Matematik Aksiyomatik Sistemler B İ R İ NC İ B Ö L Ü M AKS İ YOMAT İ K S İ STEMLER 1. 1 TAR İ H Ç E Geometri kelimesi, yery ü z ü ö l çü s ü anlam na gelen Yunanca kelimeler geo (yer) ve metry ( ö l çü ) den olu ş maktad r ki kelimesi kelimesine al nd ğ nda geometrinin, yery ü z ü ne ait (yani somut ) n e sn e le rin ö l çü s ü n ü kapsad ğ n ima eder. A ntik geometri ( kadim veya eski geometri de denir) , k ö kenlerini k sm en Babilliler ve M s rl lar ’ n tar m i ç in gerekli g ü ndelik ö l ç me- bi ç me i ş lerinden al r ( B u t ü r geometriye, uzunluk, alan, hac m gibi kon ularla ilgilenen matemati ğin bir dal olarak T ü rk ç e ’ de mesaha ilmi ad verilirken İ ngilizce ’ de practical mensuration denir). Babil ve M s r medeniyetleri, batakl k drenaj , sulama, sel kontrol ü ve b ü y ü k binalar in ş a etme deki becerileri ile bilinmektedir. M s r ve Babil geometrisinin ö nemli bir k sm , do ğru par ç alar n n uzunluklar , alanlar ve hac ml a r n hesapla n mas i l e s n rl idi. Ç o ğunlukla aritmetik i ş lemlerin bir dizisi ş eklinde sunulan sonu ç lar , empiri k yani ya ş ant sal olarak t ü retilmi ş lerdi ve bunda n dolay baz lar hatal olmu ş tu. Mesela M s rl lar, kenar uzunluklar s rayla a, b, c, d olan herhangi keyfi bir d ö rtgen sel b ö lgenin alan n hesap etmek i ç in A = 1 4 (a + c) (b + d) form ü l ü n ü kullanm ş lard . Oysa b u form ü l, g ü n ü m ü zde alan hesabederken yaln zca dikd ö rtgen sel b ö lgeler i ç in ge ç erli fakat genelde d ö rtgen s e l b ö lgeler i ç in ge ç erli de ğildir. 1 Matematik ç ilerin bu empirik- ya ş ant sal sonu ç lar n her zaman do ğru olup olmayaca ğ n sorgulama y a ba ş lamalar , M. Ö . al t nc asr n yar s na kadar hi ç olmam ş t r. Geometrinin formal i ncelemesindeki yeni geli ş meler, tarihsel ba ş lang ç lar na ç ok az bir benzerlik ta ş r lar . Ger ç ekten ilerdeki B ö l ü m ’ lerde g ö r ü lece ği gibi geometrinin ç a ğda ş incelemesi, her hangi b ir ş eyi ö l ç memizi hatta kendimizi yer y ü zeyine k s tlamam z dahi zorunlu olarak gerektirme mektedir . Geometrinin p ü r bir pratiksel bilim den p ü r matemati ğin bir dal na transformasyonu-d ö n üş ü m ü , eski Yunan bilim adamlar taraf ndan ba ş ar lm ş ve birk a ç asr alm ş t r. B u antik devirlerin matematik ç ileri olan b ü y ü k filozoflardan birka ç n n biyografileri ve demonstratif ( mant ksal g ö sterimli- ç kar ml yani ispatl ) geometrinin do ğu ş undaki ö nemli rolleri, a ş a ğ da k saca belirtilmi ş tir : Milet ’ li Tales- Thales (M. Ö . 640-546) Bir disiplin olarak demonstrat if geometrinin formal incelemesini ilk ba ş latma ü n ü ile en ç ok itibar kazanan filozof olarak bilinir . İ lk gen ç lik ç a ğlar nda bir t ü ccard . Bu s fat yla M s r v e Orta Do ğu ’ ya seyahat etti. O zamanlar M s rl lar taraf ndan kullan lan ö l ç me tekniklerinin bir bilgisi ile Yunanistan ’ a geri d ö nd ü . Geometrinin incelemesine yapm ş oldu ğu en b ü y ü k katk , M s rl lar ’ n fikirlerini fiziksel bir ç er ç eveden mental-ak li bir ç er ç eveye soyutlamak yetene ği ni g ö stermesi olmu ş tur. Kendisine itibar kazand rm ş olan ö nermeler (veya teoremler ) , d ü zlem geometrideki ö nermelerin en basitleri aras ndad r. Mesela Proclus (M. S. 410-485), Eudemian Summar y ( Eudemus Ö zeti ) ad l eser inde “ ç ap n ç emberi veya daireyi ortalad ğ ” n ilk olarak Thales ’ in ispatlad ğ n ifade eder (Bu eser, Proclus ’ un Euclid ’ in Birinci Kitab Ü zerine Yorum isimli kitab n n Aristo (Aristotle) ’ nun ö ğrencisi olan Rodos ’ lu Eudemus taraf ndan verildi ği ş e kliyle Thales ’ in tarihini a ç klad ğ k üçü k bir par ç as d r. Eudemus ’ un bu kitab , kay pt r. Proclus hakk nda fazla bilgi i ç in Kesim 2.1 e bak n z). Ancak bu olduk ç a basit iddia n n ispat , derin-anla ş lmas zor ve uzun i ç eri ğinden 2 dolay kayda de ğer bulunmam ş t r. Burada Thales ’ in katk s n n ö nemi, sadece ö nermelerin kendilerinin i ç eri ğinde de ğil ayn zamanda onlar n do ğrulu ğunun g ö sterilmesi i ç in kendi mant ksal muhakeme sini kullanmas nda yatmaktad r. Ç emberi veya daireyi ortalama teoremi ne ait Thal es ’ in ispat , bug ü n ü n standartlar yla kabul edilebilir olmayan (ve Euclid taraf ndan bile terk edilen) ise de if adeleri ( ö nermeleri ) do ğrulamak ( ispatlamak ) i ç in sezgi ve deney in yerine muhakeme yi kullanman n ilk giri ş imidir. Eudemus Ö zeti ’ nde sunu lan bilgiler aras nda Thales ’ in a ş a ğ daki ö nermeleri de ispat etmi ş oldu ğu belirtilir: 1. İ kizkenar üç genlerde taban a ç lar (e ş -kenarlar kar ş s ndaki a ç lar) e ş ittir (e ş tir). 2. Kesi ş en iki do ğrunun olu ş turdu ğu ters a ç lar e ş ittir (e ş tir). 3. A ç lar ndan iki ş er tanesi ve aralar ndaki kenarlar e ş it (e ş ) olan üç genler ç ak ş r (Bu ö nermeyi kullanarak gemilerin sahilden uzakl klar n ö l ç t ü ğü s ö ylenir). 4. Yar m dair e n i n ( ç emberi n) u ç lar ndan ge ç en ( ç ap g ö ren) her ç evre a ç , dik a ç d r (Bu ö nermenin Babilliler taraf ndan bilindi ği tespit edilmi ş tir). D. E. Smith, Matemati ğin Tarihi adl eserinde Thales ’ in geometrideki ç al ş mas n n ö ne mi ni vurgulamak i ç in şö yle der: “ Thales ’ siz bir Pythagoras (Pisagor) veya b ö ylesi (yani halihaz r bildi ğimiz ) bir Pythagoras ve Pythagoras ’ s z bir Plato (Eflatun) veya b ö ylesi (yani halihaz r bildi ğimiz) bir Plato var olamayabilirdi ” . Ö nemli Not: Do ğru veya yanl ş bir h ü k ü m-fikir belirten c ü mlelere, İ ngilizce yaz lan kitaplarda bilindi ği ü zere statement-ifade , T ü rk ç e kitaplarda ise yayg n olarak ö nerme ad verilmektedir. T ü rk ç e yaz lan kitaplarda ayn zamanda propozisyon a da ö nerme denmektedir. Genel olarak ispat yap lan ifadelere , teorem, propozisyon, lemma, netice ( veya sonu ç ) - corollary ve al ş t rma denir. Bunlar n aras ndaki fark, ç ok olmamakla bi rlikte teoremlere, ö nemli sonu ç lar olarak bak l rken propozisyonlar, teoremlerden daha az ö nemde g ö r ü lmektedir. Lemmalar (T ü rk ç e kitaplarda ö n teorem veya yard mc teorem de kullan l r), di ğer 3 sonu ç lar n ispatla r nda kullan lan ifadelerin isimleri iken netice ler ( corollaries ), di ğer sonu ç lardan direkt olarak hemen ç kan ifadelerdir. Al ş t rma lar ise ispatlar okuyucuya b rak lan ifadelerin ad d r. İ spat yap lmadan do ğru kabul edilen ifadelere de (i ç eri ğe ba ğl olarak) aksiyom, postulat , hipotez-varsay m vs ismi verilmektedir. Pisagor - Pythagoras (M. Ö . 560-480) Sisam adas nda do ğdu, Tha les ’ ten ö nce ö ld ü ve muhtemelen Thales ’ in ö ğ rencisi olmu ş tur. Akdeniz havzas boyunca seyahat etti ve bu seyahatlar n n, Hindistan ’ a kadar uzand ğ b ü y ü k bir ihtimal dahilindedir. Çü nk ü felsefi y ö n ü , Yunan medeniyetinden ç ok Hint medeniyeti ile uyu ş maktad r. Avrupa ’ ya geri d ö nd ü ğü nde o zaman g ü ney İ talya ’ da bi r Yunan kolonisi olan Croton ’ a g öç etmi ş ve Pisagorcular ( Pythagoreans ) ad verilen yar -dinsel karde ş li ği kurdu. Kendisine atfedilen matemati ğin ç o ğu, bu karde ş li ği n ü yeleri taraf ndan 200 y l veya daha fazla bir zaman boyunca geli ş tiril mi ş oldu ğu san lmaktad r. Kendisinden beklenmeyecek ş ekilde kendi ad n ta ş yan teoremini ( Pisagor teoremi ) muhtemelen ispatlayamadan ifade etmesi, hayal k r kl ğ yaratm ş t r. Pisagorcular, matematiksel d üş ü nceyi Thales ’ in g ö t ü rm üş oldu ğu noktadan bir ad m daha ileriye ta ş m ş lard r. Thales, kar ş la ş t ğ geometrinin bir k sm n form ü le etmi ş ken Pisagorcu felsefe, matematiksel sonu ç lar ö zellikle ç karsama n n ( ded ü ksiyon un ) sonucu olarak geli ş tirmi ş tir. Pisagor ’ un ö l ü m ü nden so nra takip ç ileri, iki fraksiy ona ( guruba ) ayr lm ş lard r: 1) Ustan n ( master n - pir in ) s ö z lerini vahiy gibi kabul edenler: akoumastikoi . 2) Yeni ö ğrenmeyi ( mathesis ) s ü rd ü ren ve matemati ği ded ü ktif bir bilime d ö n üş t ü rme ğe yar d m edenler: mathematikoi (T ü rk ç e yaz lan k itaplarda ded ü ktif yerine ç karsamal veya t ü mdengelimli de denir ) Ö nermelerin ( propozisyonlar n ) zincirlerinin, herbir ard ş k ö nermenin ö ncekilerden t ü retilmi ş olaca ğ ş ekilde geli ş tirilmesi , bunlar n zaman nda olmu ş tur. 4 Pisagorcu okul, izlenece k olan Yunan matemati ği n in tamam i ç in gerekli fikir durumunu ortaya koymu ş tur ve Eflatun ’ nun ( Plato ’ nun ) fikirleri matemati ğe b ü t ü n ü yle uyarland ğ ndan Pisagorcular n, Yunan felsefesinin tamam ü zerinde b ü y ü k bir etkiye sahip oldu klar s ö ylenebilir. Chio s ’ lu Hipokrat- Hippocrates (M. Ö . 460-380) Chios adas nda do ğmu ş tur. Chios, Pythagoras ’ n do ğum yeri olan Sisam adas na yak n k üçü k bir adad r. Bundan dolay Pisagorcular ’ n etkisi alt nda olabilece ği y ü ksek bir ihtimaldir. Daha sonra yeti ş kin oldu ğu haya t n n ç o ğunu, geometride uzmanla ş t ğ Atina ’ da ge ç irmi ş tir. Geometri ö ğretirken Geometrinin Elemanlar adl bir ders kitab haz rlamakla şö hret kazanm ş t r. Bu kitab nda teoremlerini, sonraki teoremlerin ö nceki teoremlerin taban ü zerinde ispatlana bilecek ş ekilde mant ksal bir dizi halinde s ralam ş t r . Bu kay p ders kitab , Euclid ’ in an tsal kitab Elemanlar ’ n ö nceden habercisi olmu ş tur. Olmayana ergi yoluyla ispat y ö ntemi ni ilk kullanan matematik ç i oldu ğu s ö ylenir. Not: İ lerde s k s k ba ş vuraca ğ m z bir ispat y ö ntemi olmas ndan dolay “ olmayana ergi yoluyla ispat y ö ntemi” (di ğer bir ad “ dolayl ispat”t r) hakk nda bir anlay ş a sahip olmak ö nemlidir. p ve q birer ö nerme-ifade olmak ü zere bir teorem, “p ? q” formundad r. Burada p ye “ hipotez” veya “varsay m” ve q y a da “h ü k ü m” yahut “iddia” ad verilmektedir. p ve q nun de ğ illeri (inkarlar ) s rayla ~p ve ~q ise “p ? q” teo remini ispat etmek,“ ~q ? ~p” teoremini ispat etme ğe e ş de ğerdir. “ ~q ? ~p ” teoremini ispat etmeye, “ p ? q” teoreminin “ olmayana ergi yoluyla ispat ” d enir. A ç k ifadesiyle “q h ü km ü n ü yanl ş kabul edip eldeki yegane do ğru olan p hipotezi ile ç eli ş en bir sonuca ula ş ma” , p ? q teoremin in do ğru olmas anlam ndad r. Eflatun - Plato (M. Ö . 427-348) Atina ’ da aristo krat bir ailede do ğmu ş tur. Hayat n n ilk k sm , Atina s ü vari s n f nda hizmet etti ği esnada Peloponnes sava ş lar na 5 rastlam ş t r. Yirmili ya ş lar n n ba ş lar nda e ğitimi ü zerinde derin bir etkisi olan Socrates ’ le kar ş la ş t . Geometrinin (ve matemati ği n) geli ş mesinde Plato ’ nun rol ü , genelde Yunan felsefesindeki sahip oldu ğ u y ü ksek stat ü s ü yle s kl kla g ö lgelenir. M. Ö . 