Malzeme Mekaniğinde Özel Konular 6 - Mekanikte Enerji Kavramı ( Genleme Enerjisi ) Malzeme Mekaniğinde Özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK HAFTA HAFTA 6. 6. Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde Ö Özel Konular zel Konular M MK K MT4 MT4 Dr. Nusret MEYDANLIK nm-2012 MEKAN MEKAN İ İ KTE E N E R J KTE E N E R J İ İ KAVRAMI KAVRAMI (GENLEME ENERJ (GENLEME ENERJ İ İ S S İ İ ) ) KAYNAKLAR : KAYNAKLAR : • BEER, JOHNSTON, DE WOLF, Mechanics of Materials,6 th ed. • HIBBELER, Mechanics of Materials, 8 th ed. 6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 2 MEKAN MEKANDD KTE ENERJ KTE ENERJDD KAVRAMI KAVRAMI Buraya kadar; değişik yükler altında kuvvet ile deformasyon arasındaki mevcut olan ilişkiler ile ilgilendik. Yaptığımız analizlerde iki temel kavram vardı, GERDLME ve GENLEME. Burada yeni bir temel kavram tanımlayacağız , GENLEME ENERJDSD ( (strain strain energy energy). ). Ki burada genleme enerjisi, elemanın deformasyonu ile ilgili olarak enerjisindeki artış olarak tanımlanır. Genleme enerjisinin elemana uygulanan yavaş olarak artan yük nedeniyle yapılan işe eşit olduğu görülecektir. Enerji kavramı ileri seviyede mekanik problemlerinin çözümünde oldukça faydalıdır. Genleme enerjisi yoğunluğu ( (strain strain energy energy density density) ) ise birim hacımdaki genleme enerjisi olarak tanımlanmaktadır ki buda gerilme-genleme diyagramı altındaki alana eşittir.6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 3 Axially loaded rod. • Uniform kesitli bir çubuk yava yavaş şç ça artan a artan bir yüke maruz kaldığında, cisim uzadığı için kuvvet iş yaptı denir. • Çubuğun dx kadar uzaması ile P nin yaptığı elemanter iş ki bu da yük-def. eğrisi altında dx genişliğindeki alana eşittir. iş elemanter dx P dU = = • x 1 kadar uzama ile yük tarafından yapılan toplam iş, bu çubuğun genleme enerjisinde artışa neden olur. enerjisi enleme g iş oplam t dx P U x = = = ? 1 0 GENLEME ENERJ GENLEME ENERJDD S SDD ( (Strain Energy Strain Energy) ) 6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 4 1 1 2 1 2 1 2 1 x 0 x P kx dx kx U 1 = = = ? • Lineer elastik deformasyon halinde, The concept of strain energy is particularly useful in the determination of the effects of impact loadings on structures or machine components. Consider, for example, a body of mass m m moving with a velocity v 0 which strikes the end B of a rod AB. Darbe nedeniyle çubukta oluşan max. genleme enerjisi U m ,çarpan cismin kinetik enerjisine eşittir6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 5 GENLEME ENERJ GENLEME ENERJDD S SDD YO YOĞ ĞUNLU UNLUĞ ĞU U • Boyut etkisini elemine etmek için, birim hacım için genleme enerjisi , • Yük kaldırıldığı zaman gerilme sıfıra döner fakat kalıcı (plastik) deformasyon vardır. Bu nedenle genleme enerjisi koyu renkli üçgen alan ile temsil edilir. • Kalan enerji ısı olarak açığa çıkar. toplam genleme enerjisi yoğunluğu, ? 1 e kadar egri altındaki alana esittir. = = = ? ? 1 1 0 x x 0 d u L dx A P V U ? ? ? 6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 6 • Malzemeyi koparmak için gerekli birim hacım enerjisi en büyük çekme dayanımı ile olduğu kadar süneklik ile de ilgilidir. • Gerilmeler orantı sınırı altında kalırsa, E 2 2 E d E u 2 1 2 1 0 x 1 1 ? ? ? ? ? = = = ? • Elstik bölgede genleme enerjisi yoğ. da REZDLYANS MODÜLÜ diyoruz. resilience of modulus E 2 u 2 Y Y = = ? GENLEME ENERJ GENLEME ENERJDD S SDD YO YOĞ ĞUNLU UNLUĞ ĞU U • Gerilme –genleme eğrisi altındaki toplam alan TOKLUK MODÜLÜ nü tanımlar (? 1 =? R )6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 7 EKSENEL NORMAL GER EKSENEL NORMAL GERDD LMELER LMELER DD Ç ÇDD N ELAST N ELASTDD K GENLEME ENERJ K GENLEME ENERJDD S SDD • Genel hal için gerilme dağılımının düzgün olmadığı bir elemanda, ? = ? = = › dV u U dV dU V U lim u 0 V ? ? ? • Orantı sınırının altında , u < u Y dir, enerjisi genleme elastik dV E U x ? = = 2 2 ? • • Eksenel Eksenel Y Yü ükleme halinde kleme halinde, , dx A dV , A P x = = ? ? = L 0 2 dx AE 2 P U AE 2 L P U 2 = • Uniform (sabit) kesitli çubuk için, (Toplam genleme enerjisi) 6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 8 Ö Örnek rnek- -1: 1: Aynı malzemeden yapılmış aynı kesit alanına sahip iki çubuktan oluşan sisteme B den P yükü etki ediyor. Sisteminin genleme enerjisini hesaplayınız. Çözüm: Sisteminin genleme enerjisi, şekilden, B düğümü dengesinden, Dikkat : Dikkat : genleme genleme enerjisi daima pozitiftir enerjisi daima pozitiftir6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 9 E EĞD ĞD LME NORMAL GER LME NORMAL GERDD LMELER LMELERDD DD Ç ÇDD N ELAST N ELASTDD K GENLEME ENERJ K GENLEME ENERJDD S SDD I y M x = ? • • E Eğ ğilmeye zorlanan bir kiri ilmeye zorlanan bir kiriş ş i iç çin in, , ? ? = = dV EI 2 y M dV E 2 U 2 2 2 2 x ? ÖRNEK-2 : Ucundan yüklü prizmatik ankastre kirişte eğilme genleme enerjisini hesaplayınız. EI 6 L P U dx EI 2 x P U Px M 3 2 L 0 2 2 = ? = - = ? • dV = dA dx ile, dx dA y EI M dx dA EI y M U L A L A ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? = = 0 2 2 2 0 2 2 2 2 2 dx EI 2 M U L 0 2 ? = 6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 10 KAYMA GER KAYMA GERDD LMELER LMELERDD DD Ç ÇDD N GENLEME ENERJ N GENLEME ENERJDD S SDD • Düzlemde kayma gerilmelerine zorlanan eleman için herhangi bir noktada genleme enerjisi yoğunluğu, ? = xy 0 xy xy d u ? ? ? • Orantı sınırının altında ? xy için, G 2 G u 2 xy xy xy 2 1 2 xy 2 1 ? ? ? ? = = = • Toplam genleme enerjisi, ? ? = = dV G 2 U dV u U 2 xy ?6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 11 ? ? = = dV GJ 2 T dV G 2 U 2 2 2 2 xy ? ? • • Burulmaya zorlanan mil i Burulmaya zorlanan mil iç çin in, , • dV = dA dx ile, ? ? ? ?? = ? ? ? ? ? ? ? ? = = L 0 2 L 0 A 2 2 2 L 0 A 2 2 2 dx GJ 2 T dx dA GJ 2 T dx dA GJ 2 T U ? ? • Sabit kesitli miller için, GJ 2 L T U 2 = KAYMA GER KAYMA GERDD LMELER LMELERDD DD Ç ÇDD N GENLEME ENERJ N GENLEME ENERJDD S SDD J T xy ? ? = 6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 12 Ö Örnek rnek- -3: 3: Eğilmeye zorlanan kirişte hem normal hem de kayma gerilmeleri nedeniyle olan genleme enerjisini hesaplayınız. EI 6 L P U 3 2 = ? Eğilme normal gerilmeleri için önceki örnekte elde edilmişti Çözüm: for a beam with a rectangular cross section of width b and depth h aşağıdaki ifade de daha önce mukavemet dersinde elde edilmişti bu ifade önceki slaytta elde edilen enerji ifadesinde yerine konursa , setting dV=b.dy.dx, and after reductions6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 13 performing the integrations, and recalling that c=h/2, we have or, noting that I/A=h 2 /12 and factoring the expression for U ? Toplam genleme enerjisi G ? (E/3) ile 1+0.9(h/L) 2 olur. For a beam with a ratio h/L less than 1/10; hata %0.9 da küçük oluyor 6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 14 Ö Örnek rnek- -4: 4: Yanda yükleme hali ve boyutları görülen ankastre bağlı milin etki eden torklar nedeniyle genleme enerjisini hesaplayınız. G=75 GPa Çözüm: Önce iç torklar belirlenirse T 1 =40 Nm ve T 2 =15 Nm bulunur. (burda momentlerin + yada – olması önemli değil, çünkü genleme e. Pozitiftir) Polar Atalet momenti, J=36,30.10 -6 m 46. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 15 GENEL GER GENEL GERDD LME HAL LME HALDD DD Ç ÇDD N GENLEME ENERJ N GENLEME ENERJDD S SDD In the case of the elastic deformation of an isotropic body, each of the six stress-strain relations involved is linear, and the strain energy/ density can be expressed as, for the most general state of stress at a given point of an elastic isotropic body, the strains can be eliminated by using the generalized form of Hooke’s Law 6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 16 GENEL GER GENEL GERDD LME HAL LME HALDD DD Ç ÇDD N GENLEME ENERJ N GENLEME ENERJDD S SDD If only the principal stresses ? 1 , ? 2 ve ? 3 act on the element [ ] 1 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 ( 2 E 2 1 u ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + - + + =6. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 17 Bir kuvvet bir deplasman boyunca harekete neden oluyorsa kuvvet iş yapıyor denir. Eğer kuvvetin şiddeti yavaş yavaş 0 dan F e kadar artıyorsa yapılan iş U=(F/2).? dır. Eğer kuvvet sabit ise U=F.? dır Bir moment (yada kuvvet çifti) eğer açısal deplasman ile dönme hareketine neden oluyorsa moment iş yapıyor denir. Genleme enerjisi normal ve kayma gerilmelerine neden olan iç kuvvetler nedeniyle oluşur. Daima pozitif büyüklüğe sahiptir. Kiriş uzadıkça eğilme nedeniyle olan genleme enerjisi kayma nedeniyle olan genleme enerjisinden çok daha büyük hale geliyor. Bu nedenle kirişlerde kayma genleme enerjisi çoğu zaman ihmal edilir, En En ö önemlisi;bu i nemlisi;bu iş şlemler sadece elastik b lemler sadece elastik bö ölgede ge lgede geç çerlidir. erlidir. ( (? ?<