Statik 7 - Kirişlerde Kesme Kuvveti ve Eğilme Momentlerinin Hesaplanması ve Diagramları Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 BÖLÜM-7Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 2 K İR İ ŞLERDE KESME KUVVET İ VE E Ğ İLME MOMENTLER İN İN HESAPLANMASI VE D İYAGRAMLARIProf. Dr. Muzaffer TOPCU 3 7.1 G 7.1 G İ İ R R İŞ İŞ VE TANIMLAR VE TANIMLAR Cisimlerin mukavemetlerinin asıl problemi , herhangi bir yapıya veya makine elemanına uygulanan dı ş kuvvetlerin yapıda veya elemanda do ğuraca ğı gerilmelerin ve şekil de ği ştirmelerinin bulunmasıdır. Eksenel ve burulma yüklerine maruz elemanlarda yük elemanın her kesitinde sabit veya elemana belli oranlarda yayılmı ş bulunaca ğından bu tip elemanlarda gerilme ve şekil de ği ştirmelerin bulunması pek zorluk çekilmez.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 4 E ğilme yüklerinde ise yükün tesiri kiri şin genellikle her kesitinde de ği şti ğinden bunların çözümü daha karma şık olmaktadır. E ğilme yükünün tesiri dü şey “Kesme kuvveti” ve “E ğilme momenti” şeklini alır. E ğilme momenti kiri ş kesitlerinde normal gerilmeler , kesme kuvveti ise kesitlerde kayma gerilmeleri meydana getirirler. Bunların maksimum oldukları kesitlerde maksimum normal gerilme ve maksimum kayma gerilmeleri hasıl olmaktadır. Dolayısıyla kiri şlerde kesme kuvveti e ğilme momenti de ğerlerinin bilinmesi , bunlarla ilgili gerekli diyagramların bilinmesi çizilmesi önemli olmaktadır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 5 Kesiti boyu yanında çok küçük olan ve eksenine dik do ğrultudaki kuvvetleri ta şıyan ta şıyıcı sistemlere kiri ş denir. Kiri şler de ği şik şekillerde sınıflandırılırlar. Mesnetleme şekillerine göre izostatik kiri şler ( Şekil 7.1) de oldu ğu gibi, a) Basit kiri ş b) Çıkmalı kiri ş c) Konsol (Ankastre) Kiri ş olarak sınıflandırılabilirler.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 6 Bunun yanında Çok mesnetli (sürekli kiri şler), Gerber kiri şleri vb. sayılabilir. Ayrıca kiri şler biçimlerine göre ( Şekil 7.2), a) Do ğru eksenli kiri şler b) E ğri eksenli kiri şler c) De ği şken kesitli kiri şler d) Kademeli kesitli kiri şler e) Kompozit kiri şler olarak sayılabilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 7 a) Çıkmalı Kiri ş b) Basit Kiri ş c) Konsol Kiri ş Şekil 7.1 Mesnetlerine göre kiri ş çe şitleri a)Do ğru eksenli kiri ş b)E ğri eksenli c)Kademeli kiri ş d)De ği şken kesitli kiri ş e)Kompozit kiri ş Şekil 7.2 Biçimlerine göre kiri ş çe şitleriProf. Dr. Muzaffer TOPCU 8 Kiri şleri, kesitlerine dik do ğrultuda yükler ta şıyan elemanlar diye tanımlamı ştık. Ta şıdıkları yükler de a şa ğıdaki gibi sınıflandırılabilirler ( Şekil 7.3). a) Yayılı yükler 1.Düzgün yayılı yükler 2.Lineer yayılı yükler q=q(x) b) Tekil (nokta) yükler c) Kuvvet çiftleri (kiri ş ekseni dı şından etki eden yüklerin eksene indirgenmesinden meydana gelen kuvvet çiftleri.)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 9 M q (N/m) F a)Düzgün yayılı yük b)lineer yayılı yük c)Tekil kuvvet ve kuvvet çifti q (N/m) Şekil 7.3 Kiri şlerde yük çe şitleri Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 10 7.2 KESME KUVVET 7.2 KESME KUVVET İ İ VE E VE E Ğİ Ğİ LME LME MOMENT MOMENT İ İ Kiri şleri de ği şik şekillerde sınıflandırmı ştık. Bu bölümde do ğru eksenli dü şey yüklü kiri şleri ele alaca ğız. Kiri ş muhtelif dı ş yükler etkisi altında iken, kiri ş boyunca etkisi de ği şen iç kuvvet yada kesit tesirleri olarak adlandırdı ğımız kesme