Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler 7.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER 7.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER EIGEN DE Ğ ERLER İ VE EIGEN VEKT Ö RLER İ 7.1. EIGEN ve EIGEN VEKTÖR KAVRAMI A, n ?n boyutlu bir kare matris ve X de n bile ş enli bir vektör olsun. Bu durumda, Y = A X çarp ı m ı n boyutlu uzaydan kendi içerisine lineer bir dönü ş üm olarak gözönüne al ı nabilir. AX = ?X olacak ş ekilde ? skalerleri ve farkl ı X vektörlerini bulma problemi, eigen-eigen vektör (özde ğ er-özvektör) problemi olarak bilinmektedir. Genel olarak ? de ğ erleri ve X vektörleri kompleks elemanl ı olabilir ler. Ancak burada reel say ı lar i çeren örnekler üzerinde durulacakt ı r. Fizik ve mühendislikteki titre ş im ve denge problemleri, diferansiyel denklem sistemlerinin çözümlerinde hep eigen-eigen vektör problemleri ile kar ş ı la ş ı lmaktad ı r. 7.1.1. Karakteristik Determinant, Polinom ve E ş itlik Baz ı kitaplarda det ( ?I – A ) yerine det (A - ?I) ifadesi kullan ı lmaktad ı r. Her iki durumda da ayn ı sonuçlar elde edilmektedir. n ? n boyutlu bir A matrisinin karakteristik polinomu, det ( ? I – A ) = ? n + c 1 ? n- 1 + ... + c n ş eklindedir. 7.1.1.1. Örnek 17.1.1.2. Örnek 2 7.1.1.3. Örnek 3 7.1.2. Baz Düzlemde, do ğ rultular ı farkl ı olan ve gibi iki vektörü göz önüne alal ı m. Ş ekil-7.1 Bu düzlemin herhangi bir ? 0 vekt örü için =x +y e ş itli ğ ini sa ğ layan ve en az biri s ı f ı rdan farkl ı x ve y say ı lar ı bulunabilir. Çünkü , vektörleri üzerine kö ş egeni olan bir paralelkenar kurulabilir. Di ğ er bir deyi ş le, d üzlemde, paralel olmayan iki vekt ör bir baz (basis) te ş kil eder ve düzlemin b ütün vekt örleri bu baz vekt örlerinin lineer bir kombinezonu olarak ifade edilebilir. Uzayda ayn ı bir düzleme paralel olmayan , , vektörlerini göz önüne alal ı m. Bu üç vekt ör bir baz (basis) te ş kil eder, yani uzay ı n herhangi bir vektörü , , vektörlerinin lineer kombinezonu olarak ifade edilebilir (yani uzayda d ört vekt ör lineer ba ğı ml ı d ı r). Çünkü , , vektörleri üzerine, kö ş egeni olan bir paralelyüzlü kurulabilir ve böylece = x + y + z yaz ı labilir. Bu durum ş ekil-7.2.'de görülmektedir. Daha genel bir ifade ile a ş a ğı daki tan ı m yap ı labilir: Tan ı m: E ğ er V herhangi bir vektör uzay ı ve S ={ v 1 , v 2 , ..., v n } bu uzaydaki vektörlerin bir kümesi ise, a ş a ğı daki ş artlar ı n sa ğ lanmas ı durumunda S, V uzay ı için bir bazd ı r (basis) denir. a) S lineer ba ğı ms ı zd ı r. b) S , V 'yi kapsar (spans) Teorem: E ğ er S ={ v 1 , v 2 , ..., v n } , V vektör uzay ı için bir baz ise, V 'deki her v vektörü v = c 1 v 1 + c 2 v 2 +...+ c n v n ş eklinde sadece bir ş ekilde ifade edilebilir. 7.1.2.1. Örnek 4 elde edilir.7.1.3. Eigen De ğ eri ve Eigen Vektörlerinin Elde Edilmesine İ li ş kin Prosedür 7.1.3.1. Örnek 5 7.1.3.2. Örnek 6 7.2. EIGEN DE Ğ ERLER İ N İ N ve VEKTÖRLER İ N İ N ÖZELL İ KLER İ Bu k ı s ı mda; 7.2.1. Eigen vektörlerinin ba ğı ms ı zl ı l ığı , ? 