Mukavemet Malzeme Mekaniği 8 - Çökmenin Hesaplanması ( integrasyon Yönetimi ) ( Mukavemet II ) Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I Y Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I Y Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I YY) MUKAVEMET Y) MUKAVEMET Y) MUKAVEMET- - -II II II © 2008 NM, KİRİŞLERDE ÇÖKMENİN HESABI-I (İNTEGRASYON YÖNTEMİ) (9). HAFTA 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 2 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Kiriş tasarımında da en önemli iki soru ilk derslerde söylediğimiz gibi mukavemet ve deformasyon (çökme) dır . Örnekler. Mukavemet kontrolünün nasıl yapılacağını öğrendik sayılır, deformasyonun (veya çökmenin) nasıl hesaplanacağını da bu bölümde öğreneceğiz… Kirişlerde deformasyonu etkileyen en önemli faktörler ; - kiriş malzemesinin rijidliği - kiriş kesidi boyutları, - uygulanan yükler , - ve mesnet tipleridir. Kiriş kesidinin ağırlık merkezinden geçen boyuna eksenin çökme (veya düzlemde düşey şekil değiştirme) diyagramına elastik eğri adı verilir. Eğri boyunca çökme ve eğim ile tanımlanır.19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 3 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Birçok kiriş için elastik eğriyi elle çizmek o kadar zor değildir. Özellikle moment diy. çok fazla ipucu verir Bunun için sadece değişik mesnet tiplerinde yer değiştirme ve eğim nasıl engelleniyor bilinmesi yeterlidir. Örneğin.ankastre mesnette çökme (yer değiştirme, sehim) ve eğim sıfırdır. Elastik e Elastik eğ ğri ri- -Moment e Moment eğ ğrilik ili rilik iliş şkisi kisi 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 4 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Elastik e Elastik eğ ğri Moment e ri Moment eğ ğrilik ili rilik iliş şkisi kisi Büküm noktası M=019.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 5 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Dş Dş aret Kurallar aret Kuralları ı : : Pozitif KK ve EM 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 6 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Çökmeyi elde etmek için de en çok kullanılan yöntemlerden bazıları; • ç çift ift integrasyon integrasyon (diferansiyel denklem) yöntemi • Enerji y Enerji yö öntemi ntemi ( Costigliano Yöntemi) • •Tekillik ( Tekillik (sing singü ülarite larite) fonksiyonlar ) fonksiyonları ı yöntemi Köprü taşıyıcı ayağı kirişi boyunca atalet momentinin değişken olması dikkate alınmalı.19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 7 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Elastik Eğri (Elastic Curve) Denklemi : Eğilme gerilmelerini tanımlarken eğilme momentinin kirişi bir daire yayı şeklinde deforme ettiğini (bu şekilde deforme olduğunu kabul ettiğimizi) söylemiştik. Eğriliği tanımlayıp eğrilik yarıçapı ile moment arasındaki ilişkiyi elde etmiştik : eğrilik ifadesi Kirişlerin deformasyonu (çökmesi) ile uygulanan yükler ve momentler arasında önemli ilişkiler vardır, bu bölümdeki amacımız bu ilişkileri ortaya koymaktır. Kayma gerilmelerinin deformasyon etkisi genellikle ihmal edilecek kadar küçüktür. EI x M ) ( 1 = = ? ? ŞEKİL: Uygulanan yükler nedeniyle kirişin sehimi (çökmesi) ve eğimi. 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 8 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ) 2 ( tan ? ? ? = dx dy ? d R dx = ) 1 ( 1 dx d R ? = ? burada ? kirişin eğimi olarak gözönüne alınabilir. Yukardaki diagramdan dx sıfıra yaklaşırken eğim çok küçük olur ve şu ilişki yazılabilir, (?=R) . dy Sonsuz küçük eleman dx’i gören açı ve düşey deplasman önce sonra (1) ve (2) den19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 9 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ) x ( q y EI dx y d EI ve ) x ( V y EI dx y d EI 4 4 3 3 - = ' ' ' ' = = ' ' ' = (1) ve (2) den yazabiliriz. Bunu eğilme ifadesinde yerine koyduğumuzda ; Elastik eğri denklemi denir. EI : Eğilme rijitliği 2 2 1 dx y d dx d R = = ? Kesme kuvveti (V) ve yayılı yük (q) arasındaki ilişkiden de ; . ) ( 2 2 2 2 edilir elde x M dx y d EI veya I E M dx y d = = (2nd order O.D.E.) 