Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler 6.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER 6.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER L İ NEER DENKLEM S İ STEMLER İ N İ N ÇÖ Z Ü M Ü ve RANK KAVRAMI G İ R İ Ş 6.1. B İ R MATR İ S İ N RANKI m sat ı r ve n sütundan olu ş an A matrisini gözönüne alal ı m. Bu matrisin baz ı sat ı r ve sütunlar ı n ı silmek suretiyle elde edilen r ?r boyutlu kare matrislerden hiç olmazsa birinin determinant ı s ı f ı rdan farkl ı , fakat r ?r'den daha yüksek boyutlu kare matrislerden her birinin determinant ı s ı f ı r ise r say ı s ı na A matrisinin rank ı denir.6.1.1. Örnek 1 ve 2 6.1.2. Denk Matrisler Yöntemi Daha önceki bölümlerde verilen bir A matrisinin elementer sat ı r/sütun dönü ş ümleri yard ı m ı yla bir B matrisine dönü ş türüldü ğ ü A ve B matrislerine Denk matrisler dendi ğ inden bahsedilmi ş ti. 6.1.2.1. Örnek 3 6.1.3. Lineer Ba ğı ms ı zl ı k ve Rank Konuyu hat rlamak i ç in ö rnekleri inceleyelim. 6.1.3.1. Örnek 4, 5 ve 6 6.2. L İ NEER DENKLEM S İ STEMLER İ N İ N ÇÖZÜMÜ m sat ı r ve n sütundan olu ş an bir lineer denkl em sisteminin AX=B ş eklinde ifade edildi ğ inden daha önce bahsedilmi ş idi. Sistemin çözümüne ili ş kin baz ı yöntemler örne ğ in Gauss, Gauss-Jordan, Matris tersi, Cramer gibi ele al ı nm ı ş ve bilinmeyenler vektörü X'e ili ş kin çözüm de ğ erleri elde edilmi ş idi. Bu bölümde rank yard ı m ı yla Lineer denklem sistemlerinin çözümü ele al ı nacak ve örneklerle konuya aç ı kl ı k kazand ı r ı lmaya çal ı ş ı lacakt ı r. 6.3. L İ NEER HOMOJEN DENKLEM S İ STEM İ AX=B lineer denklem sisteminin çözümünün mevcut olmas ı için gerek ve yeter ş art A ve [AB] matrislerinin ranklar ı n ı n ayn ı olmas ı d ı r. 6.3.1. Örnek 7, 8, 9, 10, 11 ve 12 6.3.2. Lineer Homojen Denklem Sistemi Burada katsay ı lar matrisive artt ı r ı lm ı ş (geni ş letilmi ş ) matris [AB] ise [A0] olup ş eklinde ifade edilir. Bilinmeyenler vektörü x ise dir. A ve [A0] matrislerinin ranklar ı birbirine e ş it oldu ğ undan, bu sistemin daima x1=x2=....=xn= 0 olan bir çözümü vard ı r. Bu çözüme s ı f ı r çözüm (trivial solution) denir. AX=0 Lineer homojen denklem sisteminin çözümüne ili ş kin takip eden sayfalardaki kurallar geçerlidir. 6.3.2.1. Kural 1 1. A matrisinin rank ı , r = n ise sistemin yaln ı z s ı f ı r çözümü vard ı r. 6.3.2.2. Kural 2 2. A matrisinin rank ı , r