Genel Konular 2 - Vektörler ve kuvvetler Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 BÖLÜM 2 VEKTÖRLER VE KUVVETLERProf. Dr. Muzaffer TOPCU 2 2.1 2.1 G G İ İ R R İŞ İŞ Çevremizdeki büyüklükler, alan, hız, hacim, kütle vb. genellikle iki şekilde adlandırılır. Skaler ve vektörel büyüklükler. Skaler : Sadece fiziki büyüklü ğüo l a n s ıcaklık, kütle, alan gibi de ğerlere skaler diyoruz. Vektör : Fiziki büyüklü ğüy a n ında birde yönü ve do ğrultusu olan hız, ivme, kuvvet ve moment gibi de ğerler vektör olarak adlandırılır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 3 1.2.1 Kuvvet 1.2.1 Kuvvet Vektörel ifadeleri skalerden ayırmak için ya üzerinde bir ok( ) veya alt cizgi ( ) olarak gösterilirler. Vektörler kendi do ğrultusunda kaydırılabiliyorsa bunlara kayan vektör ba şlangıçn o k t a s ı sabit ise böyle vektörlerede ba ğlı vektörler denir. Skaler büyüklükler için geçerli olan dört i şlem (toplama, çıkarma, çarpma bölme) ve di ğer matematiksel (türev, integral) i şlemler vektörler içinde vektörlere has yöntemlerle yapılabilmektedir. v r - vProf. Dr. Muzaffer TOPCU 4 2.1 VEKT 2.1 VEKT Ö Ö RLER RLER İ İ N TOPLANMASI VE N TOPLANMASI VE Ç Ç IKARILMASI IKARILMASI Bilinen iki vektör ve olsun. Bu iki vektörün taplamına diyelim. Paralel kenar kanunu vasıtasıyla şekil 2.1’de bu toplam = A + B şeklinde verilir. A ve B, vektörlerin boylarını gösterdi ğine göre vektörlerin toplamı geometrik olarak şekil 2.1 gibi verilebilir. A r B r R r R rProf. Dr. Muzaffer TOPCU 5 Şekil 2.1 İki vektörlerin toplanmasının geometrik gösterimiProf. Dr. Muzaffer TOPCU 6 Bu vektörlerin arasındaki açı ise toplamın şiddeti şu şekilde yazılabilir. Vektörün şiddeti iki cizgi arasında gösterilir. ? R = ) ( 2 2 2 ? ABCos B A ± + B vektörü ile R vektörünün yaptı ğı açı şu şekilde yazılabilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 7 ) cos( ) sin( arctan ? ? ? A B A + = Vektörlerin toplanması için dört temel metot vardır. a..) Paralel kenar metodu b..) Üçgen metodu c..) Poligon metodu d..) Analitik metotProf. Dr. Muzaffer TOPCU 8 a..) Paralel kenar metodu a..) Paralel kenar metodu Bir noktada kesi şen iki vektör bir paralel kenara tamamlanırsa vektölerin kesim noktasından geçen kö şegen o vektörlerin toplamına e şittir. Paralel kenara tamamlama ölçekli bir çizimle yapıldı ğında kö şegenin boyu ölçülerek bile şke kuvvetin şiddeti bulunabilece ği gibi cebirsel olarakta bile şke kuvvetin şiddeti ve yönü hesaplanabilir. Şekil.2.2’de geometrik çizim verilmi ştirProf. Dr. Muzaffer TOPCU 9 Şekil 2.2 Paralel kenar kuralı ile kuvvetlerin toplanmasıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 10 (OML) üçgeninden bile şke kuvvet a şa ğıdaki gibi yazılabilir _ OM R [ ] 2 / 1 2 2 ) sin( ( )) cos( ( ? ? A A OK + + = = R [ ] 2 1 2 2 ) ( 2 ? ABCos B A + + = Ayrıca yukarıdaki dik (OML) üçgenindenProf. Dr. Muzaffer TOPCU 11 ) cos( ) sin( ) tan( ? ? ? A B A + = = ? ) cos( ) sin( ? ? A B A + tan -1 daha önce buldu ğumuz formüller ile aynı ifadeleri bulduk. O halde paralel kenar kuralı ile vektörlerin toplamı ve yönü bulunabilmektedir diyebiliriz. Ayrıca yukarıdaki formüllerden şu özel durumlar söylenebilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 12 R [ ] 2 1 2 2 ) B A + 1. ?