. • Q yükü nedeniyle her bir elemandaki eksenel yükü bulmak için düğüm yöntemi uygulanır. • P ve Q yükleri nedeniyle kafesin genleme enerjisinin Q ya göre kısmi türevini elde etmek için önceki çözümlerden faydalanabiliriz. • Q = 0, yazarak C noktasındaki deplasmanı elde edebiliriz SOLUTION: • Önce C noktasına düşey hayali Q yükü uygulanır. A and B deki tepki kuvvetleri bulunur. 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 22 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ÇÖZÜM: • C deki Q yükü nedeniyle A ve B deki tepki kuvvetleri. Q B Q A Q A y x 4 3 4 3 = = - = • Q nedeniyle her bir elemandaki eksenel kuvvet düğüm yön. ile bulunur. Q F F Q F F F F BD AB CD AC DE CE 4 3 ; 0 ; 0 0 - = = - = = = =04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 23 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • Örnek-2 deki sonuçlardan faydalanarak Q ya göre kısmi türevler elde edilir, ( ) Q P E Q F E A L F y i i i i C 4263 4306 1 + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? • Q = 0 ile C noktasındaki yer değiştirme elde edilir. ( ) Pa 10 73 10 40 4306 9 3 × × = y C v = mm 36 . 2 C y 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 24 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Tekillik (S Tekillik (Sing ingü ülarite larite) ) Fonksiyonlar Fonksiyonları ı ; ; n a x - şeklinde yazılır ve burada ? ? ? ? › - < › = - a x a x a x a x n n ) ( 0 n: bir tamsayı a: fonksiyonun başladığı noktadaki x değeridir. ? ? ? ? › - < › = - ? ? ? ? › < › = - a x a x a x a x a x a x a x ) ( 0 1 0 1 0 örneğin; dir. Birden çok yük etkisindeki kiriş için kaç farklı bölge varsa her farklı bölgede V ve M ifadelerini yazmak gerekiyordu, Sing Singü ülarite larite fonksiyonlar fonksiyonları ı bu işi kolaylaştırmakta, kirişin toplam uzunluğu boyunca tamamını temsil eden bir tek V ve M ifadesi yazmayı mümkün kılmaktadır.04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 25 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM a 0 x q 2 1 2 1 ) ( ) ( a x q x M a x q x V - - = - - = a 0 b x q 3 2 6 ) ( 2 ) ( a x q m x M a x m x V egim b q m - - = - - = = a 0 x P 1 0 ) ( ) ( a x P x M a x P x V - - = - - = a 0 M0 x 0 0 1 0 ) ( 0 ) ( a x M x M alıl a x M x V - - = = - - = - De Değ ği iş şik ik y yü ükleme kleme halleri halleri i iç çin in a aş şa ağı ğıdaki daki gibi gibi yaz yazı ıl lı ır r; ; 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 26 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM TEMEL Y TEMEL YÜ ÜKLEME HALLER KLEME HALLERİ İ VE BUNLARA KAR VE BUNLARA KARŞ ŞILIK KESME KUVVET ILIK KESME KUVVETİ İ, E , EĞİ ĞİLME LME MOMENT MOMENTİ İN Nİ İN S N Sİ İNG NGÜ ÜLAR LARİ İTE FONKS TE FONKSİ İYONLARI C YONLARI Cİ İNS NSİ İNDEN NDEN İ İFADES FADESİ İ ; ; 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 27 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 28 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö Örnek rnek- -1; 1; Kiri Kiriş şin herhangi bir noktas in herhangi bir noktası ındaki kesme ; ndaki kesme ; Kiri Kiriş şin herhangi bir noktas in herhangi bir noktası ındaki moment ; ndaki moment ; ş şeklinde yaz eklinde yazı ıl lı ır. r. Yay Yayı ıl lı ı y yü ükler i kler iç çin ifade; in ifade;04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 29 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö Örnek rnek- -1; 1; Sing Singü ülarite larite fonksiyonlar fonksiyonları ın nı ı uygulayarak kiri uygulayarak kiriş ş i iç çin bir tek moment denklemi elde ediniz in bir tek moment denklemi elde ediniz Kirişin tamamı için ; x x’ ’ in fonksiyonu olarak M(x) ifadesi kiri in fonksiyonu olarak M(x) ifadesi kiriş şin toplam uzunlu in toplam uzunluğ ğu boyunca ge u boyunca geç çerlidir. erlidir. 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 30 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö Örnek rnek- -2; 2; ? ?04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 31 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Kiri Kiriş şin tamam in tamamı ı i iç çin herhangi bir noktas in herhangi bir noktası ındaki kesme ve moment ifadeleri ; ndaki kesme ve moment ifadeleri ; 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 32 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Örneğin ; x=1.8 m için V(x)=? ve M(x)=? nedir sorusuna yanıt ;04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 33 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö Örnek rnek- -3; 3; 04.05.2009 10:18 Kirişlerde Çökme 34 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM THE END THE END yani dersin sonu yani dersin sonu Sevimli kuş