Mukavemet Malzeme Mekaniği 7 - Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme Hali ( Mukavemet II ) Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I YY) MUKAVEMET YY) MUKAVEMET YY) MUKAVEMET- - -II II II © 2008 NM K Kİ İR Rİ İ LERDE ASAL GER LERDE ASAL GERİ İLMELER LMELER ve ve B Bİ İLE LEİ İ K Y K YÜ ÜKLEME HAL KLEME HALİ İ (9). HAFTA 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 2 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • Yandaki gibi boyuna eksenine dik etki eden yüklerin etkisindeki dd kesitli kirişte en büyük normal (eğilme ) ve kayma gerilmeleri, It VQ It VQ I Mc I My m xy m x = - = = - = ? ? ? ? • Asal Gerilmelerin (? max., ? min., ? max. ) Principal stresses) nasıl bulunacağını biliyoruz ! • Kesit içinde herhangi bir yerde normal gerilme den daha büyük olabilir mi ? I Mc m = ? (En büyük eğilme gerilmesi) 3 12 2 3 c A bh I = =16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 3 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Dikd Dikdö örtgen kesitli bir kiri rtgen kesitli bir kiriş ş incelenirse (kal incelenirse (kalı ınl nlı ık sabit); k sabit); Her kesit için geçerli mi ? Ü Ü.N. .N.- - T.E. T.E.- - A.N. A.N.- - x=8C x=2C 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 4 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Çoğu kesit için bu geçerli ancak kirişin genişliği yüzeye yakın yerlerde max. ? xy kayma gerilmeleri oluşturacak şekilde (I kesit gibi) ise bu cıvarda aynı zamanda ? x de büyüktür. Dolayısıyla asal gerilmenin değeri en büyük eğilme normal gerilmesinden büyük olur. Bu duruma özellikle I kesitli kirişlerde dikkat etmek gerekir. Asal gerilme, gövde ile flanşın kesiştiği noktalarda hesaplanmalıdır. 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 5 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM I kesitli kiri I kesitli kiri ş ş te durum (kal te durum (kal ı ı nl nl ı ı k t sabit de k t sabit de ğ ğ il ); il ); • Kesitin şekli örneğin yandaki kesitte ? x in büyük olduğu yüzeye yakın yerlerde (b ve d de) ? xy nin de büyük olmasına neden olur . Bu nedenle ; • ? max (? 1 ) may be greater than ? m I Mc m = ? (En büyük eğilme gerilmesi) 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 6 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK RNEK- -1 : 1 : Boyut detayları yukarda verilen geniş başlıklı W200x52 tipi kirişe şekilde görüldüğü gibi ucundan 60-kN force uygulanıyor. Köşelerin ve kesit değişiminin gerilme yığılma etkisi ihmal edilirse A-A’ kesitinde oluşacak en büyük normal gerilmenin 150 MPa ı aşmadığını kontrol ediniz.16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 7 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM SOLUTION: • A-A’ kesitindeki KK ve EM iç kuvvetlerinin bulunması, ( )( ) kN 160 m - kN 60 m 375 . 0 kN 160 = = = A A V M • Üst yüzeyde ve gövde ile başlığın birleştiği kısımda normal gerilmeler. ( ) MPa 9 . 102 mm 103 mm 4 . 90 MPa 2 . 117 MPa 2 . 117 m 10 512 m kN 60 3 6 = = = = × · = = - c y ? S M b a b A a ? ? 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 8 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • Flanş ile gövde birleşiminde kayma gerilmesi. ( ) ( )( ) ( )( ) MPa 5 . 95 m 0079 . 0 m 10 7 . 52 m 10 6 . 248 kN 160 m 10 6 . 248 mm 10 6 . 248 7 . 96 6 . 12 204 4 6 3 6 3 6 3 3 = × × = = × = × = × = - - - It Q V Q A b ? • Flanş ile gövde kesişiminde asal gerilmeler, ( ) ( ) ( ) MPa 150 MPa 9 . 169 5 . 95 2 9 . 102 2 9 . 102 2 2 2 2 2 1 2 1 max > = + ? ? ? ? ? ? + = + + = b b b ? ? ? ? Design specification is not satisfied.16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 9 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ÖRNEK-2 : Aşağıda yükleme hali ve kesit boyutları verilen kirişe w=120 kN/m lik düzgün yayılı yük etkimekte. Kesitin yatay TE ne göre atalet momenti I=67.4 (10 -6 ) m 4 olduğuna göre yükleme hali ve kesit üzerinde gösterilen P noktasındaki asal gerilmeleri bulunuz. 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 10 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM EXAMPLE 2 (CONTINUED)16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 11 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM EXAMPLE 2 (CONTINUED) 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 12 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM EXAMPLE 2 (CONTINUED)16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 13 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ÇALIŞMA PROB.