Malzeme Mekaniğinde Özel Konular 7 - Mekanikte Enerji Kavramı ( İş ve Enerji Castigliano Yöntemi ile Deformasyonların Bulunması ) Malzeme Mekaniğinde Özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK HAFTA HAFTA 7. 7. Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde Ö Özel Konular zel Konular M MK K MT4 MT4 Dr. Nusret MEYDANLIK nm-2012 MEKAN MEKAN İ İ KTE E N E R J KTE E N E R J İ İ KAVRAMI KAVRAMI ( (İŞ İŞ ve ENERJ ve ENERJİ İ, , CAST CASTİ İGL GLİ İANO Y ANO YÖ ÖNTEM NTEMİ İ ile ile DEFORMASYONLARIN BULUNMASI) DEFORMASYONLARIN BULUNMASI) KAYNAKLAR : KAYNAKLAR : • BEER, JOHNSTON, DE WOLF, Mechanics of Materials,6 th ed. • HIBBELER, Mechanics of Materials, 8 th ed. 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 2 MEKAN MEKANDD KTE ENERJ KTE ENERJDD KAVRAMI KAVRAMI Buraya kadar; değişik yükler altında kuvvet ile deformasyon arasındaki mevcut olan ilişkiler ile ilgilendik. Yaptığımız analizlerde iki temel kavram vardı, GERDLME ve GENLEME. Burada yeni bir temel kavram tanımlayacağız , GENLEME ENERJDSD ( (strain strain energy energy). ). Ki burada genleme enerjisi, elemanın deformasyonu ile ilgili olarak enerjisindeki artış olarak tanımlanır. Genleme enerjisinin elemana uygulanan yavaş olarak artan yük nedeniyle yapılan işe eşit olduğu görülecektir. Enerji kavramı ileri seviyede mekanik problemlerinin çözümünde oldukça faydalıdır. Genleme enerjisi yoğunluğu ( (strain strain energy energy density density) ) ise birim hacımdaki genleme enerjisi olarak tanımlanmaktadır ki buda gerilme-genleme diyagramı altındaki alana eşittir.7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 3 Tekil y Tekil yü ükler alt kler altı ında nda DŞ DŞ ve ENERJ ve ENERJDD • Daha önce sabit kesitli çubuk için genleme enerjisi ifadesini bulmuştuk, ( ) AE 2 L P dx A E 2 A P dV E 2 dV u U 2 L 0 2 2 = = = = ? ? ? ? 1 1 2 1 2 1 2 1 x 0 x 0 x P x k dx kx dx P U 1 1 = = = = ? ? • Kuvvet deplasman arasındaki ilişkiyi biliyoruz, AE 2 L P AE L P P U 2 1 1 1 2 1 = ? ? ? ? ? ? = • 0 dan x 1 e karşılık gelen P 1 yüküne yavaşça artan yük nedeniyle elastik genleme enerjisini aşağıdaki şekilde de yazabiliriz; AE L P x 1 1 = 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 4 • Diğer tekil yükleme halleri için de iş ifadesi yardımıyla genleme enerjisi. EI 6 L P EI 3 L P P y P dy P U 3 2 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 y 0 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? = = = ? T Tekil e ekil eğ ğme y me yü ük kü ü EI 2 L M EI L M M M d M U 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 = ? ? ? ? ? ? = = = ? ? ? ? Tekil E Tekil Eğ ğilme momenti ilme momenti JG 2 L T JG L T T T d T U 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 1 = ? ? ? ? ? ? = = = ? ? ? ? Tekil Burulma momenti Tekil Burulma momenti Tekil y Tekil yü ükler alt kler altı ında nda DŞ DŞ ve ENERJ ve ENERJDD7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 5 DEFLECTION UNDER A SINGLE LOAD BY THE WORK DEFLECTION UNDER A SINGLE LOAD BY THE WORK- -ENERGY METHOD ENERGY METHOD Bu yöntem sadce eğer yapıya etki eden tekil bir yük yada moment varsa kullanılabilir. Ö ÖRNEK RNEK- -1; 1; daha önce genleme enerjisi hesaplanan aşağıda gösterilen sistemin B ucunun çökme miktarının bulunması istenirse; Genleme enerjisinin, yükün yaptığı işe eşit olduğunu hatırlayarak; yazabiliriz, buradan y B yi çekerek, elde edilebilir. Aslında her iki çubuğun deformasyonu hesaplayabiliriz ve buradan da B ucunun yer değiştirmesini bulabiliriz. Ancak bu uzun bir işlem olacaktır …. 