Malzeme Mekaniğinde Özel Konular 5 - Bileşik (kompozit) Malzemeden Oluşmuş Kirişlerde Eğilme Gerilmeleri Malzeme Mekaniğinde Özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK HAFTA HAFTA 5. 5. Malzeme Mekani Malzeme Mekani ğ ğ inde inde Ö Ö zel Konular zel Konular M M K K MT4 MT4 Dr. Nusret MEYDANLIK nm-2012 B B İ İ LE LE Şİ Şİ K K (kompozit) (kompozit) MALZEMEDEN MALZEMEDEN OLU OLU Ş Ş MU MU Ş Ş K K İ İ R R İŞ İŞ LERDE LERDE E E Ğİ Ğİ LME GER LME GER İ İ LMELER LMELER İ İ5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 2 BDLEŞDK (kompozit) KDRDŞLERDE EĞDLME Beams constructed of two or more different materials are referred to as composite beams. For example, a beam can be made of wood with straps of steel at its top and bottom. Tasarım mühendislerinin eğilme yüklerini taşımak için daha verimli kesit kullanma amacına yönelik bir metoddur. Burada, genlemeler aynı miktardadır (malzemeler arasındaki arayüzeyde relatif bir hareket yoktur), ancak malzemelerin elastisite modülleri farklı olduğu için gerilmeler aniden değişir. Composite Composite beams beams are made from different materials in order to efficiently carry a load. Bildiğimiz eğilme formülünün uygulanabilmesi için malzemenin homojen olması gerekir, farklı malzemelerden oluşmuş kiriş kesidi tek bir malzeme gibi tanımlanabilirse bu formül hala eğilme gerilmelerini bulmak için uygulanabilir. Bunun için de …. ahşap Metal 5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 3 E 2 E 1 ? 2 ? 1 ? ? E 2 >E 1 ne demek ? Aynı gerilme değerinde 1 nolu malzeme daha fazla şekil değiştirir demektir veya, E 2 E 1 ? ? ? 2 ? 1 Aynı şekil değiştirme miktarı için daha büyük kuvvet gerekir b E 1 E 2 E 2 >E 1 E 1 =n.E 2 n<1 b E 1 E 2 E 2 >E 1 E 2 =n.E 1 n>1 ? 2 nolu malzeme daha rijidtir demek, bu ne demek ? Aynı miktarda şekil değiştirme için 2 nolu malzeme (E 2 ) de daha büyük gerilme ortaya çıkar demektir. n.b b E 1 cinsi homojen kesit n.b E 2 cinsi homojen kesit ?5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 4 • Elastiklik modülleri E 1 and E 2 olan iki malzemeden oluşmuş compozit bir kirişi gözönüne alırsak. Normal genlemeler lineer olarak değişir. • Her bir parçadaki normal gerilme dağılımı. ? ? ? ? ? ? y E E y E E x x 2 2 2 1 1 1 - = = - = = Nötr eksen kompozit kirişin ağırlık merkezinden geçmez. TE’ nin yerini bulmak için, Kompozit Malzemelerin E Kompozit Malzemelerin Eğ ğilmesi ilmesi5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 5 Elastisite modülleri oranı, şeklinde tanımlanırsa (E 2 > E 1 ); Bu demektir ki, eğer kirişin her iki kısmı da birinci malzemeden olursa, kirişin eğilmeye karşı direnci aynı olacaktır, bu şekilde elde edilmiş keside dönüştürülmüş kesit, n’ e de dönüştürme katsayısı denir. Kesitin alt ve üst kısımlarına etki eden elemanter, dA y E dA dF , dA y E dA dF 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ? - = = - = = 1 2 E E n= ( ) ( ) dA n y E dA y nE dF 1 1 2 ? ? - = - = şeklinde yazılabilir. Burdan dF 2 ’ nin dF 1 ‘ in n katı olduğu görülür. Dönüştürülmüş kesit, elastisite modülü E 1 olan homojen kesittir. Tarafsız eksen dönüştürülmüş kesitin ağırlık merkezinden geçer. x x x n I My ? ? ? ? ? = = - = 2 1 ile elde edilir. Kompozit Malzemelerin E Kompozit Malzemelerin Eğ ğilmesi ilmesi5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 6 1 nolu malzemeyi referans olarak alırsak, n=E 2 /E 1 ve 2 nolu malzemedeki normal gerilmeler; şeklinde elde edilir. n.b b E 1 E 2 b E 1 cinsi homojen kesit E 2 > E 1 E 2 =n.E 1 n>1 ? Gerçek kesit Dönüşmüş kesit I My n x - = ? Komposit Komposit kiri kiriş şte normal gerilmelerinin hesaplanmas te normal gerilmelerinin hesaplanması ı Dikkat : Dikkat : • dönüştürme katsayısı sadece genişlik boyutu ile ilgilidir, • ilgili kesitteki gerilme dönüştürme katsayısı ile çarpılarak elde edilir. 