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 10 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ) ( ) ( 4 4 3 3 x q dx y d EI ve x V dx y d EI - = = Sonuç olarak ; elastik eğri ifadesini bir kez integre ederek dönme (?) ifadesini, iki kez integre ederek x’ in fonksiyonu olarak kirişin deformasyonunun (çökme, sehim) ifadesini elde ederiz. ?? ?? ? ? + + = + + = + = = + = = D Cx dx dx EI ) x ( M y EI veya D Cx dx dx EI ) x ( M y C dx EI ) x ( M dx dy EI EI veya C dx EI ) x ( M dx dy ? ? buna çift integrasyon yöntemi denir.19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 11 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ÇÖKME (sehim) ile Kesme kuvveti (V) ve Eğilme Momenti (M) arasındaki ilişkiler ) ( ) ( ) ( ) ( . ) ( . 4 4 3 3 2 2 sabıa EI y EI dx y d EI q Yük sabıa EI y EI dx y d EI V Kuvveti K y EI dx y d EI M Momenti E dx dy eğğı y çokme ' ' ' ' = = - ' ' ' = = ' ' = = = = eğim (EI sabit) (EI sabit) İntergrasyon ile elastik eğri ifadesini bulmak için yukardaki üç denklem kullanılacaktır. Moment de, kesme kuvveti de, yayılı yük de x’ in bir fonksiyonudur, x’e bağlı olarak ifade edilebilir. 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 12 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Değişik yüklerin etkisindeki kirişte kaç farklı bölge varsa, o kadar moment ifadesi yazıp integral alınarak sınır şartları yardımıyla her bir bölge için iki tane olmak üzere integrasyon sabitleri bulunur.19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 13 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ( ) D Cx dx x M dx y EI x x + + = ? ? 0 0 • Dfadesindeki sabitler sınır şartlarından belirleni r, – Çıkmalı kiriş (Overhanging beam) • Bir sınır şartı kiriş uzunluğu boyunca belirli bir yerde çökme (y) veya eğim (?) için tanımlanır. Bir sınır şartı yalnızca bir integrasyon sabitini bulmak için kullanılabilir. • • STAT STATİ İK KÇ ÇE BEL E BELİ İRL RLİ İ ÜÇ ÜÇ K Kİ İR RİŞ İŞ İ İÇ Çİ İN N, , – Ankastre kiriş (Cantilever beam) – Basit destekli kiriş (Simply supported beam) 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 14 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM y 2 y 1 y y y 1 , y 2 Eğim ve çökme ifadesini elde etmek için eğer tek bir x koordinatı yeterli olmazsa süreklilik şartı kullanılmalıdır. Örneğin ; B noktasında kiriş süreklidir. Dolayısıyla ; AB bölgesi için elde ettiğimiz her hangi bir ifade x ‘ in B noktasındaki koordinatı için BC bölgesindeki aynı ifade ve aynı nokta için aynı değeri vermelidir. a+b=L [x 2 =0, y 2 =0] [x 1 =0, y 1 =0] [x 1 =0, y 1 =0] [x 2 =L, y 2 =0] [x 1 =a ve x 2 =a , y 1 =y 2 ] [x 1 =a ve x 2 =a , ? 1 =? 2 ] [x 1 =a ve x 2 =b , y 1 =y 2 ] [x 1 =a ve x 2 =b , ? 1 =? 2 ] F ? (x 1 ) a =F ? (x 2 ) b F y (x 1 ) a =F y (x 2 ) a F ? (x 1 ) a =F ? (x 2 ) a F y (x 1 ) a =F y (x 2 ) b S Sü üreklilik reklilik Ş Şart artı ı19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 15 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ankastre mesnet Kayar mesnet Pimli mesnet 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 16 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK RNEK - -1 1: : Aşağıdaki kirişin elastik eğri denklemini elde ediniz. y A P yükü kirişi şekilde görüldüğü gibi deforme eder. Kiriş için moment ifadesi bir denklem ile belirlenebilir.19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 17 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM - Önce moment ifadesi elde edilir. Dif. denklem yazılarak 2 kere integre edilir, 2 1 3 1 2 2 2 6 2 C x C x P y EI .. . n integrasyo 2. C Px dx dy ....EI n integrasyo 1. Px dx y d EI . . . . denklem dif. + + - = + - = - = ? .(2) .(3) .(1) 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 18 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Sınır şartları x=L de; ?