Malzeme Mekaniğinde Özel Konular 8 - Mekanikte Enerji Kavramı ( Darbe Şeklinde Yükler ) Malzeme Mekaniğinde Özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK HAFTA HAFTA 8. 8. Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde Ö Özel Konular zel Konular M MK K MT4 MT4 Dr. Nusret MEYDANLIK nm-2012 MEKAN MEKAN İ İ KTE E N E R J KTE E N E R J İ İ KAVRAMI KAVRAMI (DARBE (DARBE Ş Ş EKL EKL İ İ NDE Y NDE Y Ü Ü KLER) KLER) KAYNAKLAR : KAYNAKLAR : • BEER, JOHNSTON, DE WOLF, Mechanics of Materials,6 th ed. • HIBBELER, Mechanics of Materials, 8 th ed. 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 2 Kuvvetin yada deplasmanın herhangi bir yapıya yada makine elemanına hızlı olarak uygulanması, aynı şiddette fakat yavaş olarak uygulanan kuvvet ve deplasmanların oluşturduğu gerilme ve deformasyon değerlerinden çok daha büyük gerilme ve deformasyon değerlerine neden olmaktadır. Bu şekilde hızlı olarak uygulanan kuvvet ve deplasmanlara genelde şok yada darbe yükü denir. Buna karşılık malzemenin bu tür yüklere karşı davranışı da farklıdır. (Darbe şeklindeki yük, yükün uygulanma süresinin yapıdaki en uzun doğal periyodla karşılaştırılması ile tanımlanır, uygulanma süresi en uzun doğal periyodun 3 yada daha fazla katı ise yükleme statik (yada quazistatik) kabul edilir. Eğer uygulanma süresi en uzun doğal periyodun yarısından daha kısa ise yükleme darbe şeklinde kabul edilir.) Darbe yükleri makine elemanlarında çeşitli şekillerde üretilir. Örneğin ; - hızlı hareket eden yük (köprüden hızla geçen tren) -aniden (birdenbire) uygulanan yük (pistonun yanma esnasında biyele uyguladığı yük) - direkt darbe yükü (dövme çekici) - bir otomobilin çarpma yükü DARBE DARBE Ş ŞEKL EKLDD NDEK NDEKDD Y YÜ ÜKLER KLER8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 3 Bir otomobilin yolun kenarlarındaki emniyet bariyerlerine çarpması çok genel bir darbe yükü problemidir, burada büyük deformasyonlar vardır, malzeme nonlineerliği vardır, coulomb sürtünmesi , malzemenin yüksek şekil değiştirme hızında mekanik davranışı vardır. Bir darbe probleminde göz önüne alınacak hemen hemen bütün etkiler vardır. Malzemelerin yüklere karşı davranışını temsil eden çekme dayanımı, akma dayanımı, süneklik gibi mekanik özellikleri (ki bu değerler yükün yavaşça uygulanması ile elde edilir) darbe yükleri etkisinde önemli oranda etkilenir. Genellikle makine elemanları statik (yavaşça uygulanan) yükler etkisi altında olduğu farzedilerek göz önüne alınır. Darbe yükleri sık karşılaşılan bir durum değildir, yükler darbe şeklinde yada aniden uygulanırsa yavaşça uygulandığında oluşan gerilme ve deformasyonlardan daha büyük değerlerde geçici gerilme ve deformasyonlara neden olurlar. Bu etki aşağıdaki diyagramla gösterilebilir. 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 4 Normalde darbe yüklerine karşı tasarım yapılırken ya darbe yükleri azaltılmaya ya da amortisörler (darbeleri absorbe edici) yardımıyla darbe etkisi azaltılmaya çalışılır. Biliyoruz ki bir çok sünek malzeme yükleme hızının fonksiyonu olarak mekanik özelliklere sahiptir. Hızlı yükleme hali daha yüksek mekanik mukavemet değerlerine neden olmaktadır. Bu gibi hallere özel olarak malzemenin davranışını tanımak için iki standart deney yapılır, (charpy ve Izod) darbe enerjisini ölçmek için. Makine