5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 7 n.b b E 1 E 2 b E 1 cinsi homojen kesit E 2 >E 1 E 2 =n.E 1 n>1 ? Gerçek kesit Dönüşmüş kesit For a beam made of two or more materials with different moduli of elasticity, Komposit Komposit kiri kiriş şte kayma gerilmelerinin hesaplanmas te kayma gerilmelerinin hesaplanması ı I Q V I Q x M x H q akıkı kayma I ) M ( Q dA y n I ) M ( dA I y ) M ( n dA ) ( H x = = = = = = - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Hem 1. alan momenti Q 1. alan momenti Q hemde TE TE’ ’e e g gö öre moment I re moment I TE TE dönüştürülmüş kesit için hesaplanır ancak kal kalı ınl nlı ık t k t değeri olarak kirişin gerçek kalınlığı alınarak ? ort. is computed , aşağıdaki gibi.. ?x uzunluğu boyunca yatay kesme kuvveti ; t q t I Q V . ort = = ? kayma akısı ,5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 8 Ö ÖRNEK 5.1. RNEK 5.1.5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 9 Bar is made from bonded pieces of steel (E s = 29x10 6 psi) and brass (E b = 15x10 6 psi). Determine the maximum stress in the steel and brass when a moment of 40 kip*in is applied. SOLUTION: • Transform the bar to an equivalent cross section made entirely of brass • Evaluate the cross sectional properties of the transformed section • Calculate the maximum stress in the transformed section. This is the correct maximum stress for the brass pieces of the bar. • Determine the maximum stress in the steel portion of the bar by multiplying the maximum stress for the transformed section by the ratio of the moduli of elasticity. MecMovies örnekleri Ö ÖRNEK 4.2. RNEK 4.2. x y Yukarda kesiti görülen çubuk, çelik (E s =200 GPa) ve pirinç (E b =100 GPa) parçaların yapıştırılması ile meydana getirilmiştir. M=4.5 kN-m lik moment etkisinde oluşan en büyük gerilmeyi hesap ediniz. 80 mm 10 20 mm mm 10 M M5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 10 • Dönüştürülmüş kesitin özellikleri, ( )( ) 4 3 12 1 3 12 1 2560000 80 0 6 mm h b I T = = = SOLUTION: • Çubuk kesiti tamamen eşdeğer pirinç cinsinden ifade edilirse. mm b MPa MPa E E n T b s 60 10 20 2 10 2 100 200 = + × + = = = = • En büyük eğilme gerilmesi ; ( )( ) MPa mm I Mc m 3 . 70 mm 2560000 40 m kN 50 . 4 4 = · = = ? ( ) ( ) 3 . 70 2 max max × = = = m s m b n? ? ? ? ( ) ( ) Mpa MPa s b 6 . 40 1 3 . 70 max max = = ? ? Ö ÖRNEK 5.2. RNEK 5.2. 80 mm 20 mm 10 mm 10 mm 10 mm 10 mm 40 mm 80 mm 40 mm 60 mm ) 1 , ( . ) 1 , ( . = = = = = = s b s b b s b s n n n E n E n n n E n E5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 11 A steel bar and an aluminum bar are bonded together to form the composite beam shown. The modulus of elasticity for aluminum is 73 GPa and for steel is 200 GPa. Knowing that vertical shear force in the beam is 16 kN, determine the in (a) yapışma yüzeyindeki ortalama kayma stress (b) en büyük kayma gerilmesini. V Ö ÖRNEK SORU 5.3. RNEK SORU 5.3. n=1 Al. için , n=E ç /E Al. =200/73=2.74 çelik için 104 mm y=44.2 mm TE I TE =2.26 .10 6 mm 4 a) Q=(38x25)x(44.2-12.5)=30115 mm 3 MPa 6 . 5 t I Q V = = ? b) Q=(104x30.8)x(30.8/2)=49329 mm 3 MPa 2 . 