Statik 3 - Bir Kuvvetin Bir Eksene göre Momenti Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 STAT STAT İ İ K KProf. Dr. Muzaffer TOPCU 2 B B Ö Ö L L Ü Ü M 3 M 3 B İR KUVVET İN B İR EKSENE GÖRE MOMENT İProf. Dr. Muzaffer TOPCU 3 3.1 B 3.1 B İ İ R KUVVET R KUVVET İ İ N B N B İ İ R EKSENE R EKSENE G G Ö Ö RE MOMENT RE MOMENT İ İ Bir kuvvetin tatbik edildi ği cismi sabit bir eksen etrafında döndürme e ğilimine kuvvetin o eksene göre momenti denir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 4 z o y N k B A M x C D B A Dönme Yönü Moment Yönü Şekil 3.1 Bir kuvvetin momenti ve sa ğ el kuralıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 5 Momentin i şaretini belirtmek için ON eksenin okla gösterilen yönde (+) oldu ğunu kabul edip sa ğ el kuralına göre momentin yönü belirtilebilir. Sa ğ elin parmakları kuvvetin çevirme yönündeyken ba ş parmak kuvvetin yönünü gösterir. M momenti şekilde görüldü ğü gibi bir vektörle gösterebilir. M moment vektörü vektör kurallarına uyan ve tesir çizgisi moment ekseni olan bir kayan vektör olarak dü şünülebilir. Çünkü dik düzlem olarak ba şka bir düzlem alınsaydı yine aynı şiddette ve yine aynı döndürme yönünde bir vektör bulunacaktı. Momentin birimi Newton metre (Nm) dir. Bütün kuvvetlerin aynı düzlemde olması halinde bir noktaya göre momentten bahsedilebilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 6 Aslında bu moment o noktasından geçen ve düzleme dik olan eksene göre momenttir. Düzlemsel kuvvetlerde moment vektörünü göstermeye gerek yoktur. Kuvvetlerin düzlemde olması durumunda noktaya göre moment den bahsedilebilir. z y y + _ x x z Şekil 3.2 Düzlemde Momentlerin yönüProf. Dr. Muzaffer TOPCU 7 Sisteme birden çok kuvvetin etkimesi durumunda ise momentler toplanır. Şekil 3.3 Momentlerin Toplanması O R MF d += ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 8 Ö Ö rnek 3.1 rnek 3.1 ( ) ( ) O M 100N 2m 200N m = =·Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 9 Ö Ö rnek 3.2 rnek 3.2 ( ) ( ) O M 50N 0.75m 75N m == ·Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 10 Ö Ö rnek 3.3 rnek 3.3 ( ) ( ) O M 7kN 4 1m 21.0kN m = -= ·Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 11 Ö Ö rnek 3.4 rnek 3.4 A B C D M 800 N (2.5 m) 2000 N m M 800 N (1.5 m) 1200 N m M 800 N (0 m) 0 N m M 800 N (0.5 m) 400 N m = =· = =· == · = =·Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 12 3.2 VAR 3.2 VAR İ İ GNON TEOREM GNON TEOREM İ İ Bir kuvvetin bir noktaya göre momenti, bu kuvvetin bile şenlerinin yine aynı noktaya göre momentlerinin toplamına e şittir. () () () ooo MRMPMQ = + RPQ = + ? r r r o R r d Q r P r o R r d Q Q r P r d P Şekil 3.4 Varignon teoremi Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 13 Bu teorem iki şer, iki şer kuvvetler için pe ş pe şe uygulanarak ikiden çok kuvvet ve onların bile şenleri için ispat edilebilir. Yani bir noktada kesi şen birçok kuvvetin herhangi bir noktaya göre momentleri toplamı aynı noktaya göre bile şke kuvvetin momentine e şittir. Bu teorem hem ba ğlı hemde kayıcı vektörlere uygulanabilir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 14 Varignon teoreminden yararlanarak bile şke kuvvetin bir noktaya göre momenti yerine bu kuvvetin bile şenlerinin aynı noktaya göre momentlerini almak ço ğu zaman daha elveri şli olmaktadır Mo=Fd Mo= Mx +My Şekil 3.5 Kartezyen koordinatlarda Bir kuvvetin momenti k y x F y F F x o d y x zProf. Dr. Muzaffer TOPCU 15 Uzay