=0 o iki vektör çakı şıktır. 2. ?=90 o iki vektör birbirine diktir. Bu durumda şunlar yazılabilir. = 3. ?=180 o ise iki vektör aynı doğrultudada olup yönleri zıttır. R r A r B r = ? = ? = - ise 0 o ve B> A veya 180 o ve B< A dir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 13 b..) b..) Üç Üçgen Metodu gen Metodu A r B r A r B r A r B r R r A r B r R r ve verilen iki vektör ise vektörünün ucundan(ok tarafı) vektörüne paralel ve aynı şiddette bir vektör çizilir. vektörünün ba şlangıç noktası ile vektörünün uc noktasını birle ştiren do ğru bili şke vektörünün şiddetini dan ye do ğru yönü bulunur. Şekil 2.3’de üçgen metodunun uygulaması görülmektedir. ninProf. Dr. Muzaffer TOPCU 14 Şekil 2.3 üçgen metodunun uygulamasıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 15 c..) Poligon Metodu c..) Poligon Metodu Bu metot üçgen metodun geni şletilmi ş halidir. İkiden fazla vektörün toplanması için kullanılan geometrik bir toplama metodudur. Bilinen üç vektör A,B,C olsun vektörlerden birini çizdikten sonra di ğer vektörleri kendi yön ve do ğrultusuna sadık kalarak çizilen ilk vektörün uç noktası ile di ğer vektörün ba şlangıcı birle ştirilir. Aynı i şlem sonraki vektör içinde uygulanır. İlk çizilen vektörün ba şlangıç noktası ile son cizilen vektörün bitim noktası birle ştirilirse R bile şke kuvveti; şiddet ve yön olarak bulunmu ş olur. Burada i şlem sırası ve vektörlerin birbirini kesmesi önemli de ğildir. Şekil 2.4’de üç vektör için metodun uygulanı şı gösterilmi ştir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 16 Şekil 2.4 Poligon metoduProf. Dr. Muzaffer TOPCU 17 d..) Analitik Metot d..) Analitik Metot Bir vektörü (birbirine dik do ğrultularda) kartezyen koordinat sisteminde iki bile şene ayırmak mümkündür. Vektörün eksenlerden birisi ile yaptı ğı açı ? ise .Vektör sin( ?) ve cos( ?) ile çarpılarak dik koordinatlardaki izdü şümü bulunabilir. Şekil 2.5’de görüldü ğü gibi vektör x ve y eksenleri yönünde bile şenlere ayrılabilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 18 Şekil 2.5 Bir vektörün bile şenlere ayrılmasıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 19 Şekil de bir kuvvet için yapılan bu bile şenlere ayırma birden fazla vektör içinde yapılabilir. Sonra bu bile şenler cebirsel olarak toplanırlar. Bütün vektörlerin x yönündeki bile şenleri Rx ve y yönündeki bile şenleri Ry olmak üzere bu i şlemler birden çok kuvvet için yapılmı ş ise, ? = Rx F 1x + F 2x + F 3x +................+ F nx ? = Ry F 1y + F 2y + F 3y +................+ F nyProf. Dr. Muzaffer TOPCU 20 Vektörlerin toplamı [ ] 2 1 2 2 ) ( ) ( ?? + = Ry Rx R ve = ? ? ? Rx Ry tan -1 İfadeleri yazılabilir. E ğer R=0 ise ? = Rx 0 ve ? = Ry 0 olması gerekti ği toplamanın özelli ğinden görülmektedir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 21 Ö Örnek 1 rnek 1Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 22Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 23 Şimdiye kadar bir düzlem içinde bulunan vektörlerden bahsettik.Uzayda yukarıdaki yöntemlerle vektörel i şlemleri yapmak zordur. Uzayda vektörleri üç dik eksendeki bile şenleri ile yazmak gerekir. Bunun için birim vektörleri tanımlamak gerekmektedir. Bu vektörler sırasıyla x,y,z eksenleri boyunca i, j, k olarak bilinir. Bu vektörlerin boyları bir birimdir. Bir skaler ile bir vektörün çarpımıda aynı yönde bir vektör vermesi tanımından, uzaydaki bir vektörü a şa ğıdaki gibi yazabiliriz.