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 6 DEFLECTION UNDER A SINGLE LOAD BY THE WORK DEFLECTION UNDER A SINGLE LOAD BY THE WORK- -ENERGY METHOD ENERGY METHOD Daha önce genleme enerjisini hesapladımız ankastre kirişin A ucundaki çökmeyi önce sadece normal gerilmenin etkisi ile daha sonra hem normal hemde kayma gerilmelerinin etkisini ile bulalım Çö Çöz zü üm : m : P kuvvetinin yaptığı iş , • Normal gerilmeler nedeniyle genleme enerjisine eşitleyerek • Hem normal hemde kesme gerilmelerinin etkisi ile , İki ifade karşılaştırıldığında daha önce de söylediğimiz gibi kayma gerilmelerinin ihmal edilmesiyle hata %0.9 dan az olmaktadır (h/L<1/10 için)7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 7 Ö ÖRNEK RNEK- -2 : 2 : The pipe assembly is fixed at A. Determine the vertical displacement of end C of the assembly. The pipe has an inner diameter of 40 mm and outer diameter of 60 mm and is made of A-36 steel. Neglect the shearing strain energy. S.C.D. larından; ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 87. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 9 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 10 Ö ÖRNEK RNEK- -3 : 3 : Yukarda boyutları ve yükleme hali verilen kafes sistemin, P yükü nedeniyle, E düğümündeki yer değiştirmeyi bulunuz. Using E=73 GPa. SOLUTION: • Find the reactions at A and B from a free-body diagram of the entire truss. • Apply the method of joints to determine the axial force in each member. • Evaluate the strain energy of the truss due to the load P. • Equate the strain energy to the work of P and solve for the displacement.7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 11 ÇÖZÜM: • A ve B deki tepki kuvvetleri. 8 21 8 21 P B P A P A y x = = - = • Düğüm yöntemi ile her bir elemandaki kuvvet. P F P F CE DE 8 15 8 17 + = - = 0 8 15 = + = CD AC F P F P F P F CE DE 8 21 4 5 - = = 0 = AB F Ö ÖRNEK RNEK- -3 : 3 : 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 12 • P yükü nedeniyle kafesin genleme enerjisi. ( ) 2 2 2 29700 2 1 2 1 2 P E A L F E E A L F U i i i i i i = = = ? ? • P tarafından yapılan işi genleme enerjisine eşitleyerek, deplasman için çözersek. ( ) ( ) 9 3 3 2 2 1 10 73 10 40 10 7 . 29 2 29700 2 2 × × × = ? ? ? ? ? ? ? ? = = = E E E y E P P P U y U Py v = mm 27 . 16 E y Ö ÖRNEK RNEK- -3 : 3 :7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 13 Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORULARI ; MA SORULARI ; SORU SORU- -1: 1: SORU SORU- -2: 2: Using the method of work and energy, determine the deflection at point D caused by the loadP. Using the method of work and energy, determine the deflection at point D caused by the loadP. YNT : ( ) YNT : ( ) YNT : ( ) YNT : ( ) 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 14 Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORULARI ; MA SORULARI ; SORU SORU- -3: 3: SORU SORU- -4: 4: Using the method of work and energy, determine the slope at point D caused by the coupleM 0 . YNT : ( YNT : ( M M 0 0 (L+3a)/3EI (L+3a)/3EI ) ) YNT : ( ) YNT : ( ) Using the method of work and energy, determine the slope at point D caused by the coupleM 0 .7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 15 Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORULARI ; MA SORULARI ; SORU SORU- -5: 5: SORU SORU- -6: 6: Using the method of work and energy, determine the slope at point D caused by the coupleM 0 . YNT : ( YNT : ( M M 0 0 (L+3a)/3EI (L+3a)/3EI ) ) YNT : ( ) YNT : ( ) Using the method of work and energy, determine the slope at point D caused by the coupleM 0 . Determine the slope at the end B of the A-36 steel beam. E=200 GPa I=80.