kuvvet sistemleri için varignon teoremi genelle ştirilirse bile şenleri Fx , Fy , Fz olan ve uzayda A (x, y, z) noktasına etki eden bir kuvvetin eksenlere göre momentleri yazılabilir. Bunlar; Şekil 3.6 Uzayda bir kuvvetin momenti z y M y M x M z A x o F r M x = F z .y + F y .z r r Mx = Fz.y + Fy.z My = Fx.z + Fz.x Mz = Fy.x + Fx.yProf. Dr. Muzaffer TOPCU 16 k r j r i r r OA z y x . . . + + = = k F j F i F F z y x . . . + + = ( M o ) = F x r r r M o = z y x z y x F F F r r r k j i M o = M x .i + M y .j + M z .k M o = (F z. r y –F y .r z )i - (F z. r x –F x .r z )j + (F y r x + F x r y )kProf. Dr. Muzaffer TOPCU 17 Problem Problem y x F = 100N 40 cm 10 cm 10 cm 30 N A E D C6 0 ° M A = ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 18 3.3 KUVVET 3.3 KUVVET Ç Ç İ İ FTLER FTLER İ İ Zıt yönlerde etkiyen e şit iki kuvvetten meydana gelen sisteme kuvvet çifti denir. Burada dengelenmi ş bir moment bulunmaktadır. Moment Merkezi, Kuvvetlerin arasında veya dı şında yada kuvvetlerden biri üzerinde alınsa yine aynı şiddette ve aynı döndürme yönünde kuvvet çifti elde edilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 19 o o O a O’ B A F F Şekil 3.7 Kuvvet çiftleri M 0 = -(OA)F+F.(OB) M 0’ = ( O’A).F + (O’B ).F M 0 = F.a M 0’ = F.aProf. Dr. Muzaffer TOPCU 20 Moment vektörlerinin büyüklü ğü moment merkezine ba ğlı olmadı ğı için aynı zamanda düzlem üzerinde herhangi bir noktaya kayabilirler. Şekil 3.8 Kuvvet Çiftlerinin Konumu M M P P a a ? P P a a ? P P a a ? P P a a M MProf. Dr. Muzaffer TOPCU 21 3.4 KES 3.4 KES İŞ İŞ EN D EN D Ü Ü ZLEMLERDEK ZLEMLERDEK İ İ KUVVET KUVVET Ç Ç İ İ FTLER FTLER İ İ VE KUVVET VE KUVVET Ç Ç İ İ FTLER FTLER İ İ N N İ İ N N B B İ İ LE LE Ş Ş KES KES İ İ M q M R =M p +M q a M R R M N Q P a M p R R a Şekil 3.9 Kuvvet çiftlerinin ToplanmasıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 22 Kesi şen iki düzlem M ve N olsun. Bunlar üzerinde iki tane kuvvet çifti bulunsun (M P , M q ). Bu kuvvet çiftlerinin şiddetleri ve yönleri aynı kalmak şartıyla aralarındaki uzaklıklar de ği ştirilebilmektedir. Bu sonuçtan yararlanarak Kuvvet çiftlerinin moment kolları de ği ştirilerek ara kesit üzerinde aynı noktalardan geçmeleri sa ğlanabilir. Mp=P.a Mq=Q.a Şiddetleri Pa ve Qa olan ve ara kesit üzerinde A ve B noktalarında kesi şen iki kuvvet çifti görülmektedir. Çiftlerin momentleri M p ve M q düzlemlere dik olarak çizilmi ştir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 23 A ve B noktalarında kuvvetler paralel kenar kanunu kullanılarak P ve Q kuvvetlerinin bile şke kuvvet çiftini temsil eden iki e şit paralel ve zıt yönlü R kuvvetini elde ederiz. R = P + Q dur. Bile şke çiftinin şiddeti MR = R.a dır. Dolayısıyla bu düzlemlere dik ve çiftleri temsil eden moment vektörlerinin vektörel toplamı bile şke kuvvet çiftini temsil eden moment vektörlerini verir. MR = M p + M q R = R.a = MR = Cos 90 = 0 MR = ? cos 2 2 2 PQ Q P + + ? cos 2 2 2 2 2 2 PQa a Q a P + + ? cos . 