kuvveti, normal kuvvet ve e ğilme momentleri meydana gelir. Şekil 7.4 deki kiri şi göz önüne alalım dı ş yüklerden dolayı mesnetlerde Ax, Ay, By reaksiyon kuvvetleri meydana gelir. Bu durumda kiri ş dengededir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 11 Kiri şi m-n kesitinden ayırma metoduna göre ayıralım. Ayırma i şleminden sonrada kiri şin her iki kesitide dengede olmak zorundadır. Ayrılan kısımda kiri şi dengeleyen kuvvetler sistemi Kesme kuvveti, Normal kuvvet ve E ğilme momentleri meydana gelir. Burada yalnızca kesme kuvvetleri ve e ğilme momentleri etkisindeki do ğru eksenli kiri şler ele alınmı ştır. İç kuvvetleri pozitif olacak şekilde yerle ştirelim.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 12 V A x y m n q (N/m) F B n V V V -- + -- + M M Şekil 7.4 Pozitif Kesme kuvveti , Moment By M V F B + ¯ m Ay Ax M V y q (N/m)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 13 Ele alınan elemanları bir yerinden sabitledi ğimizde kesme kuvveti, bunları saat ibresi dönme yönünün ters yönünde çeviriyorsa pozitif, de ğilse negatifdir. Momentler, ele alınan elamanı iç bükey yapıyorsa pozitif, de ğilse negatif i şaretlidir. Burada; V(N) =Kesme kuvveti N(N)= Normal kuvvet M(Nm)=E ğilme momentidir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 14 7.3 KESME KUVVET 7.3 KESME KUVVET İ İ İ İ LE E LE E Ğİ Ğİ LME LME MOMENT MOMENT İ İ ARASINDAK ARASINDAK İ İ İ İ L L İŞ İŞ K K İ İ (b) y c V M V+dV dx dx x q (N/m) F B q (N/m) qdx Şekil 7.5 Kesme kuvveti Moment ili şkisi (a)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 15 Şekil 7.5 (a) deki kiri şten dx boyunda bir eleman çıkartıp kesme kuvvetleri ve momentler pozitif yönlerde olacak şekilde yerle ştirilir ( Şekil 7.5 (b)). Burada kiri ş boyu dx gibi bir diferansiyel oldu ğu için aynı şekilde kesme kuuvvti ve e ğilme momenti dx boyunca bir de ği şime u ğrayacaktır. Bir uçta V olan kesme kuvveti V+dV ve M olan e ğilme momentide M+dM olacaktır. Toplam yayılı yük ise qdx dir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 16 Kiri ş parça çıkarmadan önce dengede oldu ğu için kiri şten ayrılan parçada dengede olmalıdır. O halde; 0 = ? y F dan 0 = - - + qdx V dV V yazılabilir. Buradan; q dx dV - = bulunur. C noktasına göre moment alınırsa; 0 ) 2 ( ) ( = - + + - + dx qdx dx dV V M dM M V dx dM = elde edilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 17 Burada ikinci dereceden küçükler (dv/dx gibi) ihmal edilmi ştir.Yukarıdaki ifadelerden şu neticeler çıkarılır. 1. Kesme kuvveti sıfır ise moment maksimum veya minimumdur. 2. V=0 ise Momentin e ğimi sıfır demektir. Buradan e ğilme momentinin sabit oldu ğu söylenebilir. 3. İki nokta arasındaki kesme kuvvetinin alanı momente e şittir. ? = Vdx MProf. Dr. Muzaffer TOPCU 18 Ö Ö rnek 7.1: rnek 7.1: Tekil yüke maruz basit kiri şte kesme kuvveti ve e ğilme momentini hesaplayıp diyagramlarını çiziniz. A C B L/ 2 L/ 2 FProf. Dr. Muzaffer TOPCU 19 Çö Çö z z ü ü m 7.1 m 7.1 F/2 A x FL / 4 V M F/2 C B L/ 2 L/ 2 F x x + + + - -F/2 F/2 Önce mesnet reaksiyonları bulunur. Simetrik oldu ğu için; R A =R B =F / 2 dir. Kiri ş iki bölgeden meydana gelmi ştir. Bölge sınırları, mesnetler, tekil yük uygulama noktaları, yayılı yük ba şlangıç ve biti şleri olarak tesbit edilir. Burada kiri ş iki bölgeden meydana gelmi ştir. Birinci bölge kiri şin AC kısmı ,ikinci bölge CB kısmıdır. Birinci bölgede A mesnedinden x kadarlık mesafeden ayırma prensibine göre hayali bir kesim yapılırsa, Şekil 7.6Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 20 R A M V x AC Bölgesi (0 ) x F M x R M M A . 2 0 . 0 = ? = - ? = ? 0 = ? y F 2 l x ? ? 2 l 4 Fl yazılırsa R A -V=0 ise V= elde edilir, Kesti ğimiz noktaya göre moment alırsak, 2 F x=0 da M=0 x= de M=Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 21 CB Bölgesi ( ) 0 = ? y F 0 4 2 = = = = M de l x Fl M de l x Aynı i şlemleri ikinci bölge için yaparsak, için R A -F-V=0 ise 2 F V - = R A F l/2 M V x l x l ? ? 2 ? ? ? ? ? ? - - = = ? ? ? ? ? ? - + - ? = ? 2 . 2 0 2 . . 0 l x F x F M l x F x R M M A Bu de ğerler Şekil 7.6 daki grafikte görülebilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 22 7.4 KESME KUVVET 7.4 KESME KUVVET İ İ VE E VE E Ğİ Ğİ LME MOMENT LME MOMENT İ İ D D İ İ YAGRAMLARININ PRAT YAGRAMLARININ PRAT İ İ K K OLARAK OLARAK Ç Ç İ İ Z Z İ İ LMES LMES İ İ Kesme Kuvveti : ( dV / dx ) = -q denklemi ile tanımlanmı ştı. Buradan hareketle dV = -q.dx bulunur. Bunun A ve B noktalarındaki integrali : ? ? = b a B A x x V V qdx dV buradan VB = VA + ? b a x x dx . q dir. Buradan görülece ği gibi, yayılı yük yok ise kesme kuvveti x eksenine paralel bir do ğrudur. Düzgün yayılı yük varsa lineer bir do ğrudur, E ğilme momenti ise: V dx dM = ? ? = B A B A X X M M dx V dM . ? B A X X dx . V ve MB = MA - ise şeklinde bulunur.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 23 Buradan da görülece ği üzere b noktasındaki e ğilme momenti, A noktasındaki e ğilme momentinden A ve B arasındaki kesme kuvveti alanı çıkarılarak bulunur ve e ğilme momenti diyagramının derecesi V’ nin entegralinden dolayı kesme kuvvetinden bir derece daha fazladır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 24 7.4.1 Kesme Kuvvetinin Pratik 7.4.1 Kesme Kuvvetinin Pratik Ç Ç izilmesi izilmesi a-) Yukarı yönlenmi ş kuvvetler yukarı do ğru ve a şa ğıya do ğru yönlenmi ş kuvvetler a şa ğı do ğru çizilir. b-) Kuvvetlerin bulunmadı ğı aralıklarda kesme kuvveti x eksenine paralel bir do ğru, düzgün yayılı yük için lineer bir do ğru ve üçgen yayılı yük için ikinci dereceden bir do ğrudur.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 25 7.4.2 E 7.4.2 E ğ ğ ilme Momentinin Pratik ilme Momentinin Pratik Ç Ç izilmesi izilmesi a-) Bir noktadaki e ğilme momenti, kendisinden bir önceki e ğilme momentinden, bu iki nokta arasındaki kesme kuvvetinin alanın toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir. b-) E ğilme momenti diyagramının derecesi kesme kuvvetinin derecesinden bir fazladır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 26 Örnek 7.2 12m B x y A q=25 kN/m Şekil 7.7’ deki basit mesnetli kiri ş, kiri ş boyunca q=25 kN/m üniform yayılı yüke maruzdur. Kiri ş boyunca kesme kuvveti ve momentinin de ği şimini diyagramlarını çizerek gösteriniz. Şekil 7.7Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 27 E 0 337. 5 337. 5 450 - + 150 150 V M x x 12m B x y A q=25 kN/m Şekil 7.7 kN x R R B A 150 2 12 25 = = = x V x R V F A y . 25 150 . 25 0 - = - = = ? *A’da (x=0); V=150 kN, M=0 *C’de (x=3m) V=75 kN, M=337,5 kNm *D’de (x=6m) V=0, M=450 kNm *E de (x=9m) V=-75 kN, M=337,5 kNm *D de (x=12m) V=-150 kN, M=0 2 . 25 150 0 . 2 . . 25 0 2 x M x R x x M M A - = = - + = ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 28 Ö Ö rnek 7.3 rnek 7.3 Üniform yayılı yük ve tekil yüklerin birlikte etki etmesi durumunda kesme kuvveti ve e ğilme momenti diyagramını çiziniz. 