(10 6 ) mm 4 . SORU SORU- -7: 7: YNT : ( YNT : ( ? ? B B =1(10 =1(10 - -3 3 ) ) rad rad ) ) 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 16 YNT : ( YNT : (1.030 mm 1.030 mm ) ) The 20-mm diameter steel rod BC is attached to the lever AB and to the fixed support C. The uniform steel lever is 10 mm thick and 30 mm deep. Using the method of work and energy, determine the length L of the rod BC for which the deflection at point A is 40 mm. Use E=200 GPa and G=77.2 GPa. YNT : ( ) YNT : ( ) SORU SORU- -8: 8: SORU SORU- -9: 9: Each member of the truss shown is made of steel; the crosssectional area of member BC is 800 mm 2 and for all other members the cross-sectional area is 400 mm 2 . Using E=200 GPa, determine the deflection of point D caused by the 60-kN load.7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 17 B BDD RDEN FAZLA Y RDEN FAZLA YÜ ÜK ALTINDA K ALTINDA DŞ DŞ VE ENERJ VE ENERJDD • Dki tekil yük nedeniyle kirişin sehimi, 2 22 1 21 22 21 2 2 12 1 11 12 11 1 P P x x x P P x x x ? ? ? ? + = + = + = + = • Let us now assume that only P 2 is applied to the beam • Let us assume that only P 1 is applied to the beam, etki katsayıları 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 18 To compute the work done by P 1 and P 2 , and thus the strain energy of the beam, it is convenient to assume that P 1 is first applied slowly at C 1 ve P 1 in yaptığı iş ; Now we slowly apply P 2 at C 2 and we express the work of P 2 as Ancak bu kez P 1 de iş yapar çünkü önce uygulanmıştı, P 1 in yaptığı iş (I) (II) (III) B BDD RDEN FAZLA Y RDEN FAZLA YÜ ÜK ALTINDA K ALTINDA DŞ DŞ VE ENERJ VE ENERJDD7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 19 (I) , (II) ve (III) nolu ifadeler toplanarak Önce P 2 uygulansaydı • Dki ifade eşit olmalı, burdan ? 12 =? 21 (Maxwell’s reciprocal theorem). 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 20 1 2 12 1 11 x P P = + ? ? CAST CASTDD GL GLDD ANO ANO’ ’S TEOREM S TEOREMDD ( ) 2 2 22 2 1 12 2 1 11 2 1 2 P P P P U ? ? ? + + = • Dki tekil yüke maruz elastik bir yapı için genleme enerjisi, = ? ? = ? ? 2 1 P U P U • Buradaki ? 11 ? 12 ve ? 22 iki yükün uygulama noktaları (C 1 ve C 2 ) ile ilgili etki katsayılarıdır. Yüklere göre kısmi türevlerini alırsak , 2 2 22 1 12 x P P = + ? ? More generally, if an elastic structure is subjected to n loads P 1 , P 2 , . . ., P n , the deflection x j of the point of application of P j , measured along the line of action of P j , can be expressed as the the partial partial derivative derivative of of the the strain strain energy energy of of the the structure structure with respect to the loadP j . We write , this this is is Castigliano Castigliano’ ’s s theorem theorem7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 21 Castigliano’s theorem may be used to determine the slope of a beam at the point of application of a coupleM j . Similarly, the angle of twist ? j in a section of a shaft where a torqueT j is slowly applied is obtained by differentiating the strain energy of the shaft with respect to T j : CAST CASTDD GL GLDD ANO ANO’ ’S TEOREM S TEOREMDD Genel olarak ; bileşik yükleme etkisindeki bir çubuk için genleme enerjisi; eksenel yük, burulma momenti ve eğilme momentinin etkilerinin süperpozisyonu ile elde edilebilir: 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 22 CAST CASTDD GL GLDD ANO ANO’ ’S T S TEOREM EOREMDD