Statik 8 - Kafes Sistemleri Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 BÖLÜM-8Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 2 KAFES S İSTEMLER İProf. Dr. Muzaffer TOPCU 3 8.1 B 8.1 B İ İ R KAFES S R KAFES S İ İ STEM STEM İ İ N TANIMI N TANIMI Kafes sistemleri, mühendislikte kullanılan ta şıyıcı sistemlerinin tiplerinden biridir. Birçok mühendislik probleminde, özellikle vinç, köprü ve bina projelerinde pratik ve ekonomik bir çözüm sa ğlar. Bir kafes sistemi, dü ğüm noktalarında birle şen do ğru eksenli çubuklardan meydana gelir; tipik bir kafes sistem Şekil 8.1’de gösterilmi ştir. Kafes sistemin çubukları yalnız uç noktalarında birbirlerine ba ğlanmı ştır. Gerçek ta şıyıcı sistemler birçok düzlem kafes sistemin bir uzaysal sistem olu şturacak şekilde birle ştirilmesinden yapılmı ştır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 4 Her kafes sistemi, kendi düzleminde etkiyen yükleri ta şıyacak şekilde projelendirildi ğinden, iki boyutlu kafes sistem temel olmaktadır. Burada onun için öncelikle iki boyutlu kafes sistemleri ele alınacaktır. Şekil 8.1Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 5 Genel olarak, bir kafes sistemin elemanları narindir ve eksenine dik do ğrultudaki yükleri ta şıyamaz; bundan dolayı bütün yükler, çubukların kendilerine de ğil, dü ğüm noktalarına uygulanmalıdır. İki dü ğüm noktası arasına bir yayıllı yük uygulananaca ğı zaman bu yükler kom şu dü ğümlere payla ştırılacak şekilde kafes sistemi dizayn edilir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 6 Çatı Kafes Kiri şleriProf. Dr. Muzaffer TOPCU 7 Köprü Kafes Kiri şleri Şekil 8.2Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 8 Kafes sistemi, çubuklarının a ğırlıklarını da çubu ğun birle ştirdi ği iki dü ğüm noktasına payla ştırılır. Çubuklar perçin yada kaynak ile birle ştirilirler. Birle şme yerleri sürtünmesiz mafsallı birle ştirme olarak kabul edilir. Bunun için bir çubu ğun her iki ucuna etkiyen kuvvetler eksenel do ğrultuda etkir, moment meydana gelmez. Buna göre çubuk yalnız normal kuvvet etkisindeki bir eleman olarak ele alınabilir ve bütün kafes sistem bir mafsallar ve normal kuvvet etkisindeki elemanlar grubu olarak kabul edilebilir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 9Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 10Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 11 8.2 BAS 8.2 BAS İ İ T KAFES S T KAFES S İ İ STEMLER STEMLER İ İ A , B , C v e D mafsalları ile birbirine ba ğlanmı ş dört çubuktan olu şan, Şekil 8.3(a)’deki kafes sistemi göz önüne alalım. B noktasına herhangi bir yük uygulanırsa, kafes sistem büyük ölçüde şekil de ği ştirir ve ilk biçimini tamamen kaybeder. Di ğer taraftan A, B, C mafsalları ile birbirlerine ba ğlanmı ş üç çubuktan olu şan Şekil 8.3(b) deki kafes sistem, B noktasında uygulanan bir yükten dolayı çok az şekil de ği ştirir. Bu kafes sistem için tek mümkün deformasyon, elemanlarının küçük boy de ği şimlerinden ibarettir. Şekil 8.3(b) deki kafes sistem bir rijit kafes sistem olarak anılır; burada rijit deyimi kafes sistemin göçmeyece ğini belirtmek üzere kullanılmı ştır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 12 Şekil 8.3(b) deki baz üçgen kafes sisteme, BD ve CD gibi iki çubuk eklenerek Şekil 8.3(c)’de gösterildi ği gibi, daha büyük bir rijit kafes sistem elde edilebilir. Bu i şlem istenildi ği kadar çok kere tekrarlanabilir, yeni iki çubuk eklemek, bunları mevcut iki ayrı dü ğüm noktasına ba ğlamak ve yeni bir dü ğüm noktasında birle ştirmek şartı ile sonuç kafes sistem rijit olur.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 13 C B A B ı D C ı C B A (a) (b) C D B A (c) Şekil 8.3Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 14 8.3 8.3 İ İ ZOSTAT ZOSTAT İ İ K VE H K VE H İ İ PERSTAT PERSTAT İ İ K K S S İ İ STEMLER STEMLER Bir katı cisme tesir eden düzlem kuvvetlerde denge şartları, birbirine ba ğlı olmayan üç denklem verir. Bilinmeyen sayısı bunlardan fazla olursa, denge şartları problemin çözümüne kâfi gelmez. Bu tip problemlere "statik bakımdan belirsiz" veya "hiperstatik" problemler denir. Bilinmeyen sayısı denklem sayısından ne kadar fazla ise belirsizlik o derece yüksek olur. Belirli olan sistemlere "izostatik" sistemler denir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 15 8.4 KAFES S 8.4 KAFES S İ İ STEMLER STEMLER İ İ Ç Ç İ İ N N GENEL B GENEL B İ İ LG LG İ İ LER LER Ta şıyıcı sistemlerin açıklıkları büyüdükçe dolu gövdeli sistemlerin, kendi a ğırlıklarının artı şından dolayısıyla ekonomik olmadı ğından yerlerini kafes ve çerçeve sistemlerine bırakırlar.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 16 (a) (b) (c) (d) Şekil 8.4. Profil ve Ba ğlantılarProf. Dr. Muzaffer TOPCU 17 Şekil 8.4 (a)' da dolu bir çubu ğun herhangi bir kesitinde basit e ğilme halinde gerilme yayılı şı görülmektedir. Burada orta kısımdaki liflerin üst ve alt kenarlardaki liflere nazaran kesit ta şıyıcılı ğına daha az i ştirak ettikleri görülmektedir. Çubu ğun kendi a ğırlı ğını azaltmak için orta bölgenin bir kısmı sistemden çıkartılarak I kesitli dolu sistemler elde edilir. Şekil 8.4(b)’de ve Şekil 8.4(c)'de daha büyük açıklıklarda ise orta kısım tamamıyla kaldırılıp bunun yerine kesme kuvvetini kar şılamak üzere Şekil 8.4(d)'deki gibi çubuklar konarak çerçeve veya kafes sistemler elde edilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 18 Kafes sistemler, yalnız normal kuvvetleri ta şıyan do ğru eksenli çubukların birle ştirilmesinden meydana gelirler. Çubuklar sürtünmesiz bir mafsal ile birbirlerine ba ğlıdırlar. Buralara "dü ğüm noktaları" denir. Mafsallarla yapılmı ş sistemler anacak dü ğüm noktalarında yük ta şırlar. Aksi halde tatbik edilen yüklerin momenti do ğar ki, bunu da sürtünmesiz mafsallar ta şıyamaz.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 19 8.5 KAFES S 8.5 KAFES S İ İ STEMLER STEMLER İ İ N N İ İ N N İ İ ZOSTAT ZOSTAT İ İ K OLMA K OLMA Ş Ş ARTI ARTI Kafes sisteminin çubuklarında e ğilme momentleri ve kesme kuvvetleri sıfırdır. Yalnız normal kuvvetler vardır. Bunlara "çubuk kuvvetleri" denir. Kafes sistemde; d = Dü ğüm noktası sayısını (mesnetler dahil) r = Mesnet reaksiyonları sayısını ç= Ç u b u k s a y ısını göstersin. Her çubukta, bilinmeyen olarak bir çubuk kuvveti vardır. O halde reaksiyonlar ile birlikte bilinmeyenlerin toplam sayısı (r+ç) olur.