7.2.2. Eigen de ğ erlerinin özellikleri, ? 7.2.3. Üçgen matrislerin eigen de ğ erleri üzerinde durulacakt ı r. ? 7.2.1. Eigen Vektörlerinin Ba ğı ms ı zl ığı E ğ er ?1, ?2,..., ?n n ?n boyutlu A matrisinin birbirinden farkl ı eigen de ğ erleri ve B1, B2, ..., Bn bu de ğ erlere kar ş ı gelen eigen vektörlerinin bazlar ı (bases) ise, B1UB2U...UBn birle ş imi lineer ba ğı ms ı z bir kümedir. 7.2.2. Eigen De ğ erlerinin Özellikleri 7.2.3.Üçgen Matrislerin Eigen De ğ erleri üst üçgen veya alt üçgen matrislerinin eigen de ğ erlerinin a ş a ğı da belirtildi ğ i ş ekilde elde edilmesi i ş lemlerini kolayla ş t ı racakt ı r. Üst üçgen matrisi ele alacak olursak,olarak bulunur. Dolay ı s ı yla 'dan elde edilir. Örne ğ in, yandaki matris bir alt üçgen matris olup, eigen de ğ erleri ? = 3, ? = 7 ve ? = 1'dir. 7.3. MATR İ SLER İ N D İ YAGONAL HAL İ NE DÖNÜ Ş TÜRÜLMES İ Bu k ı s ı mda; 7.3.1. Diyagonal (Asal köegen) haline dönü ş türülebilen matrisler, ? 7.3.2. Ortonormal Bazlar, ? 7.3.3. Gram-Schmidt Yöntemi ele al ı narak örnekler incelenecektir. ? 7.3.1. Diyagonal (Asal Kö ş egen) Haline Dönü ş türülebilen Matrisler 7.3.1.1. Örnek 8 Teorem: E ğ er A, n ?n boyutlu bir üçgen matris ise (üst üçgen, alt üçgen veya asal kö ş egen), A matrisinin eigen de ğ erleri asal kö ş egen de ğ erleridir.7.3.1.2. Örnek 9 7.3.1.3. Örnek 10 7.3.1.4. nxn Boyutlu Diyagonal Hale Dönü ş türülebilir bir A Matrisinin Diyagonelle ş tirilmesine İ li ş kin Yöntem 7.3.1.5. Örnek 11 7.3.1.6. Örnek 12 7.3.1.7. Örnek 13 7.3.2. Ortonormal Bazlar Vektör uzaylar ı n ı ilgilendiren pekçok problemlerde problem çözücü vektör uzay ı için uygun görünen baz ı seçmede serbesttir. İ çsel çarp ı m uzay ı nda bir problemin çözümü genellikle vektörlerin birbirine ortogonal oldu ğ u bir baz seçilerek kolayla ş t ı r ı labilir.7.3.2.1. Örnek 14 7.3.2.2. Ortogonal ve Ortonormal Bazlar 7.3.2.3. Örnek 15 7.3.3. Gram-Schmidt Yöntemi 7.3.3.1. Örnek 16 7.4. S İ METR İ K MATR İ SLER İ N D İ YAGONAL HALE DÖNÜ Ş TÜRÜLMES İ Daha önce de belirtildi ğ i gibi, n ?n boyutlu bir A matrisi A=A T ko ş ulu gerçekle ş iyorsa simetriktir denir. E ğ er sütunlar ı ortonormal bir küme olu ş turuyorsa A matrisi ortogonal'dir denir. E ğ er A matrisi tersi al ı nabilir bir matris ise, A matrisinin ortogonal olabilmesi için sadece ve sadece A -1 = A T ş art ı n ı n sa ğ lanmas ı yeterlidir. Benzer ş ekilde, e ğ er A T ? A = I ş art ı sa ğ lan ı yorsa A matrisi ortogonaldir denir. E ğ er bir matris ortogonal ise bunu göstermenin en k ı sa yolu A T .A'n ı n elde edilmesidir. E ğ er bu çarp ı m yani A T .A=I ise, A matrisi ortogonaldir denir. 7.4.1. Simetrik Matrislerin Özellikleri7.4.1.1. Örnek 19 7.4.1.2. nxn Boyutlu Simetrik A Matrisinin Ortogonal Olarak Diyagonal Hale Dönü ş türülmesi Yöntemi 7.4.1.3. Örnek 20 6.BOLUM DE Ğ ERLEND İ RME SORULARI