388 y l nda giri ş kap s na geometri bilmeyen giremez ö zdeyi ş ini yazd rd ğ ve zaman n n en me ş hur bilim adamlar n bar nd ran Akademi ’ yi kurdu. Akademi deki matematik incelemesi, muhakemenin do ğrulu ğu ü zerinde yer alan vurgu ile p ü r matemati ğe s n rland r lm ş t . Geometriyi y ü ksek e ğitime sokmas na ilaveten teorik matemati ğe katk lar , sa ğ lam tan mlamalar tertiplemenin gereklili ğine , irrasyonellerin teorisine, d ü zg ü n ç ok y ü zl ü lerin incelemesine ve Pisagor üç l ü leri i ç in bir form ü l bulunmas na ait referanslar dahil etmi ş tir. “ Matematik, ruhu safla ş t r r ve y ü celtir ” d üşü ncesindeydi. En me ş hur kitab Cumhuriyet-Republic ’ te (bu kitab n T ü rk ç e ’ ye ç evirisi, Devlet ad ile yay mlanm ş t r) “ geometri, ruhu do ğrulu ğa ç ekecek ve felsefenin ruhunu- ö z ü n ü yaratacakt r…daha muhtemel olarak b ö ylesi bir etkiye sahip olabilecek ba ş ka bir ş ey yoktur ” diye yazmaktad r . Akademi ’ sindeki matematik ç iler i ç in kendilerine ait ç al ş malar n uygulamalar yla ilgilenme ihtiyac , var olmad ğ ndan matematiksel d üş ü ncenin geli ş mesinde bu d üşü ncenin d ü nyevi ü retimlerinden ziyade ihata edilen s ü re ç ler vurgulanabilmi ş tir. B ö ylece matematik, p ü r bir bilimin tabia t na M. Ö . 350 de ta ş nm ş oldu. Ö d ö ksus- Eudoxus (M. Ö . 400-347) Karadeniz ’ deki Cnidus adas nda do ğmu ş tur. Yirmi üç ya ş nda ç al ş m ş oldu ğu Plato ’ nun Akademi ’ sinin bulundu ğu Atina ’ ya ta ş nd . Yazd klar n n hi ç biri bug ü n elde kalmamas na ra ğmen matem atiksel ç al ş malar n n, Euclid ’ in Elemanlar ’ n n Kitap V, VI ve XII i ç in temel te ş kil etti ğine inan l r. En dikkate de ğer ba ş ar s , orans z olan kantiteler-niceliklerle ilgili zorluklara ait kendi çö z ü mleri olmu ş tur (Orans z kantite-nicelikler i ç in daha modern bir terim, irrasyonel say lar d r. Eudoxus ’ un genel orant l l k teorisi, ger ç ekte kaba olarak reel say lar tan mlam ş t r). 6 Buna ilave olarak aksiyomlar , postulatlar ve tan mlar yla Aristotle-Aristo ’ nun ifadeler- ö nermeler teorisini, aksiyom atik metot ş eklinde bilinmesine yol a ç acak bi ç imde ilk defa formal olarak sistemle ş tirmi ş tir ( Aksiyomatik metot , Kesim 1.2 de ayr nt l olarak tart ş lacakt r). Ö klid- Euclid (M. Ö . 330-270) A ntik Yunan geometrisine en ç o k e ş lik eden isim, Euclid ismidir . Hayat hakk nda ç ok az ş ey bilinmektedir. Yunanistan ’ da do ğmu ş olabilir veya ç al ş mak ve ö ğren i m yapmak ü zere İ skenderiye ’ ye giden bir M s r ’ l olabilir. İ skenderiye ’ nin B ü y ü k M ü zesi ’ nin ilk matematik profes ö r ü oldu ğuna inan l r. Ö mr ü hayat , Plato ’ nunki ile ö rt üş ü r ve muhtemelen matematik ö ğrenimini Plato ’ nun Akademi ’ sinde yapm ş t r. Proclus, Commentary ( Şerh) ’ de Euclid ’ in Plato ’ nun felsefesinden etkilendi ğini fakat ikisinin kar ş la ş t klar na dair do ğrudan hi ç bir delilin olmad ğ n yazar . Euclid ’ i n zaman nda rasyonel d üşü nce nin geli ş imi, geometrinin sistematik bir incelemesine yeterince izin verecek hatta talep edecek kadar ilerleme g ö stermi ş tir. Euclid ’ in an tsal ç al ş mas olan Elemanlar , d ü zlem ve k smen uzay geometri s i ni kapsayan 467 ö nerme-te orem den olu ş an birtek teoremler- ö nermeler zincir i i di. Malzemelerinin zekice tertibi ve d ü zenlenmesi, kabullerinin bir minimal kullan m nda yer al m a s n n ö nem i ve basit sonu ç lar n daha karma ş ğa do ğ ru olan do ğal seyri, 2000 y l a ş k n zamandan beri en yay g n haliyle bir formal aksiyomatik sistemin ilk ö rne ği olarak bilinen Elemanlar ’ n geri kalan k sm nda sonu ç land r lm ş t r. M s r ’ n Kral Ptolemy I diye bilinen kral Ptolemy-Batlamyus Soter, geometriyi incelemenin Elemanlar ’ nkinden daha k sa bi r yolunun var olup olmad ğ n sordu ğunda Euclid, “ Geometriye giden royal ( ş ahane, e ş i-benzeri olmayan; ekselanslar na uygun ) yol yoktur ” cevab n vermi ş tir (Bu kral, ayn zamanda matemati ğin entelekt ü el merkezinin Atina ’ dan İ skenderiye ’ ye me ş hur M ü ze ’ si ve k ü t ü phanesi e ş li ğinde yer de ği ş tirmesinde etkili olmu ş tur. Soter, kurtar c -halaskar anlam na gelmektedir.). 7 Bundan sonraki B ö l ü m ’ lerde g ö rece ğimiz gibi Euclid ’ in bu ç al ş mas kusursuz olmaktan uzakt . Bu alanda eski yaz lanlar n t ü m ü n ü g ö lgede b rakmas ve yerlerini almas ö zelli ğinden dolay tasdik edildi ği ü zere hala ü st ü nl ü kleri, zay fl klar ndan say ca fazla gelmektedir. Bu kitapta Euclid ’ in tarihsel ç abas n n yerini tayin edebilmemiz i ç in bir sonraki Kesim ’ de, bir aksiyomatik sistemden ne kastedildi ğini tart ş acak ve aksiyomatik sistemlerin sahip oldu ğu ö zellikleri ara ş t raca ğ z. ALI Ş TIRMALAR 1.1 1. M s rl geometricilerin kenar uzunluklar , s ra ile a, b, c, d olan bir d ö rtgenin alan n A = 1 4 (a + c) (b + d) for m ü l ü ile hesaplad klar , yukar da belirtilmi ş ti. (a) Bu form ü l, kareler ve kare olmayan dikd ö rtgenler i ç in ge ç erli midir? G ö steriniz. (b) Bir ikizkenar yamu ğun kenarlar i ç in ö zel uzunluklar se ç erseniz bu form ü lle bulaca ğ n z alan , ger ç ek a lanla nas l kar ş la ş t r rs n z? Ayn s n , ö nce farkl iki ikizkenar yamuk ve sonra üç farkl paralelkenar i ç in tekrar ediniz. (c) (b) ş kk nda bulmu ş oldu ğunuz sonu ç lar , genelle ş tiriniz. 2. Bir dik üç genin ayaklar yani dik kenarlar n n uzunlu ğu a , b ve hipoten ü s ü n ü n yani uzun kenar n n uzunlu ğu c ise Babilliler bu üç genin hipoten ü s ü n ü n uzunlu ğunu, c = b + ( 2 a 2b ) form ü l ü ile yakla ş k olarak hesapl yorlard . (a) a = 3 ve b = 4 oldu ğu nda bu yakla ş mla bulaca ğ n z sonu ç , ger ç ek sonu ç ile nas l kar ş la ş t r l r? Ayn soruyu, a = b, b = 2 ve a = 12, b = 5 iken cevapland r n z. (b) Bu form ü l ü n, ç ok kapsaml bir yakla ş mda nas l elde edildi ğini g ö steren bir cebirsel tart ş ma veriniz. 3. A ş a ğ daki, takriben M. Ö . 2600 de ü retilen bir Babil tabletinden terc ü me edilmi ş tir; ne anlama geldi ğini a ç klay n z: “ 60, ç evredir; 2, dikmedir; kiri ş i bulunuz. 2 yi katla ve 4 elde 8 et; g ö r ü yor musun? 20 den 4 al ve 16 elde et. 20 nin karesini al ve 400 bul. 16 n n karesini al ve 256 bul. 400 den 256 y al ve 144 elde et. 144 ü n karek ö k ü n ü bulunuz. Karek ö k olan olan l2, kiri ş tir. Bu, prosed ü rd ü r ” . 4. Moskow papir ü s ü (takriben M. Ö . l850), a ş a ğ daki problemi ihtiva etmektedir: “ Size dense: Ü st taban ( uzunlu ğu) 2, alt taban (uzunlu ğu) 4, d üş ey y ü ksekli ği 6 olan kesik (kare) piramit. Bu 4 ü n karesini al n z, sonu ç l6 d r. 4 ü n iki kat n al n z, sonu ç 8 dir. 2 nin karesini al n z, sonu ç 4 t ü r. 16 y , 8 i ve 4 ü toplay n z, sonu ç 28 dir. 6 n n üç te birini al n z, sonu ç 2 dir. 28 in iki kat n al n z, sonu ç 56 d r. Bak n .. i ş te do ğrusunu bulacaks n z ” . Bunun, tabanlar s ras yla a, b kenar uzunluklu kareler ve y ü ksekli ği h olan bir kesik piramidin hacm i i ç in genel V = 3 h (a 2 + ab + b 2 ) form ü l ü n ü n bir ö zel hali oldu ğunu g ö steriniz. 5. Bir M s r d ö k ü man nda, Rhind Papir ü s ü (takriben M. Ö . 1650), “ bir ç emberin (dairenin) alan , kenar uzunlu ğu ç ap n n 8 9 u olan bir karenin alan n bularak belirlenebilir ” diye yaz lmaktad r. Bu ifade, do ğru mudur? Burada bu teknikle nin hangi de ğeri, ima edilmektedir? G ö steriniz. 6. Plu tarch (M. Ö . 120-takriben 46), Convivium ’ da “ M s r kral , Thales ’ i herhangi bir s k nt ç ekmeksizin veya bir enstr ü man-ara ç olmaks z n piramidin g ö lgesinin ucuna bir de ğnek yerle ş tirip g ü ne ş ş nlar ve iki üç gen kulla narak piramidin y ü ksekli ğini ö l ç t ü ğü n ü ve piramidin y ü ksekli ğinin de ğne ğin uzunlu ğuna oran n n, g ö lgelerinin oran na e ş it oldu ğunu g ö stermesini, takdirle kar ş lam ş t r ” 9 diye yaz m ş t r . B ü y ü k piramidin taban n n ö l çü s ü 7 56, g ö lgesi 342 ayak ve de ğne ğ in boyu 6, g ö lgesi 9 ayak ise y ü ksekli ği ka ç ayakt r? 7. S ö ylendi ğine g ö re Thales, sahildeki bir noktadan denizdeki bir gemiye olan uzakl ğ , do ğudan do ğruya AKA (a ç -kenar-a ç ) üç gen kongr ü ans-e ş lik teoreminin e ş de ğerli ğini kullanarak ö l ç m üş t ü r. Bu h ü neri ba ş armak i ç in kullan labilen bir diyagram yap n z. 8. İ skenderiye Ü niversitesi ’ nde bir bilim adam ve k ü t ü phaneci olan Eratosthenes (takriben M. Ö . 275), a ş a ğ daki metodu kullanarak d ü nyan n ç evresini hesaplamakla ü n kaza nm ş t r: Eratosthenes, yaz g ü n-d ö n ü m ü nde (gece ile g ü nd ü z ü n e ş it s ü reli oldu ğu zaman) g ü ne ş Assuan ’ da ö ğleyin do ğrudan olarak tepede iken İ skenderiye ’ de g ü ne ş in ş nlar kuzeye do ğru 7 o l2 ? e ğimli olacak ş ekilde oldu ğunu g ö zledi; dolay s yla bu İ skenderiye ’ nin yer y ü zeyi boyunca Assuan ’ n kuzeyinde oldu ğunu g ö sterir. Bu iki ş ehir aras ndaki bilinen 5000 stadeslik (yakla ş k 530 mil) uzakl ğ olarak kullanarak arz n- d ü nyan n ç evresini yakla ş k olarak hesaplam ş t r. Ş ekil 1.1.1 Bu metodu t asvir eden bir diyagram yap n z ve ç evreyi hem mil hem de stadeye g ö re hesap ediniz. 9. Ayn bir do ğru par ç as ü zerindeki üç yar m ç emberle s n rlanan bir ş ekle, Archimedes-Ar ş imet (ya ş ad ğ y llar takriben M. Ö . 287-212) 10 R r s taraf ndan bir arbelos ad verilmi ş tir. Ş ekil 1.1.1 de g ö sterilen arbelos un alan i ç in bir form ü l bulunuz. 10. Eski üç me ş hur problemden biri, verilen bir dair e n in alan na e ş it alana sahip bir kare in ş a etmek tir. Ara ş t rmas esnas nda daireyi karele ş tirme problemi ne bir çö z ü m i ç in Hippocrates, a ş a ğ da ifade edilen problemi çö zd ü : Bir hilalin (lune-k ü resel hilal) alan n n, bir dik üç genin alan na e ş it oldu ğunu ve dolay s yla bir e ğri-lineer ş eklin (e ğrilerle s n rlanm ş bir ş eklin ) alan n n, rekti-lineer ( do ğrularla s n rl ) bir ş eklin alan na e ş itlenebilece ğini ispatlam ş t r. Şekil 1.1.2 de ABC, ç 1 yar m ç emberiyle ç evrelenen bir karenin yar s olan ABD nin bir yar s d r ve AB kenar ü zer ine in ş a edilen bir ç 2 yar m ç emberi ile ç 1 yar m ç emberi aras ndaki b ö lge, bir hilaldir. B u hilal in alan n n , ABC nin alan na e ş it oldu ğunu g ö steriniz . B ç 2 ç 2 ç 1 Ş ekil 1.1.2 1. 2 AKS İ YOMAT İ K S İ STEMLER VE Ö ZELL İ KLER İ ARISTOTLE- AR İ STO (M. Ö . 384-322) Antik zamanlar n en b ü y ü k sistematik filozofu olarak bilinir. On yedi ya ş nda Plato-Eflatun ’ un Akademisine girdi ve orada y irmi üç y l n ge ç irdi. K üçü k Asya seyahatinden sonra M. Ö . 335 te Lyceum-Lise adl bir okul in ş a etmi ş 11 A D C oldu ğu Atina ’ ya geri d ö nd ü . Lyceum-Lise, temel hedefi uzman yeti ş tirmek olan g ü n ü m ü z okullar n n benzeri idi. Matemati ğin temellerine ana katk s , esase n Analytica-Posteriora adl ç al ş mas nda yatar. Burada “ ortak kavramlar” veya “aksiyomlar”, “ ö zel kavramlar” yahut “postulatlar” ve eski Yunan matemati ğinin t ü m ü i ç in bir taban olu ş turan k yasi- syllogistik mant kla birlikte dikkatli tan mlamalarla ba ş laya n ifadelerin ( ö nermelerin) bir teorisini in ş a etti. 1. 2. 1 Aksiyomatik Metot Geometriyi in ş a etmeye ba ş larken modern matemat i ğin tamam n n geli ş mesinde kullan lan aksiyomatik metod un temel bir anlay ş na sahip olmak , ö nemlidir. Aksiyomatik metot , deney, g ö zlem, deneme- yan lma, hatta sezgisel kavray ş la ke ş fedilen sonu ç lar n (teoremler v b ), ger ç ekten do ğru olduklar n g ö sterdi ğimiz yahut ispat etti ğimiz bir prosed ü rd ü r. Aksiyomatik metod un orijinleri-ba ş lang ç lar hakk nda, az ş ey bilinmektedir. Eud emian Summary ’ sinde Proclus taraf ndan verilen a ç klamalara g ü venen ç o ğu matematik tarih ç iler i , bu metodun ilk ç e ş itli didaktif prosed ü rlerinin ileri bir geli ş me ve inceltmesi olarak Pisagorcular ’ n zaman esnas nda evriminin ba ş lam ş olabilece ğine i ş aret ederler. Bir aksiyomatik sistem de ö zel bir sonucun (veya ö nermenin yani teoremin) ispat , tamamen her biri ö ncekilerden mant ksal olarak ç kan ve do ğru olarak bilinen bir ifadeden ( hipotez den) ispatlanacak olan ifadeye ( h ü k me) g ö t ü ren ifadelerin ( ö n ermelerin) bir dizisidir. Not: Bir “ p ? q” ö nermesinin-teoreminin ispat , eldeki yegane do ğru i fade olan p hipot ezinden-varsay m ndan hareketle mant ğ kullanarak ö nce q 1 ifadesini , sonra q 1 den q 2 ifadesini, q 2 den q 3 ifadesini ve b ö yle devam ederek en sonunda n > 3 i ç in q n ifadesinden q ifadesini ( h ü km ü n ü -iddias n ) ç karsamak ü zere s ras yla p ? q 1 q 1 ? q 2 . . . q n-1 ? q n q n ? q 12 ş eklinde ü reti l en ifadelerin bir dizisini elde etmekt en ibarettir . İ lk olarak tatmin yani ikna edici bir ispat i ç in bir ifadenin ( ö nermenin ) ba ş ka bir ifadeden mant k yoluyla ne zaman ç kaca ğ n belirtme ğe ait zeminin kurallar n olu ş turmak gerekir. Bu nu geli ş tir me k amac yla kullan lacak olan mant k kurallar m z, ç o ğu nlukla mant ğa giri ş dersler inde incelenen iki-de ğerli mant k t r . İ ki nci olarak yap lan ispat okuy an lar n t ü m ü n ü n , tart ş mada kull an lan terimlerin ve ifadelerin yani ö nermelerin a ç k bir anla m na sahip olmalar ö nemlidir. Bu a ç kl ğ n kesin olarak olu ş abilmesi i ç in tart ş mam zdaki her bir terimi, tan m lama ğa ç al ş abiliriz . Fakat tan mlar m zdan biri, tan d k olmayan bir terim ihtiva ederse okuyucu, bu terimin de bir tan m n beklemek hakk na sahip tir . Bu durum, yap lacak olan her yeni tan mdan sonra tekrar edece ğinden tan mlar n bir dizisi veya zinciri meydana getiril m i ş o lur . Bu dizi, ya sirk ü ler-dairesel ( k s r d ö ng ü (l ü ) ) veya lineer-do ğrusal olmak zorundad r ( ö zel bir terim i ç in olu ş turaca ğ n z b ö ylesi bir somut diziyi d üşü n ü n ü z ). Sirk ü lerlik-dairesellik, ba ş lan lan duruma geri getirdi ği ve sonu ç ta yeni bir ş ey y apt rma d ğ ndan herhangi bir mant ksal geli ş mede kabul edileme z . Bu y ü zden tan mlar n bu dizisinin, lineer yani do ğrusal oldu ğunu farz edebiliriz. Bu taktirde bu do ğrusal zincir de ya tan mlar n bir sonsuz dizis i olmak veya bir noktada durmak zorundad r. T an mlar n sonu gelmeyen bir dizisi, en iyi ihtimalle ikna edici olmayand r; dolay s yla tan mlar n bu koleksiyonu (yani dizi s i), bir noktada sona ermelidir ve b ö ylece terimlerin bir veya daha fazlas , zorunlu olarak tan ms z kalma k d urumundad r . Bu t ü r te rimler, aksiyomatik sistemimizin tan mlanmam ş veya tan ms z terimler i yahut ilkel terimler i olarak bilinir. Üçü nc ü olarak geri kalan di ğer b ü t ü n terimler, tan ms z terimler in kullan m y la art k tan mlanabilirler. Bu terimlere de aksiyomatik sistemi n tan mlar denir. Son olarak bu halde ilkel terimler ve tan mlar ile a ksiy omatik sistemimizin ö nermelerini veya teoremleri ni birle ş tire biliriz. Ancak b u teoremlerin matematiksel de ğerde olmalar i ç in ge ç erli (yani do ğru 13 veya yanl ş ) olduklar na ait ç karsanan (ded ü ktif) ispatlar n n mant ksal olarak destekle n me s i gerekir . Dolay s yla bu ispat lar yapmak ü zere her biri ayr ayr i spat gerektiren yeni ilave ifadeler i ( ö nermeleri ) kullanma ihtiyac do ğacakt r. Bu ilave ifadeleri ispatlarken aynen tan m larda oldu ğu gibi sirk ü lerlik ten ve lineerlik ten sak nmak ü zere bizi , bunlardan bir veya daha fazlas n n ispats z b rak lmalar gerekti ği sonucuna g ö t ü ren bir ifadeler ( ö nermeler ) zinciri ni olu ş tururuz. İ spats z b rak lan ve a ksiyomlar veya post ü latlar diy e adland r lan b ö ylesi ö nermeler i belirlemek ve bunlar n aksiyomatik sistemimizin “ temel do ğrular n yani ger ç ekler i ” ni olu ş tur du k lar n kabul et mek ka ç n lmaz bir zorunlulu kt u r (Bu aksiyomlar n do ğrulu ğu-ger ç ekli ği, tart ş ma konusu edilmez. B unlar do ğr u olarak kabul etmek, tamamen okuyucunun arzusuna ba ğl d r). Buna g ö re bir aksiyomatik sistemin geli ş imi, ö zet olarak Tablo 1.2.1 de temsil edilen modele uyum i ç inde olmal d r. TABLO 1.2.1 Aksiyomatik Metot 1. Herha ngi bir aksiyomatik sistem, tan ms z terimler olarak se ç ilen ve okuyucunun yorumuna maruz b rak lan teknik terimlerin bir k ü mesini ihtiva eder. Aksiyomatik sistemin di ğer b ü t ü n teknik terimleri, tan ms z terimler 2. vas tas yla tan mlan rlar. Bu terimler, sistemin tan mlar d rlar. Aksiyomatik sistem, ispats z b rak lmak ü zere se ç ilen, tan ms z 3. terimler ve tan mlar ile ilgili olan ifadelerin- ö nermelerin bir k ü mes ini ihtiva eder. Bu ö nermeler, sistemin aksiyomlar veya post ü latlar d r. Sistemin di ğer b ü t ü n ö nermeleri, aksiyomlar n mant ksal sonu ç lar 4. olmal d r. Mant k yoluyla ispatlanarak t ü retilen bu ö nermeler, si stemin teoremler i dir. Not: Tarihsel olarak post ü lat kelimesi, ö zel bir konuya k s tlanm ş kabul edilen bir do ğruyu-ger ç e ği temsil ederken aksiyom kelimesi, matemati ğin b ü t ü n dallar na uygulanabilen ev rensel bir do ğruyu-ger ç e ği temsil etmektedir. Bug ü n bu iki kavram, e ş de ğer anlamda bir kullan ma sahiptir. 14 Bir aksiyomatik sistem ile bu aksiyomatik sistemin tan ms z terimleri, tan mlar , aksiyomlar ve teoremleri aras ndaki ili ş kileri a ç klamak i ç in a ş a ğ daki ö rne ği ele alaca ğ z. 1. 2. 2 Basit bir soyut aksiyomatik sistem : Üç - Nokta Geometrisi Ö rnek 1. 2. 1 Tan ms z terimler, ad ü st ü nde tan mlanmad kla r ndan anlamlar olmayan, soyut herhangi nesneler veya formlar d r. Bu bak mdan tan ms z terimler i ç in do ğrudan olarak konu ş ma dilinde kulland ğ m z kelimelerden se ç im yap labilece ği gibi a ş a ğ da belirtilen t ü rde herhangi ç e ş itten heceler veya sembolik ifadeler de kullan labilir. Tan ms z terimler: 1) Fe ’ ler 2) Fo ’ lar 3) Ait olma veya ü zerinde olma ba ğ nt s . Burada Fe ve Fo , anlams z herhangi sembolik birer ter imdir. Ait olma veya ü zerinde olma ba ğ nt s i ç in ayn zamanda “ bir F e, bir Fo nun ü zerindedir ” , “ bir Fe, bir Fo ya aittir ” , “ bir Fo, bir Fe yi ihtiva eder ” veya “ bir Fo, bir Fe den ge ç er ” gibi birbirinin e ş de ğeri olan terminolojiler de kullan l r . Aksiy omlar: Aksiyom 1. Bu sistemde kesinlikle üç farkl Fe vard r. Aksiyom 2. İ ki farkl Fe, kesinlikle ayn bir Fo ya aittir. Aksiyom 3. Fe lerin t ü m ü , ayn bir Fo ya ait de ğildir. Aksiyom 4. Herhangi farkl iki Fo, her ikisine ait olan en az b ir Fe ihtiva ederler. 15 Teoremler: Ü retilebilecek (yani mant k yoluyla ç karsanabilecek ) olanlardan birka ç , a ş a ğ dad r. Fe-Fo Teoremi 1. 2. 1. Farkl iki Fo, kesinlikle bir Fe yi ihtiva eder ler ( yani bir tek Fe nin ü ze rinde bulunurlar) . İ spat: Aksiyom 4, farkl iki Fo nun en az bir Fe ihtiva etti ğini a ç klad ğ ndan sadece bu iki Fo nun birden fazla Fe ihtiva etmediklerini g ö stermemiz gerekir. Bu ama ç la dolayl ispat kullanacak ve bu iki Fo nun birden fazla Fe y i payla ş t ğ n kabul edece ğiz. Birden fazla n n en basit hali, iki oldu ğundan bu iki Fo nun iki Fe yi ortakla ş a ihtiva etmi ş oldu ğunu farzedelim. Bu taktirde bu iki Fe nin her ikisi, iki farkl Fo ya ait olur ki bu durum, Aksiyom 2 ile ç eli ş ir. Bu y ü zden ç e li ş kiye g ö t ü ren bu kabul ü m ü z yanl ş ve dolay s yla teorem do ğrudur yani farkl iki Fo, en ç ok bir Fe ihtiva eder. B ö ylece “ e n az bir ” ve “ en ç ok bir ” , “ kesinlikle bir ” demek oldu ğundan ispat, tamamlanm ş olur. Not: Bu kitapta, ba ş ndan sonuna kadar, teoremlerin ispatlar n n tamamland ğ yerde hemen “ispat , burada bitmi ş tir ”anlam na gelen ve “Halmos sembol ü ” diye adland r lan “ ” i ş areti konacakt r. Verilecek ö rnekler i ç in bunun bir benzeri, ö rnek lerin a ç klamalar n n sona erdi ği c ü mleye ait sat r n sa ğ alt ucuna “ ” sembol ü yaz larak yap lacakt r. Fe-Fo Teoremi 1. 2. 2. K esinlikle üç Fo vard r. İ spat: Aksiyom 2, Fe lerin her bir ç iftinin kesinlikle bir Fo ü zerinde bulundu ğunu s ö yler. Aksiyom 1, Fe lerin say s n n üç oldu ğunu ve Aksiyom 3, bu üç Fe nin ayn Fo ü zerinde bulunmad ğ n garanti etti ğinden Fe lerin h er bir ç ift i , bir Fo yu temsil ede r. Buradan ü ç Fe n in muhtemel farkl ç iftlerini sayarak en az üç Fo elde ederiz. Olmayana ergiden hareketle d ö rd ü nc ü bir Fo nun varl ğ n kabul edersek Fe-Fo Teoremi 1.2.1 den bu Fo, di ğer Fo lar n her biri ile bir Fe yi payla ş acakt r. Bu na g ö re var olan üç Fe nin geriye kalan ikisin den en az birine sahip olma l d r ancak bu Fe leri n her biri de di ğer Fo lar n ü zerinde olaca ğ ndan Aksiyom 2, buna izin vermez 16 (yani bu, durum, Aksiyom 2 ile ç eli ş ir). Dolay s yla d ö rd ü nc ü Fo , var olamaz ve en ç ok üç Fo vard r. B ö ylece kesinlikle üç Fo nun var oldu ğu ispatlanm ş olur. Fe-Fo Teoremi 1. 2. 3. Her bir Fo, kesinlikle kendisine ait iki Fe ye sahiptir. İ spat: Fe-Fo Teorem i 1.2.2 den kesinlikle üç Fo ya sahibiz. Buna g ö re Aksiyom 4, her bir Fo nun en az bir Fe ye sahip olmas n sa ğlar ve Aksiyom 2, her bir Fo nun kesinlikle bir Fe ihtiva etm esini ö nler. Dolay s yla her bir Fo, en az iki Fe ye sahiptir. Aksiyomlar 1 ve 3, bir Fo nun ikiden fazla Fe yi bulundurmas na imkan vermedi ğinden her bir Fo, en ç ok iki Fe ye sahiptir. O halde her bir Fo, kesinlikle iki Fe ihtiva eder. Yukardaki Ö rnek 1.2.1 de tan ms z terimler, ger ç ekten tan mlanmam ş oldu klar n dan bir anlama sahip de ğildirler. Bu y ü zden tan ms z terimler vas tas yla a ç klana n aksiyomlar ve teoremler de tabiatlar gere ği anlams z olurlar. Herhangi bir aksiyomatik sistemde oldu ğu gibi bir aks iyomatik sistemi inceleme n i n ger ç ek de ğer i , teoremlerinin do ğrulu ğunun ne yi be l irtt i ği nden de ğil bu teoremlerin aksiyomlardan mant k yoluyla ç kar lm ş ol malar keyfiyetinde yatmaktad r . Bu Fe-Fo sistem in de yukardakilerin yan s ra ve di ğer ba ş ka bir basit aksiyomatik sistemde yeni teoremler ü retip ispatlaman n ilave prati ği, bu Kesim ’ in sonundaki al ş t rmalarda bulunabilir. A ş a ğ da bir aksiyo matik sistemin tan ms z terimlerine ç e ş itli tipten anlam veya yorum vermenin do ğurdu ğu sonu ç lar ara ş t raca ğ z. 1. 