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 20 8.6 8.6 Ç Ç UBUK KUVVETLER UBUK KUVVETLER İ İ N N İ İ N N TAY TAY İ İ N N İ İ Kafese te şkil eden çubukların boyutları, her çubu ğa gelen kuvvet ve zorlamaya göre hesaplanır. Bu hesaplamalarda iki esas kabul edilmektedir. 1. Çubukların birbirleriyle olan ba ğlanı şı, sürtünmesiz mafsallı farzedilir. İki veya daha fazla çubu ğun bir arada ba ğlandı ğı bu mafsala dü ğüm noktası denir. Mafsalların sürtünmesiz oldu ğunu kabul etmek, dü ğüm noktalarının moment ta şımayacakları pe şinen kabul edilir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 21 2. Kiri şe gelen bütün dı ş kuvvetlerin dü ğüm noktalarında tesir etti ği yani çubu ğun iki dü ğüm noktası arasındaki kısmına hiç bir dı ş kuvvetin tesir etmedi ği farzedilir. Ayrıca çubuk kuvvetlerini tayin etmek için a şa ğıdaki metodlar kullanılır; Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 22 8.6.1 D 8.6.1 D Ü Ü Ğ Ğ Ü Ü M NOKTALARI DENGE M NOKTALARI DENGE METODU: METODU: Bu metotla bir kafes sistemindeki çubuklara etkileyen kuvvetleri bulmak için, her bir dü ğüm noktasına etkiyen kuvvetler denge denklemleri uygulanır. Dolayısıyla bu metodda bir noktada kesi şen kuvvetlerin dengesi incelenir. Bunun içinde ba ğımsız iki denge denklemi gerekir. Çözüme en az bir bilinen ve en fazla iki bilinmeyen kuvvetin etkidi ği herhangi bir dü ğümden ba şlanır. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 23 Ö Ö rnek 1: rnek 1: Şekil deki kafes sistemde çubuk kuvvetlerini dü ğüm noktaları metoduna göre bulunuz. 1000 N 30 cm 40 cm A C BProf. Dr. Muzaffer TOPCU 24 Çö Çö z z ü ü m 1: m 1: 1000 N A x A C B A y C y N C C ise M y y A 750 0 40 . 30 . 1000 0 = = + - = ? N A C A ise F y y y y 750 0 0 - = = + = ? N A A ise F x x x 1000 0 1000 0 = = + - = ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 25 A Dü ğümü AB AC A y A x A N AB AB ise F y 750 0 ) 750 ( 0 = = - + = ? N AC A AC ise F x x 1000 0 0 = = - = ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 26 C Dü ğümü BC C y AC C N BC C BC ise F y y 1250 0 5 3 . 0 - = = + = ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 27 8.6.2 R 8.6.2 R İ İ TTER METODU (KES TTER METODU (KES İ İ M M METODU) METODU) Dü ğüm metodu ve grafik metodun da, sadece üç denge denkleminden ikisinin avantajından istifa edilmi ştir. Zira dü ğüm noktasında kesi şen kuvvetler söz konusudur. Üçüncü denge denkleminin avantajını kullanmak için, kesilmi ş bir kafesin bütünü serbest cisim olarak alınabilir. Bu durumda bir noktada kesi şmeyen kuvvetlerin dengesi söz konusudur. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 28 Üçüncü denge denkleminin avantajı, hesabı istenen çubu ğu içine alan bir kesim yaparak sistemi çözüp do ğrudan do ğruya istenen çubu ğun hesabının yapılabilmesidir. Bu durumda hesabı istenen çubu ğa gelmek için dü ğümden dü ğüme hesap yapmak gereksizdi. Bu durumda sadece üç tane ba ğımsız denge denklemi vardır. O halde sistemi keserken üç çubuktan fazla çubuk kesilmemelidir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 29 Kesme metodunda anla şılması gereken esas nokta kesmeden sonra elde edilen bölümün tek bir cisim gibi dengesinin incelenece ğidir. İçk ısımdaki çubuklara ait çubuk kuvvetleri çözümde kullanılamaz. Serbest cisim ve dı ş kuvvetleri açık olarak belirtmek için, kesme i şlemi dü ğümden de ğil de, çubuklardan yapılmalıdır. Kesme metodunda, moment denklemlerinin avantajından istifade edilir ve moment merkezi seçilirken, mümkün oldu ğu kadar fazla bilinmeyen kuvvetin bu noktadan geçmesine dikkat edilmelidir. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 30 Ö Ö rnek 2: rnek 2: Konsol şeklinde yüklü kafes sisteminin AC ve BD çubuklarındaki kuvvetleri kesim metodunu kullanarak bulunuz? 5m 5m 5m 5m 5m 5m 5m B A CE D 20 KN 30 KN 4.330Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 31 Çö Çö z z ü ü m 2: m 2: 30 kN AC B AB BD BC A + ? = 0 M B 30 × 2,5 - AC ×4,33 = 0 AC = 17,32 kN Basi.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 32 + 30×5 - BD ×4,33 = 0 BD = 34,64 kN Çeki. BD 30 kN B A 20 kN C CE CD ? = 0 M CProf. Dr. Muzaffer TOPCU 33 8.6.3 CREMONA METODU 8.6.3 CREMONA METODU (GRAF (GRAF İ İ K K ÇÖ ÇÖ Z Z Ü Ü M) M) Kafes sistemlerde herhangi bir dü ğüm noktasının dengede bulunması için bu noktadaki çubuk kuvvetleri ile varsa dı ş kuvvetlerin bile şkesinin sıfır olması gerekir. Bir ba şka deyimle, geometrik olarak bu kuvvetlere ait kuvvetler poligonu kapalı olmalıdır. Böylece herhangi bir dü ğüm noktasına ait kuvvetler poligonu kapalı olmalıdır. Böylece herhangi bir dü ğüm noktasına ait kuvvetler poligonu kapanacak şekilde çizilecek olursa, bu dü ğüm noktasında birle şen çubuklardan bilinmeyen ikisinin kuvvetleri bulunur. Burada bazı kaidelere uymak gerekir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 34 Öncelikle mesnet reaksiyonları dahil bütün dı ş kuvvetlere ait kuvvet poligonunun kapanması gerekir. Poligonda kuvvetler geli şi güzel sıralanmayıp belli bir dönme yönü alınır. Bu yönde sistem üzerinde kuvvetlere rastlanı ş sırası poligondaki çizili ş sırasıdır. Çizilme önce, bilinmeyen sayısı en fazla iki olan bir dü ğümden ba şlanmalıdır. Ayrıca her izostatik kafes sisteminde Cremona planının çizilmesi mümkün de ğildir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 35 ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLERProf. Dr. Muzaffer TOPCU 36 Problem 1: Problem 1: Kafes sistemdeki çubuk kuvvetlerini hesaplayınız. o BDF H A 3m 3m 3m 3m CE G 20kN 25kN 4mProf. Dr. Muzaffer TOPCU 37 Çö Çö z z ü ü m 1: m 1: 0 = ? H M 20.6+25.3-Ay.12=0 Ay=16,25 kN 0 Fy = ? ^ + 16,25-20-25+Hy=0 H y =28,75 kN x yönünde etkiyen herhangi bir kuvvet yoktur. o BDF H A 3m 3m 3m 3m CE G 20kN 25kN 4mProf. Dr. Muzaffer TOPCU 38 0 = ? ^ + Fy AC AB Ay 0 Fx = ? + › ise AC.Cos53+AB=0 -20,34. Cos53+AB=0 AB=12,24 kN Çeki ise Ay+AC.Sin 53=0 AC=-20,34 kN Bası A dü ğümüProf. Dr. Muzaffer TOPCU 39 CB=0 -AB+BD=0 AB=BD= 12,24 kN Çeki B dü ğümü CB AB BD 0 Fx = ? ? = ? 0 FyProf. Dr. Muzaffer TOPCU 40 C Dü ğümü CE CD AC CB 0 = ? ^ + y F 0 = ? › + x F -AC.Sin53-CD.Sin53-CB=0 CD= -AC CD=20,34 kN Çeki -AC.Cos53+CD.Cos53+CE=0 CE=AC.Cos53-CD.Cos53 CE=-24,48 kN BasıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 41 E Dü ğümü ise -CE+EG=0 EG=-24,48 kN Bası -20-ED=0 ED=-20 kN Bası 20 kN EG CE ED 0 = ? x F 0 = ? y FProf. Dr. Muzaffer TOPCU 42 D Dü ğümü ED+CD.Sin53+DG.Sin53=0 DG=(20-20,34.Sin53)/Sin53 DG=4,7 kN Çeki -BD-CD.Cos53+DG.Cos53+DF=0 -12,24-20,34.Cos53+4,7.Cos53+DF=0 DF=21,65 kN Çeki ED BD DF CD DG 0 = ? x FProf. Dr. Muzaffer TOPCU 43 F Dü ğümü FG=0 0 = ? x F FG DF FH ? = ? 