Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler 5.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER 5.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER VEKT Ö RLER 5.1. SKALER VE VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER Kütle, s ı cakl ı k, elektrik yükü, alan, hacim gibi sadece pozitif ve negatif say ı larla ifade edilen büyüklüklere skaler (scalar) büyüklükler denir. Sadece bir gerçel say ı ile ifade edilemeyip, buna ek olarak do ğ rultu, yön ve hatta konumlar ı n ı n da bilinmesi ş art ı ile belirtilebilir büyüklüklere vektörel büyüklükler denir (kuvvet, h ı z, ivme, moment, yer de ğ i ş tirme,... gibi). Vektör: Vekt örel b üyüklükler vektör ad ı verilen y önlü do ğ ru par çalar ı ile g österilirler. Vekt ör, belirli bir uzunlu ğ a, belirli bir do ğ rultuya ve belirli bir yöne sahip bulunan bir do ğ ru parças ı d ı r. Vektörler i ş aretleri ile veya ( AB, V, F, a) ile g österilirler. A noktas ı vektörün ba ş lang ı ç noktas ı ve B noktas ı da uç noktas ı ad ı n ı al ı r. Örne ğ in a ş a ğı daki Ş ekil 5.1'de (veya AB) vektörü gösterilmektedir. Vektörün ba ş lang ı ç ve uç noktalar ı aras ı ndaki uzunlu ğ a vektörün uzunlu ğ u veya modülü denir ve mod = ? ? ş eklinde gösterilir. Ba ş lang ı ç noktas ı ndan uç noktas ı na giden yön vektörün yönüdür. Bunu belirtmek için AB'nin üzerine A'dan B'ye giden bir ok konur ve ş eklinde gösterilir. Serbest vektörler do ğ rultu, yön ve modülünü muhafaza ederek uzayda ötenebilen vektörlerdir. Di ğ er bir deyi ş le ba ş lang ı ç noktas ı sabit olmayan vektörlerdir. Ba ğ l ı vektörler ba ş lang ı ç noktas ı sabit olan (de ğ i ş tirilemeyen) vektörlerdir. Aksi belirtilmedi ğ i sürece bundan sonra ele al ı nan vektörler serbest vektörler olacakt ı r. 5.2. VEKTÖRLER İ N E Ş İ TL İĞİ ve gibi iki vektörü göz önüne alal ı m: ve vektörlerinin ba ş lang ı ç noktalar ı farkl ı , fakat do ğ rultu, yön ve büyüklükleri (modülleri) ayn ı ise, ve vektörü e ş ittir denir ve = yaz ı l ı r. Bu durum Ş ekil 5.2'de görülmektedir. 5.3. VEKTÖRLER İ N TOPLAMI VE FARKI Bu k ı s ı mda vektörlerin toplam ı ve ç ı kar ı lmas ı incelenecektir. 5.3.1. İ ki Vektörün Toplam ı ? 5.3.2. İ ki Vektör Fark ı ? 5.3.1. İ ki Vektörün Toplam ı ve gibi iki vektörümüzün verildi ğ ini varsayal ı m. İ ki vektörün toplam ı , = + ş eklinde ifade edilir. Bu durum Ş ekil 5.3'te görülmektedir. vektörünün ba ş lang ı ç noktas ı , vektörünün u ç noktas ı na getir ilir. Elde edilen = vektörüne ve vektörlerinin toplam ı (bile ş ke) denir. + = + ş eklinde de ifade edilebilir. 5.3.2. İ ki Vektör Fark ı ve gibi iki vekt örün verildi ğ ini varsayal ı m, - fark ı ve (- ) vektörlerinin toplam ı olup ş eklinde ifade edilir. Bu durum Ş ekil 5.4'te görülmektedir. 5.4. VEKTÖRLER İ N B İ R SKALER İ LE ÇARPIMI Bu k ı s ı mda a ş a ğı daki ba ş l ı klar üzerinde durulacakt ı r: 5.4.1. Bir Vektörün Bir Skaler ile Çarp ı m ı ? 5.4.2. Skaler Çarp ı m Çe ş itleri ?5.4.3. Vektörlerin 0xyz Eksen Tak ı m ı Üzerinde Tan ı mlanmas ı ? 5.4.4. Birim Vektörleri ? 5.4.5. vektörünün bile ş enlerinin elde edilmesi ? 5.4.6. İ ki Vektörün Skaler Çarp ı m ı ? 5.4.7. İ ki Vektör Aras ı ndaki Aç ı ? 5.4.8. Vektörel Çarp ı m ? 5.4.9. Vektörlerinin Kar ı ş ı k Çarp ı m ı ? 5.4.10. Lineer Kombinasyon Tan ı m ı ? 5.4.1. Bir Vektörün Bir Skaler ile Çarp ı m ı vektörünün m gibi bir pozitif say ı ile çarp ı m ı olan m vektörü vektörü ile ayn ı do ğ rultu ve yöne sahip olup sadece modülü vektörünün m kat ı na e ş ittir. Yani, ? m ?= m ? ?'d ı r. E ğ er m < 0 ise yani m say ı s ı negatif ise ve m vektörlerinin do ğ rultular ı ayn ı , fakat yönleri birbirinin tamamen tersidir. m 'nin de ğ i ş ik de ğ erleri için bu durumlar Ş ekil 5.5'te görülmektedir. 