Statik 9 - Çerçeve ve Makineler Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 1 BÖLÜM-9Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 2 ÇERÇEVE VE MAK İNELERProf. Dr. Muzaffer TOPCU 3 Kafes sistemi; - Sürtünmesiz mafsallarla ba ğlanmı şlardır. -D o ğru eksenli çubuklardan meydana gelmi ştir. - Kuvvet çubuk ekseni do ğrultusunda etki eder. Çerçeveler; - Çubuklara 3 veya daha fazla kuvvet etki eder . - Kuvvetler çubuk ekseni do ğrultusunda olmak zorunda de ğildir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 4 Makineler; - Kuvvet iletir veya kuvveti de ği ştirerek aktarırlar. - Hareketli veya hareketsiz olabilirler. - Her zaman hareketli parçalardan olu şurlar.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 5 A B C D M Çerçeveler ve Makineler çoklu kuvvet elemanı içeren yapılardır. Elemanlar üzerine üç veya daha fazla kuvvet etki eder. Çerçeveler yükleri ta şımak için dizayn edilmi şlerdir ve genellikle hareketsiz, tamamen tutulu yapılardır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 6 Makineler kuvvetleri iletmek veya kuvveti de ği ştirerek aktarmak üzere dizayn edilmi şlerdir ve her zaman hareketli parçalardan olu şurlar.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 7 A B C D M E y E x D y D x Bir çerçevenin analizi için ilk olarak, serbest bir cisim olarak çerçevenin tümü dü şünülür ve üç denge denklemi yazılır. E ğer çerçeve rijit ise destek yerlerinden ayrıldı ğında reaksiyonlar sadece üç bilinmeyendir ve bunlar bu denklemler yardımıyla elde edilebilir.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 8 Di ğer taraftan, e ğer rijit çerçeve kesilecek olursa, destek yerlerinden ayrıldı ğında reaksiyon kuvvetleri üç bilinmeyenden fazla olabilir ve denge denklemlerinden hepsi bulunamayabilir. B M E y E x B A C D D y D x B BProf. Dr. Muzaffer TOPCU 9 Çerçeve elemanlara ayrılır ve her eleman kuvvet çifti elemanı olarak veya çoklu kuvvet elemanı olarak tanımlanır. Mafsallar ise birbirine ba ğlanmı ş her bir elemanın ba ğlandıkları parçanın adıdır. Çoklu kuvvet elemanlarının her birinin serbest cisim diyagramı çizilir. İki çoklu kuvvet elemanı aynı kuvvet çifti elemanına ba ğlandı ğında do ğrultusu belli olan fakat büyüklü ğü belli olmayan e şit ve zıt yönlü kuvvetler ile eleman üzerine etkirler. İki çoklu kuvvet elemanı bir mafsal ile ba ğlıysa, birbirlerini belli olmayan do ğrultuda e şit ve zıt yöndeki kuvvetler ile zorlarlar, ki bunlar iki bilinmeyen bile şen ile tanımlanmalıdır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 10 Çoklu kuvvet elemanlarının serbest cisim diyagramlarından elde edilen denge denklemleri ile çe şitli iç kuvvetler çözülebilir. Denge denklemleri aynı zamanda mesnet reaksiyonlarının belirlenmesinde de kullanılır. Aslında çerçeve statikçe belirli ve rijit ise, çoklu kuvvet elemanlarının serbest cisim diyagramları, bilinmeyen kuvvetlerin bulundu ğu birçok denklemler olarak elde edilir. Yukarıdaki tavsiyelerin yanında tavsiye edilen ilk olarak çerçevenin tamamıyla serbest cisim diyagramını göz önüne alıp en az sayıda e şzamanlı olarak çözüm yapılmasıdır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 11 Çerçeve ve makineler, sık sık çoklu kuvvet elemanlarının mafsal ile ba ğlanmasından olu şturulur. Elemanlar iki veya daha fazla kuvvete maruz kalmaktadırlar. AB ve BC çoklu kuvvet elemanlarıdır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 12 AB elemanı 3 kuvvete maruzdur: •Meydana gelen kuvvetlerden biri B mafsalında •Meydana gelen kuvvetlerden biri A mafsalında • Kuvvet çifti (Moment) ise M Benzer olarak BC elemanı da 3 kuvvete maruzdur: : • Meydana gelen kuvvetlerden biri B mafsalında • Meydana gelen kuvvetlerden biri C mafsalında •D ı ş kuvvet PProf. Dr. Muzaffer TOPCU 13 DH elemanı bir çoklu kuvvet elemanıdır. ? ? İki kuvvet elemanı: •AB •BC •BE •HIProf. Dr. Muzaffer TOPCU 14 DH elemanı 5 kuvvete maruzdur: •Meydana gelen kuvvetlerden biri D mafsalında •Meydana gelen kuvvetlerden biri F mafsalında •F BE •F HI •F BCProf. Dr. Muzaffer TOPCU 15 Bir makinenin analizinde ise, makine önce elemanlarına ayrılır. Yukarıda anlatılan aynı yöntemler izlenir. Çoklu kuvvet elemanlarının her birinin serbest cisim diyagramları çizilir. Uygun denge denklemleri iç kuvvetler ve dı ş kuvvetler e şitli ği olarak olu şturularak çözüm yapılır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 16 A F E D C B W A x A y T W A G F E D C B y y x x A A F A F T M ? = ? ? = ? ? = ? 0 0 0 * Bir vinç’in analizi a şa ğıdaki gibi yapılır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 17 A -BE T C x B A x A y C y -BE BE BE C x C y W x x y E C C F C M BE M ? = ? ? = ? ? = ? 0 0 0Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 18 Ö Ö rnek 9.1 rnek 9.1 50 mm 40 mm 20 mm 400 mm 500 N A B C D E F Çapı 50 mm olan bir boru, boru anahtarı ile şekilde gösterildi ği gibi sıkılmı ştır. AB ve DE elemanları rijit olup, CF parçası ise D noktasındaki bir mafsal ile bu elemanlara ba ğlanmı ştır. Borunun sıkılarak çevrilmesi durumunda (boru ve sıkma elemanları arasında herhangi bir kaymanın olmadı ğını kabul ederek) boruya A ve C noktalarından etkiyen kuvvet bile şenlerini bulunuz. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 19 Çö Çö z z ü ü m : m : 1) Makine elemanlarına ayrılır ve her bir elemanın serbest cisim diyagramı çizilir. 2) İlk önce her bir eleman üzerine etkiyen kuvvetler yazılır ve ba ğlantı noktalarında da e şit ve zıt yönlü etkiyen kuvvetler yazılır. 3) Di ğer çoklu kuvvet elemanlarıda göz önüne alınır. 4) Her bir eleman için denge denklemleri yazılır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 20 Çö Çö z z ü ü m : m : ABDE parçası için serbest cisim diyagramı: 90 mm 20 mm A x A y D y D x A B D E 90 mm 20 mm A D A y 20 mm = ; A x 90 mm D y = A y ; D x = A x = 4.5 D y (1) A x = 4.5 A yProf. Dr. Muzaffer TOPCU 21 Çö Çö z z ü ü m : m : 20 mm 400 mm 500 N F D y D x C y C x 40 mm CF parçası için serbest cisim diyagramı: + ? M C = 0: D x (20 mm) - D y (40 mm) - (500 N)(440 mm) = 0 (1)’de yerine konulursa; 4.5D y (20) - D y (40) - 220 x10 3 = 0 D y = 4400 N = 4.4 kN D x = 4.5 D y = 19.8 