20 kN 10 kN 40 kN E D C B 20 kN 20 kN/m A F Şekil 7.8Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 29 20 kN 10 kN 40 kN 65 42.5 40 87.5 72.5 -80 M V E D C B 20 kN 20 kN/m A F Şekil 7.8Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 30 kN R R x x x x x x x x x R A A A 5 , 42 420 80 8 ) 5 , 1 3 20 ( ) 1 10 ( ) 3 20 ( ) 6 20 ( ) 7 2 10 ( ) 2 40 ( ) 8 ( = = + + + + + = + E’ ye göre moment alırsak; A’ daki kesme kuvveti V=42,5 kN dan 0 = ? y F kN R x x R R E E A 5 , 127 170 40 ) 3 20 ( 1 20 20 ) 2 10 ( = = + + + + + = +Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 31 Burada pratik olarak yukarı olan kuvvetler yukarı a şa ğı olan kuvvetler a şa ğı ve kuvvet olmayan yerde x eksenine paralel ve yayılı kuvvetin altında azalan bir do ğru olacak şekilde kesme kuvveti diyagramını çizebiliriz. E ğilme momenti diyagramını cizebilmek için sınırlardaki de ğerler bulunursa bunların birle ştirilmesiyle e ğri çizilir. M A = 0 (a mesnetinde) M B = (42,5 x 2)-(10 x 2 x 1) = 85 – 20 = 65 kNm M C = (42,5 x 5)-(10 x 2 x 4)-(20 x 3) = 72,5 kNmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 32 M D = (42,5 x 7)-(10 x 2 x 6)-(20 x 5)-(20 x 2)-(20 x 2 x 1) = 297,5-120-100-40-40 = 297,5-300 = -2,5 kNm M E = (-40 x 2) =-80 kNm sa ğ el ile çalı ştırılacak M F = 0 E ğriyi tam olarak çizebilmek için kiri ş üzerindeki her bir üniform yayılı yük için uç de ğerlerin yanında bir ya da iki orta de ğerlerinde alınması yararlı olur.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 33 Ö Ö rnek 7.4 rnek 7.4 Verilen di şli mil sisteminde, e ğilme burulma momentleri ile kesme ve normal kuvvet diyagramlarını çiziniz. z y x Ft =400N Fa =300N Fr =500N 100mm 300mm 200mm A B C Şekil 7.9Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 34 xy düzlemi: F By F Ay 66000 170 330 300mm 200mm x x V M 51000 y x Fa =300N Fr=500N 100mm A B C C ? = 0 A M 0 500 . 50 . 200 . = - - By a r F F F 0 500 . 50 . 300 200 . 500 = - - By F N F By 170 = ? = 0 Y F 0 = - + r By Ay F F F N F Ay 330 170 500 = - = Nmm M C z 66000 ) ( =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 35 xz düzlemi: x x F Bz F Az 48000 160 240 Ft=400N 300mm 200mm z x 100mm A B C V M C ? = 0 A M 0 500 . 200 . = - Bz t F F 0 500 . 200 . 400 = - Bz F N F Bz 160 = ? = 0 z F 0 = - + t Bz Az F F F N F Az 240 160 400 = - =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 36 N F F F Az Ay A 408 240 330 2 2 2 2 = + = + = N F F F Bz By B 45 , 233 160 170 2 2 2 2 = + = + = Nm M C 8 , 81608 48000 66000 2 2 = + = Yatak Kuvvetleri:Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 37 Ö Ö rnek 7.5 rnek 7.5 Verilen di şli mil sisteminde, e ğilme burulma momentleri ile kesme kuvvetleri ve normal kuvvet diyagramlarını çiziniz. 100mm z y x 300mm Fa =500N Fr =700N Ft =600N 100mm A B CProf. Dr. Muzaffer TOPCU 38 xy düzlemi: 100mm y x 300mm Fa =500N Fr =700N 100 mm 25000 45000 150 A B C F Ay F B y x x V M 700 B C ? = 0 A M 0 50 . 500 400 . 700 300 . = + - BY F N F By 850 = ? = 0 Y F 0 850 = - + r Ay F F N F Ay 150 - = Nmm M B z 45000 ) ( - = Nmm M C z 25000 ) ( = (Yönü a şa ğı do ğru) Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 39 xz düzlemi: 600 -200 60000 100mm z x 300mm Ft=600N 100mm A B C F Az F Bz V M x x ? = 0 A M 0 400 . 600 300 . = + - Bz F N F Bz 800 = ? = 0 Y F 0 = - + t BZ Az F F F N F Az 200 - = (Yönü a şa ğı do ğru)Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 40 Yatak Kuvvetleri: Nmm F F F Az Ay A 250 ) 200 ( ) 150 ( 2 2 2 2 = - + - = + = Nmm F F F Bz By B 2 , 1167 800 850 2 2 2 2 = + = + = Nmm M B y 60000 ) ( = Nmm M B 75000 60000 ) 45000 ( 2 2 = + - =