elemanlarının darbe yükleri altındaki mekanik davranışı aslında oldukça karmaşıktır ve problemi ileri seviyede anlayabilmek için FEM analizleri oldukça faydalı olmaktadır. Darbe yükleri eleman içinde yayılan şok dalgalarına neden olur. Ancak çoğu zaman daha basit bir yöntem olan enerjinin korunumu prensibi ve bir takım kabuller ile aşağıda anlatıldığı gibi analiz yapılabilir. Ve darbe yükü ile elastik bölgede deforme olan bir çok yapı elemanı için genellikle kullanılabilir analizlerdir, yapılan kabuller nedeniyle daima gerçek değerlerden daha büyük değerler elde edilir, yani daha koruyucu tasarım ilkesine uyulur.8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 5 DARBE Y DARBE YÜ ÜKLER KLERİ İ : : m kütleli bir cismin v 0 hızıyla sabit kesitli çubuğun B ucuna çarptığını düşünelim . Çubuktaki gerilme aniden max. ? max. değerine ulaşır, çubuk dengeye gelene kadar titreştikten sonra tüm gerilmeler sıfıra düşer, bu olay sırası darbeli y darbeli yü ükleme kleme halini tanımlar. Darbe nedeniyle yapının herhangi bir noktasında oluşan max. gerilmeyi bulmak için bazı kabuller yaparız. • birinci kabul ; birinci kabul ; çarpan cismin kinetik enerjisinin T=½m(v 0 ) 2 tamamının çubuğa geçtiği ve max. deformasyona karşılık genleme enerjisinin U m , olduğu .. 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 6 Bu kabul iki özel şartı getiriyor; 1. Darbe esnasında enerji yok olmuyor, 2. Çarpışma esnasında çarpan cismin ataleti ihmal ediliyor • ikinci ikinci ö önemli kabul nemli kabul; malzemenin statik çekme testindeki gerilme- genleme davranışının darbeli yük altında da geçerli olduğu kabul edilir Böylece maximum genleme enerjisi ; Çubuğun uzunluğu boyunca her noktasında gerilme aynı olup ? m e eşittir ve toplam enerji , ? m için çözersek ; Bir çok problemde gerilme dağılımı düzgün değildir ve bu ifade uygulanamaz.. DARBE Y DARBE YÜ ÜKLER KLERİ İ : :8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 7 Bu durumda darbe yükü ile aynı genleme enerjisini yaratacak eşdeğer statik P m yükünü hesaplayıp, yapıdaki en büyük gerilme ? m değerini P m değerinden hesaplamak daha uygun olmaktadır. Ö Örne rneğ ğin in - -2 2 : : yanda görülen değişken kesitli çubukta determine the maximum value ? m of the stress . Çö Çöz zü üm : m : Önce statik yük etkisinde eşdeğer P m ı buluruz, bunun için genleme enerjisini yazarsak, E A 16 L P 5 E ) A 4 ( 2 ) L ( P E A 2 ) L ( P U 2 m 2 m 2 m m 2 / 1 2 / 1 = + = Çubukta darbe ile aynı genleme enerjisini taratacak olan statik yük, P m DARBE Y DARBE YÜ ÜKLER KLERİ İ : : 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 8 En büyük gerilme CD kısmında ve şiddeti, eşdeğer P m yükü yardımıyla, için çözümü elde edersek YORUM ; bu sonuç sabit kesitli çubuk (V=AL) için elde edilen değerle karşılaştırıldığında %26.5 daha büyük olduğu görülür. Çubuğun BC kısmının çapının artması çubuğun enerji absorbe etme kapasitesini düşürmektedir. DARBE Y DARBE YÜ ÜKLER KLERİ İ : :8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 9 kirişte aynı genleme enerjisini yaratacak eşdeğer statik yük, olur. Ö ÖRNEK RNEK- -3 : 3 : Yandaki gibi bir W ağırlığında blok h yüksekliğinden serbestçe bırakılıyor. Kirişte oluşan en büyük gerilmeyi bulunuz. Çö Çöz zü üm : m : h yüksekliğinde bloğun potansiyel enerjisi önce kinetik enerjiye