Mukavemet Malzeme Mekaniği 11 - Burkulma ( Mukavemet II ) M M k222 k222 MUKAVEMET MUKAVEMET - - II II F.D. F.D. B BEER, E.R. EER, E.R. J JOHNSTON OHNSTON, , De De W WOLF OLF ve R.C. HIBBELER ve R.C. HIBBELER’ ’ in in “ “Mechanics Mechanics of of Materials Materials kitaplar kitapları ından ndan D Dü üzenleyen zenleyen: : Dr. Nusret MEYDANLIK Trakya Üniversitesi 2007-08 EDİRNE © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. B B BÖ Ö ÖL L LÜ Ü ÜM M M 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 pipeline pipeline 10 BURKULMA BURKULMA ( (Buckling Buckling of of columns columns) ) Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 2 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 STAB STAB İ İ L L İ İ TE TE • Yük taşıyan yapı ve makine elemanlarının tasarımında aslında üç parametre önemli rol oynar. - - strength strength (mukavemet) (mukavemet), , - - stiffness stiffness ( (rijidlik rijidlik) ) and and - - stability stability (dengenin kararl (dengenin kararlı ıl lığı ığı) ). . • Bu derste bugüne kadar kararlı denge durumunda gerilme ve deformasyon analizi yapmayı öğrendik. Fakat; basma yükü etkisinde kalan uzun ve narin yapılı elemanlar (kolon) yük nedeniyle eni doğrultusunda çökebilir, bu deformasyona BURKULMA BURKULMA diyoruz . Ki buda yapının tamamının çökmesine neden olacak büyük hasarlara yol açabilir. Yapının gerilme açısından müsaade edilen sınırlar içinde olması onun mutlaka dengede olduğu anlamına gelmez. Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 3 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 4 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 • Cortlandt Street station in ew York destroyed on 11 September 2001Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 5 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 Dar kirişlerin enine burkulması Burkulma Tipleri : Burkulma Tipleri : Dnce cidarlı Silindirik elemanda Basma yükü nedeniyle burkulma Dnce cidarlı Silindirik elemanda burulma yükü nedeniyle burkulma Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 6 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 Dnce cıdarlı basma yükü altında Dnce cıdarlı burulma yükü altındaMuk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 7 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 Kararsız denge Nötr denge Kararlı denge Kararsız denge Nötr denge Kararlı denge Özellikle teknolojideki son gelişmeler,ince-narin kesitlerin dahi yük taşıma kabiliyeti açısından büyük gelişmelere neden olmuştur. Dolayısıyla bu da stabilite problemlerinin önemini arttırmıştır. Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 8 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 • Burkulma bir stabilite problemidir ve basmaya basmaya ç çal alış ışan ta an taşı şıy yı ıc cı ı elemanlarda elemanlarda karşımıza çıkar ve en k en küçü üçük atalet k atalet momentine sahip kesitin asal eksenine momentine sahip kesitin asal eksenine göre burkulur. Bu derste sadece doğru eksenli elastik çubuklar ele alınacaktır.Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 9 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 • In the design of columns, cross- sectional area is selected such that - Gerilme kontrolü, . em A P ? ? ? = - deformasyon kontrolü, . em AE PL ? ? ? = • Gerilme ve deformasyon hesaplarından sonra kolonda burkulma yaratacak yük bulunmalıdır. Stability of Structures Stability of Structures Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 10 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 railbuckleMuk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 11 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 • Eksenel olarak yüklenmiş bir kirişi göz önüne alalım, amaç yanal çökmeyi yaratan yükü bulmak. Bunun için yanal çökme anı yükü kritik yük kabul edilir ve çökme ifadesi yazılırsa , ) EI P ( , 0 y y 0 y EI P dx y d y EI P EI M dx y d 2 2 2 2 2 2 = = + ' ' = + - = = ? ? • 2. dereceden sabit katsayılı homojen lineer diff. denklem,çözümü şeklindedir. A ve B sabitleri sınır koşullarından bulunabilir.Ve kritik yük ) x cos( B ) x sin( A ) x ( y ? ? + = n=1,2,…. için hesaplanan P değerleri kritik Euler yükleridir. elde edilir. 2 2 2 L EI n P ? = Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 12 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = = = > = = > oranı narinlik r L tress critical s r L E ) A I r ( A L Ar E A P A P L EI P P 2 2 cr 2 2 2 2 cr cr cr 2 2 cr • Teknik olarak anlamı olan durum n=1 için en küçük kritik yük ve ona karşılık gelen gerilme • Yukardaki ifade iki ucu pimli eksenel basmaya çalışan çubuklar için elde edilmiştir. (atalet yarıçapı) Euler Euler’ ’s Formula for s Formula for iki ucu Pimle ba iki ucu Pimle bağ ğl lı ı kiri kiriş şler: ler: (kararsız denge) Bir yap Bir yapı ı ç çeli eliğ ği (A36) i i (A36) iç çin in ö örnek rnek aslında herhangi bir ? kr. için ? kr. akma dayanımından daha küçüktürMuk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 13 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 • 2 m uz. İki ucu pimli kare kesitli bir çubuğun E=12.5 GPa ve ? ak. =12 MPa. Eksenel basma etkisinde emniyet katsayısı s=2.5 olacak şekilde kritik Euler burkulma yükü a) 100 kN ve b) 200 kN için kesit hesaplayınız. ÇÖZÜM: P kr. =2.5(100)=250 k, L=2m, E=12.5 GPa Kritik Euler yükü I için çözülmeli . 12 10 100 * 100 100000 100 3 . 99 12 10 * 106 . 8 4 4 6 2 2 . ok MPa MPa A P mm mm a a I m E L P I kr ? = = = ? = ? = = = - ? ? 200 k için a=129.1 mm ~130 mm. elde edilir. (akma gerilmesi değerinden) Ö Örnek 1: rnek 1: Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 14 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 • A column with one fixed and one free end, will behave as the upper-half of a pin-connected column. • The critical loading is calculated from Euler’s formula, ( ) uzunluk effektif = = = = L 2 L r L E L EI P e 2 e 2 cr 2 e 2 cr ? ? ? r ; en küçük atalet yarıçapı A I r . min = Extension of Euler Extension of Euler’ ’s Formula s FormulaMuk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 15 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 Bir ucu sabit, bir ucu serbest Her iki ucu pimli Bir ucu sabit, bir ucu pimli Her iki ucu sabit Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 16 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 17 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 (K=1 dir) Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 18 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 r L I e =Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 19 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 Dikdörtgen kesitli L uzunluğunda aluminum çubuk B de ankastre olarak mesnetlenmiştir. A da ise simetri düzleminin bir tarafına doğru (y ekseni doğrultusunda) hareket ilave elemanlarla engellenmiş fakat diğer düzlemde harekete engel yoktur. a) Her iki düzlemde burkulma probleminin aynı anda ortaya çıkması için kesitin a/b oranı ne olmalıdır. b) a ve b ne olmalıdır ?. L = 500 mm E = 70 GPa P = 20 kN s= 2.5 ? ak. =200 MPa Sample Problem 10.1 Sample Problem 10.1 Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 20 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 • Buckling in xy Plane: 12 7 . 0 12 12 , 2 3 12 1 2 a L r L a r a ab ba A I r z z e z z z = = = = = • Buckling in xz Plane: 12 / 2 12 12 , 2 3 12 1 2 b L r L b r b ab ab A I r y y e y y y = = = = = • Most efficient design: 2 7 . 0 12 / 2 12 7 . 0 , , = = = b a b L a L r L r L y y e z z e 35 . 0 = b a SOLUTION: Burkulmaya göre optimum tasarım her iki düzlemde de burkulmaya göre direnç eşit olduğunda olur. Bunun için de narinlik oranlarının eşit olması gerekir. Sample Problem 10.1 Sample Problem 10.1Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 21 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 L = 500 mm E = 70 GPa P = 20 kN s= 2.5 a/b = 0.35 • Design: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 9 2 2 9 2 2 2 464 . 3 10 70 50000 464 . 3 10 70 50 50 20 5 . 2 464 . 3 12 5 . 0 2 12 2 b b b 0.35 b GPa r L E b b 0.35 k A P k k P FS P b b m b L r L e cr cr cr cr y e × = × = = = = = = = = = = ? ? ? ? ? mm.. . 9 . 13 35 . 0 7 . 39 = = = b a mm b Sample Problem 10.1 Sample Problem 10.1 Muk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 22 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 Kontrol : Kontrol : 50 kN 13.9*39.7 = 90.6 MPa < 200 MPa ?50 kN ?50 kN 15 mm x 40 mmMuk Muk Muk. . .- - -II 08 II 08 II 08- - -09 09 09 08. B 08. B 08. BÖ Ö ÖL. BURKULMA L. BURKULMA L. BURKULMA 11 - 23 © © © 200 200 2008 NM 8 NM 8 NM, All rights reserved , All rights reserved , All rights reserved to to to bana. bana. bana. 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 04.05.2009 10:07 2008 2008- -09 II. 09 II. Yar Yarı ıY Yı ıl l END END OF THE OF THE LECTURES LECTURES - -It was a pleasure having you It was a pleasure having you in in my class. my class. - -eehaa eehaa . . .but I . . .but I don don’ ’t t want want to to see see youu youu again again next next sesion sesion - -.. hard .. hard study study and and pass pass … … F Fİ İNALDE BA NALDE BAŞ ŞARILAR ARILAR