2. 3 Modeller Yukardaki Kesim ’ de aksiyomatik metodu ve bir soyut aksiyomatik sistemin bir ö rne ğini tart ş t k. Her bir aksiyomatik sistem, birtak m tan ms z terimler ihtiva eder. Bu terimler, ger ç ekten tan ms z 17 olduklar ndan dolay tabiatlar gere ği, do ğu ş tan anlama sahip de ğildirler . H er bir okuyucu, kendi yolunda bunlar yorumlamak ü zere kendi se ç imini yapabilir. Bir aksiyomatik si stemde her bir tan ms z terime ö zel bir anlam vererek o sistemin bir yorum u meydana getiri lmi ş olur . Bir sistemin verilen bir yorumu i ç in e ğer sistemin b ü t ü n aksiyomlar , do ğru-ger ç ek ifadeler oluyorsa bu yoruma, bu sistemin bir model i de n ir. Ö rnek 1. 2. 2 Ö rnek 1.2.1 deki Fe ’ leri insanlar (ki ş iler) , Fo ’ lar topluluklar veya cemaatler , komiteler , guruplar vb olarak tasarlayabilir ve ait olma ba ğ nt s n da mensup olma veya ü yesi olma bi ç iminde d üşü nebiliriz. Bu durumda aksiyomlar , a ş a ğ daki gibi olur l ar : Aksiyom 1 . Kesinlikle üş ki ş i vard r . Aksiyom 2. Farkl iki ki ş i, kesinlikle ayn bir komiteye mensuptur. Aksiyom 3. Herkes, ayn komiteye mensup de ğildir . Aksiyom 4 . Herhangi farkl iki komite, her ikisine mensup en az bir ki ş iyi ihtiva ederler . Bu ki ş iler, Ali, Bekir, Cem ve komiteler, E ğlence Komitesi (Ali, Bekir), Finans Komitesi (Ali,Cem), Yiyecek Komitesi (Bekir,Cem) olsun. Ş ekil l.2.1 e bak n z. Bu taktirde b ir kolleksiyon olarak bu aksiyomlar n t ü m ü n ü n, do ğru-ger ç ek ifadeler oldu ğunu g ö r ü r ü z ve dolay s yla bu yorum, Ö rnek 1.2.1 deki sistemin bir model ö rne ği olur. E ğlence gurubu Finans gurubu 18 Bekir Ali Cem Yiyecek gurubu Ş ekil 1.2.1 Ö rnek 1. 2. 3 Bu sefer Ş ekil 1.2.2 g ö r ü ld ü ğü gibi Ö rnek 1.2.1 deki Fe ’ leri kitaplar, Fo ’ l ar yatay raflar ve ait olma ba ğ nt s n ü zerindedir olarak yorumlayabiliriz. Bu taktirde aksiyomlar, a ş a ğ daki gibi olur lar : Aksiyom 1. Kesinlikle üç kitap vard r. Aksiyom 2. İ ki kitap, kesinlikle ayn bir raf n ü zerindedir. Aksiyom 3. B ü t ü n kitaplar, ayn bir raf n ü zerinde de ğildir. Aksiyom 4 . Herhangi farkl iki raf, her ikisinin ü zerinde olan en az bir kitab ihtiva eder. Elde üç kitap bulundu ğundan her bir rafa, iki ş er ki tap konamaz. Çü nk ü raf n birine iki kitap kondu ğunda di ğer raf n ü zerine koymak ü zere geriye tek bir kitap kal r. Bu y ü zden Aksiyom 2, ger ç ekle ş emez. Sonu ç olarak Aksiyom 2, do ğru yani ger ç ek bir ifade olamaz. Raflar paralel oldu ğundan ayn bir kitab iki raf, birlikte ihtiva edemezler ( yani ü zerlerinde bulunduramazlar) . Buna g ö re Aksiyom 4 ü n de do ğru yani ger ç ek ifade olmas m ü mk ü n de ğildir. B ö ylece bu yorum, bu sistem (yani Fe-Fo gemetrisi ) i ç in bir model de ğildir. Matematik 19 Tarih Fizik Ş ekil 1.2.2 Her hangi bir aksiyomatik sistemin teoremleri, bu sistemin aksiyomlar n n mant ksal sonu ç l ar olduklar ndan ge ç erlilikleri yani do ğru o l ma lar , tan ms z terimlerin herhangi bir yorumundan ba ğ ms zd r. Bir aksiyomatik sistemin herhangi bir modelinin temel ö zelliklerinden biri, sistemin b ü t ü n teoremlerinin bu modelde do ğru yani ger ç ek ifadeler ol mas d r. Bu sebepten dolay yukarda ispatlanan (ve bu Kesim ’ in sonundaki al ş t rmalarda ispatlanacak olan ) teoremler, Ö rnek 1.2.2 deki yorum alt nda do ğru yani ger ç ek ifadeler olurlar. Mesela Fe-Fo Teoremi 1.2. 3 , bu m odel d e a ş a ğ daki gibi okunur: Her bir k omite, kesinlikle iki ki ş i ihtiva eder . Buna kar ş l k Ö rnek 1.2.3 te tesis edilen yorumda aksiyomlar sa ğlanmad ğ ndan, teoremlerin do ğru yani ger ç ek ifadeler olmalar gerekmez. Modeller, aksiyomatik sistemlerin incelemesinde ö nemli bir rol oynarlar . Sistemimizde bir ispat n n varl ğ n garanti etme miz i ç in bir ö nermeye sahip oldu ğumuzu (yani bu ifadenin, bir teorem olup olmad ğ n bilmedi ğimizi ) farz edelim. Sistemimizin m odelleri ni ara ş t rarak bu ifadenin do ğru old u ğunu , s ö z konusu ifadeyi modeller de g ö zleyerek edin ebil iriz. Ö zellikle e ğer i ç inde do ğru olmayacak bi ç imde bir model mevcutsa bu ifadenin ispat n n, var olmad ğ n sa ğlayabiliriz. Ancak bunun tersinin, daima do ğru olmad ğ na dikkat edilmelidir. Yani bir modelde do ğru olan bir ifade, b ü t ü n modellerde 20 do ğru olmas garantili olmad ğ ndan aksiyomatik sistemde bir teorem olmayabilir. Bu y ü zden aksiyomatik sistemler incelenirken daima birka ç farkl model olu ş turmak, iyi bir pratiktir. Modeller meydana getirilirken yak ndan incelendi ğinde , g ö r ü n üş te farkl fakat esasen ayn olan iki model ü retmek m ü mk ü nd ü r. Burada “ esasen ayn ” dan ş unu , kastediyoruz: İ ki modeldeki t an ms z terimlerin k ü melerinin her birinin yorumlar aras nda bir birebir tekab ü l vard r ve bu tekab ü l alt nda modelin birinde iki tan ms z terimin aras ndaki herhangi bir ili ş ki, di ğer modelde de korunur; yani bu terimlerin resimleri, di ğer tan ms z terimlerin resimleri ile de ğil , birbirleriyle ili ş kilidirler. Esasen ayn olan iki modele, izomorfik tirler (k saca izomorf t urlar) ve aralar ndaki bu birebir tekab ü le de bir izomorfizm denir. Ö rnek 1. 2. 4 Ö rnek 1.2.1 deki aksiyomatik si stemi, Fe ’ lerin Girne, Mersin, İ skenderun limanlar ve Fo ’ lar n feribot yollar ş eklinde yorumlanm ş olarak alal m ( Ş e kil 1.2.3). Bu durumda bu yorumun da bu sistemin bir modeli oldu ğu kolayca g ö r ü lebilir (Bu nun ispat , bir al ş t rma olarak b rak lacakt r) . Bu model, Ali ? Girne ? ? Ali, Bekir ? ? ? Girne, Mersin Bekir ? Mersin ? ? Bekir, Cem ? ? ? Mersin, Yskenderun Cem ? İ skenderun ? ? Ali, Cem ? ? ? Girne, Yskenderun birebir tekab ü l ü alt nda Ö rnek 1.2.2 deki modele izomorftur (Ni ç in? A ç klay n z.). 21 Ş ekil 1.2.3 Ö rnek 1. 2. 5 Ö rnek 1.2.1 deki aksiyomatik sistemimizin Fe leri, S = {A,B,C} k ü mesin in e lemanlar olan A, B, C harfler i ve Fo lar , S nin iki elemanl alt k ü meler i {A,B}, {A, C }, {B, C } olarak yorumlanabilir. Bu yorumun da bir model ol du ğu , kolayca g ö steri leb i lir ( B u, bir al ş t rma olarak b rak lacakt r). Bu model, Ö rnek 1.2.2 deki modele A - Ali {A,B} - E ğlence Komites B - Bekir {A,C} - G da Komitesi C - Cem {B,C} - Finans Komitesi birebir tekab ü l ü alt nda izomorftur. Bu model ile Ö rnek 1.2.4 teki model , izomorf olacak bi ç imde de tan ms z terimlerinin yorumlar aras nda bir birebir tekab ü l k ur ulabilir (Al ş t rma 1.2-12 ye bak n z). Bir aksiyomatik sistemin tan ms z terimlerinin iki farkl yorumu a ras ndaki her birebir tekab ü l ü n, tan ms z terimlerin yorumlar aras ndaki ili ş kiyi korumak zorunda olmad ğ n a ç klamak i ç in tan ms z terimlerin yorumlar aras ndaki ili ş kinin korunmad ğ a ş a ğ daki ö rne ği g ö z ö n ü ne al n z. 22 Ö rnek 1. 2. 6 Ö rnek 1.2.1 deki Fo ’ lar, T = {x,y,z} k ü mesinin elemanlar olsun ve her bir Fe, kendisini payla ş an Fo ’ lar n ç ifti ile temsil edilsin. Buna g ö re Fe ’ ler, {x,y}, {x,z}, {y,z} ç iftleri olur. Bu yorum da Ö rnek 1.2.1 deki sistemin ba ş ka bir modelidir (ni ç in?). Bu model ile Ö r nek 1.2.5 teki model aras nda a ş a ğ daki {x,y} - A {A,B} - z {y,z} - B {B,C} - y {x,z} - C {A,C} - x birebir tekab ü l ü n ü kurarsak bu tekab ü l, bir izomorfizm olmaz. Çü nk ü Ö rn ek 1.2.5 teki Fo ’ lar n mesela farkl {B,C} ve {A,C} ç ifti, Fe ’ lerden C yi payla ş rken yukar daki modelde bunlara kar ş l k gelen Fo ’ lar n y ve x ç ifti, bu tekab ü lde Fe ’ lerden {x,z} yi payla ş mas gerekirken {x,y} yi payla ş maktad rlar. Dolay s yla modelin b irindeki elemanlar n ili ş kisi, di ğer modelde bu elemanlar n resimlerinde korunmam ş t r. Fe lerin birer nokta ve Fo lar n birer do ğru - ç izgi olarak yorumlanmas halinde Fe-Fo geometrisi nin elde edile cek olan modeline (bunu do ğrulay n z) , üç -nokta geometrisi a d veril ir. İ lerde bundan sonraki B ö l ü m'den itibaren geometriyi incelemeye ba ş lad ğ m zda m odell eri meydana ge tirmenin, ç ok ö nemli bir rol oynayaca ğ n yak nda n g ö rece ğiz. Fe-Fo geometrisin de n farkl ba ş ka geometrilerin baz lar n n m odeller ini meydana getirme ve izomorfik ili ş kileri belir le me k konusunda ilave ö rnekler ve pratik ler , bu Kesim ’ in sonundaki al ş t rma larda bulunabilir. A ş a ğ da modellerin aksiyomat ik sistemlerle ortaya konabilen birka ç ö zelli ği ni , k sa olarak ara ş t raca ğ z. 1. 2. 4 Aksiyomatik Sistemlerin Ö zellikleri 23 Bir aksiyomatik sistemin en ö nemli ve en temel ö zelli ği, tutarl l k t r. Bir aksiyom k ü mesi i ç in e ğer kendilerinden herhangi bir aksiyomla veya ö nceden ispatlanan bir teoremle ç eli ş en bir teoremin ç kar lmas imkans z ise bu aksiyom k ü mesine , tutarl d r denir. Bu ö zellik olmaks z n bir aksiyomatik sistem, matematiksel bir de ğere sa hip de ğildir ve ö zelliklerinin ileri bir incelemesi, faydas z bo ş bir i ş t en ibarettir . Bir aksiyomatik sistemin tutarl l ğ n tesis etmek i ç in bu sistemin yukarda tart ş lanlara benzer ş ekilde ki modelleri ni kullanaca ğ z. Modeller, iki kategor iye ayr labilir: (1) Somut modeller ; tan ms z terimlerin yorumlar n n, i ç inde ya ş ad ğ m z reel d ü nyadan (fiziksel evrenden ) uydurulan nesneler veya ba ğ nt lar n oldu ğu modellerdir. (2) Soyut model ler ; tan ms z terimlerin yorumlar n n di ğer baz sistemlerden al nd ğ modellerdir. Ö rnek 1.2.4 teki model, bir somut model ö rne ği iken Ö rnek 1.2.5 teki model, bir soyut model ö rne ğidir. Bir aksiyomatik sistemin bir somu t modeli ü retildi ği zaman bu sistemin mutlak tutarl l ğ n n tesis edilmi ş oldu ğunu ileri s ü rece ğiz. Aksi halde aksiyomlar ndan ç kar lan ç eli ş kili teoremler, reel d ü nyada imkans z diye kabul ed ece ğimiz ç eli ş kili kar ş l klara veya ö rneklere sahip olabilirle r. Bununla birlikte bir aksiyomatik sistem i ç in mutlak tutarl l ğ n n tesisi nin her zaman m ü mk ü n olmad ğ n g ö rece ğiz. Çü nk ü bir somut model tesis e dilemeyebilir . Mesela Ö rnek 1.2.1 de tart ş lana benzer bir aksiyomatik sistem, sonsuz say da Fe g erektiriyorsa bir somut modelin meydana getirili ş i, imkans z olabilir. Çü nk ü reel d ü nya , sonlu oldu ğundan reel d ü nyada bir yorum olarak i ş g ö recek “ ş ey ” lerin (nesnelerin veya elemanlar n) bir sonsuz koleksiyonu, mevcut de ğildir (G ö rebildi ğimiz ve alg layab ildi ğimiz kadar yla reel evrenimiz, ne kadar b ü y ü k olursa olsun sonludur). B ö ylesi durumlarda tutarl l ğ n kabul etmeyi