5.4.2. Skaler Çarp ı m Çe ş itleri Modülü s ı f ı r olan vektöre s ı f ı r vektör ad ı verilir. - ile vektörünün do ğ rultusuna ve modülüne sahip, fakat vektörünün tamamen aksi yönünde olan vektör gösterilir. birim vektörü, vektörü ile ayn ı do ğ rultu ve yöne sahip olan ve modülü 1 olan bir vektördür.5.4.3. Vektörlerin 0xyz Eksen Tak ı m ı Üzerinde Tan ı mlanmas ı Ayn ı koordinat sisteminde verilmi ş = (a1, a2, a3) ve = (b1, b2, b3) vektörlerinin e ş it olabilmesi a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3 olmas ı ile mümkündür. Bile ş enlerinin hepsi s ı f ı r olan bir vektöre, s ı f ı r vektör denir. = (0, 0, 0) 5.4.4. Birim Vektörleri vektörleri, Ox, Oy, Oz eksenleri do ğ rultusundaki birim vektörlerdir. Buna göre = (1, 0, 0), = (0, 1, 0) ve = (0, 0, 1)'dir. Bir vektörün bir skalerle çarp ı m ı ve vektörlerin toplam ı kural ı ndan yararlanarak, bir vektörünün analitik ifadesi olarak yaz ı labilir. Bu durum Ş ekil 5.6'da görülmektedir.? Bile ş enleri ile verilmi ş bir vektörünün modülü, ş eklindedir. 5.4.4.1. Örnekler dur. bulunur. 5.4.5. Vektörünün Bile ş enlerinin Elde Edilmesi E ğ er vektörünün ba ş lang ı ç noktas ı P 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) ve u ç noktas ı P 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) ise vektörünün bile ş enleri= ( x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1 ) d ı r. Dolay ı s ı yla vektörü ş eklindedir. 5.4.6. İ ki Vektörün Skaler Çarp ı m ı ve gibi iki vekt örün skaler çarp ı m ı , bu vekt örlerin a ve b b üyüklükleriyle vektörler aras ı ndaki ? aç ı s ı n ı n kosinüsü çarp ı m ı na e ş ittir: ? = ? ? ? ? Cos ? Bu durum Ş ekil 5.7'de görülmektedir.Ş ekil-5.7: İ ki vektörün skaler çarp ı m ı İ ki vekt ö r ü n skaler ç arp m bir skaler (say )d r. Skaler çarp ı mla ilgili olarak a ş a ğı daki kurallar geçerlidir: 5.4.6.1. Örnek 6, 7 ve 85.4.7. İ ki Vektör Aras ı ndaki Aç ı s ı f ı rdan farkl ı vektörler olsun.5.4.7.1. Örnek 9 5.4.8. Vektörel Çarp ı m Aralar ı ndaki aç ı ? olan ve vektörlerini göz önüne alal ı m ( Ş ekil-5.8)Bu iki vekt örün vektörel çarp ı m ı öyle bir vektörüdür ki bu vekt örün büyüklü ğ ü, verilen vektörlerin ? ? ve ? ? büyüklükleriyle, bunlar aras ı ndaki aç ı n ı n sinüsü çarp ı m ı na e ş ittir. Bu çarp ı m, ş eklinde gösterilir. vektörünün do ğ rultusu, ve vektörlerinin olu ş turduklar ı düzleme dik, yönü de sa ğ el kural ı yla bellidir. SA Ğ EL KURALI: ifadesinde vektörü ve vektörlerinin her ikisine de diktir. E ğ er ve vektörleri s ı f ı r olmayan vektörler ise, nin yönü sa ğ el kural ı ile belirlenebilir. ? , ve vektörleri aras ı ndaki aç ı olsun ve vektörünün belirtilen yönde vektörü ile çak ı ş ı ncaya kadar döndürüldü ğ ünü varsayal ı m. E ğ er sa ğ elin, ş ekilde gösterildi ğ i gibi, dört parma ğ ı dönü ş yönünü gösterecek ş ekilde tutulursa ba ş parmak nin yönünü belirtir.Vektörel çarp ı m bir say ı de ğ il bir vektördür. Vektörel çarp ı mla ilgili olarak a ş a ğı daki kurallar geçerlidir: 5.4.8.1. Örnek 105.4.8.2. Örnek 11 5.4.9. Vektörlerinin Kar ı ş ı k Çarp ı m ı çarp ı m ı na kar ı ş ı k çarp ı m denir. E ğ er ise kar ı ş ı k çarp ı m olarak elde edilir. bulunur. 5.4.10. Lineer Kombinasyon Tan ı m ı n boyutlu uzayda gibi m tane vektör göz önüne alal ı m. k1, k2, ..., km gerçel say ı lar olmak üzere vektörü ş eklinde ifade edilebiliyorsa, vektörü vektörlerinin lineer kombinasyonudur denir. 5.5. L İ NEER BA Ğ IMLILIK ve BA Ğ IMSIZLIK Bu k ı s ı mda lineer ba ğı ml ı l ı k ve ba ğı ms ı zl ı k kavramlar ı üzerinde durulacakt ı r. 5.5.1. Lineer Ba ğı ml ı Vektörler ? 5.5.1. Lineer Ba ğı ml ı Vektörler n boyutlu uzayda gibi m tane vektör göz önüne alal ı m. ba ğı nt ı s ı n ı sa ğ layacak ş ekilde, içlerinden en az bir tane si s ı f ı rdan farkl ı olan (yani t ümü birden s ı f ı r olmayan) k 1 , k 2 , ..., k m say ı lar ı mevcut ise vektörleri lineer ba ğı ml ı d ı r denir.E ğ er e ş itli ğ i için sa ğ lan ı yorsa vektörleri lineer ba ğı ms ı zd ı r denir. 5.BOLUM DE Ğ ERLEND İ RME SORULARI