DD LE YERDE LE YERDEĞDŞ ĞDŞ T TDD RMEN RMENDD N BULUNMASI : N BULUNMASI : • integrasyondan önce toplam genleme enerjisinin (U), P j tekil yüküne göre kısmi türevin alınması Castigliano Castigliano’ ’s s theorem theoremi i nin uygulanmasını kolaylaştırmaktadır. • Basit kiriş için, ? ? ? ? = ? ? = ? = L 0 j j j L 0 2 dx P M EI M P U x dx EI 2 M U • Kafes yapı için, j i n 1 i i i i j j n 1 i i i 2 i P F E A L F P U x E A 2 L F U ? ? = ? ? = ? = ? ? = =7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 23 The cantilever beam AB supports a uniformly distributed load w and a concentrated load P as yanda. Knowing that L=2 m, w=4 kN/m, P=6 kN, and EI=5 MN.m 2 , determine the deflection at A. Ö ÖRNEK RNEK - -4: 4: P düşeyde aşağıya doğru yönlendiği için y A pozitif düşey çökmeyi temsil eder. We have, ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : The bending moment M at a distance x from A is P olmasayd P olmasaydı ı ne yapacakt ne yapacaktı ık ? k ? 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 24 Determine the deflection and slope at A. Ö ÖRNEK RNEK - -5 : 5 : ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : Önce ; A noktas A noktası ına hayali (fiktif) tekil Q na hayali (fiktif) tekil Q A A y yü ük kü ü konur konur , moment ifadesi elde edilir ve ona göre türev alınır, The bending moment M at a distance x from A is Buradaki p Buradaki pü üf noktas f noktası ı ş şudur, bulduklar udur, buldukları ım mı ız zı ı y y A A ifadesinde yerine yazarken Q ifadesinde yerine yazarken Q A A =0 yaz =0 yazı ıl lı ır. r. dx Q M I E M Q U y 0 Q L 0 A A A A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? =7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 25 A noktasındaki eğimi bulmak için de A noktasına hayali pozitif M A momenti konur ve önceki şık için yapılan işlemler tekrarlanır. The bending moment M at a distance x from A is, Buradaki p Buradaki pü üf noktas f noktası ı da da ş şudur, udur, bulduklar buldukları ım mı ız zı ı ? ? A A ifadesinde yerine ifadesinde yerine yazarken M yazarken M A A =0 yaz =0 yazı ıl lı ır. r. Ö ÖRNEK RNEK- -5 : 5 : ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : dx M M I E M M U 0 M L 0 A A A A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? = ? 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 26 A load P P is supported at B by two rods of the same material and same cross-sectional area A Determine the horizontal and vertical deflection of point B. Ö ÖRNEK RNEK- -6: 6: ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : Castigliano teoreminden ; Sistemin genleme enerjisi ;7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 27 B düğümünün dengesinden ; Q=0 ile bulduklarımızı yerlerine yazarak bu sonucu daha önce elde etmiştik. 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 28 STATICALLY INDETERMINATE STRUCTURES STATICALLY INDETERMINATE STRUCTURES Determine the reactions at the supports for the prismatic beam and loading shown ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : The bending moment M at a distance x from A is, Setting y A =0 and solving for R A , we have Denge denklemlerinden de, dx R M I E M R U y A A R R L 0 A A A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? = (R A ? 0)7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 29 Ö ÖRNEK RNEK- -7 : 7 : Yukarda görülen kafes sistemde P yükü nedeniyle C noktasında oluşan yer değiştirmeyi hesap ediniz. Using E = 73 GPa. • Q yükü nedeniyle her bir elemandaki eksenel yükü bulmak için düğüm yöntemi uygulanır. • P ve Q yükleri nedeniyle kafesin genleme enerjisinin Q ya göre kısmi türevini elde etmek için önceki çözümlerden faydalanabiliriz. • Q = 0, yazarak C noktasındaki deplasmanı elde edebiliriz SOLUTION: • Önce C noktasına düşey hayali Q yükü uygulanır. A and B deki tepki kuvvetleri bulunur. 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 30 • C deki Q yükü nedeniyle A ve B deki tepki kuvvetleri. Q B Q A Q A y x 4 3 4 3 = = - = • Q nedeniyle her bir elemandaki eksenel kuvvet düğüm yöntemi ile bulunur.7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 31 • Örnek-2 deki sonuçlardan faydalanarak Q ya göre kısmi türevler elde edilir, ( ) Q 4263 P 4306 E 1 Q F E A L F y i i i i C + = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? • Q = 0 ile C noktasındaki yer değiştirme elde edilir. ( ) m 10 . 36 , 2 Pa 10 73 10 40 4306 y 3 9 3 C - = × × = v = mm 36 . 2 C y 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 32 For the beam and loading shown, determine the deflection at point D. E=200 GPa ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : Çökmenin istendiği D noktasına hayali Q yükünü koyarak, AD ve DB kısımları için ayrı ayrı integrasyon alınacaktır SCD dan destek tepki kuvvetleri ; W250x22.3 2.25 m 1.35 m 3.6 m w=27 k/m Ö ÖRNEK RNEK- -8 : 8 :7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 33 ve Q=0 ve için , 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 34 İki bölge için elde edilenler toplanırsa, sonuç , Q=0 ve için ,7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 35 Determine the slope at point B of the beam shown in yanda. EI is constant Eğim istenen yere hayali M’ momenti koyarak AB arasında; BC arasında; ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : Ö ÖRNEK RNEK - -9: 9: 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 36 M’=0 yerine yazarak ;7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 37 For the uniform beam and loading shown, determine the reactions at the supports. Ö ÖRNEK RNEK - -10: 10: ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : Problem statikçe belirsizdir, A daki desteği yok sayıp yerine R A tepki kuvvetini koyarak, bu noktada çökmeyi sıfıra eşitleyerek problem çözülebilir S.C.D. dan; S.C.D. dan; ? = ? = 0 M 0 M B C ? ? 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 38 ve ve where v=0, to B, where v=(L/2) , we have7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 39 Reaction Reaction at at A A. . Adding the expressions obtained above eq.’s, we determine y A =0 ile , 7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 40 Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORULARI ; MA SORULARI ; SORU SORU- -10: 10: SORU SORU- -11: 11: Yanda yükleme hali verilen kirişin D noktasındaki çökmeyi ve eğimi bulunuz. Determine the slope at the end A of the A-36 steel beam. E=200 GPa I=164.(10 6 ) mm 4 . SORU SORU- -12 12 : : YNT : ( , ) YNT : ( , ) Yanda yükleme hali verilen kirişin D noktasındaki çökmeyi ve eğimi bulunuz. YNT : ( , ) YNT : ( , ) YNT : (6,98. 10 YNT : (6,98. 10 - -3 3 rad rad ) )7. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 41 Determine the deflection at the B of the A-36 steel beam. E=200 GPa I=28,7.(10 6 ) mm 4 . YNT : (5.08 mm ) YNT : (5.08 mm ) SORU SORU- -13 : 13 : SORU SORU- -14 : 14 : Each member of the truss shown is made of steel and has a cross-sectional area of 500 mm 2 . Using E=200 GPa, B düğümünün düşey ve yatay yerdeğiştirmesini bulunuz. YNT : (0.146 mm , 0.047 mm ) YNT : (0.146 mm , 0.047 mm )