Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler 3.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER 3.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER DETERM İ NANTLAR 3.1. DETERM İ NANTIN TANIMI Toplamdaki i ş aret ji'lerin permütasyonu çift (0, 2, 4, ...) ise (+) tek (1, 3, 5,...) ise (-) olarak verilir. A 1 ?1 boyutlu bir matris ise, det (A) = ?a11 ?= a11'dir. 3.2. DETERM İ NANTLARIN ELDE ED İ LMES İ Bu k ı s ı mda bir matrisin determinant de ğ erinin elde edilmesi gösterilecek, ikinci ve üçüncü dereceden determinantlar ı n hesaplanmas ı örnekleriyle beraber sunulacakt ı r. 3.2.1. İ kinci Dereceden Determinantlar ? 3.2.2. Üçüncü Dereceden Determinantlar ? 3.2.1. İ kinci Dereceden Determinantlar 3.2.1.1. Örnekler 3.2.2 Üçüncü Dereceden Determinantlar 3 ?3 boyutlu matrisinin determinant ı ş eklinde yaz ı l ı r ve SAR RUS ya da k ö ş egen a ç ı l ı m ı kural ı olarak bilinen bir kuralla elde edilir. Bu kurala göre determinant ı elde etmek için verilen matrisin elemanlar ı ş eklinde yaz ı ld ı ktan sonra bu matrisin ilk iki sütunu bu matrise eklenir ve ek matrisi elde edilir. 3.2.2.1. Örnekler3.3. DETERM İ NANTLARIN ÖZELL İ KLER İ3.3.1. Özellik 1 Özellik 1: Bir determinantta bir sat ı r (ya da sütun) elemanlar ı n ı n tümü s ı f ı r ise determinant de ğ eri s ı f ı rd ı r. 3.3.2. Özellik 2 Özellik 2: Bir determinantla e ğ er iki sat ı r (ya da sütun)' ı n elemanlar ı ayn ı de ğ ere sahipse determinant de ğ eri s ı f ı rd ı r. 3.3.3. Özellik 3 Özellik 3: Determinant ı n bir sat ı r ı n ı n (ya da sütununun) tüm elemanlar ı n ı n bir k sabiti ile çarp ı m ı sonucu elde edilen determinant de ğ eri, determinant de ğ erinin k sabiti ile çarp ı m ı na e ş de ğ erdir.elde edilir. 3.3.4. Özellik 4 Özellik 4. Bir determinantta bir sat ı r ı n (veya sütunun) bir sabitle çarp ı l ı p di ğ er bir sat ı ra (veya sütuna) eklenmesi, determinant de ğ erini de ğ i ş tirmez. 3.3.5. Özellik 5 Özellik 5: Bir determinantta iki sat ı r (ya da iki sütun) birbiriyle yer de ğ i ş tirirse determinant ı n sadece i ş areti de ğ i ş ir.3.3.6. Özellik 6 Özellik 6: Bir determinant ı n tüm sat ı r ve s ütunlar ı yer de ğ i ş tirirse determinant ı n de ğ eri de ğ i ş mez. Di ğ er bir ifadeyle det(A T ) = det(A) 'd ı r. 3.4. ELEMENTER SATIR DÖNÜ Ş ÜMLER İ YARDIMI İ LE DETERM İ NANT DE Ğ ER İ N İ N ELDE ED İ LMES İ 3.4.1. Örnek 15, 16 ve 17 Bu asal kö ş egenin alt ı ndaki tüm elemanlar ı n de ğ erleri s ı f ı r ise matrisimiz üst kö ş egen matris (ya da echelon form) veya üst üçgen matris olarak tan ı mlan ı r. Asal kö ş egenin üstündeki tüm elemanlar ı n de ğ erleri s ı f ı r ise matrisimiz alt kö ş egen matris veya alt üçgen matris olarak tan ı mlan ı r. n ?n boyutlu bir kare matriste a11 a22... ann elemanlar ı n ı n bulundu ğ u kö ş egen asal kö ş egen olarak tan ı mlan ı r.3.4.2. Determinant De ğ erinin Elde Edilebilmesi İ çin Matrisin Üst Üçgen veya Alt Üçgen Hale Dönü ş türülmesi Matrislere ili ş kin determinantlar ı n de ğ erinin daha kolay elde edilebilmesi için, matrislerin üst üçgen, alt üçgen hale dönü ş türülmesi kolayl ı k sa ğ lamaktad ı r. 3.4.3. Örnek 18, 19 ve 203.5. DETERM İ NANTLARIN E Ş ÇARPAN (KOFAKTÖR) AÇILIMI İ LE ELDE ED İ LMES İ Bu k ı s ı mda bir matrisin determinant de ğ erinin e ş çarpan aç ı l ı m ı ile elde edilmesi gösterilecektir. Bunun için önce minör ve kofaktör tan ı m ı ve kofaktör aç ı l ı m ı gösterilecektir. 3.5.1. Minör Tan ı m ı ? 3.5.2. Kofaktör (Cofactor) veya E ş çarpan Tan ı m ı ? 3.5.3. Kofaktör Aç ı l ı m ı ? 3.5.1. Minör Tan ı m ı A =[ a ij ] , n ? n boyutlu bir kare matris olsun. E ğ er i 'inci s ı ra ve j 'inci sütun silinecek olunursa geriye kalan ( n -1) ? ( n -1) boyutlu matrisin determinant ı na a ij eleman ı n ı n Minor'ü denir. 3.5.2. Kofaktör (Cofactor) veya E ş çarpan Tan ı m ı E ğ er M ij bir A kare matrisindeki a ij eleman ı n ı n minorü ise, a ij 'nin kofaktörü C ij = (-1) i+j M ij dir. Burada i ilgili eleman ı n sat ı r numaras ı n ı , j de sütun numaras ı n ı belirtmektedir. 3.5.3. Kofaktör Aç ı l ı m ı Determinant, herhangi bir sat ı rdaki (ya da sütundaki) elemanlar ı n, kendi e ş çarpanlar ı yla (kofaktörleriyle) çarp ı mlar ı n ı n toplam ı na e ş ittir. Bu teknik kofaktör aç ı l ı m ı olarak bilinmektedir. Kofaktör a ç ı l ı m ı tekni ğ iyle determinant de ğ erinin daha kolay bir ş ekilde elde edilmesini sa ğ lamak için sat ı r dönü ş ümleri yard ı m ı yla ilgili determinant fazla say ı da s ı f ı rlar içeren bir ş ekle d önü ş türülür. B öylece çarp ı mlar ı n sonucu s ı f ı r olaca ğı ndan, s ı f ı r olan ele manlara ili ş kin kofaktörlerin elde edilmesine gerek kalmayacak dolay ı s ı yla i ş lemler kolayla ş acakt ı r. Örne ğ in determinant ı n ı göz önüne alal ı m. E ğ er 1.s ı ra elemanlar ı na ili ş kin kofaktörleri kullanarak determinant ı hesaplamak istersek,det(A)=5.C11+0.C12+0.C13 E ğ er 2. sütun elemanlar ı n ı n kofaktörlerini kullanarak determinant ı hesaplamak istersek, det(A)=0.C12+0.C22+2.C32 elde edilir. Her iki durumda da ilgili sat ı r ve sütunlarda fazla say ı da s ı f ı r bulundu ğ undan i ş lemlerimiz kolayla ş m ı ş t ı r. Elementer sat ı r d önü ş ümleri yap ı ld ığı gibi elementer s ütun d önü ş ümleri de yap ı labilir. Bu ş ekilde verilen determinantlar determinant özelliklerinin uygulanabilece ğ i determinantlar haline dönü ş türülebilir. 2.BOLUM DE Ğ ERLEND İ RME SORULARI