arzuluyor oldu ğumuz bir sistemden (mesela reel say lar sistemi gibi) kavramlar kullanarak bir model kurar z. Ba ş ka bir deyi ş le 24 e ğer i ç i nde modelimizi se ç mi ş bulundu ğumuz sistem, tutarl ise e l i mizdeki aksiyomatik sistemin tutarl oldu ğunu s ö yleriz. Bu durum ortaya ç kt ğ nda aksiyomatik sistemimizin " relatif tutarl l k ” n n tesis edilmi ş oldu ğunu s ö y leriz ve bu aksiyomatik sistem, “ relati f tutarl ” d r deriz. Aksiyomatik sistemin di ğer iki ö zelli ği, ba ğ ms zl k ve taml k t r. Bu ö zellikler , tutarl l k ö z elli ğinden ay rt edici olarak farkl bir tabiata sahiptirler. Bu fark, tutarl l k ö zelli ğinin aksine aksiyomatik sistemlerin k ullan ş l (inceleme ğe de ğer) olmalar i ç in bu ö zelliklere sahip olmalar n gerekli g ö rmedi ğimiz keyfiyette yatar. Nitekim ileride bu ö zelliklere malik olmayan sistemleri kulla nman n, bize sa ğlad ğ avantaj ispat edilebilecektir. Tek ba ş na bi r aksiyom, sistemdeki di ğer aksiyomlardan mant ksal olarak ç kar lam yor ise bu aksiyoma, ba ğ ms z d r denir. E ğer aksiyomlar n n her biri , ba ğ ms z ise bu aksiyomlar n tamam n n k ü mesine, ba ğ ms z d r ad verilir. Bir aksiyom sisteminin, sadece aksiy omlar ba ğ ms z olmamas ndan dolay ge ç ersiz k l nmamas gerekti ği a ç k olmal d r. Yani bir aksiyomatik sistem, ba ğ ms z olmayabilir. Bu hususta s ö ylenebilecekler in en k ö t ü s ü , herhangi bir ba ğ ms z olmayan sistemin baz fazlal klara sahip olmas d r. Çü nk ü bir sistemin aksiyomlar n n biri veya daha fazlas , teorem gibi bir g ö r ü n ü me sahip olabilir. Teoremler de do ğru ifadelerdir. Herhangi bir aksiyomatik sistem, minimum say da kabuller (yani aksiyomlar) ü zerindeki en iyi in ş a olmas ndan dolay genelde bir matematik ç i, ba ğ ms z bir aksiyom k ü mesini tercih edebilir. Bununla birlikte ba ğ ms z olmayan bir aksiyom k ü mesini kullanmak, ç o ğunlukla avantajl d r. Mesela ç o ğu lise geometrisi derslerinde incelenen bir aksiyomatik geli ş me, ba ğ ms z olmayan a ksiyomlar n bir k ü mesine dayan r. Asl nda pedagojik olan bunun gerisindeki muhakeme, ç ok ö nemli, faydal fakat ispat zor bir teoremi bu geli ş mede bir aksiyom olarak erkenden ileri s ü rmektir. B ö ylece tecr ü beli bir matematik ç i hari ç herkes i ç in bu teoremi ba ğ ms z bir aksiyom k ü mesi kullanarak ispat etmenin zorlu ğu, ö nlenebilir. Bu gibi hallerde bu teorem, aksiyomlar n k ü mesine bir aksiyom olarak dahil edilebilir ve dolay s yla matematik olgunlu ğu az olan ö ğrencilere kullan ş l hale getirilebilir. 25 B ir aksiyomatik sistemin ba ğ ms zl ğ n g ö stermek i ç in yine modellerin kullan m n yapaca ğ z. Bir aksiyomun ba ğ ms zl ğ n , kendisinin do ğ ru olmad ğ fakat geride kalan di ğer aksiyomlar n do ğru oldu ğu bir model ü reterek garanti ederiz . Çü nk ü sadece do ğru if adeler, do ğru ifadelerden mant ksal olarak ç kar labildi ğinden bu aksiyom, do ğru olan di ğer aksiyomlara ba ğl olsayd bu modelde do ğru olmas gerekirdi. Halbuki do ğru de ğ il. Ö rnek 1. 2. 7 Ö rnek 1.2.1 de Fe ’ ler , {A,B,C,D} k ü mesindeki elemanlar yani A, B, C, D harfleri ve Fo ’ lar, bu k ü menin {A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C,D} alt k ü meler i olsun. Bu modelde d ö rt Fe ihtiva edildi ğinden Aksiyom 1 , a ç k olarak do ğru-olmayan d r. Di ğer üç aksiyomun do ğru oldu ğu, kolayca g ö r ü lebilir (Bu, bir al ş t rma olarak b rak lm ş t r). O halde Aksiyom 1 , di ğer üç aksiyomdan ba ğ ms zd r. Aynen bunun gibi di ğer üç aksiyomun ba ğ ms zl klar n ayr ayr g ö steren modeller, bulunabilir (Al ş t rmalar 1.2 de 21.Al ş t rma' y a bak n z). Sonu ç ta bu d ö rt aksiyomun k ü mesi , ba ğ ms zd r. Bir aksiyom k ü mesine e ğer yeni tan ms z terimler eklemeksizin tutarl ve ba ğ ms z yeni bir aksiyomu ilave e tmek imkans z ise bu aksiyom k ü mesinin, yeter b ü y ü kl ü kten veya tam oldu ğunu s ö yleriz. B a ğ ms zl k ö zelli ği , aksiyom k ü mesinin ç ok b ü y ü k olmad ğ n yani k üçü k-dar oldu ğunu garanti ederken; taml k , tan ms z terimlerin koleksiyonu ile ilgili bir ö nermeyi ispa t etmek veya etmemek i ç in se ç ilen aksiyomlar n , say ca yeterli oldu ğ unu garanti eder. Dolay s yla taml k ö zelli ği , aksiyom k ü mesinin b ü y ü kl ü ğü ile ilgilidir. Taml ğ test etme , tamamen ba ş ka bir meseledir. Yeni bir tutarl ba ğ ms z aksiyom bulamamak , tutarl l kla oldu ğu gibi, o aksiyomun varl ğ n n ihtimalini yok etmez ve dolay s yla bu, taml ğ ispat etmek i ç in yeterli olmayan bir y ö ntemdir . Bununla birlikte taml ğ n bir formunu g ö stermek i ç in modellerin izomorfizmini kullanabiliriz. Verilen bir aks iyomatik sistemin b ü t ü n modelleri, izomorfik-e ş yap l ise bu aksiyomlar n k ü mesine, kategoriksel dir denir. Kategoriksellik 26 ö zelli ği , taml ğ ima etmek i ç in g ö sterilebilir ancak bunun ispat , buradaki tart ş man n d ü zeyi ü zerindedir. Bundan sonraki Ke sim ’ de aksiyomatik sistemlerin ö zelliklerin i, geometrik bir i ç erik i ç inde a ç klayaca ğ z. ALI Ş TIRMALAR 1.2 Aksiyomatik Metot A ş a ğ daki ilk d ö rt al ş t rmay cevapland rmak i ç in Ö rnek 1.2.1 de belirtilen aksiyomatik sistemi kullan n z. 1. Bi r Fo ’ nun, üç farkl Fe ’ yi ihtiva edemedi ğini ispat ediniz. 2. Sistemin b ü t ü n Fe ’ lerini ihtiva eden iki Fo ’ nun bir k ü mesinin var oldu ğunu ispat ediniz. 3. İ ki farkl Fe ’ nin her k ü mesi i ç in sistemdeki her Fo, bunlar n en az birini ihtiva etmelidir. 4. Fo lar n her üçü n ü n, ayn Fe yi ihtiva edemedi ğini ispat ediniz. 5. x, y ve ü zerinde nin, tan ms z terimler oldu ğu a ş a ğ daki aksiyom k ü mesini al n z: Aksiyom 1. Kesinlikle be ş x vard r. Aksiyom 2. Herhangi farkl iki x, kesinlikle her ikisinin ü zerinde olan bir y ye sahiptir. Aksiyom 3. Her bir y, kesinlikle iki x ü zerindedir . Bu sistemde ka ç tane y vard r? Sonucunuzu ispat ediniz. A ş a ğ da 6 dan 9 a kadar ki al ş t rmalar cevaplamak i ç in 5.Al ş t rma ’ daki aksiyom k ü mesini kullan n z. 6. Herhangi iki y nin, her ikisinin ü zerinde bulundu ğu, en fazla bir x e sahip oldu ğunu ispat ediniz. 27 7. x lerin t ü m ü n ü n, ayn y ü zerinde olmad ğ n ispat ediniz. 8. Her bir x ü zerinde kesinlikle d ö rt y nin var oldu ğunu ispat ediniz. 9. Herhangi bir y 1 ve x 1 in ü zerinde olmayan herhangi bir y 1 i ç in, y 1 in ü zerindeki x lerin herhangi birini ihtiva etmeyen x 1 in ü zerinde kesinlikle iki di ğer farkl y nin var oldu ğunu ispat ediniz. Modeller 10. Ö rnek 1.2.2 deki aksiyomlar n, do ğru-ger ç ek ifadeler olduklar n do ğrulay n z. 11. Ö rnek 1.2.3 teki Aksiyomlar 1 ve 3 ü n do ğru ifadeler olduklar n do ğrulay n z ve Aksiyomlar 2 ve 4 ü n ni ç in do ğru olmad ğ n a ç klay n z. 12. Ö rnek 1.2.5 teki modelin, Ö rnek 1.2.2 deki modele izomorf oldu ğunu do ğrulay n z. 13. Ö rnekler 1.2.5 ve 1.2.6 daki modellerin tan ms z terimleri aras nda bir izomorfizm olan bir birebir tekab ü l kurunuz ve sonucunuzu do ğrulay n z. 14. Ö rnek 1.2.2 deki birine izomorf olan ba ş ka bir model kurunuz. M ü mk ü nse izomorf olmayan bir ö rnek bulunuz. 15. Al ş t rma 5 te belirlenen aksiyom sistemi i ç in bir model kurunuz. 16. A ş a ğ daki aksiyomlar sa ğlayan tan ms z elemanlar n bir sonsuz S k ü mesi ni ve tan ms z R b a ğ nt s n g ö z ö n ü ne al n z: Aksiyom 1. a,b ? S ve aRb ise a ? b dir. Aksiyom 2. a,b,c ? S, aRb, ve bRc ise aRc dir. (a) S nin tam say lar n k ü mesi ve aRb nin a, b den k üçü kt ü r olarak al nd ğ bir yorumun, bu sistem i ç in bir model oldu ğunu g ö steriniz. (b) Keza S yi tam say lar n k ü mesi ve aRb yi a, b den b ü y ü kt ü r bi ç iminde yorumlamak, bir model olur mu? 28 (c) (a) ve (b) deki modeller, izomorfi k midirler? (d) S nin reel say lar n k ü mesi ve aRb nin a, b den k üçü kt ü r yorumu, ba ş ka bir model midir? (e) (d) deki model, (a) daki modele izomorf mudur? 17. Ö rnek 1.2.1 deki aksiyom sistemi i ç in iki ilave yeni somut model kurunuz. Bu mod eller, izomorf mudurlar? Cevab n z do ğrulay n z. 18. Ö rnek 1.2.1 deki aksiyom sistemi i ç in iki ilave soyut model kurunuz. 19. Al ş t rma l6 daki modeller in , soyut veya somut modeller olup olmad klar n a ç klay n z. 20. Reel say lar sisteminin somut b ir modelini kurman n, ni ç in imkans z oldu ğ un a ç klay n z. 21. Ö rnek 1.2.1 deki Aksiyomlar 2, 3 ve 4 ü n ba ğ ms z olduklar n g ö steriniz. 22. Al ş t rma 5 teki aksiyom k ü mesi i ç in iki somut model kurunuz. Bu modeller, izomorfik midirler? Al ş t rma 15 te t esis edilen modele izomorfik midirler? Cevaplar n z do ğrulay n z. 23. Al ş t rma 5 teki aksiyom k ü mesi i ç in bir soyut model kurunuz. Bu model, Al ş t rma 22 deki model lere izomo rfik midir? Cevab n z do ğrulay n z. 24. Al ş t rma 5 teki üç aksiyomun ba ğ m s zl ğ n g ö steriniz. 25. Tan ms z elemanlar n bir S k ü mesi ile a ş a ğ daki aksiyomlar sa ğlayan tan ms z R ba ğ nt s n ele al n z: Aksiyom 1. a ? S ise aRa d r. Aksiyom 2. a,b ? S ve aRb ise bRa d r. Aksiyom 3. a,b,c ? S, aRb, bRc ise aRc dir. (a) Bu aksiyom sistemi i ç in somut bir model kurunuz. (b) Bu sistem i ç in bir soyut model kurunuz. 29 (c) Bu aksiyomlar, ba ğ ms z m d r? 1. 3 SONLU GEOMETR İ L ER GINO FANO (l871-l952) 1871 de İ talya ’ daki Mantuana ’ da do ğdu. Turin ’ de ç al ş t ve sonunda Felix Klein ile ç al ş t ğ G ö ttingen ’ e ta ş nd . Esasen projektif ve cebirsel geometri alan nda ç al ş t . Bir sonlu geometri kavram n d üş ü nen ilk matematik ç i dir. 1 892 de ortaya koydu ğu bu geometri, üç -boyutlu olup 15 nokta, 15 do ğru ve her biri 7 nokta ile 7 do ğru ihtiva eden 15 d ü zlemden ibarettir. David Hilbert ’ in zaman ndan ö nce bile “ Ç al ş mam za bir temel olarak keyfi tabiat l , keyfi varl klar n, keyfi bir kolek siyonunu var sayaca ğ z; bu varl klara k sa olmal k i ç in noktalar diyece ğiz ve bu, tabiatlar ndan epey ba ğ ms z olacakt r” darb meseli rivayet edilmi ş tir. Turin ’ de II. D ü nya Sava ş esnas nda ayr lma ğa zorlan ncaya kadar matematik profes ö r ü olarak hizmet e tti ve ayn zamanda Amerika ve İ svi ç re ’ de dersler verdi. 1952 de İ talya ’ daki Verona ’ da ö ld ü . Bu Kesim ’ de her biri, az say da aksiyom ile az say da teoremlere sahip ve sadece belli say da nokta ihtiva eden b irka ç geometriyi ara ş t raca ğ z. S onlu geometriler ad n verece ğimiz bu geometriler , isimlerine uygun ş ekilde bize aksiyomatik metodu kullanan ve nispeten basit yap dan olan bir geometriyi inceleme imkan n verirler. Bu geometrileri ara ş t r rken aksiyomlar m za g ü venmenin ö nemini g ö rme ğe ve teoremleri n do ğrulu ğu nu yani ger ç ekli ği ni belirlemede vurgulanan mant ksal yap y tan ma ğa ba ş layaca ğ z (Aksiyomatik s ist emimizde do ğruyu yani ger ç e ği belirlemek i ç in yegane temel olarak aksiyom k ü mesini tesis etti ğimiz ve aksiyomlar n sezgimizin aksine gitti ği yerde da hi nihai ger ç eklikler ol du ğunun kabul edilmesi nin kendi iste ğimize ba ğl oldu ğu , okuyucu taraf ndan hat rlanmal d r). 1. 3. 1 D ö rt-Nokta Geometrisi Tan ms z terimler: 1) Nokta 30 2) Do ğru 3) Ü zerinde (olma) ba ğ nt s . Ü zerinde olm a ba ğ nt s na, ü zerinde olmal k veya ü zerindelik te denir. Ü zerinde yi temsil etmek i ç in Ö rnek 1.2.1 de a ç klanan kullan mlara benzer ç e ş itli ifadeler tercih edilebilir . Mesela a ş a ğ daki c ü mlelerin her biri, e ş de ğer anlama sahiptir: “ Bi r nokta, bir do ğrunun ü zerindedir ” , “ Bir do ğru, bir noktay ihtiva eder” , “ Bir do ğru, bir noktadan ge ç er ” , “ Bir nokta bir do ğruya aittir ” , “ Bir do ğru, bir nokta ü zerindedir ” vb. Bu y ü zden gramer kurallar ç er ç evesinde ihtiya ç duyulan hallerde bunlarda biri, di ğerlerin herhangi birinin yerine kullan labilir. Aksiyomlar: Aksiyom 1. Kesinlikle d ö rt nokta vard r. Aksiyom 2. Herhangi farkl iki nokta, kesinlikle her ikisinin ü ze rinde bulunduklar ayn bir do ğruya sahiptir. Aksiyom 3. Her bir do ğru, kesinlikle iki nokta ü zerindedir . Kesim 1.2 de zikredildi ği gibi modeller, ç o ğunlukla bir aksiyomatik sistemin i ç ine n ü fuz ede bile ce ğimiz bi ç imde bir kavray ş bize sa ğlarlar. E ğer noktalar , kalemle ka ğ t ü zerine karalad ğ m z benek ler veya i ç i bo ş k üçü c ü k ç ember ler ya hut daireler ve do ğrular , kalemle ka ğ t ü zerine ç izdi ğimiz ç izgiler olarak yorumlarsak d ö rt- nokta geometrisinin bir modeli, üçü Ş ekil 1.3.1 de g ö sterilen bir ç ok ç izimden biri ile temsil edilebilir. Ger ç ekten bu üç aksiyomun tamam n n do ğ ruland ğ , her bir aksiyomu bu model lerin her birine ayr ayr uygula y arak kontrol e t mek suretiyle g ö r ü leb ilir. 31 (a) (b) (c) Ş ekil 1.3.1 Tan m 1. 3. 1. Ayn bir nokta ü zerinde olan iki do ğruya, kesi ş iyorlar denir ve bu do ğrulara, kesi ş en do ğrular ad verilir. Tan m 1 . 3. 2. Kesi ş meyen iki do ğruya, paralel dirler denir . Teoremler: A ş a ğ da d ö rt-nokta geometrisinde ç karsanabilecek teoremlerden d ö rd ü sunulmu ş tur. Di ğer teoremlerin baz lar al ş t rmalarda bulunabilir. D ö rt-Nokta Teoremi 1. D ö rt-nokta geome trisinde iki farkl do ğru, kesi ş irse bu do ğrular, kesinl ikle ortak bir noktaya sahiptir . İ spat. Tan m1.3.1 den kesi ş en farkl iki do ğru, en az bir ortak noktaya sahiptir ve Aksiyom 2, bu do ğrular n birden fazla ortak no ktaya sahip olmalar n yasaklar. Ni ç in? Dolay s yla kesi ş en bu iki do ğru, en ç ok bir ortak noktaya sahip olur . B ö ylece “ e n az bir ” ve “ en ç ok bir ” , “ kesinlikle bir ” demek oldu ğundan kesi ş en iki do ğrunun, kesinlikle bir ortak noktalar n n var oldu ğu sonucu elde edilir . D ö rt-Nokta Teoremi 2. D ö rt-nokta geometrisi, kesinlikle alt do ğruya sahiptir. İ spat. Aksiyom 2 den her bir nokta ç ifti, kesinlikle her ikisinin ü zerinde ol du ğ u bir do ğruya sahiptir ve Aksiyom 1 den d ö rt nokta vard r. Basit kombinatoriklerle (perm ü tasyon veya kombinasyon yahut olas l k hesab ile) bu d ö rt noktadan alt nokta ç ifti var olmas gerekti ği kolayca g ö sterilebilece ğinden en az alt do ğru buluruz. Aksiyom 3, daha fazla do ğrunun var olmad ğ n garanti etti ğinden (Ni ç in?) en ç ok alt do ğru el de ederiz. Dolay s yla d ö rt-nokta geometrisi, kesinlikle alt do ğruya sahiptir. D ö rt-Nokta Teoremi 3. D ö rt-nokta geometrisinin her bir noktas , kesinlikle kendi ü zerinde bulunan üç do ğruya sahiptir. 32 İ spat. Aksiyom 1 ve Aksiyom 2 den her bir nokta, di ğer üç noktan n her biriyle farkl bir do ğruy u temsil etti ğinden her bir nokta ü zerinde en az üç do ğru elde ederiz. Olmayana ergiden gidelim ve h er bir noktan n ü zerinde d ö rd ü nc ü bir do ğrunun bulundu ğunu kabul edelim. Bu taktirde Aksiyom 3 ten bu do ğrunun ü zerinde ikinci bir noktan n bulunmas gerekir. Fakat bu ikinci nokta, di ğer üç do ğru ü zerinde bulunan üç noktadan biri olmas gerekir ki buna , Aksiyom 2 imkan vermez. O halde her bir nokta ü zerinde en ç ok üç do ğru vard r. Sonu ç olarak her bir nok ta ü zerinde kesinlikle üç do ğru vard r. D ö rt-Nokta Teoremi 4. D ö rt-nokta geometrisinde her bir farkl do ğru, kesinlikle kendisine paralel olan bir do ğruya sahiptir. İ spat. Aksiyomlar 1 ve 3, bize bir l do ğrusu ile l nin ü zerinde olmayan bir P nokt as n n varl ğ n sa ğlarlar . D ö rt-nokta Teoremi 3, P noktas ü zerinde kesinlikle üç do ğrunun var oldu ğunu ve Aksiyom 2, bu do ğrular n ikisinin l yi kesmesi dolay s yla üçü nc ü s ü n ü n l yi kesmemesi gerekti ğini yani l ye paralel oldu ğunu belirtir. Buna g ö re l y e paralel en az bir do ğru elde ederiz . Farz edelim ki P den ge ç en ve l ye paralel olan ikinci bir do ğru daha vard r. Bu do ğru, D ö rt-nokta Teoremi 3 ten dolay P yi ihtiva e d e rken ve l ye paralel oldu ğundan l ü zerindeki noktalar n hi ç birinden ge ç eme z. Bu durumda ya sadece bir nokta ihtiva eder ki bunu Aksiyom 3 yasaklar veya bir ü zerine konacak ikinci bir nokta i ç in be ş inci bir nokta var olmal d r ki bun a da Aksiyom 1 izin vermez . O halde P den ge ç en ve l ye paralel olan ikinci bir do ğru var olamaz v e P den ge ç en l ye paralel en ç ok bir do ğru vard r. B ö ylece l ye paralel olan kesinlikle bir do ğru vard r. Alternatif ispat. D ö rt-nokta geometri si, sonlu oldu ğundan noktalar il e do ğrular n n muhtemel her bir durumunu g ö zden ge ç irmek m ü mk ü nd ü r. Noktala r n , A, B, C, D harfler i ve l 1, l 2 , l 3 , l 4 , l 5 , l 6 ile g ö sterilen do ğ rular n , bu harfler in ikililerinden olu ş an s ü tunlar olarak yorumlarsak bu geometrinin ba ş ka bir modelinin, Ş ekil 1.3.2 ol du ğunu kolayca ispat edebiliriz: 33 Ş ekil 1.3.2 Bu m odeli kullanarak yukardaki D ö rt-Nokta Teoremleri ’ nin her birinin, ger ç ek olduklar n yani farkl do ğrular n kesinlikle bir tek noktada kesi ş tiklerini, kesinlikle alt do ğrunun var olmas gerekti ğini, her bir noktan n ü zerinde kesinlikle üç do ğrunun bulund u ğunu (yani ayn bir noktadan ge ç tiklerini) ve her bir do ğrunun kesinlikle kendisine paralel olan bir do ğruya sahip oldu ğunu bu modelde do ğrudan do ğruya kontrol ederek g ö rebiliriz. 1. 3. 2 Fano Geometrisi: Yedi Nokta-Yedi Do ğru Geometrisi Biri ni b u Kesim v e di ğerini ta kip eden Kesim 1.3.3 t e ara ş t raca ğ m z iki sonlu geometri, yukarda inceledi ğimiz ve al ş t rmalarda s ö z ü n ü etti ğimiz sonlu geometrilerinkinden biraz daha farkl olan bir karakter ta ş maktad r lar. Ger ç ekten b u geometrilerin a ksiyom lar , noktalar n ve do ğrular n say s n a ç k olarak belirtmezler. Bu y ü zden bu geometriler, n oktalar n n ve do ğrular n n kesin say s n teoremler olarak ke ş fetmek ve ispat etmek i ç in aksiyomlar alanlar aras nda var olan kar ş l kl ili ş kilerin kullan m n gerektirirler . S onlu geometrilerin incelemesini ilk ba ş latan İ talyan matematik ç i Gino Fano bu geometrilerden ilki, oldu ğundan tarihi ö nemi vard r. Fano, 1892 de üç boyutlu bir sonlu geometriyi 15 nokta, 35 do ğru ve 15 d ü zlemden ibaret olarak d üş ü nd ü . Bu d ü zlemlerin her biri, a ş a ğ da takdim edilen Fano'nun sonlu geometri s i ni ü retir: Tan ms z terimler: 1) Nokta 2) Do ğru 34 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 A A A B B C B C D C D D 3) Ü zerinde (olmal k). Burada da ü zerinde ba ğ nt s , aynen daha ö nceki Kesim ’ lerde belirtildi ği anlamda ve e ş de ğer ifadeleri ile birlikte al nacakt r. Aksiyomlar: Aksiyom 1 . En az bir do ğru vard r. Aksiyom 2. Her do ğru ü zerinde kesinlikle üç nokta vard r. Aksi yom 3. B ü t ü n noktalar, ayn do ğ ru ü zerinde de ğildir. Aksiyom 4. Herhangi farkl iki nokta ü zerinde kesinlikle bir do ğru vard r. Aksiyom 5. Farkl iki do ğru ü zerinde en az bir nokta vard r. B u a ş amada Fano geometrisini daha fazla geli ş tirmeden ö nce bir modelini tesis etmek ü zere aksiyomlar kullanma cesaretini g ö sterebiliriz. Bunu yaparken s rayla tek tek her bir aksiyomu, do ğrulamak ü zere aksiyomlar uygularken, ileri geri hareket ederiz. Fan o geometrisi i ç in bir modeline ait iki temsili, Ş ekil 1.3.3 ve Ş ekil 1.3.4 te g ö r ü lebilir. Ş ekil 1.3.3 teki temsilde nokta lar, kalemle ka ğ t ü zerine yap lan benek ler ve do ğru lar, ka ğ t ü zerine kalemle ç izilen herhangi ç e ş itten ç izgi ler olarak yorumlanm ş t r. Bu yorumu, tersine yapmak ta m ü mk ü nd ü r. Yani noktalar , kalemle ç izilen ç izgiler ve do ğrular , benekler olarak alabiliriz. Bu durumda elde edilecek olan modeli in ş a ediniz (Al ş t rma 1.3-20 ye bak n z). Ş e kil 1.3.4 te ise nokta lar, harf ler ve do ğru lar, harflerin s ü tun lar olarak yorumlanm ş t r. 35 G D F A B C E Ş ekil 1.3.3 Fano geometrisi hakk nda sonu ç lar ç karmaya ba ş larken Ş ekil 1.3.4 deki temsili, ç ok daha a ç klay c bulabiliriz. Bu geometride herh angi üç farkl noktan n her bir k ü mesi, bir do ğru olu ş turmad ğ ndan Ş ekil 1.3.3, yanl ş anlama ğa yol a ç abilir. Oysa Ş ekil 1.3.4 te do ğrular a ç k ç a ifade edildi ğ inden bu model, herhangibir yanl ş anlamaya yol a ç mad ğ gibi tek tek her bir aksiyomun ger ç ekl endi ğini test etmenin kolayl ğ na da sahiptir. Ş ekil 1.3.4 Teoremler: Fano geometrisinde ü retilebilecek bir ç ok teoremden ikisi a ş a ğ da ifade ve ispat edilmi ş tir. Bunlara ilaveten di ğer teoremlerden birka ç bu Kesim'in sonundaki al ş t rmalarda bulunulabilir. Fano Teoremi 1. Fano geometrisinde farkl iki do ğru, kesinlikle ortak bir noktaya sahiptir. İ spat. Bu sonu ç , Ş ekil 1.3.4 ten kolayca kontrol edilebilir. Bununla birlikte herhangi bir modele dayanmadan direkt y a ni mant ksal ispat da yap labilir (Al ş t rma 1.3-13 e bak n z). Fano Teoremi 2. Fano geometrisi, kesinlikle yedi nokta ve yedi do ğru ihtiva eder . 