Genel Konular 5 - İki boyutlu cisimlerin ağırlık merkezleri Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 STAT STAT İ İ K KProf. Dr. Muzaffer TOPCU 2 B B Ö Ö L L Ü Ü M 5 M 5 İK İ BOYUTLU C İS İMLER İN A ĞIRLIK MERKEZLER İProf. Dr. Muzaffer TOPCU 3 5.1 G 5.1 G İ İ R R İŞ İŞ VE TANIM VE TANIM A ğırlık kuvvetlerinin bile şkelerine cismin a ğırlı ğı, ve bu kuvvetlerinin bile şkesinin tatbik noktasına cismin a ğırlık merkezi denir. Dünyanın katı bir cisme tatbik etti ği yer çekim kuvvetleri dünyanın merkezine yöneliktir. Bu kuvvetleri çok büyük bir yakla şıkla paralel kuvvetler olarak ele alınabilir. Mühendislikte bir cisme uygulanan a ğırlık kuvvetlerinin veya bazı sebeplerle tatbik edilen kuvvetlerin bile şkesinin tatbik noktalarının bilinmesi gerekmektedir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 4 W = ?W 1 + ?W 2 +.......+. ?W n t W ?W 2 ?W 3 ?W 1 x z y 0 y 1 x 1 x 2 x 3 y 2 y 3 Şekil 5.1 A ğırlık kuvvetleriProf. Dr. Muzaffer TOPCU 5 A ğırlık kuvvetlerinin bile şkesinin tatbik noktası, bu kuvvetlerinin eksenlere göre momentlerini, bile şkenin momentine e şitleyerek bulunur. Böylece ?W 1 + ?W 2 +........+ ?W n gibi n tane paralel kuvvetin yerine e şleni ği konulmu ş olur. Kuvvetler z eksenine paralel oldukları için bu eksene göre momentleri yoktur.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 6 x W = x 1 ?w 1 + x 2 ?W 2 +........+x n ?W n ? = ? n i i i W x 1 x W = x = ? dW x W . 1 y W = y 1 ?w 1 + y 2 ?W 2 +........+y n ?W n y W = ? = ? n i i i W y 1 y = ? dW y W . 1Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 7 E ğer iki boyutlu cisim düzgün kalınlıklı bir plak ise burada kalınlı ğın di ğer boyutlardan çok küçük olma şartı vardır. Bu durumda a ğırlık kuvveti ? W = ?.t. ?A ? (özgül a ğırlık), t (kalınlık ), ?A (alan), şeklinde ifade edilebilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 8 Toplam a ğırlık; W = ? = ? n i i W 1 = ?.t. ?A 1 + ?.t. ?A 2 +........+ ?.t. ?A n = ?.t ( ?A 1 + ?A 2 +........+ ?A n ) = ?.t.AProf. Dr. Muzaffer TOPCU 9 Eksenlere göre momentleri yazalım ; x. ?.t. ?A = ?.t ? = n i i A x 1 1 = ?.t (x 1 .A 1 + x 2 .A 2 +........+ x n .A n ) x.A= ? = n i i A x 1 1 = x 1 .A 1 + x 2 .A 2 +........+ x n .A nProf. Dr. Muzaffer TOPCU 10 Kütle Merkezi; x = ? dA x A . 1 benzer şekilde y = ? dA y A .. 1Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 11 Şekil 5.2 Kütle merkeziProf. Dr. Muzaffer TOPCU 12 ? = dA y S x . ? = dA x S y . Burada ? dA x. ’ya alanın y eksenine göre statik momenti veya y eksenine göre birinci momenti denir. ? dA y. da alanın x eksenine göre statik momenti yada birinci momentidir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 13 h h/2 y A = b.h x = y = 2 b 2 hProf. Dr. Muzaffer TOPCU 14 Çubu ğun A ğırlık Merkezi; Şekil 5.3 Çubu ğun a ğırlık merkeziProf. Dr. Muzaffer TOPCU 15 ?W = ?.a. ?L a = Telin kesit alanı ? = özgül a ğılık ?L = Telin küçük parçasının boyu L = ? = ? n i i L 1 = ?L1 + ?L2 +......