Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler 9.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER 9.BOLUM DOGRUSAL CEBIR VE DIFERANSIYEL DENKLEMLER SAB İ T KATSAYILI İ K İ NC İ VE DAHA YÜKSEK DERECEDEN D İ FERANS İ YEL DENKLEMLER 9.1. SAB İ T KATSAYILI HOMOJEN L İ NEER D İ FERANS İ YEL DENKLEMLER Konunun anla ş ı lmas ı i çin sadece ikinci dereceden diferansiyel denklemleri g özönüne al ı nacakt ı r. A ç ı klanan yöntem üçüncü ve di ğ er y üksek dereceli sabit katsay ı l ı homogen lineer diferansiyel denklemlere de uygulanabilir. (9.1.) ikinci dereceden e ş itli ğ i ele alal ı m. cebirsel e ş itli ğ inin (karakteristik e ş itlik, yard ı mc ı e ş itlik) k öklerinin m1, m2 oldu ğ unu varsayal ı m. Kökler ve katsay ı lar aras ı nda, ba ğı nt ı s ı bulundu ğ undan (9.1) nolu e ş itlik, ve düzenleme sonucunda (9.2) elde edilir. (9.3) dersek bulunur. Bu son e ş itlik (9.2) nolu e ş itlikte yerine konursa, (9.4) bulunur. (9.4) nolu e ş itlik de ğ i ş kenlerine ayr ı labilen diferansiyel denklem türü olup e ş itlik(9.5) ş ekline dönü ş ür. (9.5) nolu e ş itlikten, (9.6) bulunur. (9.6) nolu ifade (9.3) nolu e ş itlikte yerine konursa, (9.7) birinci dereceden lineer diferansiyel denklemi elde edilir. Bu rada 'tir. Çözümün elde edilmesi için gerekli integral faktörü, olup (9.7) nolu e ş itli ğ in her iki yan ı bu faktör ile çarp ı ld ığı nda, (9.8) ve bunun sonucunda (9.9) (m2 ?m1 ş art ı n ı n geçerli olmas ı kayd ı yla) (9.9) nolu e ş itlik düzenlenirse (9.10)ve konursa, (9.11) elde edilir. E ğ er m2 = m1 ise, (9.8) nolu e ş itlik (9.12) bulunur. Bu e ş itlikten, (9.13) bulunur. m1 ve m2 kuadratik bir e ş itli ğ in kökleri oldu ğ undan, e ğ er e ş it de ğ illerse kompleks olabilir. Bu durumda çözümü, (9.14) ş eklinde yazmak (k öklerin birbirinden farkl ı ve ger çel oldu ğ u durumdaki gibi) uygun olacakt ı r. E ğ er m1, m2= p ? iq ise, (9.14) nolu e ş itlik (9.15) veya ş eklinde elde edilir. Burada E = A + B ve F = i (A – B )'dir. ! Aç ı klamalar ı görmek için butonlara t ı klay ı n ı z. 9.1.1. Örnek 1 9.1.2. Örnek 2 9.1.3. Örnek 3 9.1.4. Örnek 4 9.1.5. Örnek 5 9.1.6. Örnek 6 9.1.7. Örnek 7 9.2. SAB İ T KATSAYILI, HOMOJEN OLMAYAN L İ NEER D İ FERANS İ YEL DENKLEMLER (COMPLEMENTARY FONKS İ YONLAR ve PARTICULAR INTEGRAL) Bir önceki k ı s ı mda, ş eklindeki sabit katsay ı l ı homogen ikinci derece lineer diferansiyel denklemin çözümü ele al ı nm ı ş idi. E ş itli ğ in sa ğı nda f(x) gibi bir ifade bulundu ğ unda bu t ür diferansiyel denklemin (homogen olmayan) çözümünün nas ı l elde edilece ğ i izleyen k ı s ı mda aç ı klanacakt ı r.9.2.1. Örnek 8 I. f (x) ifadesi bir polinom ise 9.2.2. Örnek 9 9.3. İ Ş LEMC İ LER YÖNTEM İ Bu yöntemde türev i ş lemcisi D bir cebirsel sembol olarak göz önüne al ı