=dy/dx=0 ve y=0 dır. elde edilir. Bunlarda önceki (2) ve (3) nolu ifadelerde yerine konursa, y A y En büyük eğim ve çökme miktarı A ucunda (x=0) olur ,19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 19 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM y A ? A için pozitif sonuç çıkması dönmenin saatin dönme yönünün tersine (SYT) olduğunu, y A ‘nın negatif çıkması çökmenin aşağı doğru olduğunun göstergesidir. soru slaytındaki şekil de bunu doğrulamaktadır. A ucundaki gerçek çökme ve eğimin bulunması için kiriş tipi olarak W310x39 seçilirse (I=84.8 (10 6 ) mm 4 ), malzeme A-36 çeliği, P=30 kN ve E=200 GPa, kiriş uzunluğu L=5 m alarak ; elde edilir. 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 20 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Elastik e Elastik eğ ğrinin Y rinin Yü ük da k dağı ğıl lı ım mı ından bulunmas ndan bulunması ı • Yayılı yük etkisindeki bir kiriş için, ( ) ( ) x q dx dV dx M d x V dx dM - = = = 2 2 • Kiriş için yer değiştirme ifadesi , ( ) x q dx y d EI dx M d - = = 4 4 2 2 ( ) ( ) 4 3 2 2 2 1 3 1 6 1 C x C x C x C dx x q dx dx dx x y EI + + + + - = ? ? ? ? • Dört kez integre ederek, • Sabitler sınır şartlardan bulunur. V B =019.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 21 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Bu problem EId 4 y/dx 4 =-w(x) ifadesi kullanılarak da çözülebilir. Bu problem için w(x)=0 dır. y A 2. 2. Çö Çöz zü üm yolu m yolu Kesme sabiti, C 1 ’ ; x=0 da V A =-P ile elde edilebilir. C 1 ’ =-P dir. x=0 da M=0 ile C 2 ’ =0 elde edilir ve çözüme önceki gibi devam edilir.. V C dx y d EI dx y d EI = ' = = 1 3 3 4 4 0 M C Px dx y d EI P dx y d EI = ' + - = - = 2 2 2 3 3 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 22 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK RNEK - -2 2 En büyük çökme miktarını hesap ediniz. EI= sabit Kiriş aşağıdaki gibi deforme olur. Tekil kuvvetin olduğu noktada süreksizlik vardır. Bu nedenle kiriş iki kısımda incelenmeli ÇÖ ÇÖZ ZÜ ÜM : M : ( y yerine v kullanılmış)19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 23 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Dki bölge için SCD çizilerek, 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 24 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM M 1 için integrasyon ile , Benzer şekilde M 2 için integrasyon ile ,19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 25 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Dört sabitten ikisi sınır şartı kullanarak elde edilebilir. Şöyle ki ; x 1 =0 da v 1 =0 ve x 2 =3a da v 2 =0 . Dki sabit ise B deki süreklilik şartından elde edilir, yani, x 1 =x 2 =2a da dv 1 /dx 1 =dv 2 /dx 2 ve v 1 =v 2 dir. 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 26 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Bu denklemleri çözerek ;19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 27 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Elastik eğrinin kontrolünden görülmektedir ki en büyük çökme A ile B arasında bir D noktasında ortaya çıkar. Ki bu noktada eğim sıfırdır. 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 28 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORUSU MA SORUSU- -1 : 1 : C noktas C noktası ındaki ndaki çö çökmeyi hesaplay kmeyi hesaplayı ın nı ız. z. EI=sabit EI=sabit19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 29 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 30 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 31 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 32 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 33 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORUSU MA SORUSU- -2 : 2 : En b En bü üy yü ük k çö çökmeyi hesaplay kmeyi hesaplayı ın nı ız. z. EI=sabit EI=sabit 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 34 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 35 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 36 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 37 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORUSU MA SORUSU- -3 : 3 : En b En bü üy yü ük k çö çökmeyi ve u kmeyi ve uç çtaki d taki dö önmeyi hesaplay nmeyi hesaplayı ın nı ız. z. EI=sabit EI=sabit 19.02.2009 23:00 Kirişlerde Çökme-I 38 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM THE END THE END yani dersin sonu yani dersin sonu