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 24 Şekil 2.6 Birim vektörProf. Dr. Muzaffer TOPCU 25 Düzlemde bir vektörün gösterilimi ve birim vektörler Şekil 2.7’deki gibidir. i F i F F y x + = 2 2 y x F F F + = () x y F F = ? tan k Fz j Fy i Fx F r r r r + + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 26 Şekil 2.7 Şekil 2.7Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 27 F r F r Burada Fx , Fy, Fz skaler terimleri, sırasıyla x,y,z eksenleri yönündeki bile şenlerinin şiddetleridir. Şekil 2.8’de uzayda bir F r bile şenleri gösterilmi ştir. Şekilden de anla şılaca ğı gibi Fx , Fy , Fz bile şenleri üç noktasının koordinatlarıdır. O halde vektörün ba şlangıç noktası orijin ve bitim noktasının koordinatları (x 2, y 2 ,z 2 ) olarak verilirse, k z j y i x F r r r r 2 2 2 + + = 2 2 2 2 2 2 z y x F + + = rProf. Dr. Muzaffer TOPCU 28 Şekil 2.8 vektörün bile şenleri ve birim vektörlerProf. Dr. Muzaffer TOPCU 29 Sırasıyla x, y, z eksenleri ile vektörün yaptı ğı açılar (a), (b), (g) ise, 2.2.1 Do 2.2.1 Do ğ ğrultman Kosin rultman Kosinü üsleri: sleri: Cos(a), Cos(b), Cos(g)’dır. Do ğrultman kosinüsleri arasında şu ba ğıntı vardır. Cos2(a)+ Cos2(b)+ Cos2(g) =1Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 30 Do ğrultman kosinüslerini vektörlerin bile şenleri ve şiddetlerine ba ğlı olarak a şa ğıdaki gibi yazabiliriz. A vektörü do ğrultusundaki (boyunca) birim vektör ? A ise şu şekilde tanımlanabilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 31 E ğer bilinen vektörler F 1 , F 2 ,...............F n ise bu vektörlerin toplamı R F r vektörü şu şekilde yazılabilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 32 2.2.2 Uzayda 2.2.2 Uzayda İ İki Nokta Aras ki Nokta Arası ında Tan nda Tanı ımlanm mlanmı ş ı ş Kuvvetler Kuvvetler E ğer koordinat eksenleri vektörün ba şlangıcında geçmiyor ve ba şlangıç noktası A(x1, y1, z1) ve bitim noktası B(x2, y2, z2) olarak verilmi ş bir F r vektörü şöyle yazılabilir. Şekil 2.9’da böyle bir vektörü göstermektedir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 33 Şekil 2.9 İki nokta arasında tanımlanan kuvvetlerProf. Dr. Muzaffer TOPCU 34 A-B do ğrusu üzerindeki birim vektör şu şekilde tanımlanabilir. A-B boyunca meydana gelen vektör ve de ğeri, A-B nin koordinatlarından tanımlanabilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 35 2.3 VEKT 2.3 VEKTÖ ÖRLERDE RLERDE Ç ÇARPMA ARPMA Vektörlerde çarpma i şlemi denilince a şa ğıdaki dört tip çarpma akla gelir. a) Bir skalerin bir vektörle çarpımı b) İki vektörün skaler çarpımı c) İki vektörün vektörel çarpımı d) ikiden fazla vektörün skaler ve vektörel çarpımı Bunları sırasıyla ele alalım.