36 l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 A A A B C C E B G E G G F B C F D D E D F İ spat. İ lk üç aksiyom, bize üçü bir l do ğrusu ü zerinde ol an ve d ö rd ü nc ü s ü l ü zerinde bulunmayan bir P noktas olmak ü zere en az d ö rt nokta sa ğlar (yani en az d ö rt noktan n varl ğ n garanti eder). Bu durumda Aksiyom 4 ten P ile l nin ü zerindeki üç nokta n n her bir i, farkl bir do ğru belirt ti ğinden üç do ğru buluruz ve Aksiyom 3 ’ ten bu do ğrular n her biri, üç nokta ihtiva etm elidir. Bu üç nokta n n her biri , eldeki ilk d ö rt nokta da n herhangi biri olamaz. Aksi halde Aksiyom 4 ile ç eli ş iriz. B ö ylece en az yedi nokta elde ederiz. E n ç ok yedi noktan n var oldu ğunu yani yedi noktadan fazla noktan n bulunmad ğ n olmayana erg i yoluyla ispat edelim. Bu ama ç la s ekizinci bir Q noktas var oldu ğunu kabul edelim. P ve Q noktalar , Aksiyom 5 ten l yi kesmesi gereken bir m do ğrusunu belirtmelidir. Kesim noktas , l ü zerindeki üç noktan n herhangi biri olamaz. Aksi halde Aksiyom 4 ile ç eli ş ilir. Dolay s yla l , d ö rd ü nc ü bir nokta ihtiva etmesi gerekir ki bu, Aksiyom 2 ile ç eli ş ir. O halde Fano geometrisinde kesinlikle yedi nokta vard r. Fano geometrisinin kesinlikle yedi do ğruya sahip oldu ğunun ispat , bir al ş t rma olarak b rak lacakt r (Al ş t rma 1.3-14 e bak n z). E ğer paralel do ğrular i ç in Tan m 1.3.2 yi esas al rsak Fano geometrisinin, Aksiyom 5 ten dolay paralel do ğrulara sahip olmayan bir geometri ö rne ği oldu ğunun belirt ilmesi gerekir. Fano geometrisi ndeki di ğer teoremlerin baz lar , bu Kesim ’ in sonundaki al ş t rmalarda bulunabilir. A ş a ğ da ki Kesim'de a ra ş t raca ğ m z ikinci sonlu geometri, bir aksiyomatik sistemde sadece bir aksiyomu de ği ş tirmekle farkl bir sistemin nas l meydana getirilebildi ğinin bir ö rne ğini olu ş turacakt r. 1. 3. 3 Young Geometrisi Fano geometrisinde ki tan ms z terimler i l e ilk d ö rt aksiyomu aynen alarak ve sadece be ş inci aksiyomun yerine a ş a ğ daki Aksiyom 5 i koyarak elde edilen yeni geometriye, Young geometrisi ad ve rilir: Aksiyom 5. Her bir l do ğrusu ve l ü zerinde olmayan her bir P 37 noktas i ç in kesinlikle P de n ge ç en ve l nin ü zerindeki hi ç bir noktay ihtiva etmeyen bir do ğru vard r. N okta lar , A dan I ya kada r olan alfabedik s radaki harfler ve do ğru lar , bu harflerden olu ş an üç farkl harfli s ü tunlar olarak yorumla yarak Young geometrisinin Fano'nun Ş ekil 1.3.4 dekine benze yen ve Ş ekil 1.3.5 te g ö r ü len b ir modeli olu ş turulabilir . l 1 l 2 l 3 l 4 l 5 l 6 l 7 l 8 l 9 l 10 l 11 l 12 A A A B B B C C D G H H B D E E D F F E E H D F C G I H I G I G F I C A Ş ekil 1.3.5 Bun un gibi ka ğ t ü zerine , nokta lar i ç in k alemle karalad ğ m z benek ler ve do ğru lar i ç in ç izdi ğimiz ç izgi ler yorumunu kullana rak yine Fano geometrisinin Ş ekil 1.3.3 teki modeline benzer olan ba ş ka bir Young geometrisi modeli de yap la bilir ( Ş ekil 1.3.6 ya b a k n z). Young geometrisinde Aksiyom 5 in daha yak ndan bir incelemesi, bu geometrinin ger ç ekten paralel do ğrulara s ahip oldu ğunu g ö sterir (Al ş t rmalar 1.3-25 e bak n z). Teoremler: Ü retilebilecek pek ç ok teoremden baz lar a ş a ğ da ve di ğer baz s , bu Kesim'in sonundaki al ş t rmalarda bulunulabilir. Young Teoremi 1. Young geometrisinde her nokta, en az d ö rt do ğru ü zerindedir (Her bir noktadan en az d ö rt do ğru ge ç er) . İ spat. Akiyomlar 1 ve 3 ten bir l do ğrusu ve l do ğrusunun ü zerinde olmayan bir P noktas vard r. Aksiyom 2 den l , kesinlikle üç nokta ihtiva eder ve Aksiyom 4 ten P, bu üç noktan n her biri ile farkl bir do ğru belirtmelidir. Dolay s yla P den ge ç en en az üç do ğru elde ederiz. 38 Bundan ba ş ka Aksiyom 5 ten P yi ihtiva eden fakat l ü zerindeki noktalar ihtiva etmeyen bir do ğru var olmal d r; b ö ylece P den ge ç en toplam en az d ö rt do ğru buluruz. Ş ekil 1.3. 6 Young Teoremi 2. Young geometrisi, kesinlikle dokuz nokta ihtiva ede r. İ spat. Bir al ş t rma olarak b rak lacakt r (Al ş t rma 1.3-23 e bak n z). Young Teoremi 3. Young geometrisi, kesinlikle on iki do ğru ihtiva eder . İ spat. Bir al ş t rma olarak b rak lacakt r (Al ş t rma 1.3-24 e bak n z). Bundan sonraki Kesim ’ de aksiyomatik geometrinin, tabiat zorunlu olarak sonlu olmayan, ba ş ka bir ka rakteristik tipini ara ş t raca ğ z. 39 A B C E D F G H I ALI Ş TIRMALAR 1. 3 Sonlu geometriler 1. D ö rt-nokta Teoremleri 1-4 ü n do ğru-ger ç ek olduklar n , Ş ekil 1.3.1 deki ç izimlerin her birinde ger ç ekleyiniz. 2. D ö rt-nokta geometrisi i ç in somut bir model kurunuz. 3. D ö rt-nokta geometrisi i ç in soyut bir model kurunuz. 4. D ö rt-nokta geometrisinde bu geometrinin b ü t ü n noktalar n ihtiva eden iki do ğrunun bir k ü mesinin var oldu ğunu ispat ediniz. 5. Nokta ve do ğru kelimelerinin yerlerini aralar nda de ği ş tirerek (ve tan mlarda gramere uygun mesela paralel noktal ar, ayn do ğru ü zerinde olmayan noktalard r gibi d ü zeltmeleri yaparak ) d ö rt-nokta geometrisinin aksiyomlar n yeniden yaz n z. B ö ylece elde edece ğiniz aksiyomlar n her birine, ö ncekilerin bir d ü zlem duali denir ve meydana gelen yeni geometriye de d ö rt-do ğru geometrisi ad verilir. 6. D ö rt-nokta geometrisinin teoremlerinin her birini, nokta ve do ğru kelimelerini yer de ği ş tirerek yeniden yaz n z. Bu yeni ifadeler, d ö rt- do ğru geometrisi ndeki teoremlerdir Ö ne mli Not: D ü zlemse l dualite kavram , bize bir geometrideki herhangi bir ge ç erli teoremin d ü zlemsel dualinin, yeni geometride de ge ç erli bir teorem oldu ğunu garanti eder . 7. E ğer noktalar, ka ğ t ü zerindeki kalemle ç izilen benekler ve do ğrular da den-den ler (kesik kesik k sa d ü z ç izgiler) olarak yorumlan rsa d ö rt-do ğru geometrisi nin bir modelini temsil eden bir ç izim yap n z. 8. Dualite prensibini kullanmaks z n d ö rt-do ğru geometrisi nin, kesinlikle alt nokta ya sahip oldu ğunu ispat ediniz. 9. Dualite prensibini kullanmaks z n d ö rt-do ğru geometrisi nin her bir do ğrusunun, kesinlikle ü zerinde üç noktaya sahip oldu ğunu ispat ediniz. 40 10. Dualite prensibini kullanmaks z n d ö rt-do ğru geometrisi nde iki do ğrunun bir k ü mesinin, b u geometrinin b ü t ü n noktalar n ihtiva edemedi ğini ispat ediniz. 11. D ö rt-nokta geometrisi ndeki Aksiyom 1 in, “ kesinlikle be ş nokta vard r ” ş eklinde de ği ş mi ş ve di ğer aksiyomlar Aksiyom 2 ile Aksiyom 3 ü n, ayn kald ğ n farz edelim. (a) Bulaca ğ n z yeni be ş -nokta geometrisi ni temsil eden bir ç izim yap n z. (b) Be ş -nokta geometrisi nin en az iki teoremini ifade ve ispat ediniz ( Yol g ö sterme : Al ş t rmalar 1.2-5 ten 1.2-9 a kadar olan al ş t rmalara bak n z). Fano ve Young Geometrileri 1 2. Fano geometris inin mutlak tutarl l ğ n g ö steren bir model kurunuz. 13. Modeller kullanmaks z n Fano ’ nun Teorem 1 ini ispat ediniz. 14. Fano geometrisi nin, kesinlikle yedi do ğruya sahip oldu ğunu ispat ederek Fano ’ nun Teorem 2 si nin ispat n tamamlay n z. 15. Fano geometrisi nde ispat ediniz ki her bir nokta, kesinlikle üç do ğru ü zerindedir. 16. Fano geometrisi nde herhangi bir nokta ü zerindeki b ü t ü n do ğrular n k ü mesinin, bu geometrinin b ü t ü n noktalar n ihtiva etti ğini ispat ediniz. 17. Fano geometr isi nde noktalar n herhangi bir ç ifti i ç in bunlar n hi ç birini ihtiva etmeyen kesinlikle iki do ğrunun var oldu ğunu ispat ediniz. 18. Fano geometrisi nde konkurrent-olmayan (ayn bir noktadan ge ç meyen) üç do ğru k ü mesi i ç in kesinlikle bu üç do ğrunun herhangi b iri ü zerinde olmayan bir noktan n var oldu ğunu ispat ediniz. 41 19. Fano geometrisi ndeki her bir aksiyomun, ba ğ ms z oldu ğunu g ö steriniz. 20. Fano geometrisi nin her bir aksiyomu i ç in d ü zlem dualini yaz n z ve bu aksiyomlar sa ğlayan bir modelin bir temsilini yap n z. 21. Young geometrisi i ç in bir benek (nokta)- ç izgi (do ğru) modeli kurunuz. 22. Young Teorem 1 in daha g üç l ü bir versiyonu ol an “ bir noktan n, kesinlikle d ö rt do ğru ü zerinde olmas gereki r” i ispat ediniz. 23. Young ’ n Teorem 2 sini, ispat ediniz. 24. Young ’ n Teorem 3 ü n ü , ispat ediniz. 25. Young geometrisi nde her do ğrunun, kesinlikle iki paralele sahip oldu ğunu ispat ediniz. 26. Young geometrisi nde üçü nc ü bir do ğruya paralel iki do ğru nun , birbirlerine paralel oldu ğunu ispat ediniz . 27. Young geometrisi nde Aksiyom 2 nin , (a) h er do ğru ü zerinde kesinlikle iki nokta vard r ( b ) her do ğ ru, kesinlikle d ö rt noktaya sahip tir olarak de ği ş tirilmi ş oldu ğunu farzedelim. Bu taktirde her bir ş k i ç in bu geometri, ka ç nokta ve do ğruya sahip olur? E ğer Aksiyom 2, n, pozitif bir tam say olmak ü zere (c) h er bir do ğru, kesinlikle n nokta ihtiva eder olarak de ği ş tirilsey di sonu ç ne olurdu? (d) (a) , (b) ve (c) ş klar nda elde etti ğiniz sonu ç lar n z genelle ş tiriniz. 28. Young geometrisi ile Fano geometrisi aras ndaki benzerlikleri ve/veya farkl lar belirtiniz. 1. 4 KONUM GEOMETR İ S İ 42 JEAN VICTOR PONCELET (17 88-1867) Fransa ’ daki Metz ’ de do ğdu. “Ecole Polytechnique”de iyi-bilinen geometrici Gaspard Monge ’ un maiyetinde ç al ş t ve devrinin bir ç ok tipik matematik ç ileri gibi orduya kat ld . Napolyon ’ un Rusya seferinde yer ald ve esir d üş t ü ; iki y l hapis yat t . Tutuklulu ğu esnas nda zaman n matemati ğin sahas i ç indeki ç e ş itli ihtimalleri d üş ü nme ğe hasretti. Projektif geometri teorisinin b ü y ü mesinde katk lar oldu. “Applications d ’ analyse et de geometrie”, adl tezi sonu ç land ktan 50 y l sonras na kadar yay m lanmam ş t r. İ laveten 1822 de izd üşü m alt nda de ği ş mez kalan ö zelliklerin bir incelemesi olan “Traite des propri é t é s projektives des figures”i yay mlad . Diez Gergonne ’ un yan s ra modern geometrinin kurucusu olarak d üş ü n ü l ü r. Paris ’ te ö ld ü . Bundan ö nce ki son iki Kesim ’ de takdim edilen birka ç so n lu geometri ö rne ğindeki sonu ç lar (yani teoremleri) ispat etmek i ç in geometrik bir donan mda aksiyomatik metodu uygulad k. Geometri hakk nda ki e ski tec r ü bemiz, geometrilerin sonlu say da nokta ve sonlu say da do ğruya sahip olma k zorunda kalmayaraktan da var olduklar n g ö stermesi gerekir. Bu Kesim ’ de noktalar n ve do ğ rular n say s n n sonlu veya sonsuz oldu ğunu a ç k olarak ifade etmeyen bir aksiyom k ü mes ini ara ş t raca ğ z. Bulaca ğ m z bu aksiyomlar n, ö zellikle hem sonlu hem de sonsuz geometrilere uyguland ğ n g ö rece ğiz. Tan ms z terimler: 1) Nokta 2) Do ğru 3) Ü zerinde (olmal k). Aksiyomlar: Konum Aksiyomu 1. Her farkl iki nokta i ç in, her ikisinin ü zerinde bir tek do ğru vard r. Konum Aksiyomu 2. Her do ğru i ç in, kendi ü zerinde olan en az iki nokta vard r. 43 Konum Aksiyomu 3. En az üç farkl nokta vard r. Konum Aksiyomu 4. B ü t ü n noktalar, ayn do ğru ü zerinde de ğildir. Bu tan ms z te rimlere sahip olan ve bu d ö rt konum aksiyomlar n sa ğlayan herhangi bir geometriye, bir konum geometrisi ad verilir. Ö rnek 1. 4. 1 Kesim 1.3 teki d ö rt-nokta geometrisi ni alal m. Oradaki aksiyomlardan Aksiyom 2, Konum Aksiyomu 1 i n ayn d r ve Aksiyom 3, Konum Aksiyomu 2 yi gerektir ir i ken Aksiyom 1 ile Aksiyom 2 birlikte, Konum Aksiyomlar 3 ile 4 ü gerektirirler. B ö ylece d ö rt-nokta geometrisi nin aksiyomlar , konum aksiyomlar n ger ç eklemi ş olurlar. Dolay s yla d ö rt-nokta geometrisi , bir konum geometris i dir. Ö rnek 1. 4. 2 Fano ve Young geometril eri, birer konum geometrisi ö rne ği dirler. Ö rnek 1. 4. 3 Lisede okudu ğumuz geometriyi bir an i ç in hat rlayal m ve d ü zlemde sabit bir ç emberi g ö z ö n ü ne alal m. Nokta y , bu ç emb erin i ç indeki herhangi bir nokta ve do ğru yu, bu ç emberin herhangi bir a ç k kiri ş i (u ç noktalar ç kar lm ş ) olarak yorumlayal m. Bu yorum alt nda konum aksiyomlar n n t ü m ü n ü n tek tek ger ç eklendi ği kolayca g ö sterilebilir (B u , bir al ş t rma olarak b rak laca kt r). B ö ylece konum geometrisinin bir modelini elde ederiz. Bu model, sonsuz say da nokta ve sonsuz say da do ğru ihtiva eden bir konum geometrisini temsil eder. Ö rnek 1. 4. 4 44 Konum Aksiyomu 1 sa ğlan a mad ğ ndan Al ş t rma 1.3-5 te tart ş lan d ö rt-do ğru geometrisi , bir konum geometrisi de ğildir. A ş a ğ daki teoremler, sadece konum geometr isinin aksiyomlar n kullanarak ispatlanabilen teorem tiplerinin birer ö rne ğini temsil ederler. Farkl konum geometrilerinin bir varyetesindeki- ç e ş itlili ğindeki di ğer teoremlerden baz lar , bu Kesim ’ in sonundaki al ş t rmalarda bulunabilir. Konum Teoremi 1. Konum geometrisinde e ğer farkl iki do ğru kesi ş irse kesi ş im, kesinlikle bir noktad r. İ spat. l ve m do ğrular kesi ş irse Tan m 1.3.1 den kesi ş im leri , en az ndan bir P noktas d r. E ğer l ve m, P den farkl ikinci bir Q noktas n daha payla ş rs a bu farkl P ve Q noktalar , biri l ve di ğeri m olmak ü zere iki farkl do ğru ü zerinde bulunmu ş olur . Ancak bu durum, Konum Aksiyomu 1 ile ç eli ş ir. O halde l ve m, ikinci bir Q noktas n payla ş amazlar ve kesi ş imleri birtek noktad r. Konum Teoremi 2. Konum geometrisinde h er bir nokta i ç in bu noktay ihtiva eden en az iki do ğru vard r (Her bir noktadan en az iki do ğru ge ç er) . İ spat. Ö nce Konum Aksiyomlar 3 ve 4 ü n bir sonucu olarak her P noktas i ç in P yi ihtiva etmeyen en az bir l do ğrusunun var o ldu ğuna dikkat edelim. Konum Aksiyomu 2, l nin en az iki nokta ihtiva etmesi gerekti ğini belirti ğinden Konum Aksiyomu 1 , bu iki noktan n her biri P ile ayr ayr bire r do ğru temsil edece ğinden iki do ğru elde etmemize izin verir ve bu iki do ğru , P ü zerindedir. O halde P ü zerinde en az iki do ğru vard r. Konum Teoremi 3. Konum geometrisinde o rtak bir nokta payla ş mayan en az üç do ğru vard r (Ayn bir noktadan ge ç meyen en az üç do ğru vard r) . 45 İ spat. Konum Aksiyomlar 3 ve 4 gere ğince konum geometri s i , do ğruda ş olmayan en az üç nokta ihtiva etmek zorundad r. Bu üç nokta, Konum Aksiyom 2 den dolay iki ş er iki ş er al nd klar nda farkl birer do ğru belir ti rler ve b ö ylece en az üç do ğru nun var olmas gerek ti ği g ö r ü l ü r . B u na g ö re bu do ğrular n üçü , birlikte ortak bir noktay payla ş a mazlar. Aksi halde Konum Aksiyomu 1 ile ç eli ş ilir. B ö ylece ispat tamamlanm ş olur. Paralellik ve Geometrilerin S n fland r lmas Bu a ş amada konum geometrisinde paralel (kesi ş en-olmayan) do ğrular n varl ğ problemini g ö z ö n ü ne alabiliriz. Konum aksiyomlar , paralel do ğrular n varl ğ n a ç k ç a belirtme dik ler inden b ö ylesi do ğrular n var l ğ n ispat edip edemeyece ğimizi , sorabiliriz. İ ş te burada konum geometrisinin modelleri ni ara ş t rma , bu soruyu cevaplamada yard mc olab ilir. Fano geometrisi, konum geometrisinin paralel do ğrulara sahip olmayan bir modeli oldu ğundan bu geometride paralel do ğrular n varl ğ , kendine ait aksiyomlar ndan ç kar lamayaca ğ , a ç k ç a g ö rmemiz gerekir. O halde e ğer konum geometrisinin bir modelinin , paralel do ğrulara sahip oldu ğunu ispat edeceksek bu, o konum geometrisinde ya bir aksiyomunun kendisinin veya sonu ç lar n n yahut di ğer baz aksiyomlar n t ü m ü n ü n bir neticesi olmal d r. Mesela kendi be ş inci aksiyomu nun bir sonucu olarak Young geometrisi, paralel do ğrulara sahip olan bir konum geometrisidir. D ö rt- nokta geometrisi ise aksiyomlar n n t ü m ü n ü n bir sonucu olarak paralel do ğrular olan bir konum geometrisidir. Bir konum geometrisinde h erhangi bir l do ğrusu ve l nin ü zerinde olmayan herhang i bir P noktas n ele al rsak bir paralellik aksiyomu i ç in ş u üç ihtimal veya alternatif esas al n r : Alternatif 1. P ü zerinde (P den ge ç en) l ye paralel olan do ğrular yoktur. Alternatif 2. P ü zerin de ( P den ge ç en) l ye paralel olan kesinlikle bir do ğru vard r. Alternatif 3. P ü zerinde (P den ge ç en) l ye paralel olan 46 birden fazla do ğru vard r. Bu y ü zden ko num geometrileri s n fland r l rken paralellik kavram ve ilgili yukardaki üç alternatif ( A lternatif ler 1-3 ) esas al n r . Sonu ç olarak konum geometrileri i ç in a ş a ğ daki s n fland rma yap l r: (i) Euclidyen geometri: E ğer bir konum geometrisi, yukardaki Alternatif 2 yi kabul ediyor veya buna (mant ksal olarak) e ş de ğer olan ifadeleri bulundu ru yor yahut ima ediyorsa Euclidyen geometri olarak adland r l r ve Euclidyen paralellik ö zelli ğ ine sahiptir denir. (ii) Euclidyen-olmayan geometri: E ğer bir konum geometrisi, ya Alternatif 1 i ya da Alternatif 3 ü ka bul ediyor ve ya aksiyomlar , bu alternatiflerden birine (mant ksal olarak) e ş de ğer olan baz ifadeleri ima ediyorsa Euclidyen-olmayan geometri diye isimlendirilir ve Euclidy en - olmayan paralellik ö zelli ğ ine sahiptir denir. Ö rnek 1. 4. 5 A ksiyomlar , Alternatif 2 yi ima etti kler inden dolay d ö rt-nokta geometrisi, Euclidyen paralellik ö zelli ğine sahiptir. Ö rnek 1. 4. 6 Young geometrisi, kendi be ş inci aksiyomu Aksiyom 5 in Alternatif 2 ye e ş de ğer olmas ndan dolay Euclidyen paralellik ö zelli ğin e sahiptir. Ö rnek 1. 4. 7 Fano geometrisi, kendi aksiyomu Aksyom 5 i n Alternatif 1 e e ş de ğer olmas ndan ö t ü r ü Euclidyen-olmayan paralellik ö zelli ğine sahiptir. Ö rnek 1. 4. 8 Be ş -nokta geometrisi 47 Al ş t rma 1.3- 11 de tart ş lan be ş -nokta geometrisi , Euclidyen olmayan paralellik ö zelli ğin e sahiptir. Çü nk ü aksiyomlar , herhangi bir l do ğrusu ve ü zerinde olmayan bir P noktas i ç in Alternatif 3 ü sa ğlayacak ş ekilde P den ge ç en ve l ye paralel olan iki do ğrunun var ol du ğunu ima eder ler . Ö rnek 1. 4. 9 Ö rnek 1.4.3 teki konum geometri si , Alternatif 3 ü sa ğlad ğ ndan Euclidyen olmayan paralellik ö zelli ğin e sahiptir. Bu B ö l ü m ’ ü n birinci K esim ' i olan Kesim 1.1 de E uclid ’ in “ Elemanlar ” da yapm ş oldu ğu geometrinin sistematik incelemesine k sa bir imada bulunmu ş tuk. Do ğal olarak ortaya şö yle bir soru ç kar: Bu B ö l ü m ’ ü n i ç eri ğinde (Kesim 2.2 de) takdim edilen Euclid ’ in geli ş tirdi ği fikirler, bir aksiyomatik sistem gibi ele al nd ğ nda nas l bir g ö r ü n ü m arz ederler? Bundan sonraki B ö l ü m ’ de bu soruyu cevapland rma ğa ç al ş aca ğ z ve b ö yle yapmakla geometriye ait kendi ara ş t rmam za ileri bir anlay ş kazand rma ğa ç al ş aca ğ z . ALI Ş TIRMALAR 1. 4 1. Fano ve Young geometriler inin her ikisinin konum geometrileri oldu ğunu do ğrulay n z. 2. G ö steriniz ki konum geometrisinin aksiyomlar , ba ğ ms zd r. 3. Tan ms z terimlerin a ş a ğ da verilen yorumlar n n hangisinin, konum geometrisinin modelleri oldu ğunu belirtiniz. Her bir durumda ki s ö z konusu yorumla paralelli ğin hangi alternatifinin, sergilendi ğini g ö steriniz. (a) Noktalar, bir Euclidyen d ü zlemdeki noktalard r ve do ğrular, Euclidyen d ü zlemdeki dejenere-olmayan ç emberlerdir. (b) Noktalar, bir Euclidyen d ü zlemdeki noktalard r ve do ğrular, verilen sabit bir P noktas ndan ge ç en b ü t ü n do ğrulard r. (c) Noktalar, Euclidyen d ü zlemindeki noktalar ve do ğrular, ayn sabit merkeze sahip olan merkezde ş ç emberlerdir. 48 (d) Noktalar, sabit bir ç emberin i ç indeki Eucli dyen noktalar ve do ğrular, bu ç emberin i ç ini kesen Euclidyen do ğrular n par ç alar d r. (e) Noktalar, bir Euclidyen k ü re y ü zeyinin noktalar ve do ğrular, bu k ü re y ü zeyinin b ü y ü k ç emberleridir. (f) Noktalar, bir ç ap n ucundaki herhangi iki nokta n n, ayn bir nokta olarak belirlendi ği noktalar olmak ü zere (e) ş kk n n ayn . (g) Noktalar, Euclidyen yar -k ü re y ü zeyinin (yani yar m k ü re y ü zeyini belirleyen b ü y ü k ç emberin noktalar dahil de ğil) noktalar ve do ğrular, b ü y ü k yar - ç emberler (yani yar -k ü re y ü zeyi ile kesi ş en b ü y ü k ç emberin noktalar ). (h) Euclidyen 3-uzayda noktalar, do ğrular olarak yorumlanm ş t r ve do ğrular, Euclidyen d ü zlemler olarak yorumlanm ş t r. (i) Noktalar, Euclidyen 3-uzaydaki do ğrular ve do ğrular, ayn sab it do ğruyu ihtiva eden b ü t ü n d ü zlemler. D C A F Ş ekil 1.4.1 4. Noktalar n, bir d ü zg ü n sekizy ü zl ü n ü n k öş eler i ve do ğrular n, kesinlikle iki noktan n k ü mesi olarak yorumland ğ bir sonlu geometriyi g ö z ö n ü ne alal m ( Ş ekil 1.4.1). Bu yorum bir konum geome trisinin bir modeli midir? Bu geometri, ka ç do ğruya sahiptir? Bu geometride (varsa) hangi paralellik aksiyomu sergilenmi ş tir? 5. A ş a ğ daki sonlu geometriyi ele alal m: Tan ms z terimler : 1) Nokta 2) Do ğru 3) Ü zerinde. Tan m : İ ki do ğrunun paralel olmas i ç in gerek ve yeter ş art, bu do ğrular n ortak nokta payla ş mamalar d r. 49 B E Aksiyomlar : 1) Kesinlikle üç nokta vard r. 2) Her farkl iki nokta, en az bir ortak do ğru payla ş r . 3) Her bir nokta, kesinlikle iki farkl do ğru ü zerindedir . (a) Bu geometri tutarl oldu ğunu g ö steriniz. (b) Buradaki Aksiyom 1, ba ğ ms z m d r? A ç klay n z. (c) Bu geometri, herhangi paralel do ğrulara sahip midir? A ç klay n z. (d) Her farkl iki nokta, kesinlikle bir ortak do ğru payla ş r veya aksini ispat ediniz. 6. Euclidyen paralellik ö zelli ğini sergileyen bir konum geometrisine, bir afin geometri denir. Kesim ’ ler 1.3 ve 1.4 te ta rt ş lan geometrilerin hangileri, afin geometridir? 7. Bir afin geometride b ü t ü n do ğrular n, ayn say da nokta ihtiva etmesi gerekti ğini ispat ediniz. 8. Bir afin geometrideki bir do ğrunun, kesi ş en iki do ğrudan birine paralel ise di ğerini kesmesi gerek ti ğini ispat ediniz. 9. Sonlu bir afin geometride her do ğru, kesinlikle n tane nokta ihtiva eder ise her noktan n, ü zerinde bulundu ğu n+1 do ğruya sahip oldu ğunu ispat ediniz. 10. Sonlu bir afin geometride her do ğru, kesinlikle n noktaya sahip ise bu geo metride n 2 tane nokta ve n(n+1) tane do ğrunun var oldu ğunu ispat ediniz (Al ş t rma 1.3-27 ye bak n z). 11. Paralel do ğrular olmayan (paralellik i ç in Alternatif 1) ve her bir do ğrunun en az üç noktaya sahip oldu ğu bir konum geometrisine, bir projektif geo metri denir. Kesim 1.3 ve 1.4 te tart ş lan geometrilerin hangisi, projektif geometridir? Sonucunuzu (cevab n z ) ispat ediniz. 12. Fano geometrisindeki Aksiyom 2 yi, “ her do ğru ü zerinde kesinlikle d ö rt nokta vard r ” ş eklinde de ği ş tirelim. Bu geometri i ç i n 50 bir model kurunuz. Bu yeni geometri, afin veya projektif midir? Sonucunuzu (cevab n z ) ispat ediniz. 51