dönüşüyor. Darbe neticesinde de kinetik enerji genleme enerjisine dönüşmekte, toplam potansiyel enerji çökmeyi (y m ) de göz önüne alırsak, ( ) Ankastre kiriş için kayma gerilmelerini ihmal ederek bulduğumuz genleme enerjisi ifadesi hatırlarsak, 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 10 En büyük gerilme B ucunda meydana gelir ve şiddeti, bulduğumuz eşdeğer statik P m yükünü yukardaki ? m ifadesinde yerine koyarsak, U m = W h ifadesi ile Ö ÖRNEK RNEK- -3 : 3 : incelediğimiz üç örneği de tekrar gözden geçirirsek8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 11 DESIGN FOR IMPACT LOADS DESIGN FOR IMPACT LOADS Önce üniform kesitli bir çubuğu göz önüne aldık ve U m darbe esnasında transfer edilen enerjiyi göstermek üzere, Daha sonra değişken kesitli bir çubuğu göz önüne aldık ve ile 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 12 Son olarak dairesel kesitli ankastre bir kirişi göz önüne alırsak , V 4 1 ) L c ( 4 1 ) c / c 4 1 ( L ) c / I ( L ve c 4 1 I 2 2 4 2 4 = = = = ? ? ? daha önce ankastre kiriş için bulduğumuz ifadede yerine konursa, SON YORUM: SON YORUM: Her bir durum gözönüne alındığında, en büyük gerilme E ile doğru orantılı iken V ile ters orantılıdır. Yani aynı malzeme ve hacım için en küçük gerilme üniform çubukta olurken, en büyük gerilme de ankastre çubukta oluşmakta. Bunu genelleştirirsek, darbe yüklerine karşı verimli bir tasarım için; 1. Hacım büyük olmalı, 2. Yüksek mukavemetli ve E si küçük olan malzeme tercih edilmeli, 3. Gerilme dağılımının mümkün olduğu kadar eşit ve düzgün dağılacağı kesit şekli tercih edilmeli .8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 13 İŞ İŞ ve ENERJ ve ENERJİ İ İ İFADES FADESİ İN Nİ İN KULLANILMASI IN DESIGN FOR IMPACT LOADS N KULLANILMASI IN DESIGN FOR IMPACT LOADS İş ve enerji ifadeleri bir çok darbe yükü problemini basitleştirmektedir. Örneğin bir otomobilin bir bariyere çarpması basit bir kiriş ve blok şeklinde modellenebilir. As the automobile crashed into the barrier, considerable energy was dissipated as heat during the permanent deformation of the automobile and the barrier. Source: Crash test photo courtesy of Sec-Envel and L.I.E.R., France. 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 14 Ö ÖRNEK RNEK- -4: 4: A block of mass m moving with a velocity v 0 hits squarely the prismatic member AB at its midpoint C . Determine (a) the equivalent static load P m , (b) the maximum stress ? m in the member, and (c) the maximum deflection x m at point C. (a) (a) Equivalent Equivalent Static Static Load Load : : diğer taraftan C noktasına yavaşça uygulanmış bir statik yükün yaptığı iş ve bu ifadede statik eşdeğer yüke karşılık C noktasının deplasmanı genel çözümlerden , Darbe den önce bloğun kinetik enerjisi en büyük genleme enerjisine eşittir, Çö Çöz zü üm : m :8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 15 a şıkkında bulunan P m i İfadesinde yerine yazarsak (b) (b) Maximum Maximum Stress Stress. . a şıkkında bulduğumuz P m ile S.C.D. dan; (c) (c) Maximum Maximum Deflection Deflection. . 