Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler 2.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER 2.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER L İ NEER S İ STEMLER İ N MATR İ S KULLANILARAK ÇÖ Z Ü M Ü 2.1. L İ NEER DENKLEM S İ STEMLER İ N İ N MATR İ S NOTASYONU GÖSTER İ M İ m e ş itlik (denklem) ve n bilinmeyenden olu ş an lineer denklem sisteminin matrisler ile gösterimi a ş a ğı da g österildi ğ i gibidir. Daha önce de belirtildi ğ i gibi x1, x 2, ..., x n bilinmeyenleri, a'lar ve b'ler ise sabitleri ifade etmektedir. 2.1.1. Artt ı r ı lm ı ş (Augmented) Matris matrisine artt r lm ş matris denir.2.2. SATIR E Ş DE Ğ ER MATR İ SLER Bu k ı s ı mda elementer sat ı r i ş lemleri tan ı m ı ve bir matrisin sat ı r e ş de ğ er matris ş eklinde ifade edilmesi örnekleriyle birlikte incelenecektir. 2.2.1. Elementer Matris İ ş lemleri Tan ı m ı ? 2.2.2. Bir Matrisin Sat ı r E ş de ğ er Matris Ş eklinde İ fade Edilmesi ? 2.2.1. Elementer Sat ı r İ ş lemleri Tan ı m ı Bir A matrisindeki elementer sat ı r i ş lemleri a ş a ğı daki i ş lemlerden biri olarak tan ı mlanmaktad ı r. 2.2.1.1. Örnek 4Matrislere ili ş kin elementer sat ı r dönü ş ümleri (i ş lemleri) yap ı ld ığı nda her defas ı nda A matrisinin ba ş ı ndan ba ş lama zorunlulu ğ u yoktur.2.2.1.2. Örnek 5 2.2.2. Bir Matrisin Sat ı r E ş de ğ er Matris Ş eklinde İ fade Edilmesi Bir matris e ğ er a ş a ğı da belirtilen kurallar sa ğ lan ı rsa sat ı r e ş de ğ er matris (Row echelon form) ş eklindedir denir. 2.2.2.1. Örnek 6, 7, 8, 9, 10 ve 112.3. GAUSS ve GAUSS-JORDAN EL İ M İ NASYON YÖNTEMLER İ Lineer denklem sistemlerinin çözümünü elde etmede kullan ı lan birçok yöntem vard ı r. İ zleyen k ı s ı mlarda bu yöntemlerden ikisi olan Gauss ve Gauss-Jordan yöntemleri tan ı t ı lacakt ı r. Burada n ?n boyutlu lineer denklem sistemleri ele al ı nacakt ı r. Daha sonraki bölümlerde m ?n boyutlu lineer denklem sistemlerinin çözümlerinden bahsedilecektir. 2.3.1. Gauss Yöntemi ş eklinde verilen bir lineer denklem sisteminin katsay ı lar matrisi A'n ı n ve artt ı r ı lm ı ş matrisin 'nin ş eklinde tan ı mland ığı önceki bölümde ele al ı nm ı ş t ı . Elementer sat ı r dönü ş ümleri yard ı m ı yla artt ı r ı lm ı ş matris 'nin A katsay ı lar k ı sm ı asal kö ş egen elemanlar 1 olan bir üst üçgen matris haline dönü ş türülürse matrisi yandaki ş eklini al ı r. Verilen katsay ı lar matrisinin elementer sat ı r dönü ş ümleri yard ı m ı yla yanda belirtilen e ş de ğ er bir matrisine dönü ş türülerek lineer denklem sisteminin çözümünün elde edilmesi i ş lemi Gauss Eliminasyon Yöntemi olarak bilinmektedir. 2.3.1.1. Örnek 12 2.3.1.2. Örnek 13 2.3.2. Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemi art ı r ı lm ı ş matrisinin, elementer sat ı r dönü ş ümleri yard ı m ı yla, asal k ö ş egen elemanlar ı 1 olan yandaki matrise dönü ş türüldü ğ ünü varsayal ı m. Verilen katsay ı lar matrisinin elementer sat ı r dönü ş ümleri yard ı m ı yla yanda verilen e ş de ğ er bir matrise dönü ş türülerek lineer denklem sisteminin çözümünün elde edilmesi i ş lemi Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemi olarak bilinmektedir. 2.3.2.1. Örnek 14 2.4. TERS MATR İ S Bu k ı s ı mda matrisin tersinin tan ı m ı ve ters matrislerin özellikleri incelenecektir. 2.4.1. Matris Tersinin Tan ı m ı ? 2.4.2. Ters Matrislerin Özellikleri ? 2.4.1. Matris Tersinin Tan ı m ı A ve B n ? n boyutlu matrisler olsun. A ve B matrisleri AB = BA = In ba ğı nt ı s ı n ı sa ğ l ı yorsa B'ye A'n ı n tersi denir ve B=A -1 ile gösterilir. A da B'nin tersidir ve A=B -1 yaz ı l ı r.Her n ? n boyutlu bir kare matrisin tersinin mevcut olmas ı gerekmez. 2.4.1.1. Örnek 162.4.1.2. Örnek 17 2.4.2. Ters Matrislerin Özellikleri Ters Matrislerin Özellikleri kapsam ı nda ters matrislerle ilgili 4 adet özellik üzerinde durulup, her biriyle ilgili örnekler verilecektir. 2.4.2.1. Özellik 1,2 ve 3 2.4.2.1.1. Örnek 182.4.2.1.2. Örnek 19 2.4.2.1.3. Örnek 20 olarak eldeedilir. 2.4.2.2. Özellik 4 2.4.2.2.1. Örnek 21 2.5. MATR İ S TERS İ YÖNTEM İ KULLANARAK L İ NEER DENKLEM S İ STEMLER İ N İ N ÇÖZÜMÜ n e ş itlik ve n bilinmeyenden olu ş an lineer denklem sisteminin AX=B ş eklinde gösterildi ğ ini varsayal ı m.2.5.1. Örnek 22 ve Örnek 23 2.BOLUM DE Ğ ERLEND İ RME SORULARI