-1 The overhanging beam supports a uniformly distributed load and a concentrated load. Kiriş malzemesinin hasarlanmadan taşıyabileceği en büyük normal gerilme değeri ? all = 24 ksi and en büyük kesme gerilmesi değeri de ? all = 14.5 ksi olduğuna göre yandaki tablodan uygun kirişi seçiniz. SOLUTION: • Determine reactions at A and D. • Find maximum shearing stress. • Find maximum normal stress. • Calculate required section modulus and select appropriate beam section. • Determine maximum shear and bending moment from shear and bending moment diagrams. Örnek Prb 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 14 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Sample Problem 8.2 • Calculate required section modulus and select appropriate beam section. section beam 62 W21 select in ksi 24 in kip 3 × = · = = 7 . 119 ) 12 * 4 . 239 ( M S all max min ? SOLUTION: • Determine reactions at A and D. kips 41 0 kips 59 0 = ? = ? = ? = ? A D D A R M R M • Determine maximum shear and bending moment from shear and bending moment diagrams. kips kips with f kip 43 V 2 . 12 V t 4 . 239 M max max = = · =16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 15 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Seçilen kirişin uygunluğunun kontrolü ; • Find maximum shearing stress. Assuming uniform shearing stress in web, ) 5 . 14 00 . 6 . . ( ksi 14.5 ksi 12 . 5 in 8.40 kips 43 max 2 max max eksende tarafsıa ksi ksi t I Q V A V w web < = = < = = = ? ? • Find maximum normal stress. ( ) ) ksi 18 . 1 4 . 0 * 1330 65 . 51 * 2 . 12 t . I Q . V ( 45 . 1 2 . 12 A V 3 . 21 5 . 10 88 . 9 6 . 22 c y ? 6 . 22 1 2873 S M w web b a b 3 max a = = = = = = = = = = · = = b 2 b ksi in 8.40 kips ksi ksi ksi in 27 in kip ? ? ? ? ( ) ksi 24 ksi 4 . 21 ksi 45 . 1 2 ksi 3 . 21 2 ksi 3 . 21 2 2 max < = + ? ? ? ? ? ? + = ? 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 16 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM B B İ İ LE LE İ İ K K Y Y Ü Ü KLEME KLEME HAL HAL İ İ16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 17 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Mukavemet dersinde bugüne kadar, sadece eksenel yük etkisinde veya sadece kesme kuvveti etkisinde veya sadece burulma etkisinde veya sadece eğilme momenti etkisinde oluşan gerilmeleri ve dağılımını bulmayı öğrendik. Fakat gerçekte bu yükler çok nadiren tek başına etki eder, çoğu zaman aynı anda ikisi yada üçü birden etki etmektedir. Bu bölümde bu durumda ne yapacağımızı öğreneceğiz. En basit olarak da daha önce öğrendiklerimizi birleştirerek bu problemleri çözeceğimizi söyleyebiliriz. Eğer malzeme lineer elastik davranış gösteriyorsa ve boyutlarında önemli değişiklikler olmuyorsa SÜPERPOZİSYON PRENSİBİ nin uygulanabileceğini biliyoruz. Ancaaak dikkat etmemiz gereken önemli bir nokta ……………………. B BDD LE LEŞD ŞD K Y K YÜ ÜKLEME HAL KLEME HALDD 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 18 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • Bir noktaya etki eden aynı düzlemde ve aynı yönde olan benzer tip gerilmeler cebrik olarak toplanabilir, • Kayma gerilmeleri ile çekme/basma normal gerilmeleri cebrik olarak toplanmaz. (elmarmut hesabı ??) • Aynı tipte olsa dahi bir noktadaki gerilme bir başka noktadaki gerilme ile toplanmaz. (vişnerik hesabı ??) * * Dikkat , Dikkat , Ö Ö NEML NEML İ İ16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 19 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM BDLEŞDK YÜKLER ETKDSD ALTINDA GERDLMELER : • Değişik yükler etkisi altındaki bir elemanda, her hangi bir kesitte herhangi bir noktadaki gerilmeyi bulmamız gerekebilir. • Bu durumda ilgilenilen kesitten keserek kestiğimiz kesitin ağırlık merkezinde statik dengeyi koruyacak kuvvet ve moment sistemi oluşturulur. • Bu sistemin en genel halde üç kuvvet ve üç momentten oluşan bileşenleri vardır. Ki bunlara İÇ KUVVETLER denir. • Süperpozisyon prensibi uygulanarak gerilme dağılımı elde edilebilir. 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 20 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Stresses Under Combined Loadings • Eksenel kuvvet ve eğilme momentleri nedeniyle oluşan normal gerilme dağılımı ve kesme kuvveti ve burulma momenti nedeniyle oluşan kayma gerilmeleri dağılımı. İki noktada gerilme durumu. İki noktada asal gerilme doğrultuları.16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 21 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Bir transmisyon milinde durum 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 22 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 23 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ÇÖZÜM: B ve C nin olduğu kesitten kesersek denge hali için 15 kN u kesitin ağ. merkezine taşırız aynı zamanda moment etkisini de taşımalıyız, ÖRNEK- 1: Bloğun kendi ağırlığını ihmal edip B ve C noktalarındaki gerilme durumunu belirleyiniz 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 24 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM EXAMPLE 1 (CONTINUED) (Basma normal G.) (Eğilme . G.) T.E.’ nin yeri ; Yorum : B ve C noktalarında TEK EKSENLİ GERİLME hali söz konusudur. ? B =7.5 MPa (çekme) ? C =15 MPa (basma)16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 25 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Aşağıda yükleme hali görülen dd kesitli elemanın yeri şekil üzerinde gösterilen C noktasındaki gerilme durumunu bulunuz. Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORUSU MA SORUSU- -1 1 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 26 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 27 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 28 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 29 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Kayma gerilmesi sıfırdır. Normal gerilmeler toplanırsa C noktasındaki toplam gerilme; S Sü üperpozisyon perpozisyon prensibi ile , prensibi ile , S Sü üperpozisyon perpozisyon prensibi ile , prensibi ile , 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 30 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM z x y Yanda yükleme hali verilen, yarıçapı 7.5 mm olan L çubuğun A noktasındaki gerilme durumunu belirleyiniz. Ö ÖRNEK RNEK- - 2 216.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 31 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM A noktasının olduğu kesitte etkiyen iç kuvvetler; M x =M b =112 Nm M z =M eğ. =80 Nm M y =M eğ. =70 Nm P=500 N Aynı kesitin karşılıklı yüzleri P=800 N 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 32 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Aynı düzlemdeki karşı yüzler16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 33 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Aynı düzlemdeki karşı yüzler (e) A noktasındaki kayma gerilmesi 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 34 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Aynı düzlemdeki karşı yüzler (f) A noktasındaki eğilme gerilmesi ?=016.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 35 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Aynı düzlemdeki karşı yüzler (h) A noktasındaki kayma gerilmesi 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 36 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Bulunan sonuçlar süperpoze edilirse ; A noktasında hem normal gerilme hem de kayma gerilmeleri vardır A noktasında DÜZLEM GERİLME HALİ söz konusudur16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 37 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORUSU MA SORUSU- -2 2 Ağırlığı ihmal edilen dd kesitli bloğa aşağıda görüldüğü gibi bir köşesinden 40 kN luk düşey yük uygulanıyor. ABCD kesidine etki eden normal gerilme dağılımını bulunuz. 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 38 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 39 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 40 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 41 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 42 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Tarafs Tarafsı ız eksenin yeri i z eksenin yeri iç çin ; in ;16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 43 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Çalışma sorusu : Zemine ankastre olarak bağlı olan yukardaki çelik bloğa görüldüğü gibi üç kuvvet etkimektedir. H noktasındaki asal gerilmeleri asal düzlemleri ve asal gerilmeleri bulunuz. SOLUTION: • Determine internal forces in Section EFG. • Calculate principal stresses and maximum shearing stress. Determine principal planes. • Evaluate shearing stress at H. • Evaluate normal stress at H. 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 44 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ÇÖZÜM : • EFG kesidindeki iç kuvvetlerin belirlenmesi ( )( ) ( )( ) ( )( ) m kN 3 m 100 . 0 kN 30 0 m kN 5 . 8 m 200 . 0 kN 75 m 130 . 0 kN 50 kN 75 kN 50 kN 30 · = = = · - = - = - = = - = z y x z x M M M V P V Note: Section properties, ( )( ) ( )( ) ( )( ) 4 6 3 12 1 4 6 3 12 1 2 3 m 10 747 . 0 m 040 . 0 m 140 . 0 m 10 15 . 9 m 140 . 0 m 040 . 0 m 10 6 . 5 m 140 . 0 m 040 . 0 - - - × = = × = = × = = z x I I A16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 45 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • Evaluate normal stress at H. • Evaluate shearing stress at H. ( )( ) [ ]( ) ( )( ) ( )( ) MPa 52 . 17 m 040 . 0 m 10 15 . 9 m 10 5 . 85 kN 75 m 10 5 . 85 m 0475 . 0 m 045 . 0 m 040 . 0 4 6 3 6 3 6 1 1 = × × = = × = = = - - - t I Q V y A Q x z yz ? H ? Y =66 MPa ? xy =66 MPa F G ( )( ) ( )( ) ( ) MPa 66.0 MPa 2 . 23 3 . 80 93 . 8 m 10 15 . 9 m 025 . 0 m kN 5 . 8 m 10 747 . 0 m 020 . 0 m kN 3 m 10 5.6 kN 50 4 6 4 6 2 3 - = - + = × · - × · + × = - + + = - - x x z z y I b M I a M A P ? M x 16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 46 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM M z =1080 Nm ÖRNEK:16.02.2009 14:28 Kirişlerde Asal G. ve Bileşik Yükleme 47 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM