Malzeme Mekaniğinde Özel Konular 2 - Dairesel Olmayan Kesitlerde Burulma Malzeme Mekaniğinde Özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK HAFTA HAFTA 2. 2. Malzeme Mekani Malzeme Mekani ğ ğ inde inde Ö Ö zel Konular zel Konular M M K K MT4 MT4 Dr. Nusret MEYDANLIK nm-2012 DA DA İ İ RESEL OLMAYAN RESEL OLMAYAN KES KES İ İ TLERDE BURULMA TLERDE BURULMA 2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 2 DADRESEL OLMAYAN ELEMANLARIN BURULMASI • MALZEME MEKANDĞD dersinde türetilen burulma ifadele ri eksenel simetrik yada dairesel kesitler için geçerli idi. • Dairesel olmayan millerin düzlem kesitleri burulma sonucunda düzlem kalmaz, gerilme ve genleme dağılımı lineer olarak değişmez. • Başlangıçta kare olan kesit düzlemi burulma momenti uygulandıktan sonra aynı kalmaz, yandaki gibi çarpılır. Gerilme dağılımı dairesel kesitlerde olduğu gibi değildir. • Çünkü ;2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 3 • Köşeden sonsuz küçük birim eleman seçtiğimizde, kübün y eksenine dik düzlemlerinin hepsi serbest yüzeydir, all stresses on this free faces must be zero, • no stresses—occur along the edges of the bar, while the largest deformations—and, thus, the the largest largest stresses stresses— —occur occur along along the the center center line line of of each each of of the the faces faces of of the the bar. bar. DADRESEL OLMAYAN ELEMANLARIN BURULMASI 2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 4 from the mathematical theory of elasticity for straight bars with a uniform rectangular cross section will be indicated here for convenience. Dikd Dikdö örtgen kesit i rtgen kesit iç çin in; ; the maximum shearing stress occurs along the center line of the wider face of the bar and is equal to , DADRESEL OLMAYAN ELEMANLARIN BURULMASI The angle of twist, may be expressed as • The coefficients c 1 and c 2 depend only upon the ratio a/b and • are valid valid only only within within the the elastic elastic range range.2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 5 DADRESEL OLMAYAN ELEMANLARIN BURULMASI • uniform kalınlıktaki ince levhalarda formun kayma gerilmesine etkisi yoktur. Hacim aynı ise dikdörtgen kesitli eleman gibi hesap yapılabilir. eşittir. G b a TL b a T 3 2 max 3 3 = = ? ? Dikd Dikdö örtgen kesit i rtgen kesit iç çin in • a/b nin büyük değerlerinde ; c 1 =c 2 ? 1/3 alınabilir 2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 6 DNCE CIDARLI DÇD BOŞ MDLLER (Thin-Walled Hollow Shafts) (t?R/10) A t T A t T . min . max 2 , 2 = = ? ? ? = t ds G A TL 2 4 ? • Angle of twist, ds A A : kalınlık kesitinin yarısıyla sınırlanan alan Tüp için ifadeler; t R G T t R G R L T t R T 3 2 2 2 . max 2 2 . ) ( 4 2 ? ? ? ? ? ? = = = R t T burulma momenti etkisindeki içi boş milin kesitinde herhangi bir noktadaki kayma gerilmesi, aşağıda gösterilen A alanı yardımıyla ,2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 7 Ö ÖRNEK RNEK- -1 : 1 : aynı kesit alanına sahip olan üç milin emniyetle taşıyabileceği en büyük burulma momentini bulun. Mil malzemesinin hasarlanmadan taşıyabileceği en büyük kayma gerilmesi ? em. = 40 MPa. 2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 8 1. Kare kesitli 1. Kare kesitli ç çubuk i ubuk iç çin ; in ; 2. Dikd 2. Dikdö örtgen kesitli rtgen kesitli ç çubuk i ubuk iç çin ; in ;2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 9 3. Kare t 3. Kare tü üp kesitli p kesitli ç çubuk i ubuk iç çin ; in ; Sınırlı alan ; A= MPa 40 A t 2 T 3 ? = ? • •A Ağı ğırl rlı ık a k aç çı ıs sı ından ndan ~ ~%30 kazan %30 kazanç ç var var 4. 4. DD ç çi dolu dairesel bir mil olsa i dolu dairesel bir mil olsa A=1600 mm 2 =?.d 2 /4 ? d? 45 mm olur ve T T ? ? 716 716 Nm Nm olur, 5. 5. DD ç çi bo i boş ş mil olursa mil olursa (boyut s (boyut sı ın nı ır rı ı varsa D varsa D? ? 56 mm olmal 56 mm olmalı ı ) ) d d =48 mm ve d i =30 mm ? A=1100 mm 2 olur ve T T ? ?7 36 7 36 Nm Nm d d =56 mm ve d i =40 mm ? A=1205 mm 2 olur ve T T ? ?1020 1020 Nm Nm • •A Ağı ğırl rlı ık a k aç çı ıs sı ından ndan ~ ~%25, ta %25, taşı şınabilecek nabilecek Tork Tork a aç çı ıs sı ından % 100 kazan ndan % 100 kazanç ç var var 2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 10 Ö ÖRNEK RNEK- -2 : 2 :2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 11 a) Sınırlı alan A=96 * 56 = 5376 mm 2 MPa 8 . 62 A t 2 T = = ? MPa 7 . 83 A t 2 T AC AB = = =? ? b) Sınırlı alan A=96 * 56 = 5376 mm 2 MPa 2 . 50 A t 2 T CD BD = = =? ? Dikkat edilirse kayma gerilmesi sadece kalınlığa bağlıdır 2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 12 PRB PRB- -1 : 1 : Each of the two aluminum bars shown is subjected to a torque of magnitude T=1800 Nm. Knowing that G=26 GPa, determine for each bar the maximum shearing stress and the angle of twist at B. PRB PRB- -2: 2: Determine the largest torque T that can be applied to each of the two aluminum bars shown and the corresponding angle of twist at B, knowing that ? s =50 MPa and G=26 GPa. (40.1 (40.1 MPa MPa, 0.653 , 0.653° °) ) (a) 2.25 (a) 2.25 kNm kNm; 0.8158. (b) 1.770 ; 0.8158. (b) 1.770 kNm kNm; 0.9018. ; 0.9018. Ç ÇALI ALIŞ ŞMA PROBLEMLER MA PROBLEMLERİ İ : :2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 13 PRB PRB- -3: 3: Shafts A and B are made of the same material and have the same cross-sectional area, but A has a circular cross section and B has a square cross section. Determine the ratio of the maximum torques T A and T B that can be safely applied to A and B, respectively. PRB PRB- -4: 4: Shafts A and B are made of the same material and have the same length and cross-sectional area, but A has a circular cross section and B has a square cross section. Determine the ratio of the maximum values of the angles ? A and ? B through which shafts A and B, respectively, can be twisted. (T (T A A /T /T B B =1.356) =1.356) ( (? ? B B / /? ? A A =1.198 =1.198) ) Ç ÇALI ALIŞ ŞMA PROBLEMLER MA PROBLEMLERİ İ : : 2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 14 A 3-m-long steel angle has an L203x 152x12.7 cross section. the thickness of the section is 12.7 mm and that its area is 4350 mm 2 . Knowing that ? s =50 MPa and that G=77.2 GPa, and ignoring the effect of stress concentrations, determine (a) the largest torque T that can be applied, (b) the corresponding angle of twist. PRB PRB- -5: 5: A torque T=750 kNm is applied to the hollow shaft shown that has a uniform 8-mm wall thickness. Neglecting the effect of stress concentrations, determine the shearing stress at points a and b. PRB PRB- -6: 6: (a) 70.8 (a) 70.8 Nm Nm. (b) 8.778. . (b) 8.778. ( (? ?=18.67 =18.67 MPa MPa) ) Ç ÇALI ALIŞ ŞMA PROBLEMLER MA PROBLEMLERİ İ : :2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 15 A 4-m-long steel member has a W310x60 cross section. Knowing that G=77.2 GPa and that the allowable shearing stress is 40 MPa, determine (a) the largest torque T that can be applied, (b) the corresponding angle of twist. Neglect the effect of stress concentrations. PRB PRB- -7: 7: (a) 1009 (a) 1009 Nm Nm. (b) 9.078. . (b) 9.078. Ç ÇALI ALIŞ ŞMA PROBLEMLER MA PROBLEMLERİ İ : : 2. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 16 A torque T=5 kNm is applied to a hollow shaft having the cross section shown. Neglecting the effect of stress concentrations, determine the shearing stress at points a and b. PRB PRB- -8: 8: A 90-Nm torque is applied to a hollow shaft having the cross section shown. Neglecting the effect of stress concentrations, determine the shearing stress at points a and b. PRB PRB- -9: 9: 4.73 4.73 MPa MPa at a; 9.46 at a; 9.46 MPa MPa at b. at b. (52.5 (52.5 MPa MPa at a; 31.5 at a; 31.5 MPa MPa at b) at b) Ç ÇALI ALIŞ ŞMA PROBLEMLER MA PROBLEMLERİ İ : :