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 36 a ) Bir a ) Bir skalerin skalerin bir vekt bir vektö örle rle ç çarp arpı ım mı ı Skaler sayı a olsun vektörde F ise skaler çarpım, S r F r olarak yazılabilir. Burada vektörünün şiddeti, a skaleri ile vektörünün şiddetinin çarpımına e şittir. S’nin do ğrultusu F ile aynı olup,Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 37Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 38 Ö Örnek 2 rnek 2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 39 b) b) İ İki vekt ki vektö ör rü ün n skaler skaler ç çarp arpı ım mı ı A r B r Verilen iki vektör ve olsun. Bu iki vektörün skaler çarpımı; Şekil 2.10 Skaler çarpımın geometrik anlamıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 40 z z y y x x B A B A B A AB B A + + = = ) cos( . ? r r diye okunur. AB skalerdir ve Şekil 2.10’daki taralı dikdörtgenin alanını verir. E ğer iki vektör birbirine dik ise ?=90 o ve cos90=0 oldu ğu için skaler çarpım sıfır olur. Di ğer bir ifade ile skaler çarpımları sıfır olan iki vektör birbirine diktir. ?=0 o , cos0=1 olur ve skaler çarpım, bu iki vektörün şiddetleri çarpımına e şittir. B birim vektör ise, skaler çarpım A nınB d o ğrultusundaki bile şeninin şiddetini verdi ği Şekil 2.10’dan görülmektedir (OH=Acos ?)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 41 Yukarıdaki açıklamalardan i,j,k birim vektörlerinin skaler çarpımı şöyle yazılabir. 1 . . . = = = k k j j i i r r r r r r ve 0 . . . = = = k j k i j i r r r v r r Birim vektörler cinsinden verilmi ş iki vektör. k A j A i A A z y x r r r r + + = ve k B j B i B B z y x r r r r + + = olsun bu iki vektörün skaler çarpımı; z z y y x x B A B A B A B A + + = r r .Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 42 Skaler çarpım (.) ile gösterilmektedir.Bir vektörün kendisiyle çarpımı: 2 2 2 2 . z y x A A A A A A + + = = r r 2 2 2 z y x A A A A + + = ve Buradan şöyle diyebiliriz. Bir vektörün şiddeti kendisiyle kaler çarpımının kareköküdür.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 43 Ö Örnek 3 rnek 3Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 44 c) c) İ İki vekt ki vektö ör rü ün n vekt vektö örel rel ç çarp arpı ım mı ı Bilinen iki vektör, k A j A i A A z y x r r r r + + = ve k B j B i B B z y x r r r r + + = olsun, bu iki vektörün vektörel çarpımı; B x A C r r r = olarak yazılır ve A vektörel çarpım B diye okunur. Burada çarpım yine bir vektördür. C vektörünün şiddeti; C=A.B.Sin ?’Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 45 Ve A-B vektörlerine diktir. Yönü sa ğ el kuralına göre bulunur. Şekil 2.11’ de sa ğ el kuralı ve iki vektörün vektörel çarpımından elde edilen C vektörü ve yönü görülmektedir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 46Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 47 Burada sırasıyla x,y,z yönlerindeki birim vektörler i,j,k ise bu vektörlerin vektörel çarpımı; 0 = = = k x k j x j i x i r r r r r r i k x j j k x i k j x i = = = r r r r v r r r , , i j x k j xi k k i x j - = - = - = r r r r r r r , ,Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 48 Bu çarpımdan da vektörün yönü görülmektedir. Ayrıca Şekil 2.11’den vektörel çarpmada B x A r r A x B r r - = oldu ğundan çarpma sırası önemlidir. Paralel iki vektörün çarpımı sıfırdır. Bir ba şka ifade ile çarpımları sıfır olan iki vektörün, vektörel çarpımı sıfır ise bu iki vektör paraleldir. Geometrik olarak vektörel çarpımın manası. çarpılan iki vektörün meydana getirdikleri paralel kenarın alanını vermektedir.. İki vektör birim vektörler cinsinden verilmi ş ise