Mukavemet Malzeme Mekaniği 9 - Çökmenin Hesaplanması ( Statikçe Belirsiz Kirişler ve Süperpozisyon Yöntemleri Uygulaması ) ( Mukavemet II ) Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I Dr. N. MEYDANLIK (08/09 I I YY) MUKAVEMET YY) MUKAVEMET YY) MUKAVEMET- - -II II II © 2008 NM KİRİŞLERDE ÇÖKMENİN HESABI-II STATİKÇE BELİRSİZ KİRİŞLER ve SÜPERPOZİSYON YÖNT. UYGULANMASI (10-). HAFTA 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 2 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • Yandaki kirişi gözönüne aldığımızda, A da ankastre mesnet B de kayar mesnet var. • S.C.D. Dan görülmekte ki 4 bilinmeyen tepki kuvveti var, statiğin denge denklemleri, 0 0 0 = ? = ? = ? A y x M F F kiriş statikçe belirsizdir. ( ) 2 1 0 0 C x C dx x M dx y EI x x + + = ? ? • Kiriş için deformasyon ifadesi, STAT STATDD K KÇ ÇE BEL E BELDD RS RSDD Z K Z KDD R RDŞ DŞ LER ve M LER ve MDD LLER : LLER : 0 , At 0 0 , 0 At = = = = = y L x y x ? burdaki bilinmeyenler sınır şartlarında elde edildiğinde yukardaki üç denkleme ilave bir denklem daha yazılmış olur ve dört bilinmeyen tepki kuvveti de bulunur25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 3 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK PROB.1 RNEK PROB.1 YUKARDAKD KDRDŞ DÇDN A DAKD TEPKD KUVVETDND ( R A ) VE EĞDMD ( ? A =?) BULUNUZ. SOLUTION: • Develop the differential equation for the elastic curve (will be functionally dependent on the reaction at A). • Integrate twice and apply boundary conditions to solve for reaction at A and to obtain the elastic curve. • Evaluate the slope at A. 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 4 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • kesit içinde herhengi bir D noktasından kesersek , L x w x R M M x L x w x R M A A D 6 0 3 2 1 0 3 0 2 0 - = = - ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? L x w x R M dx y d EI A 6 3 0 2 2 - = = • elastik eğri için diferensiyel denklem aşağıdaki gibi elde edilir, Ö ÖRNEK RNEK- -1 125.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 5 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM L x w x R M dx y d EI A 6 3 0 2 2 - = = • Dki kere integrasyon ile 2 1 5 0 3 1 4 0 2 120 6 1 24 2 1 C x C L x w x R y EI C L x w x R EI dx dy EI A A + + - = + - = = ? • Sınır şartları uygulanırsa: 0 120 6 1 : 0 , at 0 24 2 1 : 0 , at 0 : 0 , 0 at 2 1 4 0 3 1 3 0 2 2 = + + - = = = + - = = = = = C L C L w L R y L x C L w L R L x C y x A A ? • A daki tepki kuvveti için çözüm 0 30 1 3 1 4 0 3 = - L w L R A ^ = L w R A 0 10 1 Ö ÖRNEK RNEK- -1 1 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 6 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM x L w L x w x L w y EI ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? = 3 0 5 0 3 0 120 1 120 10 1 6 1 ( ) x L x L x EIL w y 4 3 2 5 0 2 120 - + - = • C 1 , C 2 ve R A yı elastik eğri ifadesinde yerine koyarak, ( ) 4 2 2 4 0 6 5 120 L x L x EIL w dx dy - + - = = ? EI L w A 120 3 0 = ? • Eğimi bulmak için çökme eğrisinin bir kez türevi alınarak, A daki (x = 0) eğim, Ö ÖRNEK RNEK- -1 125.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 7 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORUSU ; MA SORUSU ; Yanda görülen iki ucundan ankastre bağlı düzgün yayılı yük etkisindeki kirişin mesnetlerindeki tepki kuvvetlerini bulunuz SCD SCD 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 8 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 9 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 10 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM S SÜ ÜPERPOZ PERPOZDD SYON Y SYON YÖ ÖNTEM NTEMDD : : Aşağıdaki şartların sağlanması gerekir: 1. Yayılı yük w(x) , çökme (sehim) y(x), ile lineer olarak değişiyor. 2. Kirişin geometrisinin yük ile önemli oranda değişmediği kabul edilir. şartlar sağlanıyorsa farklı yükler etkisindeki kirişin herhangi bir noktasındaki eğim ve sehim süperpozisyon prensibi gereği farklı yüklerin tek tek etkisinin cebrik olarak toplanması ile elde edilir. Bu yöntem için belirli yükleme halleri için daha önce elde edilmiş mevcut çözümler kullanılır25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 11 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK RNEK - -1 1 Aşağıda yükleme hali verilen kirişin A mesnedindeki eğimi ve C C noktasındaki sehimi bulunuz. 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 12 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM =25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 13 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Sadece yayılı yük için ilgili noktalarda çözüm; Sadece 8 kN luk tekil yük için ilgili noktalarda çözüm ; C noktasındaki toplam yer değiştirme ve A noktasındaki toplam eğim ; 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 14 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK RNEK - -2 2 C noktasındaki düşey yer değiştirmeyi hesap ediniz. EI=sabit.25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 15 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ekteki tabloyu kullanarak üçgen yayılı yük için B B noktasındaki eğim ve sehim , Kirişin BC bölgesi yüksüz bölgedir dolayısıyla bu kısım doğru şeklinde düz kalır, ? B de küçük olduğu için C C deki yerdeğiştirme, 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 16 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Ö ÖRNEK SORU RNEK SORU- -2 2 Aşağıdaki çelik çubuk A ve B de iki yay ile mesnetlenmiştir. Yayların yay katsayısı k=45kN/m dir. 3 kN luk yük uygulandığında C deki düşey deplasman ne olur. E=200 GPa ve I I =4.6875(10 -6 ) m 425.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 17 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Her bir yaydaki deplasman (sıkışma) miktarı : A ve B deki tepki kuvvetleri : Çubuğun rijid olduğunu düşünürsek C deki yerdeğiştirme ; 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 18 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Çubuğun da deforme olduğunu düşünürsek ; Toplam deformasyon ;25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 19 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM STAT STATDD K KÇ ÇE BEL E BELDD RS RSDD Z K Z KDD R RDŞ DŞ LERE S LERE SÜ ÜPERPOZ PERPOZDD SYON PRENS SYON PRENSDD B BDD N NDD N UYGULANMASI N UYGULANMASI 1. Statikçe belirsiz kirişlerin bilinmeyen tepki mesnet tepki kuvvetlerini bulmak için süperpozisyon yöntemi kullanılabilir 2. Öncelikle gereksiz fazla mesnet tespit edilir ve uzaklaştırılır. Uzaklaştırılan mesnetsiz deformasyon hesaplanır, 3. Daha sonra uzaklaştırılan mesnetli çözüm eklenerek orijinal yükleme haline eşdeğer çözüm elde edilir. S.C.D S.C.D S Sı ın nı ır r Ş Şartlar artları ı S SÜ ÜPERPOZ PERPOZDD SYON Y SYON YÖ ÖNTEM NTEMDD 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 20 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Procedures: Equilibrium Equations • Once the redundant forces and/or moments have been determined, the remaining unknown reactions can be found from the equations of equilibrium applied to the loadings shown on the beam’s free body diagram. S SÜ ÜPERPOZ PERPOZDD ZYO Y ZYO Y Ö ÖTEM TEM DD DD UYGULAMASI UYGULAMASI Gerçek kiriş B y tekrar uygulanmış B y uzaklaştırılmış kiriş25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 21 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM Uniform olarak yüklü kirişin mesnet tepki kuvvetlerini bulunuz, A daki eğimi bulunuz. SOLUTION: • B deki mesneti fazla (gereksiz) bularak deformasyon. • B deki bilinmeyen tepki kuvveti B deki sıfır deplasman ile . Ö ÖRNEK RNEK - -1 1 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 22 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM • Yayılı yük ile: ( ) EI wL L L L L L EI w y w B 4 3 3 4 01132 . 0 3 2 3 2 2 3 2 24 - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - = • Gereksiz mesnetin (tepkinin) uygulanması ile ; ( ) EI L R L L EIL R y B B R B 3 2 2 01646 . 0 3 3 2 3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = • Orijinal mesnetler ile uyum için, y B = 0 ( ) ( ) EI L R EI wL y y B R B w B 3 4 01646 . 0 01132 . 0 0 + - = + = ^ = wL R B 688 . 0 • From statics, ^ = ^ = wL R wL R C A 0413 . 0 271 . 025.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 23 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM ( ) EI wL EI wL w A 3 3 04167 . 0 24 - = - = ? ( ) EI wL L L L EIL wL R A 3 2 2 03398 . 0 3 3 6 0688 . 0 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? = ? ( ) ( ) EI wL EI wL R A w A A 3 3 03398 . 0 04167 . 0 + - = + = ? ? ? EI wL A 3 00769 . 0 - = ? A A ucundaki eğim ; Ö ÖRNEK RNEK - -1 1 25.02.2009 23:32 Kirişlerde Çökme-II 24 TRAKYA TRAKYA TRAKYA Ü Ü ÜN N Nİ İ İVERTS VERTS VERTSİ İ İTES TES TESİ İ İ M M MÜ Ü ÜH. H. H.- - -M M Mİ İ İM FAK. MAK M FAK. MAK M FAK. MAKİ İ İNA M NA M NA MÜ Ü ÜH. B H. B H. BÖ Ö ÖL. NM L. NM L. NM THE END THE END yani dersin sonu yani dersin sonu