kN Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 22 Çö Çö z z ü ü m : m : ? F x = 0: C x - 19.8 kN = 0 C x = 19.8 kN ? F y = 0: C y - 4.4 kN -0.5 kN = 0 C y = 4.9 kN + + (1). Denklemden; A x = D x = 19.8 kN A y = D y = 4.4 kNProf. Dr. Muzaffer TOPCU 23 Çö Çö z z ü ü m : m : 20 mm 400 mm 500 N F A B D E 4.4 kN 19.8 kN 4.4 kN 4.4 kN 19.8 kN 19.8 kN 19.8 kN 4.9 kN 40 mm Bütün kuvvet bile şenleri şekilde görüldü ğü yönlerde etki etmektedir. Boru üzerindeki bile şenler e şit ve zıt yönlüdür. Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 24 Çö Çö z z ü ü m : m : 4.4 kN 19.8 kN 19.8 kN 4.9 kN A x = 19.8 kN A y = 4.4 kN C x = 19.8 kN C y = 4.9 kNProf. Dr. Muzaffer TOPCU 25 Ö Ö rnek 9.2 rnek 9.2 Birle şik bir kirişş ekilde gösterildi ği üzere B noktasındaki bir mafsal ile ba ğlanmı ştır. Mesnetlerdeki reaksiyonları hesaplayınız. (Kiri şin a ğırlı ğını ve kalınlı ğını ihmal ediniz.) Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 26 Çö Çö z z ü ü m : m : Serbest Cisim Diyagramı: Tüm kiri ş için ? 4 unknowns A’da ankastre ? 1. Yatay reaksiyon (A x ) 2. Dikey reaksiyon (A y ) 3. Moment (M A ) C’deki mesnet ? 4. Dikey reaksiyon (C y )Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 27 Çö Çö z z ü ü m : m : 4 bilinmeyen var; A x , A y , M A , ve C y 3 Denge denklemi var: ?F x = 0, ?F y = 0, ve ?M = 0 Kiri ş AB ve BC olmak üzere iki parçaya ayrılır.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 28 Çö Çö z z ü ü m : m : BC kısmındaki denge denklemleri: kN B kN kN B C kN B F kN C m C m kN M B B F y y y y y y y B x x x 4 0 4 8 0 8 0 4 0 ) 2 ( ) 1 ( 8 0 ( 0 0 0 = ? = + - ? = + - ? = ^ + = ? = + - ? = + = ? = - ? = ?› ? ? ? +Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 29 Çö Çö z z ü ü m : m : AB kısmındaki denge denklemleri: kN A kN B B kN A F m kN M kN B m B m kN M M kN A B B kN A F y y y y y A y y A A x x x x x 12 4 8 4 0 5 4 ) 10 ( 0 . 32 ) 4 )( 4 ( 16 4 0 ) 4 ( ) 2 ( 5 4 ) 10 ( 0 ( 6 0 0 5 3 ) 10 ( 0 = + = ? = = - ? ? ? ? ? ? - ? = ^ + = + = ? = = - ? ? ? ? ? ? - ? = + = ? = = + ? ? ? ? ? ? - ? = ?› ? ? ? +Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 30 Çö Çö z z ü ü m : m : kN C kN B kN B m kN M kN A kN A y y x A y x 4 4 0 . 32 12 6 = = = = = = Sonuçlar:Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 31 Ö Ö rnek 9.3 rnek 9.3 Şekilde görülen iki parçalı çerçevenin A ve C noktalarındaki yatay ve dikey kuvvet bile şenlerini hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 32 Çö Çö z z ü ü m : m : B C y C x B y B x F BC B C F CB =Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 33 Çö Çö z z ü ü m : m : Serbest Cisim Diyagramı: 1.5 m 200(3)=600N 1.5 m A x F BC A y 45º F BC B C F CBProf. Dr. Muzaffer TOPCU 34 Çö Çö z z ü ü m : m : Denge Denklemleri: N A A F F x x BC x 300 ) 45 )(sin 26 . 424 ( 0 45 sin 0 = ° = ? = - ° ? = ?› ? ? + N A F A F N F F M y BC y y BC BC A 300 ) 45 )(cos 26 . 424 ( 600 0 600 45 cos 0 26 . 424 45 cos 3 900 0 ) 5 . 1 ( 600 ) 3 ( 45 cos 0 ( = ° - = ? = - ° + ? = ^ + = ° = ? = - ° ? = + ? 1.5 m 200(3)=600N 1.5 m A x F BC A y 45ºProf. Dr. Muzaffer TOPCU 35 Çö Çö z z ü ü m : m : C noktası: N C C F C N C C F C y y BC y x x BC x 300 ) 45 )(cos 26 . 424 ( 45 cos 300 ) 45 )(sin 26 . 424 ( 45 sin = ? ° = ? ° = = ? ° = ? ° = C x F BC C y 45º CM a f s a l ı F BC B C F CBProf. Dr. Muzaffer TOPCU 36 Çö Çö z z ü ü m : m : Sa ğlaması: N C N C N A N A y x y x 300 300 300 300 = = = = B 600N C y C x A y A x saglandı C A F saglandı A C F y y y x x x ? = - + = - + ? = ^ + ? = - = - ? = ?› ? ? ? + 0 600 300 300 0 600 0 0 300 300 0 0Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 37 Ö Ö rnek 9.4 rnek 9.4 Şekildeki kriko ile 125 kg’lık bir motor kaldırılmaktadır. Krikonun DB ve FB elemanlarında meydana gelen kuvvetleri bulunuz.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 38 Çö Çö z z ü ü m : m : G F E E x E y 125(9.81)= 1226.25N F FB 3 1 10 1 m 2 m C E E x E y F DB 45° 1 m 2 m C y C xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 39 Çö Çö z z ü ü m : m : N E E F N E E F kN N F F M x x x y y y FB FB E 125 . 613 0 10 1 87 . 1938 0 125 . 613 0 25 . 1226 10 3 87 . 1938 0 94 . 1 87 . 1938 0 ) 2 ( 10 3 ) 3 ( 25 . 1226 0 = ? = ? ? ? ? ? ? - = ?› ? = ? = - - ? ? ? ? ? ? = ^ + = = ? = ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? + G F E E x E y 125(9.81)= 1226.25N F FB 3 1 10 1 m 2 mProf. Dr. Muzaffer TOPCU 40 Çö Çö z z ü ü m : m : kN N F F M DB BD C 60 . 2 27 . 2601 0 ) 1 ( 45 sin ) 3 ( 125 . 613 0 = = ? = ° - = ? C E E x =613,125 N E y F DB 45° 1 m 2 m C y C xProf. Dr. Muzaffer TOPCU 41 Ö Ö rnek 9.5 rnek 9.5 Ayarlı bir pense ile B noktasındaki parçanın kesilmesi için 50 N’luk bir yük uygulanmaktadır. Bu durumda parçanın kesilmesi için uygulanmı ş olan kuvveti hesaplayınız. 50 N 50 N 20 cm 3 cm 2 mmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 42 Çö Çö z z ü ü m : m : N F F M B B A 3 , 333 0 ) ( 3 ) 20 ( 50 0 = ? = - = ? 50 N 50 N 20 cm 3 cm 2 mm A F B A y A x 50 N 20 cm 3 cmProf. Dr. Muzaffer TOPCU 43 Ö Ö rnek 9.6 rnek 9.6 12 in A B C D E 6 in 4 in 50 lb 6 in 2 in 6 in 12 cm 6 cm 6 cm 500 N 4 cm 2 cm 6 cm Şekildeki çerçeve için yatay ve dikey yüzeylerdeki sürtünmeyi ihmal ederek BCE elemanı üzerindeki B ve C noktalarına etkiyen kuvvetleri hesaplayınız.Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 44 Çö Çö z z ü ü m : m : A C 6 cm 500 N 6 cm 2 cm 18 cm A D D C x C y H C x C y B x B y 6 cm ACD elemanı için serbest cisim diyagramı: ? M H = 0: C x (2 cm) - C y (18 cm) = 0 C x = 9C yProf. Dr. Muzaffer TOPCU 45 Çö Çö z z ü ü m : m : A C 6 cm 500 N 6 cm 2 cm 18 cm A D D C x C y H C x C y B x B y 6 cm C x =9 C y BCE elemanı için serbest cisim diyagramı: ? M B = 0: C x (6 cm) + C y (6 cm) - (500 N)(12 cm) = 0Prof. Dr. Muzaffer TOPCU 46 Çö Çö z z ü ü m : m : C x = 9C y yerine konulursa: 9C y (6 cm) + C y (6 cm) - 6000 = 0 C y = +125 N; C x =9 C y = 9(125) =1125 N C 6 cm 500 N C x C y B x B y 6 cm C C 1125 N 125 N C = 1131,9 N 6.3 oProf. Dr. Muzaffer TOPCU 47 Çö Çö z z ü ü m : m : B B 1125 N 375 N B = 1185,85 N 18.4 o ? F x = 0: B x - 1125 N = 0 B x = 1125 N ? F y = 0: B y + 125 N - 500 N = 0 B y = 375 N + +