bu iki vektörün vektörel çarpımı aşa ğıda verilmi ştir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 49 = = B x A C r r r ) ( ) ( k B j B i B x k A j A i A z y x z y x r r r r r r + + + + Bu çarpımın sonucu a şa ğıdaki matrisin determinatının açılımıdır. k B A B A j B A B A i B A B A B B B A A A k j i x y y x x z z x y z z y z y x z y x r r r ) ( ) ( ) ( - + - - - =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 50 2.4 MADDESEL NOKTANIN DENGES 2.4 MADDESEL NOKTANIN DENGES İ İ Newton’un birinci kanuna göre bir maddesel noktaya etkiyen bile şke kuvvet 0 ise maddesel nokta hareketsiz kalır. E ğer ba şlangıçta bir hızı varsa sabit hızla do ğrusal hareket yapar. Bu kanuna göre uzayda bir noktada kesi şen kuvvetlerin statik dengesi için bile şke kuvvet R=0 olmalıdır. Bile şenler halinde yazılacak olursa ?Fx=0, ?Fy=0, ?Fz=0 şartı bulunmalıdır. Bunlara denge denklemi adı verilir. E ğer kuvvetler çokgeni çizilmi ş ise bile şke kuvvetin sıfır olma şartı yerine getirilebilmesi için çokgenin ba şlangıç noktasının tekrar kapanması gerekir. Düzlemde denge denklemleri iki tanedir. Kuvvet dengesinde ayrıca momentlerin dengesi için de bir denklem daha yazmak gerekir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 51 c) Kuvvet Diyagramı a) Durum diyagramı b) Serbest Cisim Diyagramı Şekil 2.12Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 52 Şekil 2.12’de görüldü ğü gibi problemin fiziksel şartlarının gösterilmesi durum diyagramı, cisim izole edilir ve etki eden kuvvetler gösterilirse buna serbest cisim diyagramı denir. Problem denge denklemleri yardımıyla çözülebilir. Çözümde kullanılan yalnızca kuvvetlerin gösterildi ği diyagrama kuvvetler diyagramı denir. Meselâ kuvvetler üçgeninde kuvvetleri belirleyen sinüs denklemleri; )) ( 180 sin( sin sin ß ? ? ß + - = = P T T Ac ABProf. Dr. Muzaffer TOPCU 53 Denge denklemleri ile çözmek istersek;Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 54 ÇÖ ÇÖ Z Z Ü Ü ML ML Ü Ü PROBLEMLER PROBLEMLER Problem 1: Problem 1: 500 N C A B 30 o ? Şekildeki çerçeveye 500N’luk kuvvet etki etmektedir. F AC =400N ise F BA ’yı hesaplayınız. Ayrıca ? açısını bulunuz.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 55 Çö Çöz zü üm m : : 500 N ? F AC =400 N F BA 30 o 60 o 500 N ? F AC =400 N F BA 60 o ? o Sin Sin Sin Sin 9 , 43 ) 60 ( 500 400 60 500 400 = = = ? ? ? 0 1 , 76 9 , 43 60 180 = - - = ? ? ? ? Sin F Sin BA = 400 N F BA 560 =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 56 Problem Problem 2 2: : F 2 =250 N y x F 1 =400 N F 3 =200 N 3 4 5 45 o Bile şke kuvveti ve x ekseni ile yaptı ğı açıyı bulunuz.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 57 Çö Çöz zü üm m : : ‹ - = - + - = ? = ? N R Cos R F x x x 2 , 383 5 4 . 200 45 . 250 400 0 ^ = + = ? = ? N R Sin R F y y y 8 , 296 5 3 . 200 45 . 250 0 o N R R 8 , 37 2 , 383 8 , 296 tan 485 8 , 296 ) 2 , 383 ( 1 2 2 = ? ? ? ? ? ? = = + - = - ? y ? R x R y =296,8 N R x =-383,2 NProf. Dr. Muzaffer TOPCU 58 Problem Problem 3 3: : y x F 1 =(60j+80k) N z F 2 =(50i-100j+100k)N F 1 ve F 2 kuvvetlerinin bile şkesinin şiddetini ve x, y, z eksenleri ile yaptı ğı açılar hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 59 Çö Çöz zü üm m : : y x R z O ? ? ß k j i R k j i k j R F F R 180 40 50 ) 100 100 50 ( ) 80 60 ( 2 1 + - = + - + + = + = N R R 191 180 ) 40 ( 50 2 2 2 = + - + = k j i k j i R R 9422 , 0 2094 , 0 2617 , 0 191 180 40 50 + - = + - = = ? ? Cos ?=0,2617 Cos ß=-0,2094 Cos ?=0,9422 ?=74,8o ß= 102o ?=19,6oProf. Dr. Muzaffer TOPCU 60 Problem Problem 4 4: : y x F=4 kN z 60 o 30 o F kuvvetinin xy düzlemi ile yaptı ğı açı 30 o ise F kuvvetinin bile şenlerini bulunuz.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 61 Çö Çöz zü üm m : : y x F=4 kN z 60 o 30 o Fy F z F x F ’ kN k j i F kN Sin Sin F F kN Cos Cos F F kN Sin F kN Cos F y x z ) 2 3 73 , 1 ( 3 60 . 46 , 3 60 '. 73 , 1 60 . 46 , 3 60 '. 2 30 . 4 46 , 3 30 . 4 ' + + = = = = = = = = = = =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 62 Problem Problem 5 5: : 45 o 60 o 120 0 x F 1 y F 2 z Bir kancaya F 1 =300N ve F 2 =700N kuvvetleri etki etmektedir. Bile şkenin y ekseni üzerinde 800N olabilmesi için F 2 kuvvetinin bile şenlerini ve x, y, z eksenleri ile yaptı ğı açıları hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 63 Çö Çöz zü üm m : : k j i j j i F F F F F F R R R R k j i z y x 150 150 212 120 cos 300 60 cos 300 45 cos 300 cos cos cos 1 1 1 1 2 1 - + = + + = + + = + = + + = ß ß ? v v v v v v v 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 , 77 cos 700 150 8 , 21 cos 700 650 108 cos 700 212 cos 650 150 800 150 212 0 212 = = = = = = - = = + = = - = = + = ? ? ß ß ? ? ? F F N F F N z F N x F x F i R x y y x k F j F i F j F F R R R k z F j y F i x F F z y x j yj ) 150 ( ) 150 ( ) 212 ( 800 800 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 1 2 2 2 2 + - + + + + = + = = = + + = v v v v vProf. Dr. Muzaffer TOPCU 64 Problem Problem 6 6: : W=m.g D E C B A 60 0 45 0 Verilen sistemde BC kablo kuvveti ile CD yay kuvvetini hesaplayınız. (W=60 N)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 65 Çö Çöz zü üm m : : y x F 2 F 1 =60 N 60 0 T W F 1 N F T F T F T F T F F y x 64 , 34 60 cos . 28 , 69 60 sin 60 0 60 sin . 0 60 cos . 0 0 2 2 2 = = = = = - = + - = = ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 66 Problem Problem 7 7: : 5 o 20 o 4 kN 2 kN 15 m 20 m A B Kuvvetleri bilinen iki kablo B noktasına ba ğlanmı ştır. Üçüncü bir AB kablosu ba ğ teli olarak kullanılmaktadır. Bu tel A dan B’ ye ba ğlanmı ştır. AB’deki kuvvet ne olmalıdır ki üç kablonun bile şkesi dü şey olsun.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 67 Çö Çöz zü üm m : : []()( ) kN F F Cos Cos R F F F BA j i BA A B BA BA x BA BA BA 7 0 25 20 25 . 4 5 . 2 0 25 15 25 20 . 25 15 20 15 20 ) 0 , 20 ( ) 15 , 0 ( 2 2 = = + - - = - = = - + = - = ? rProf. Dr. Muzaffer TOPCU 68 Problem Problem 8 8: : x z y 2 m 6 m B C A 8 m 3 m AB kablosundaki kuvvet 350 N, BC kablosundaki kuvvet 450 N dur. Kablodan B noktasına gelen kuvvetlerin bile şkesini bulunuz.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 69 Çö Çöz zü üm m : : A(0,3,8) B(6,0,6) C(0,3,0) 9 36 9 36 7 4 9 36 6 3 6 2 3 6 = + + = = + + = - + - = + + - = BC BA k j i BC k j i BA k j i R F F R k j i F k j i F k j i F k j i F B BA BC B BC BA BC BA 200 300 600 300 150 300 ) 100 150 300 ) 6 3 6 ( 9 450 ) 2 3 6 ( 7 350 - + - = + = - + - = + + - = - + - = + + - = x z y 6 m B C A F BC F BA