+ ?LnProf. Dr. Muzaffer TOPCU 16 ? M y = o x.L = ? = ? n i i i L x 1 x = ? dL x L i 1 ? M x = o y.L = ? = ? n i i i L y 1 y = ? dL y L i 1 A ğırlık merkezinin yeri; cisimde bir simetri ekseni varsa a ğırlık merkezi bu eksen üzerindedir. E ğer iki simetri ekseni varsa simetri eksenlerinin kesim noktası a ğırlık merkezidir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 17 Alanın A ğırlık Merkezi; Şekil 5.4 Alanın a ğırlık merkeziProf. Dr. Muzaffer TOPCU 18 A A d x x ? = A A d y y ? = A A d x x ? = A A d x x ? = A A d y y ? = A A d z z ? =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 19 5.2 B 5.2 B İ İ RLE RLE Şİ Şİ K ALANLARIN A K ALANLARIN A Ğ Ğ IRLIK IRLIK MERKEZ MERKEZ İ İ G 3 A 3 G3 G 1 = ( x 1 , y 1 ) G 2 = ( x 2 , y 2 ) G 3 = ( x 3 , y 3 ) G 2 G 1 A 1 y x A 2 G 3 A 3Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 20 Birle şik alan öncelikle kendisini meydana getiren geometrisi bilinen küçük alanlara ayrılır. Her bir alanın a ğırlık kuvveti bu alanın a ğırlık merkezinde bulunmasından hareketle tüm cismin a ğırlık merkezi bulunabilir. W = W 1 + W 2 + W 3 , x.W = x 1 .W 1 + x 2 .W 2 + x 3 .W 3 y.W = y 1 .W 1 + y 2 .W 2 + y 3 .W 3Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 21 A = A 1 + A 2 + A 3 xA = x 1 A 1 + x 2 A 2 + x 3 A 3 x = A A X A X A x 3 3 2 2 1 1 + + = ? ? = = n i n i i İ A A x 1 1 y = A A y A y A y 3 3 2 2 1 . 1 + + = ? ? = = n i n i i İ A A y 1 1Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 22 Ö Ö rnek 5.1 rnek 5.1 x y 6 cm 8 cm 2 cm 6 cm A ğırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz. x = A A X A x 2 2 1 1 + () 71 , 2 28 76 28 ) 16 .( 4 12 . 1 = = + y = A A y A y 2 2 1 1 + 71 , 2 28 76 28 ) 16 .( 1 ) 12 .( 5 = = + cm cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 23 5.3 A 5.3 A Ğ Ğ IRLIK MERKEZ IRLIK MERKEZ İ İ N N İ İ N N İ İ NTEGRASYONLA BULUNMASI NTEGRASYONLA BULUNMASI Mühendislikte analitik olmayan e ğrilerle çevirili yüzeylerin a ğırlık merkezleri, kendisini olu şturan küçük üçgen, dikdörtgen, kare...vb. elemanlara ayrılarak bunların alanlarının toplamlarından hareketle yüzeyin a ğırlık merkezi yakla şık olarak bulunabilir. E ğer yüzeyi çevreleyen e ğriler analitik reel fonksiyon ise yüzeyin a ğırlık merkezi integralle bulunabilir. Yüzey üzerindeki diferansiyel mertebedeki alan elemanı: dA = d x .d y alınarak buradan çift katlı integralle a ğırlık merkezinin koordinatları bulunabilir. Mühendisli ğe daha uygun bir çözüm ise diferansiyel mertebede ince dikdörtgen kesitler tek katlı integralle alanlar ve a ğırlık merkezleri bulunabilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 24 E ğri altında kalan alanın hesaplanması; dA = d x d y dA = I dyProf. Dr. Muzaffer TOPCU 25 A A d x x g ? = A A d y y g ? = Taralı alanına ğırlık merkezinin integral ifadesi; A A d y y g ? = A A d x x g ? =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 26 Ö Ö rnek 5.2 rnek 5.2 Taralı alanın a ğırlık merkezinin bulunması,Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 27 dx y dA burada dA A = = ? , ? = a 0 dx y ? ? = a 0 dx a 2 x cos b b y x 0 x dx y g y dA a 2 x cos b y ? = a a 0 a 2 x sin a 2 b ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? - ? ? = 0 sin 2 sin ab 2 ? = ab 2 AProf. Dr. Muzaffer TOPCU 28 ? ? ? ? = = = = a a a g g dx y dx y y dx y y dA y A y 0 2 0 0 2 1 ) ( 2 ) ( ? ? ? ? = = = = a a a g g dx y dx y y dx y y dA y A y 0 2 0 0 2 1 ) ( 2 ) ( ? ? ? ? = = = = a a a g g dx y dx y y dx y y dA y A y 0 2 0 0 2 1 ) ( 2 ) ( ? ? = a 0 2 2 dx a 2 x cos b 2 1 a 0 2 a x sin 2 a 2 x 2 b ? ? ? ? ? ? ? ? + = () a 0 2 0 0 0 2 a 2 b ? ? ? ? ? ? + - ? ? ? ? ? ? ? ? + = 4 b a 2 =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 29 ? ? ? = = = a a g g dx a x b x dx y x dA x A x 0 0 ) 2 cos ( ) ( ? ? ? = a 0 dx a 2 x cos x b a 0 2 2 a 2 x sin x a 2 a 2 x cos a 4 b ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? = ? ? ? ? ? ? - ? ? = 1 2 b a 4 2 2 () () ? ? ? ? ? ? - ? + - ? = 0 a a 2 1 0 a 4 b 2 2 8 b ab 2 4 ab A 4 ab y 2 2 ? = ÷ ? ? ? ? ? ? = =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 30 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ab b a x 2 1 2 4 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ab b a x 2 1 2 4 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? - ? ? = 2 1 a 1 2 a 2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 31 Ö Ö rnek 5.3 rnek 5.3 x y y g a dy x g x y dA = ( a –x ) dy x.A = ? dA x g x g = 2 2 x a x x a + = + - y.A = ? dA y g y g = yProf. Dr. Muzaffer TOPCU 32 Ö Ö rnek 5.4 rnek 5.4 y g dx dL dy x g y dL = 2 2 dy dx + dx parantezine alarak x g = x dL = 2 ` 1 y + .dx x.L = ? dL x. , L = ? dL y.L = ? dL y.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 33 Ö Ö rnek 5.5 rnek 5.5 Dikdörtgenin a ğırlık merkezini integral yardımıyla bulunması, h dy b y y g y.A = ? dA . y g y.b.h = 2 . 2 h b y.b.h = ? dy h b y . . . y = 2 h y.b.h = b. h y 0 2 2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 34 x y h d x b x g x.b.h = ? b dA x 0 . dA = h.dx x.b.h = ? b dx h x 0 .. . x.b.h = h. b x 0 2 2 x = 2 bProf. Dr. Muzaffer TOPCU 35 Ö Ö rnek 5.6 rnek 5.6 Üçgenin a ğırlık merkezini integral yardımıyla bulunması, x b a dy h x y y dA = x.d y h y h b x - = x= h y h b ) .( -Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 36 y.A = ? dA y. y. ? = xdy y h b . 2 . y dy y h h b y h b h o . ) ( . 2 . ? - = y dy y hy h b h b h o . ) ( 2 . 2 ? - = y = 3 hProf. Dr. Muzaffer TOPCU 37 Ö Ö rnek 5.7 rnek 5.7 Çeyrek dairenin a ğırlık merkezini integral yardımıyla bulunması, y r ß ? d ? d r ? G ? cos r 3 2 ? cos r x Çeyrek daire için ß açısı 0 ile 90 arasındadır. ? = ? = d r 2 1 ) r ( ) d r ( 2 1 dA 2 ? ? ß ? = = 0 2 d r 2 1 dA A [] [] 4 r r 2 1 r 2 1 2 2 0 2 0 2 ? = ? = ? = ? ßProf. Dr. Muzaffer TOPCU 38 ? ? ? ? ? ? d r d r r dA x A x g cos 3 1 2 1 cos 3 2 3 2 0 2 0 2 ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = [ ] ? = ? sin 3 r 2 3 0 ? ? ? ? ? ? - ? = 0 2 sin 3 r 3 3 r 3 = ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 r 4 r 4 3 r x 2 3Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 39 İki e ğri arasıda kalan alanın ve a ğırlık merkezinin hesabı; y dx y=-x x= y 1 = x x 2 2 y x dA=yd x =(-x)d x y 1 =y 2 x= x 2 -x=0 x(x-1)=0 x 1 =1, x 2 =0Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 40 ? = xdA x A ? ? = dA xdA x = ? ? - - 1 0 1 0 ) ( ) ( dx x x dx x x x = ? ? - - 1 0 2 1 1 0 2 1 ) ( ) ( dx x x dx x x x = 5 2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 41 x dy y dx x 2 = y=x 1 x 2 y dA=xdy=(y-y 2 )dy x 1 =x 2 y=y 2 y(y-1)=0 y 1 =1, y 2 =0Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 42 ? = ydA y A ? ? = dA ydA y ? ? - - 1 0 2 1 0 2 ) ( ) ( dx y y dy y y y ? ? - - 1 0 2 1 0 3 2 ) ( ) ( dy y y dy y y 2 1 = ==Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 43 5.5 D 5.5 D Ö Ö NEL C NEL C İ İ S S İ İ MLER ( PAPPUS MLER ( PAPPUS GULD GULD İ İ N TEOREMLER N TEOREMLER İ İ ) ) Teorem.1: Bir düzlem e ğrinin kendi düzlemi içinde fakat kendini kesmeyen bir eksen etrafında döndürülmesiyle olu şan dönel yüzeyin alanı e ğrinin uzunlu ğuyla dönme sırasında a ğırlık merkezinin kat etti ği yolun çarpımına e şittir. A = 2 ?ygL dA = 2 ?ygdL A = 2 ?. ? dL y gProf. Dr. Muzaffer TOPCU 44 Ö Ö rnek 5.8 rnek 5.8 Yarım çember yayından küre yüzey alanının elde edilmesi r x A = r . . 3 r 4 2 ? ? ? A = 2 r . 3 8 ? xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 45 Ö Ö rnek 5.9 rnek 5.9 E ğik bir do ğrunun x ekseni etrafında döndürülmesi ile koni yüzey alanının hesabı r L h x A = 2 ?. L r . 2 ( koni ) A = ?.r.L xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 46 Ö Ö rnek 5.10 rnek 5.10 Çemberden tor yüzey alanının hesabı r R x A = 2 ? .2 ?.R ( tor ) A = 4 ?2.r.R xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 47 Ö Ö rnek 5.11 rnek 5.11 X eksenine paralel bir do ğrudan silindir yüzey alanının elde edilmesi x r h A = 2 ?.r.h ( silindir ) xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 48 Teorem.2 : Düzlem bir yüzeyin kendi düzlemi içinde, fakat kendini kesmeyen bir eksen etrafında döndürülmesiyle olu şan dönel cismin hacmi, yüzeyin alanıyla dönme sırasında yüzeyin a ğırlık merkezinin kat etti ği yolun çarpımına e şittir. V = 2 ?ygA dV = 2 ?ygL V = 2 ? ? dA y gProf. Dr. Muzaffer TOPCU 49 Ö Ö rnek 5.12 rnek 5.12 Yarım daireden kürenin hacminin hesabı r x G V = 2 ? 2 . . 3 4 2 r r ? ? ( küre ) V = 3 . . 4 3 r ? xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 50 Ö Ö rnek 5.13 rnek 5.13 Dikdörtgenden dolu silindirin hacminin hesabı h r x V = 2 ?. 2 r .h.r V = ?.r2.h xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 51 Ö Ö rnek 5.14 rnek 5.14 Üçgenden koni hacminin hesabı r L x V = 2 ? 2 . . 3 4 2 r r ? ? V = 3 . 2 h r ? xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 52 Ö Ö rnek 5.15 rnek 5.15 Dolu daireden R yarıçaplı torun hacminin hesaplanması r R x V = 2 ?.R. ?.r2 V = 2 ?2.r2.R xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 53 ÇÖ ÇÖ Z Z Ü Ü ML ML Ü Ü PROBLEMLER PROBLEMLER Taralı alanın a ğırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayınız. 2 cm 2 cm y 20 cm x 12cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 54 Çö Çö z z ü ü m: m: 3,6 cm 6,6 cm 2 cm y 20 cm 2 cm x 12cm cm A A x A x A X 625 , 3 64 8 . 24 1 . 40 . . 2 1 2 2 1 1 = + = + + = cm A A y A y A Y 625 , 6 64 1 . 24 10 . 40 . . 2 1 2 2 1 1 = + = + + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 55 Problem 2) Problem 2) 50 mm 50 mm 10 mm 10 mm 100 mm 10 mm 10 mm x y Taralı alanın a ğırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 56 Çö Çö z z ü ü m: m: mm A A A A x A x A x X 55 600 1000 600 ) 60 . 10 .( 80 ) 100 . 10 .( 55 ) 10 . 60 .( 30 . . . 3 2 1 3 3 2 2 1 1 = + + + + = + + + + = mm A A A A y A y A y Y 60 600 1000 600 ) 60 . 10 .( 5 ) 100 . 10 .( 60 ) 10 . 60 .( 115 . . . 3 2 1 3 3 2 2 1 1 = + + + + = + + + + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 57 Problem 3) Problem 3) y 2cm 10cm 2cm 2cm 8cm x Taralı alanın a ğırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 58 Çö Çö z z ü ü m: m: x y A Ax Ay 1 3 7 20 60 140 2 5 1 20 100 120 Toplam 40 160 160 cm y A A A y A y y cm x A A A x A x x 4 40 160 4 40 160 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 = ? = + + = = ? = + + =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 59 Problem 4) Problem 4) 2cm 10cm 2cm x 6cm 2cm y 1cm Taralı alanın a ğırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 60 Çö Çö z z ü ü m: m: x y Ax Ay A 1 2 9 4 8 36 2 0,5 5 10 5 50 3 3,5 1 10 35 10 Toplam 24 48 96 2 24 48 = = ? ? = A xA x cm 4 24 96 = = ? ? = A yA y cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 61 Problem 5) Problem 5) 2 3 2 5 6 2 8 2 y x Verilen profil kesitte a ğırlık merkezini, yerini hesaplayınız. (ölçüler cm’dir)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 62 Çö Çö z z ü ü m: m: A x y Ax Ay 1 14 6,5 11 91 154 2 16 6 6 96 96 3 26 6,5 1 169 26 T 56 356 276 35 , 6 56 356 = = x 92 , 4 56 276 = = y cm cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 63 Problem 6) Problem 6) 4cm 5cm 10cm x 10cm y Taralı alanın a ğırlık merkezinin koordinatlarını hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 64 Çö Çö z z ü ü m: m: X Y AX. AY. A 1 12,5 5 250 3125 1250 2 2,5 7 -30 -75 -210 3 20,76 5,76 -78,53 -1630,28 -452,33 Toplam 141,47 1419,72 587,67 cm A A x X 03 , 10 47 , 141 72 , 1419 . = = = ? ? cm A A y Y 15 , 4 47 , 141 67 , 587 . = = = ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 65 Problem 7) Problem 7) x y 15 cm 10 cm 20 cm 24 cm 20 cm 20 cm 20 cm 15 cm Verilen şeklin a ğırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 66 Çö Çö z z ü ü m: m: X Y AX. AY. A 1 30 22,5 2700 81000 60750 2 15 38 -472,5 -7087,5 -17955 3 52,5 37,5 -225 -11812,5 -8437,5 4 30 4,24 -157,08 -4712,4 -666 Toplam 1845,42 57387,6 33691,5 cm A A x X 09 , 31 42 , 1845 6 , 57387 . = = = ? ? cm A A y Y 25 , 18 42 , 1845 5 , 33691 . = = = ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 67Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 68Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 69Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 70Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 71Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 72Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 73Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 74Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 75Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 76Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 77Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 78Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 79Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 80