Malzeme Mekaniğinde Özel Konular 9 - Mekanikte Enerji Kavramı ( Tekillik - Singülarite Yöntemi ile Kirişlerde KK, EM ve çökme ). Malzeme Mekaniğinde Özel Konular Dr. Nusret MEYDANLIK HAFTA HAFTA 9. 9. Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde Ö Özel Konular zel Konular M MK K MT4 MT4 Dr. Nusret MEYDANLIK nm-2012 MEKAN MEKAN İ İ KTE E N E R J KTE E N E R J İ İ KAVRAMI KAVRAMI (TEK (TEKİ İLL LLİ İK K- -S Sİ İNG NGÜ ÜLAR LARİ İTE Y TE YÖ ÖNTEM NTEMİ İ ile ile Kiri Kiriş şlerde KK, EM ve lerde KK, EM ve çö çökme ) kme ) KAYNAKLAR : KAYNAKLAR : • BEER, JOHNSTON, DE WOLF, Mechanics of Materials,6 th ed. • HIBBELER, Mechanics of Materials, 8 th ed. 9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 2 Tekillik (S Tekillik (Sing ingü ülarite larite) ) Fonksiyonlar Fonksiyonları ı ; ; n a x- şeklinde yazılır ve burada ? ? ? ? › - < › = - a x a x a x a x n n ) ( 0 n: bir tamsayı a: fonksiyonun başladığı noktadaki x değeridir. ? ? ? ? › - < › = - ? ? ? ? › < › = - a x a x a x a x a x a x a x ) ( 0 1 0 1 0 ö örne rneğ ğin in; ; dir. Birden çok yük etkisindeki kiriş için kaç farklı bölge varsa her farklı bölgede V ve M ifadelerini yazmak gerekiyordu, Sing Singü ülarite larite fonksiyonlar fonksiyonları ı bu işi kolaylaştırmakta, kirişin toplam uzunluğu boyunca tamamını temsil eden bir tek V ve M ifadesi yazmayı mümkün kılmaktadır.9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 3 a 0 x q 2 1 2 1 ) ( ) ( a x q x M a x q x V - - = - - = a 0 b x q 3 2 a x 6 m ) x ( M a x 2 m ) x ( V egim b q m - - = - - = = a 0 x P 1 0 ) ( ) ( a x P x M a x P x V - - = - - = a 0 M0 x 0 0 1 0 ) ( 0 ) ( a x M x M alıl a x M x V - - = = - - = - DE DEĞİŞİ ĞİŞİK Y K YÜ ÜKLEME HALLER KLEME HALLERİ İ İ İÇ Çİ İN A N AŞ ŞA AĞ ĞIDAK IDAKİ İ G Gİ İB Bİ İ YAZILIR YAZILIR ; ; x x soldan ba soldan baş şlat latı ıl lı ır r a a a a b 9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 4 TEMEL Y TEMEL YÜ ÜKLEME HALLER KLEME HALLERDD VE BUNLARA KAR VE BUNLARA KARŞ ŞILIK KESME KUVVET ILIK KESME KUVVETDD , E , EĞD ĞD LME LME MOMENT MOMENTDD N NDD N S N SDD NG NGÜ ÜLAR LARDD TE FONKS TE FONKSDD YONLARI C YONLARI CDD NS NSDD NDEN NDEN DD FADES FADESDD ; ; 9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 5 9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 6 Ö Örnek rnek- -1; 1; Kirişin herhangi bir noktasındaki kesme ; Kiri Kiriş şin herhangi bir noktas in herhangi bir noktası ındaki moment ; ndaki moment ; ş şeklinde yaz eklinde yazı ıl lı ır. r. Yay Yayı ıl lı ı y yü ükler i kler iç çin ifade; in ifade;9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 7 Ö Örnek rnek- -1; 1; Sing Singü ülarite larite fonksiyonlar fonksiyonları ın nı ı uygulayarak kiri uygulayarak kiriş ş i iç çin bir tek moment denklemi elde ediniz in bir tek moment denklemi elde ediniz Kirişin tamamı için ; x x’ ’ in fonksiyonu olarak M(x) ifadesi kiri in fonksiyonu olarak M(x) ifadesi kiriş şin toplam uzunlu in toplam uzunluğ ğu u boyunca ge boyunca geç çerlidir. erlidir. 9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 8 Ö Örnek rnek- -2; 2; ? ?9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 9 Kiri Kiriş şin tamam in tamamı ı i iç çin herhangi bir noktas in herhangi bir noktası ındaki kesme ve moment ifadeleri ; ndaki kesme ve moment ifadeleri ; 9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 10 Örneğin ; x=1.8 m için V(x)=? ve M(x)=? nedir sorusuna yanıt ;9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 11 Ö Örnek rnek- -3; 3; 9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 12 Singülarite fonksiyonları yardımıyla kiriş uzunluğu boyunca KK ve EM ni tanımlayan ifadeleri yazınız, en büyük EM yerini ve şiddetini bulunuz. Ç ÇALI ALIŞ ŞMA SORULARI : MA SORULARI : SORU SORU- -1 : 1 : B de YNT : Singülarite fonksiyonları yardımıyla kiriş uzunluğu boyunca KK ve EM ni tanımlayan ifadeleri yazınız, en büyük EM yerini ve şiddetini bulunuz. SORU SORU- -2 : 2 : YNT :9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 13 Singülarite fonksiyonları yardımıyla kiriş uzunluğu boyunca KK ve EM ni tanımlayan ifadeleri yazınız, en büyük normal gerilmenin yerini ve şiddetini bulunuz. SORU SORU- -3 : 3 : En büyük normal gerilme 45.2 MPa dır YNT : 9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 14 Singülarite fonksiyonları yardımıyla kiriş uzunluğu boyunca KK ve EM ni tanımlayan ifadeleri yazınız, sınır gerilme değeri ? s =12 MPa olan malzeme için h=? yüksekliği ne olmalı SORU SORU- -4 : 4 : h min =120.56 mm olmalı YNT :9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 15 Singülarite fonksiyonları yardımıyla kiriş uzunluğu boyunca KK ve EM ni tanımlayan ifadeleri yazınız, sınır gerilme değeri ? s =12 MPa olan malzeme için h=? yüksekliği ne olmalı SORU SORU- -5 : 5 : h min =113.7 mm olmalı YNT : 9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 16 Singülarite fonksiyonları yardımıyla kiriş uzunluğu boyunca KK ve EM ni tanımlayan ifadeleri yazınız, en büyük EM yerini ve şiddetini bulunuz. SORU SORU- -6 : 6 : YNT : x=2 m de 178 kNm dir SORU SORU- -7 : 7 : Singülarite fonksiyonları yardımıyla kiriş uzunluğu boyunca KK ve EM ni tanımlayan ifadeleri yazınız, en büyük EM yerini ve şiddetini bulunuz. 9 kN 12 kN/m 0.9 m 3 m x=2.7 m de 9.72 kNm dir YNT :9. Konu Malzeme Mekani Malzeme Mekaniğ ğinde inde ö özel Konular zel Konular Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK 17 THE END THE END yani dersin sonu yani dersin sonu Sevimli kuşlar