nmaktad ı r. Örne ğ in bir önceki k ı s ı mda verilen (D 2 + 4D + 3)y = 1 + 2x + 3x 2 (9.68) örne ğ ini ele alal ı m. (9.68) nolu e ş itli ğ e ili ş kin particular integral sembolik olarak,(9.69) ş eklinde yaz ı labilir. Bu ifade olarak düzenlenebilir. Parantez içindeki ifadenin tersi al ı n ı rsa, (9.70) bulunur. Parantez içindeki ifade, Binom aç ı l ı m ı yard ı m ı yla, kullan ı larak (9.71) ş eklinde aç ı labilir. oldu ğ undan Binom aç ı l ı m ı ile elde edilen ifadede D 2 'den sonraki terimlere örne ğ in D 3 , D 4 , ... gereksinim yoktur. Dolay ı s ı yla (9.71) nolu e ş itlik, (9.72) olarak bulunur. Parantez i çindeki terimlerin (1 + 2 x + 3 x 2 ) ifadesi üzerine i ş lemleri sonucu (9.73) elde edilir. 9.3.1. E ğ er f (x) = e nx Ş eklinde ise 9.3.1.1. Örnek 12 ve 13 9.3.2. E ğ er f(x) Fonksiyonlar ı n Toplam ı Ş eklinde ise 9.3.2.1. Örnek 14 9.3.2.2. Örnek 15 9.3.2.3. Örnek 16 9.3.3. E ğ er Sa ğ Taraf f(x) = Sinnx veya Cosnx Ş eklinde ise Bu tür problemlerin çözümünde a ş a ğı da aç ı klanan iki yöntem uygulanacakt ı r. 9.3.3.1. Örnek 17 9.3.3.2. Örnek 18 9.3.3.3. Örnek 19 9.3.3.4. Örnek 20 9.3.3.5. Örnek 21 Takip eden örneklerde Yöntem – II gösterilecektir. 9.3.3.6. Örnek 22 9.3.3.7. Örnek 23 9.3.3.8. Örnek 24 9.3.3.9. Örnek 25 9.3.3.10. Örnek 26 9.3.3.11. Örnek 27 9.4. ÜÇÜNCÜ VEYA DAHA YÜKSEK DERECEL İ E Ş İ TL İ KLER İ kinci dereceden sabit katsay ı l ı diferansiyel denklemler için uygulanan sonuçlar bu tür diferansiyel denklemlere de uygulanabilir. Örne ğ in, (9.174) diferansiyel denklemi aD 3 y + bD 2 y + cDy + fy = 0 (9.175) veya (aD 3 + bD 2 + cD + f) y = 0 (9.176) ş eklinde yaz ı labilir. Bu e ş itli ğ in yard ı mc ı e ş itli ğ i am 3 + bm 2 + cm + f = 0 olarak ifade edilebilir. Bu e ş itli ğ in kökleri m1, m2, m3 ise (9.175) e ş itli ğ i (D – m1) (D – m2) (D – m3) y = 0 (9.177) ş eklinde yaz ı labilir. (D – m2) (D – m3) = z (9.178) denirse (9.177) no'lu e ş itlikten, (D – m1) z = 0 (9.179) bulunur. (9.179) no'lu e ş itlik ş eklinde de ğ i ş kenlerine ayr ı l ı r ve her iki taraf ı n integrali al ı n ı rsa,(9.180) elde edilir. Bu durumda (9.178) nolu e ş itlik ş eklinde dönü ş ür. Bu e ş itli ğ in complementary fonksiyonu, e ğ er m2 ?m3 ise ve e ğ er m2 = m3 ise E ş itli ğ in particular integrali, (9.181) e ğ er m1 ? m2 ve m1 ? m3 ise 9.4.1. Genel Çözüm 9.4.2. Örnek 28 9.4.3. Örnek 29 9.5. EULER L İ NEER E Ş İ TL İĞİ 9.5.1. Örnek 30 9.5.2. Örnek 31 9.5.3. Örnek 32 9.6. S İ MULTANE DENKLEM S İ STEMLER İ Sadece sabit katsay ı l ı lineer denklem sistemleri gözönüne al ı nacak ve aç ı klanacak yöntem cebirsel e ş itliklerdeki de ğ i ş kenlerin elimine edilmesine benzer bir yöntem olacakt ı r. 9.6.1. Örnek 34 9.6.2. Örnek 35 9.6.3. Örnek 36 9.BOLUM DE Ğ ERLEND İ RME SORULARI www.yesevi.net/lms