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 16 Ö ÖRNEK RNEK- -5: 5: The block D of mass m is released from rest and falls a distance h before it strikes the midpoint C of the aluminum beam AB. Using E=73 GPa, Determine (a) the maximum deflection of point C, (b) the maximum stress that occurs in the beam. Principle Principle of of Work Work and and Energy Energy. . Çö Çöz zü üm : m : Kinetik enerji ve genleme enerjisi sıfırdır Max. çökme (y m ) değerinde kinetik enerji yine sıfırdır 2. durumda genleme enerjisi; W ağırlığının yaptığı işe eşitlrsek8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 17 a. a. Maximum Maximum Deflection Deflection of of Point Point C C. . İfadesi ile , b. b. Maximum Maximum Stress Stress. . Eğer yapılan iş ifadesinde y m i ihmal edip problemi çözersek, y m =9.16 mm olur, hata %10.8 olur. Eğer m=8 kg olsa bu kez hata %1.2 olur . Ö ÖRNEK RNEK- -4: 4: 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 18 Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORULARI : MA SORULARI : The cylindrical block E has a speed v=4.8 m/s when it strikes squarely the yoke BD that is attached to the 22 mm diameter rods AB and CD. Knowing that the rods are made of a steel for which ? Y =350 MPa ksi and E=200 GPa, determine the weight of block E for which the factor of safety is 5 with respect to permanent deformation of the rods. Soru Soru- -1: 1: (YNT : 41.6 N) (YNT : 41.6 N) 1.05 m Collar D is released from rest in the position shown and is stopped by a small plate attached at end C of the vertical rod ABC. Determine the mass of the collar for which the maximum normal stress in portion BC is 125 MPa. Soru Soru- -2: 2: (YNT : 4.76 Kg) (YNT : 4.76 Kg)8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 19 The 48-kg collar G is released from rest in the position shown and is stopped by plate BDF that is attached to the 20-mm- diameter steel rod CD and to the 15-mm- diameter steel rods AB and EF. Knowing that for the grade of steel used ? s =180 MPa and E=200 GPa, determine the largest allowable distance h. Soru Soru- -3: 3: (YNT : (YNT : ? ? 290 mm) 290 mm) 8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 20 The steel beam AB is struck squarely at its midpoint C by a 45-kg block moving horizontally with a speed v 0 =2 m/s. Using E=200 GPa, determine (a) the equivalent static load, (b) the maximum normal stress in the beam, (c) the maximum deflection of the midpoint C of the beam. Soru Soru- -4: 4: (YNT: a)21 kN, b)171.7 MPa, c)8.58 mm) Soru Soru- -5: 5: The 2-kg block D is dropped from the position shown onto the end of a 16-mm- diameter rod. Knowing that E=200 GPa, determine (a) the maximum deflection of end A, (b) the maximum bending moment in the rod, (c) the maximum normal stress in the rod. (YNT: a)15.63 mm, b)-83.8 Nm, c) 208 MPa)8. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 21 Soru Soru- -6: 6: The 2-kg block D is dropped from the position shown onto the end of a 16-mm- diameter rod. Knowing that E=200 GPa, determine (a) the maximum deflection of end A, (b) the maximum bending moment in the rod, (c) the maximum normal stress in the rod. (YNT: a)23.6 mm, b)-64.4 Nm, c) 157.6 MPa) A 72 kg diver jumps from a height of 0.5 m onto end C of a diving board having the uniform cross section shown. Assuming that the diver’s legs remain rigid and using E=12 GPa, for a=0.5 m and a=1.0 m determine (a) the maximum deflection at point C, (b) the maximum normal stress in the board, (c) the equivalent static load. Soru Soru- -7: 7: YNT: YNT: