Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER 1.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER L İ NEER E Ş İ TL İ KLER 1.1. L İ NEER E Ş İ TL İ KLER İ N TANIMI x1, x2, ..., xn'in n de ğ i ş keni tan ı mlad ığı n ı varsayal ı m. E ğ er n de ğ i ş kenden olu ş an bir e ş itlik, a1x1 + a2x2 +...+ anxn = b ş eklinde ifade edilebiliyorsa bu e ş itlik lineer (do ğ rusal) bir e ş itlik olarak tan ı mlanmaktad ı r. E ş itlikte a1, a2, ..., an ve b sabitleri ifade etmektedir. Bir lineer e ş itlikte, tüm de ğ i ş kenler birinci dereceden olmal ı d ı r. De ğ i ş kenler birbirinin çarp ı m ı veya bölümü ş eklinde ifade edilemezler. E ğ er bir e ş itlik lineer (do ğ rusal) de ğ ilse, do ğ rusal olmayan e ş itlik olarak adland ı r ı l ı r. Bölümlerimizde bundan sonra lineer ve do ğ rusal ifadeleri ayn ı anlamda kullan ı lacakt ı r.1.2. L İ NEER E Ş İ TL İ KLER S İ STEM İ Lineer e ş itlikler sistemi kapsam ı nda; 1.2.1. Lineer E ş itlikler Sisteminin Tan ı m ı ? 1.2.2. Lineer E ş itlikler Sisteminin Çözümü konular ı i ş lenecektir. ? 1.2.1. Lineer E ş itlikler Sisteminin Tan ı m ı n de ğ i ş kenli iki veya daha fazla lineer e ş itlikten olu ş an bir sonlu kümeye lineer e ş itlikler sistemi denir. Lineer denklem (e ş itlikler) sistemimizde x1 = s1, x2 = s2, x3 = s3,...,xn = sn konuldu ğ unda bu de ğ erler tüm e ş itlikleri sa ğ l ı yorsa, s1, s2, ..., sn'e sistemin bir çözümüdür denir. Örne ğ in, yandaki do ğ rusal sistemde oldu ğ u gibi , x 1 = s1, x2 = s2, x3 = s3 gibi de ğ erler her iki e ş itli ğ i de sa ğ l ı yorsa, s1, s2, s3 kümesi ele al ı nan lineer e ş itlikler sisteminin bir çözümüdür. Bu örnek için x1 = 1, x2 = 2 ve x3 = -1 her iki e ş itlikte de yerine kondu ğ unda e ş itlikleri sa ğ lad ığı ndan bir çözüm kümesini olu ş tururlar. Bir veya birden fazla çözümü mevcut olan sisteme (do ğ rusal e ş itlikler sistemi) consistent denir. ? E ğ er sistemin bir çözümü mevcut de ğ il ise sisteme inconsistent denir. ? ? 1.2.1. Lineer E ş itlikler Sisteminin Tan ı m ı (Devam) Do ğ rusal e ş itlikler sisteminin çözümünde ortaya ç ı kacak durumlar ı daha iyi g örebilmek için iki bilinmeyenli ( x, y), a1x + b1y = c1 (l1 do ğ rusu) a2x + b2y = c2 (l2 do ğ rusu) iki do ğ rusal e ş itlik sistemini göz önüne alal ı m. Burada a1, a2, b1, b2, c1 ve c2 sabitlerdir. Her iki e ş itlikte de x ve y de ğ i ş kenlerinin katsay ı lar ı birlikte s ı f ı r de ğ ildir. E ş itliklerin her biri xy düzleminde bir do ğ ru ile ifade edilmektedir. Sistemin çözümü, her iki e ş itli ğ i de sa ğ layan bir de ğ er çifti (x, y) oldu ğ undan, çözüm iki do ğ runun ortak bir noktas ı na kar ş ı gelmektedir. İ ki bilinmeyenli iki do ğ rusal e ş itlikten olu ş an do ğ rusal sistemimizin çözümüne ili ş kin üç durum ortaya ç ı kmaktad ı r.Biz sadece iki de ğ i ş kenli iki do ğ rusal e ş itlikten olu ş an bir do ğ rusal e ş itlikler sistemini göz önüne ald ı k. Genelde m e ş itlik ve n bilinmeyenden olu ş an sistemler göz önüne al ı nacakt ı r. Bu sistemlerin ya sadece bir çözümü, ya sonsuz say ı da çözümü veya hiçbir çözümü mevcut olmayabilir. m do ğ rusal e ş itlik ve n bilinmeyenden olu ş an bir do ğ rusal e ş itlikler sistemi (Lineer sistem) a11x1 +a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 +a22x2 + ... + a2nxn = b2: : : : : : : : am1x+ +am2x2 + ... + amnxn = bm ş eklinde yaz ı labilir. Burada x1, x2, ..., xn bilinmeyenleri, a'lar ve b'ler sabitleri belirtmektedir. 1.2.2. Lineer E ş itlikler Sisteminin Çözümü Bir lineer e ş itlikler sisteminin çözümünün elde edilmesinde kullan ı lan temel yakla ş ı m verilen sistemin ayn ı çözüm kümesine sahip fakat çözülmesi daha kolay yeni bir sistem ile de ğ i ş tirilmesidir. Yeni sistem genel olarak a ş a ğı da belirtilen i ş lemlerin bilinmeyenleri sistematik bir ş ekilde elimine edecek ş ekilde uygulanmas ı yla elde edilir. Önceki sayfada verilen genel lineer denklem sisteminde her bir e ş itlik bir sat ı r olarak ifade edilmektedir. Dolay ı s ı yla yukar ı da verilen i ş lemler, ş eklinde ifade edilir. Bu i ş lemler elementer s ı ra i ş lemleri olarak bilinir. Bu i ş lemlerin temel mant ığı daha az bilinmeyenli alt denklemler elde ederek ve bulunan de ğ erleri ad ı m ad ı m yerine koyarak tüm bilinmeyenlerin bulunmas ı d ı r. Takip eden ekrandaki örnek bu i ş lemlerin lineer denklem sistemlerinin çözümünde nas ı l kullan ı laca ğı n ı gösterecektir. 1.2.2.1. Örnek 2Daha önce ifade edildi ğ i gibi elementer sat ı r dönü ş ümleri yard ı m ı yla verilen lineer denklem sistemi her a ş amada çözümü daha kolay olan ve ayn ı çözüm kümesine sahip yeni bir denklem sistemine dönü ş türülmü ş olur. Örne ğ in 1., 2., 3. ve 4. a ş amalardaki lineer denklem sistemleri ayn ı çözüm kümelerine sahip denk sistemlerdir. 1.3. MATR İ SLER Matrisler kapsam ı nda; 1.3.1. Matris Tan ı m ı ? 1.3.2. İ ki Matrisin E ş itli ğ i ? 1.3.3. Matrisin Bir Say ı (Skalar) ile Çarp ı lmas ı ? 1.3.4. Matris Toplam ı n ı n ve Skalar Çarp ı m ı n ı n Özellikleri ? 1.3.5. İ ki Matrisin Çarp ı m ı ? 1.3.6. Matris Çarp ı m ı n ı n Özellikleri ? 1.3.7. Özel Matrisler konular ı i ş lenecektir. ? 1.3.1. Matris Tan ı m ı m sat ı r ve n sütundan olu ş an soldaki tabloya matris ad ı verilir. Matristeki her bir say ı ya eleman denir. Soldaki matriste m ?n tane eleman vard ı r. Matrisin yatay bir do ğ ru boyunca s ı ralanan elemanlar ı na s ı ra elemanlar ı , dikey bir do ğ ru boyunca s ı ralanan elemanlar ı na sütun elemanlar ı denir. Soldaki matris m s ı ra ve n sütundan olu ş maktad ı r.Matristeki bir eleman ı n yerini belirlemede iki indis kullan ı l ı r. Bunlardan biri eleman ı n hangi sat ı rda, di ğ eri de hangi s ütunda oldu ğ unu belirtir. Örne ğ in aij eleman ı , eleman ı n i'inci s ı ra ve j'inci s ütunda oldu ğ unu belirtir. Benzer ş ekilde a23 eleman ı ikinci sat ı r ve üçüncü sütundad ı r. Matris genelde [aij] ş eklinde ifade edilir. m sat ı r ve n sütundan olu ş an bir matrise m ?n matris denir. E ğ er matrisin sat ı r ve sütun say ı lar ı birbirine e ş it ise, örne ğ in m=n ise, matrise kare matris ad ı verilir. Örne ğ in matrisinde sat ı r ve sütun say ı lar ı m = n = 3 oldu ğ undan bu bir kare matrisidir. a11 = 1, a22 = 4, a33 = -3 elemanlar ı na matrisin asal kö ş egeni denir. Sat ı r matris: Bir sat ı rdan olu ş an matrise sat ı r matris denir. Örne ğ in A = [1, 7, -2, 3] sat ı r matristir. Bir sat ı r ve dört sütundan olu ş mu ş tur. 1 ?4 matristir. Sütun matris: Bir sütundan olu ş an bir matrise sütun matris denir. Örne ğ in matrisi sütun matristir. Üç sat ı r ve bir sütundan olu ş mu ş tur. 3 ?1 matristir. 1.3.1.1. Örnek 3 1.3.2. İ ki Matrisin E ş itli ğ i A ve B gibi iki matrisin boyutlar ı , yani sat ı r ve sütun say ı lar ı ve elemanlar ı benzer ise; iki matris e ş ittir ( A = B ) denir. 1.3.2.1. İ ki Matrisin Toplam ı İ ki Matrisin Toplam ı : A ve B boyutlar ı ayn ı olan iki matris olsun. A+B toplam ı , matrislerin kar ş ı l ı kl ı elemanlar ı n ı n toplam ı olarak olu ş an bir matristir ve C=A+B ş eklinde ifade edilir.İ ki matrisin birbirinden ç ı kar ı lmas ı için toplama özelliklerinin olmas ı gerekir. Gerçekte iki matrisin birbirinden ç ı kar ı lmas ı demek, bu matrislerden birinin (-1) ile çarp ı l ı p di ğ eriyle toplanmas ı demektir: A-B = A + (-1)B İ ki matrisin birbirinden ç ı kar ı lmas ı nda da matrislerin kar ş ı l ı kl ı elemanlar ı ç ı kar ı l ı r. 1.3.3. Matrisin Bir Say ı (Skalar) İ le Çarp ı lmas ı Solda görülen A matrisini göz önüne alal ı m 1.3.4. Matris Toplam ı n ı n ve Skalar Çarp ı m ı n ı n Özellikleri1.3.4.1. Örnek 121.3.5. İ ki Matrisin Çarp ı m ı E ğ er A = [aij] m ?n ve B=[bij] n ?p boyutlu matrisler ise A ve B'nin çarp ı m ı AB = C = [cij] m ?p boyutlu bir matristir. Burada çarp ı m ı n gerçekle ş ebilmesi için A matrisinin sütun say ı s ı (n) ile B matrisinin sat ı r say ı s ı (n)'n ı n ayn ı olmas ı gerekir. Örne ğ in A matrisi 4 ?3 ve B matrisi 3 ?5 boyutlu matrisler ise A ?B mümkündür ve AB = C matrisi 4 ?5 boyutlu bir matristir. E ğ er A matrisi 4 ?3 ve B matrisi 2 ?5 boyutlu ise A matrisinin sütun say ı s ı (n=3) ile B matrisinin sat ı r say ı s ı (n=2) ayn ı olmad ığı ndan matrislerin çarp ı m i ş lemi gerçekle ş mez. A=[aij] ve B=[bij] matrislerinin çarp ı m ı sonucunda (AB) olu ş an C=[cij] matrisinin elemanlar ı ,e ş itli ğ i yard ı m ı yla elde edilir. Çarp ı m i ş leminin nas ı l gerçekle ş ti ğ ini anlayabilmek için ilgili matris çarp ı m ı n ı a ş a ğı daki ş ekilde yazarsak A matrisinin i'inci s ı ra elemanlar ı ile B matrisinin j'inci sütun elemanlar ı n ı n çarp ı mlar ı n ı n toplam ı bize C matrisinin cij'inci eleman ı n ı verecektir. C matrisinin di ğ er elemanlar ı da benzer ş ekilde A matrisinin il gili sat ı r elemanlar ı ile B matrisinin ilgili s ütun elemanlar ı n ı n çarp ı m ı n ı n toplam ı ş eklinde elde edilir. 1.3.5.1. Örnek 13 1.3.5.2. Örnek 14 1.3.6. Matris Çarp ı m ı n ı n Özellikleri 1.3.6.1. Örnek 15 1.3.7. Özel Matrisler Özel Matrisler kapsam ı nda; 1.3.7.1. S ı f ı r Matris ? 1.3.7.2. Transpoze Matris ? 1.3.7.3. Kare Matris ?1.3.7.4. Kö ş egen Matris ? 1.3.7.5. Skalar Matris ? 1.3.7.6. Birim Matris ? 1.3.7.7. Üç Kö ş egenli Matris ? 1.3.7.8. Üst Üçgen Matris ? 1.3.7.9. Alt Üçgen Matris ? 1.3.7.10. Simetrik Matris ? 1.3.7.11. Antisimetrik (skew-symmetric) Matris konular ı i ş lenecektir. ? 1.3.7.1. S ı f ı r Matris Tüm elemanlar ı s ı f ı r olan matristir. E ğ er ele al ı nan s ı f ı r matris m ?n boyutlu ise m0n ş eklinde yaz ı lmal ı d ı r. 1.3.7.2. Transpoze Matris Bir matrisin transpozesini elde etmek için matrisin sat ı r ve sütunlar ı yer de ğ i ş tirir. E ğ er matrisimiz A ise transpozesi A T 'dir. ÇÖ Z Ü M: Örnekten g örüldü ğ ü gibi A matrisinin 1.s ı ra elemanlar ı A T matrisinin 1.s ütun elemanlar ı , A matrisinin 2.s ı ra elemanlar ı A T matrisinin 2.sütun elemanlar ı olarak yer de ğ i ş tirmi ş tir. 1.3.7.3. Kare Matris Sat ı rlar ı n ı n say ı s ı sütunlar ı n ı n say ı s ı na e ş it olan matrise kare matris denir. 1.3.7.4. Kö ş egen Matris Sol tarafta görülen matrisi göz önüne alal ı m. Asal Kö ş egen: Burada a11, a22, a33,..., ann elemanlar ı na asal kö ş egen elemanlar ı denir. Yandaki kare matriste a11 = 1, a22 = 5 ve a33 = 9 elemanlar ı asal kö ş egen elemanlar ı d ı r. Kö ş egen Matris: Asal kö ş egen d ı ş ı nda kalan elemanlar ı s ı f ı r olan kare matrise kö ş egen matris denir. 1.3.7.4.1. Örnek 18 1.3.7.4.2. Örnek 19 1.3.7.5. Skalar Matris Asal kö ş egen elemanlar ı birbirine e ş it olan kö ş egen matrise skalar matris denir. 1.3.7.6. Birim Matris Kö ş egen bir matriste asal kö ş egen elemanlar ı 1'e e ş itse bu matrise birim matris denir. E ğ er matris n ?n boyutlu ise bu In ile gösterilir. 1.3.7.7. Üç Kö ş egenli Matris Bir kare matrisin asal kö ş egeni ve ona biti ş ik kö ş egenlerdeki elemanlar ı hariç di ğ er elemanlar ı s ı f ı r ise bu matrise Üç Kö ş egenli Matris (tridiogonal) ad ı verilir. Bu kö ş egenlerin baz ı elemanlar ı (tümü de ğ il), s ı f ı r de ğ eri olabilir. 1.3.7.8. Üst Üçgen Matris Bir kare matrisin asal kö ş egeninin alt ı nda kalan tüm elemanlar ı s ı f ı r ise bu matrise üst üçgen matris denir. 1.3.7.9. Alt Üçgen Matris Bir kare matrisin asal kö ş egeninin üstünde kalan tüm elemanlar ı s ı f ı r ise bu matrise alt üçgen matris denir. 1.3.7.10. Simetrik Matris Bir kare matriste A T =A ise matris simetrik matris'tir denir. A T =A oldu ğ undan A matrisi simetrik matris'tir denir. Örneklerden de görüldü ğ ü gibi asal k ö ş egene göre simetrik elemanlar birbirine e ş ittir. 1.3.7.10.1. Örnek 26 A T ? A oldu ğ undan A matrisi simetrik de ğ ildir. 1.3.7.11. Antisimetrik (skew-symmetric)Matris Bir kare matriste A T =-A ş art ı gerçekle ş iyorsa, A matrisine antisimetrik matris denir. Buradan A T = -A oldu ğ u g örülür. Dolay ı s ı yla A matrisi antisimetriktir denir. Antisimetrik bir matriste asal kö ş egene göre simetrik elemanlar, birbirlerine mutlak de ğ erce e ş it fakat ters i ş aretlidirler. 1.BOLUM DE Ğ ERLEND İ RME SORULARI