2 2 2 MpMq Mq Mp + + 2 2 Mq Mp + Kuvvetler için yapılan bütün vektörel i şlemler kuvvet çiftlerini temsil eden moment vektörleri içinde geçerlidir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 24 3.4.1 Kuvvet 3.4.1 Kuvvet Ç Ç iftlerine iftlerine İ İ z D z D ü ü ş ş ü ü m Y m Y ö ö nteminin nteminin Uygulanmas Uygulanmas ı ı Kuvvet çiftlerini temsil eden momentlerin bile şkelerin vektörel toplamıyla bulundu ğunu gördük. Bile şenlere aynı yöntemle ayrılmaktadır. Uzayda bile şke momentin geometrik yolla dik iki düzlemde bulunması her zaman mümkün de ğildir. Bunun yerine izdü şüm yöntemi kullanmak daha elveri şlidir. M i ( M x ) i = M i .cos ?i ( M y ) i = Mi.cos ßi ( M z ) i = Mi.cos ?iProf. Dr. Muzaffer TOPCU 25 A A d x x g ? = Burada ?i, ßi, ?i Mi moment vektörünün sırasıyla x, y, z eksenlerine yaptıkları açılardır. Kuvvet çiftlerinin kendi düzlemleri içinde ki konumlarının önemi olmadı ğına kuvvet çiftlerinin düzlemleri kendilerine paralel olarak hareket ettirmekle çiftlerin etkileri de ği şmeyece ğine göre uzaydaki herhangi bir kuvvet çifti sistemin uzayda herhangi bir noktasında kesi şen moment vektörüyle temsil edilebilir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 26 Buradan bir noktada kesi şen uzay kuvvetlerine benzer olarak herhangi bir M 1 , M 2 , M 3 .......................M n kuvvet çifti sisteminin M bile şke kuvveti çifti M x = M y = M z = olarak bulunabilir. Bile şke kuvvet çiftinin şiddeti ile verilir. x, y, z eksenleriyle yaptı ğı açıların do ğrultman cosinüsleri cos ? = , cos ß = , cos ? = dir. ? = n i x i M 0 ? = n i y i M 0 ? = n i Z i M 0 2 2 2 Mz My Mx M + + = M Mx M My M MzProf. Dr. Muzaffer TOPCU 27 3.5 KUVVET S 3.5 KUVVET S İ İ STEMLER STEMLER İ İ N N İ İ N N B B İ İ LE LE Ş Ş KELER KELER İ İ A A d x x g ? = Mekanikte birçok problem kuvvet sistemlerini ilgilendirir. Bu kuvvet sistemlerinin yapaca ğı tesiri izah ederek en basit hale dönü ştürmek gerekir. Bir kuvvet sisteminin bile şkesi rijit cisme tesir eden dı ş etkileri de ği ştirmeksizin orijinal kuvvetlerin en basit kombinezonudur. Bir cismin dengesi için üzerine tesir eden bütün kuvvetlerin bile şkesinin sıfır olması şarttır. E ğer bir cisme tesir eden kuvvetlerden do ğan bile şke sıfır de ğilse cismin kütlesiyle ivmenin çarpımını bile şke kuvvete e şitleyerek ivme tanımlanır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 28 3.5.1 Paralel Kuvvet Sistemleri 3.5.1 Paralel Kuvvet Sistemleri A A d x x g ? = Bile şkenin şiddeti sistemi meydana getiren kuvvetlerin skaler toplamına e şittir. Bile şkenin tesir çizgisinin konumu Varignon teoremi ile bulunur. xR = F 1 x 1 + F 2 x 2 + F 3 x 3 yR = F 1 y 1 + F 2 y 2 + F 3 y 3 x = y = F 1 F 2 F 3 y 1 y 2 y 3 x 1 x 2 x 3 x y G(x,y) ? = n i i i R x F 1 ? = n i i i R y F 1Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 29 3.5.2 E 3.5.2 E ş ş de de ğ ğ er Kuvvet Sistemleri er Kuvvet Sistemleri A A d x x g ? = E ğer iki kuvvet sistemi verilen herhangi bir noktada aynı kuvvet ve kuvvet çiftine indigenebiliyorsa birbirine e şde ğerdir denir. Bir nokta için sa ğlanan e şde ğerlik bundan sonra bütün di ğer noktalar içinde sa ğlanabilir. Matematik olarak gerekçe ve yeter şart ; ?F = ?F` , ?Mo = ?Mo` ?Fx = ?Fx` , ?Fy = ?Fy` , ?Fz = ?Fz` ?Mx = ?Mx` , ?My = ?My` , ?Mz = ?Mz` dir. Bunun manası şudur. E ğer iki kuvvet sistemi bir rijit cisme x, y, z do ğrultularında aynı öteleme ve döndürmeyi yaptırmaya çalı şırsa bu kuvvet sistemleri birbirie e şde ğerdir denir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 30 ÇÖ ÇÖ Z Z Ü Ü ML ML Ü Ü PROBLEMLER PROBLEMLERProf. Dr. Muzaffer TOPCU 31 Problem 1: Problem 1: A ğırlı ğı ihmal edilen ve boyu L olan bir çubuk bir pim ile şekilde görüldü ğü gibi zemine ba ğlanmı ştır. Ayrıca çubu ğun üst kısmı da bir kablo ile zemine ba ğlanmı ştır. E ğer çubu ğun ortasına bir F kuvveti yatay olarak uygulanırsa; a) Teldeki çeki kuvvetini b) Çubu ğa ve civataya etkiyen yatay ve dikey kuvvet bile şenlerini bulunuz. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 32 Çö Çö z z ü ü m : m : F T mg ?0 P x y O ) .........( 0 2 . . 45 . 0 ) ........( 0 45 . 0 ) .......( 0 45 . 0 0 III L F L Cos T M II P Sin T F I P F Cos T F y y x x = - ? = = + - ? = = - + - ? = ? ? ? Statik Denge:Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 33 . 2 2 ; . 2 2 . 2 . . 2 ; . 2 ; . 2 ; . edilir elde olarak F P F P göre Buna bulunur olarak F T L F L T denklemden III T P denklemden II F T P denklemden I y x y x = - = = ? = = - =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 34 Problem 2: Problem 2: Verilen kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini O’ya indirgeyiniz. F 1 = 2 kN F 2 = 3 kN M 1 = 5 kNm M 2 = 10 kNm y F 2 40 cm 30 cm 40 cm E x z C A D M 1 G B F F 1 M 2 O M 1 F 2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 35 Çö Çö z z ü ü m : m : B(40,40,30) ; E(0,40,0) ; G(40,40,0) ; F(40,0,0) ; O(0,0,0) ; A(0,40,30) k j OA j GF k i BE 30 40 40 30 40 + = - = - - = k i k i F 1200 1600 ) 30 40 30 40 .( 2000 2 2 1 - - = + - - = j j F 3000 ) 40 40 .( 3000 2 - = - =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 36 i M 5000 1 = k j k j M 6000 8000 ) 30 40 30 40 .( 10000 2 2 2 + = + + = 0 3000 0 0 4 , 0 0 1200 0 1600 3 , 0 0 4 , 0 6000 8000 5000 2 1 2 1 0 - - + - - - - + + + = + + + = k j i k j i k j i F F M M M k j i M 6000 8000 5000 0 + + = NmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 37 Problem 3: Problem 3: Verilen kolda kuvvetleri ve kuvvet çiftlerini A’ ya indirgeyiniz. A’da do ğacak reaksiyon kuvvetlerini hesaplayınız. B y A C CD//z 300 N 2 m z D 1000 N 300 N 2 m 3 m xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 38 Çö Çö z z ü ü m : m : Burada problemin çözümünde matris yöntemi kullanılacaktır. C ve D noktaları ayrı ayrı matris şeklinde yazılacaktır. 0 1000 300 2 2 3 0 0 300 0 2 3 - - - + = k j i k j i M T ) 600 3000 ( ) 600 0 ( ) 2000 0 ( ) 600 0 ( ) 0 ( ) 0 ( + - + - - - + - + - = k j i k j i M T k j i M T 3000 600 2000 - + - =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 39 Burada; Nm M Nm M Nm M z y x 3000 , 600 , 2000 - = = - = A noktasındaki mesnet reaksiyonları ise sırası ile; 0 0 1000 0 1000 0 0 0 300 300 0 = ? = = ? = - ? = = ? = - + ? = ? ? ? z z y y y x x x A F N A A F A A F II. Yol: k j i k j i j M T 3000 600 2000 0 1000 0 2 2 3 ) 300 300 ( - + - = - - + + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 40 Problem 4: Problem 4: A(-3, 2, 0), B(0, 0, 6), C(2, -3, 0), D(0, -3, 0) A ğırlı ğı 500N olan OB çubu ğu yukarıda koordinatları verilen üç tel halatla A, C, D noktalarına sabitlenmi ştir. Sistemin dengede kalabilmesi için halat germe kuvvetlerinin minimum ne olması gerekti ğini hesaplayınız. z y o x C D B AProf. Dr. Muzaffer TOPCU 41 Çö Çö z z ü ü m : m : z y o x C D B A 500 N 7 49 36 4 9 6 2 3 7 49 36 9 4 6 3 2 5 3 45 36 9 6 3 0 = = + + = - + - = = = + + = - - = = = + = - - = k j i BA k j i BC k j BDProf. Dr. Muzaffer TOPCU 42 ? ? ? ? ? ? ? ? - + - = ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 7 6 7 2 7 3 . , 7 6 7 3 7 2 . , 5 3 6 5 3 3 . k j i F F k j i F F k j F F BA BA BC BC BD BD BA BC BA BC x F F F F F 5 , 1 0 7 3 7 2 0 = ? = - = ? BA BD BA BC BD BA BC BD y F F F F F F F F F 796 , 0 0 286 , 0 428 , 0 447 , 0 0 7 2 7 3 5 3 3 0 - = ? = + - - = + - - = ? N F N F N F F F F F F BD Bc BA BA BA BC BD z 6 , 278 525 350 500 431 , 1 0 500 7 6 7 6 5 3 6 0 = ? - = ? - = ? = - = - - - - = ?