0 y F -DF+FH=0 FH=21,65 kN Çeki Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 44 H Dü ğümü 28,75+HG.Sin53=0 HG=-36 kN Bası 0 = ? x F ? = ? 0 y F -HG.Cos53-FH=0 FH=21,66 kN Çeki HG FH H yProf. Dr. Muzaffer TOPCU 45 G Dü ğümü -EG-DG.Cos53+HG.Cos53=0 -EG-4,7.Cos53-36.Cos53=0 EG=-24,5 kN Bası 0 = ? x F -25-DG.Sin53-FG-HG.Sin53=0 -25-4,7.Sin53-HG.Sin53=0 HG=-36 kN Bası 25 kN EG DG FG HG 0 = ? y FProf. Dr. Muzaffer TOPCU 46 Problem 2: Problem 2: Kafes sisteminin BC, BE ve EF çubuk kuvvetlerini belirleyiniz. 3m 6m 4m 3m D E F 6kN 4kN A C BProf. Dr. Muzaffer TOPCU 47 Çö Çö z z ü ü m 2: m 2: Kesim metodunun uygulanması: a) Statikçe belirli olup olmadı ğı kontrol edilir. b) Reaksiyon kuvvetleri bulunur. c) En fazla üç çubu ğu kapsayacak kesim yapılır. d) Kesilen parçalardan biri seçilir. Çubuk kuvveti çekme şeklinde yerle ştirilir. e) Denge denklemleri uygulanarak bilinmeyen çubuk kuvvetleri hesaplanır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 48 3m 6m 4m 3m D E F 6kN 4kN A C B BC BE EF A y D y D xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 49 kN EF EF A M kN D kN A A M y D y y y D 38 , 3 0 4 . 3 . 0 5 , 5 5 , 4 0 3 . 6 9 . 4 12 . 0 = = - = = = = - - = ? ? kN BC EF BC F kN BE A BE F x y y 1 , 4 0 211 , 7 6 0 9 , 0 0 4 211 , 7 4 . 0 = = + + = = = - - - = ? ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 50 Problem 3: Problem 3: Kafes sisteminin çubuk kuvvetlerini belirleyiniz. A B 1m 1m 1m 10kN CE DProf. Dr. Muzaffer TOPCU 51 Çö Çö z z ü ü m 3: m 3: kN B kN B kN A A M y x x x B 10 20 20 0 2 . 10 0 = = = = - = ? kN CE kN DE DE F ED CE ED CE F y x 10 14 , 14 0 45 sin 10 0 45 cos 0 45 cos 0 - = - = = - - = - = = - - = ? ? kN DC kN BD BD 99 , 9 99 , 9 45 cos 14 , 14 = = = E Dü ğümü D Dü ğümüProf. Dr. Muzaffer TOPCU 52 Problem 4: Problem 4: Verilen kafes sistemde BC çubu ğundaki çubuk kuvveti hesaplayınız. E A C D B F 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 20 kN 30 kNProf. Dr. Muzaffer TOPCU 53 Çö Çö z z ü ü m 4: m 4: E A C D B 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 5 m 20 kN 30 kN T E x E y ? = 0 E M -T.5+20.5+30.10=0 ise T=80 kNProf. Dr. Muzaffer TOPCU 54 D T 5 m 30 o E E x E y Tx=T.Cos30=69,3 kN Ty=T.Sin30=40 kN kN E T E F x x x x 3 , 69 0 0 = ? = + - = ? kN E T E F y y y y 10 0 20 30 0 = ? = - - + = ?Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 55 E C D 5 m AC 5 m 20 kN T E x E y BC BD 0 = ? C M İse (BD.Sin60).5+Ty.2,5- Tx.4,33+ Ey.5=0 BD=34,65 kN Çeki 0 60 . 40 10 20 0 60 . 20 0 = + + + - = + + + - = ? Sin BC Sin BC T E F y y y BC=-34,64 kN BasıProf. Dr. Muzaffer TOPCU 56 Problem 5: Problem 5: 3 m B F A 1 kN 3 kN 4 m 4 m 4 m C D E Verilen basit kafes sistemde EF,ED ve CD çubuklarında çubuk kuvvetlerini hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 57 Çö Çö z z ü ü m 5: m 5: B y F 3 kN D EF ED CD ? = 0 A M -1.3–3.8+BY.12 = 0 BY = 2,25 kN ? = 0 D M ise -EF.3-By.4=0 ise EF= -3 kN Bası ? = 0 y F ise –3+ED.0,6+By =0 ise ED=1,25 kN Çeki ? = 0 x F ise –EF-CD-ED.0,8 =0 ise CD=2 kN Çeki