9 t I Q V = = ?5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 12 Two steel plates have been welded together to form a beam in the shape of a T that has been strengthened by securely bolting to it the two oak timbers shown. The modulus of elasticity is 12.5 GPa for the wood and 200 GPa for the steel. Knowing that a bending moment M=50 kNm is applied to the composite beam, determine (a) the maximum stress in the wood, (b) the stress in the steel along the top edge. Ö ÖRNEK SORU 5.4. RNEK SORU 5.4. We first compute the ratio ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : Dönüştürülmüş kesit (tüm kesit ahşap) için nötr eksenin yeri; M M5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 13 Ahşap kısım en alttaki gerilme; çelik kısım en üstteki gerilme; Ö ÖRNEK SORU 5.4. RNEK SORU 5.4.5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 14 Prb Prb.1. .1. A bar having the cross section shown has been formed by securely bonding brass and aluminum stock. Using the data given below, determine the largest permissible bending moment when the composite bar is bent about a horizontal axis. M M Ç Ç ALI ALI Ş Ş MA SORULARI : MA SORULARI : (1.092 (1.092 kNm kNm) ) Prb Prb.2. .2. A bar having the cross section shown has been formed by securely bonding brass and aluminum stock. Using the data given below, determine the largest permissible bending moment when the composite bar is bent about a horizontal axis. (887 (887 Nm Nm) ) M M5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 15 (( ((a a) al. 62.3 ) al. 62.3 MPa MPa; ; br br. 62.3 . 62.3 MPa MPa; ; st st. 62.3 . 62.3 MPa MPa. ( . (b b) 33.7 m.) ) 33.7 m.) Prb Prb.3. .3. Five metal strips, each 40 mm wide, are bonded together to form the composite beam shown. The modulus of elasticity is 210 GPa for the steel, 105 GPa for the brass, and 70 GPa for the aluminum. Knowing that the beam is bent about a horizontal axis by a couple of moment 1800 Nm, determine (a) the maximum stress in each of the three metals, (b) the radius of curvature of the composite beam. Prb Prb.4. .4. A steel bar and an aluminum bar are bonded together to form the composite beam shown. The modulus of elasticity for aluminum is 70 GPa and for steel is 200 GPa. Knowing that the beam is bent about a horizontal axis by a couple of moment M=1500 Nm, determine the maximum normal stress in (a) the aluminum, (b) the steel. (a) 66.2 (a) 66.2 MPa MPa. (b) 2112.4 . (b) 2112.4 MPa MPa M M5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 16 (Al., 52.3 (Al., 52.3 MPa MPa, , St St., 132.1 ., 132.1 MPa MPa) ) Prb Prb.5. .5. A steel pipe and an aluminum pipe are securely bonded together to form the composite beam shown. The modulus of elasticity is 200 GPa for the steel and 70 GPa for the aluminum. Knowing that the composite beam is bent by a couple of moment 500 N ? m, determine the maximum stress (a) in the aluminum, (b) in the steel. (Hint: atalet momentini de dönüşüm oranı ile genişletebilirsiniz.) Prb Prb.6. .6. A composite beam is made of wood and reinforced with a steel strap located on its bottom side. It has the cross-sectional area shown in left Fig. If the beam is subjected to a bending moment of determine the normal stress at points B and C. Take E w =12 GPa and E st =200 GPa. ( (? ? C C =7.78 =7.78 MPa MPa, , ? ? B B =1.71 =1.71 MPa MPa) ) ( (temas y temas yü üzeyinde zeyinde ? ? st st. . =3.5 =3.5 MPa MPa, , ? ? w w =0.2 =0.2 MPa MPa) )5. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 17 Prb Prb.7 .7 - -8. 8. A copper strip (E c =105 GPa) and an aluminum strip (E a =75 GPa) are bonded together to form the composite bar shown. Knowing that the bar is bent about a horizontal axis by a couple of moment 35 N m, determine the maximum stress in (a) the aluminum strip, (b) the copper strip. Prb.7. (a) -56.0 MPa. (b) 66.4 MPa. Prb.8. (a) -56.0 MPa. (b) 68.4 MPa. Prb.7 Prb.8