Matematik Alıştırmalar V. BÖLÜM ALIŞTIRMALARI Soru1. Aşağıda verilen fonksiyonların karşılarında yazılı noktalardaki türevlerini bulunuz. a) ( ) 8 3 7 2 + - = x x x f , 1 - = x b) ( ) x x g = , 1 = x c) ( ) ( ) x x x x x h 2 sin cos sin cos 2 - + = , 3 ? = x d) ( ) 4 4 4 2 2 - + - = x x x x s , 0 = x e) ( ) 2 7 5 + - = x x x t , 3 - = x Çözüm1. a) ( ) 8 3 7 2 + - = x x x f fonksiyonunun 1 - = x noktasındaki türevini bulalım. ( ) ( ) 3 14 0 1 . 3 . 2 . 7 - = ' + - = ' x x f x x f ( ) ( ) 17 3 1 . 14 1 - = - - = - ' f b) ( ) ( ) 2 1 x x g x x g = ? = fonksiyonunun 1 = x noktasındaki türevini bulalım. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 . 2 1 2 1 1 2 1 = ' ? = ' = ' = ' - - g x x g x x g x x g c) ( ) ( ) x x x x x h 2 sin cos sin cos 2 - + = fonksiyonunun 3 ? = x noktasındaki türevi bulalım. ( ) x x x x x x x x h cos . sin 2 cos cos sin 2 sin cos 2 2 - + + = (Hatırlatma 1 cos sin 2 2 = + x x ve x x x cos . sin 2 2 sin = dir.) ( ) ( ) 2 3 3 sin 3 sin cos 1 cos - = ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ' - = ' = = ? ? h x x h x x x h d) ( ) 4 4 4 2 2 - + - = x x x x s fonksiyonunun 0 = x noktasındaki türevini bulalım. ( ) ( )( ) 2 2 4 4 2 - - = + - x x x x ve ( )( ) 2 2 4 2 + - = - x x x dir. ( ) ( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 + - = + - - - = - + - = x x x x x x x x x x s Bölümün türevi kuralını kullanalım. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 2 2 2 1 . 2 2 . 1 + = + + - + = + - - + = ' x x x x x x x x s ( ) ( ) 1 4 4 2 0 4 0 2 = = + = ' s e) ( ) 2 7 5 + - = x x x t fonksiyonunun 3 - = x noktasındaki türevini bulalım. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 17 2 7 5 10 5 2 1 . 7 5 2 . 5 + = + + - + = + - - + = ' x x x x x x x x t ( ) ( ) 17 1 17 2 3 17 3 2 = = + - = - ' t Soru2. ( ) ? ? ? = ? + = 0 , 1 0 , 1 x x x x f ise, a) ( ) 0 f ' fonksiyonunu hesaplayınız. b) ( ) 0 f ın sürekliliğini inceleyiniz. Çözüm2. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 0 lim 0 0 0 0 = - + = - - = ' = ' = ' › + - x x x f x f f f f x olduğundan ( ) x f fonksiyonu 1 = x noktasında türevlenebilir. b) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 lim lim lim 0 0 0 f x x f x f x x x = = + = = › › › - + olduğundan ( ) x f fonksiyonu 1 = x noktasında süreklidir. Soru3. ( ) 3 2 3 - + = x x x f fonksiyonu için ( ) ( ) h f h f h 2 2 lim 0 - + › ifadesinin değeri nedir? Çözüm3. I Yol: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 25 25 12 2 lim 25 12 2 lim 15 3 2 16 24 12 2 lim 3 2 2 . 2 3 2 2 . 2 lim 2 2 lim 2 0 2 3 0 2 3 0 3 3 0 0 = + + = + + = - - + + + + + = - + - - + + + = - + › › › › › h h h h h h h h h h h h h h h f h f h h h h h II. Yol: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 lim 0 f h f h f h ' = - + › olduğunu biliyoruz. ( ) 1 . 3 . 2 2 + = ' x x f ( ) ( ) 25 1 2 . 3 . 2 2 2 = + = = ' f Soru4. ( ) ? ? ? < - ? - = 0 , 3 0 , 3 2 x x x x x f şeklinde verilen fonksiyonu, a) 2 0 = x noktasında türevli midir? b) 2 0 = x noktasında sürekli midir? Çözüm4. a) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 lim 2 4 2 lim 2 1 3 2 lim 2 2 2 2 = - - = - - = - - - = ' + + + › › › + x x x x x x f x x x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 lim 2 4 2 lim 2 1 3 2 lim 2 2 2 2 = - - = - - = - - - = ' - - - › › › - x x x x x x f x x x ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 = ' = ' = ' + - f f f olarak türev elde edilir. b) “Eğer f bir 0 x noktasında türevlenebiliyorsa f aynı zamanda 0 x da süreklidir” teoreminden yola çıkarak ( ) ? ? ? < - ? - = 0 , 3 0 , 3 2 x x x x x f fonksiyonunun 2 0 = x noktasında sürekli olduğu görülür. Soru5. ( ) ? ? ? ? + < + = 1 , 1 1 , 2 2 x ax x b x x f ise f fonksiyonunun 1 = x de türevli olması için a kaç olmalıdır? Çözüm5. ( ) ( ) ( ) a x a x x a x a ax f x x x 2 1 lim 1 1 lim 1 1 1 lim 1 1 2 1 2 1 = + = - - = - - - + = ' + + + › › › + ( ) ( ) 2 1 1 2 lim 1 2 2 lim 1 2 2 lim 1 2 1 1 = - - = - - = - - - + = ' - - - › › › - x x x x x b b x f x x x türevli olması için ( ) ( ) + - ' = ' 1 1 f f olacağından 1 2 2 = ? = a a bulunur. Soru6. IR f › ? ? ? ? ? ? - 2 7 , 2 : , ( ) x f y = fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. f fonksiyonu kaç noktada türevsizdir? Çözüm6. f fonksiyonu 1 - = x ve 2 7 = x de tanımsız ve süreksizdir. Bu yüzden türevsizdir. f fonksiyonu 1 = x de ( ) 2 1 = f olduğundan fonksiyonumuz bu noktada tanımlıdır. Fakat sürekli değildir. O halde bu noktada da türevsizdir. Soru7. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) ( ) 7 = x f b) ( ) 2 5+ - = x h c) ( ) ? 3 = x g d) ( ) 45 cos = x s e) ( ) 2 ln = u m f) ( ) 2 e t k = Çözüm7. a) ( ) ( ) 0 7 = ' ? = x f x f (sabitin türevi) b) ( ) ( ) 0 2 5 = ' ? + - = x h x h (sabitin türevi) c) ( ) ( ) 0 3 = ' ? = x g x g ? (sabitin türevi) d) ( ) ( ) 0 2 2 45 cos = ' ? = = x s x s (sabitin türevi) e) ( ) ( ) 0 2 ln = ' ? = u m u m (sabitin türevi) f) ( ) ( ) 0 2 = ' ? = t k e t k (sabitin türevi) Soru8. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) 3 10 - = x y b) ( ) 3 3 5 - + + = x x x x f c) ( ) 3 2 2 3 u u u h - = d) ( ) 2 5 35 t t s - = e) ( ) 2 4 x x x g - = f) ( ) 3 / 4 4 / 3 x x x f + = Çözüm8. a) 10 0 1 . 10 3 10 = - = ' ? - = y x y b) ( ) ( ) 1 3 5 3 2 4 3 5 + + = ' ? - + + = x x x f x x x x f c) ( ) ( ) ( ) u u h u u u h u u u h 6 3 2 3 2 3 3 3 2 - = ' ? - = ? - = d) ( ) 2 5 35 t t s - = e) ( ) ( ) x x g x x x g 2 4 4 2 - = ' ? - = f) ( ) ( ) 3 4 4 3 3 4 . 4 3 3 4 3 / 1 4 / 1 3 / 4 4 / 3 x x x x x f x x x f + = + = ' ? + = - Soru9. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) ( ) ( ) 3 3 5 - = x x f b) ( ) 2 3 3 2 1 ? ? ? ? ? ? - = u u u g c) ( ) 1 + = r r r h d) ( ) x x x s 5 1 3 - = e) ( ) 7 3 5 2 - + = x x x m f) ( ) ( ) 2 2 5 3 2 + - = v v v h g) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 x x x n + - = h) ( ) x x u + = 1 Çözüm9. a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 5 15 3 5 3 5 . 3 3 5 - = ' - - = ' ? - = x x x x f x x f b) ( ) 2 3 3 2 1 ? ? ? ? ? ? - = u u u g ( ) ' ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - = ' ? u u u u u g 3 2 1 . 3 2 1 . 2 3 3 ( ) ( ) ( ) u u u u g u u u u u g u u u u g 18 12 2 3 9 2 9 2 3 4 3 . 2 3 2 3 3 2 1 . 2 3 5 3 3 5 2 3 + - = ' ? ? ? ? ? ? + - - = ' ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - = ' c) ( ) 2 1 1 1 ? ? ? ? ? ? + = + = r r r r r h ? ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? + - + ? ? ? ? ? ? + = ' - 2 2 1 1 1 . 1 . 1 . 1 . 2 1 r r r r r r h ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? + + = ' 2 1 1 . 1 . 2 1 r r r r h ( ) 2 1 1 . 1 1 . 2 1 ? ? ? ? ? ? + + = ' r r r h d) ( ) ( ) ( ) 2 1 5 1 . 3 5 1 3 2 1 - - = - = x x x x x s ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? + = + = ? ? ? ? ? ? - - = ' - - x x x x x x x x s 5 1 3 2 1 1 . 10 1 1 . 2 3 2 1 . 5 1 2 1 . 3 2 3 2 1 e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 7 3 5 2 . 3 7 3 . 2 7 3 5 2 - + - - = ' ? - + = x x x x m x x x m ( ) 2 7 3 15 6 14 6 - - - - = x x x ( ) 2 7 3 29 - - = x f) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 30 58 24 16 3 4 5 3 2 . 2 5 3 2 2 3 2 2 2 - + - = - + - = ' ? + - = v v v v v v v h v v v h g) ( ) ( )( ) 2 2 1 1 x x x n + - = ? ( ) ( ) ( ) 3 4 4 1 x x n x x n - = ' ? - = h) ( ) x x u + = 1 ( ) ( ) ( ) 2 / 1 2 / 1 1 x x u + = ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x u + = + = + = ' - - 4 1 1 . 1 1 4 1 2 1 . 1 . 2 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 Soru10. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında yazılı noktalardaki türevlerini bulunuz. a) ( ) 2 4 3 2 x x x f + + = , 2 = x b) ( ) x x g 1 = , 1 = x c) ( ) ( ) 50 7 2 - = x x h , 0 = x d) ( ) 1 1 2 3 + + = x x x k , 1 = x e) ( ) x x x t - = 1 2 , 4 = x f) ( ) x x m 2 3+ = , 9 = x g) ( ) 3 1 - ? ? ? ? ? ? + = x x x n , 1 = x Çözüm10. a) ( ) 2 4 3 2 x x x f + + = ( ) ( ) ( ) 4 7 8 8 4 3 2 8 3 8 3 0 3 2 3 2 - = ? ? ? ? ? ? + - = ' ? ? ? ? ? ? + - = ' - - = ' f x x x f x x x f b) ( ) x x g 1 = ( ) ( ) 2 1 1 2 1 1 2 1 3 - = - = ' ? - = ' ? g x x g c) ( ) ( ) 50 7 2 - = x x h ( ) ( ) ( ) ' - - = ' 7 2 . 7 2 . 50 49 x x x h ( ) ( ) 2 . 7 2 . 50 49 - = ' x x h ( ) ( ) 49 7 2 . 100 - = ' x x h ( ) 49 7 . 50 0 - = ' h d) ( ) 1 1 2 3 + + = x x x k ( ) ( ) ( ) 1 2 . 1 1 3 2 3 2 2 + + - + = ' x x x x x x k ( ) 1 2 2 3 3 2 4 2 4 + - - + = ' x x x x x x k ( ) ( ) 2 2 2 4 1 2 3 + - + = ' x x x x x k ( ) ( ) 2 1 4 2 1 1 1 . 2 1 . 3 1 2 2 2 4 = = + - + = ' x k e) ( ) x x x t - = 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 x x x x x x t - ' - - - ' = ' ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 1 2 x x x x x x t - ? ? ? ? ? ? ? ? - - - = ' ( ) ( ) 2 1 1 1 1 x x x t - + - = ' ( ) ( ) 2 1 1 x x x t - = ' ( ) ( ) 2 1 1 . 2 1 4 1 4 1 4 2 2 = = - = ' t f) ( ) x x m 2 3+ = ( ) ( ) ( ) ' + + = ' - x x x m 2 3 . 2 3 2 1 2 / 1 ( ) x x x m 2 1 . 2 3 1 . 2 1 + = ' ( ) 6 2 3 . 6 1 2 3 . 2 3 3 . 2 1 9 . 2 1 . 9 . 2 3 1 . 2 1 9 + = ? ? ? ? ? ? + = + = ' m g) ( ) 3 1 - ? ? ? ? ? ? + = x x x n ( ) ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? + - = ' - 2 4 1 1 . 1 3 x x x x n ( ) 0 0 . 2 . 3 1 1 1 . 1 1 1 3 4 4 = - = ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? + - = ' - - x n Soru11. ( ) 3 5 3 2 - + - = x x x f olduğuna göre ( ) ( ) 2 2 lim 2 - - › x f x f x limitinin değeri nedir? Çözüm11. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 lim 2 f x f x f x ' = - - › olduğuna göre f fonksiyonunun türevini alalım ve 2 = x noktasındaki değerine bulalım. ( ) 3 5 3 2 - + - = x x x f ( ) ( ) 0 5 2 . 3 2 1 2 / 1 2 - + - = ' - x x x f ( ) 5 3 2 + - = ' x x x f ? ( ) 7 5 2 5 3 2 2 2 2 = + = + - = ' f Soru12. ( ) ( ) 3 2 1 - = x x x f olduğuna göre ( ) ( ) h f h f h 2 2 lim 0 - + › limitinin değeri nedir? Çözüm12. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 lim 0 f h f h f h ' = - + › olduğuna göre f fonksiyonunun türevini alalım ve 2 = x noktasındaki değerine bulalım. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 16 2 . 2 2 . 9 2 . 12 2 . 5 2 2 9 12 5 3 3 1 3 3 1 2 3 4 2 3 4 2 3 4 5 2 3 2 3 2 = - + - = ' - + - = ' - + - = - + - = - = f x x x x x f x x x x x x x x x x x f Soru13. ( ) x x f = ve ( ) 2 1 1 x x g - = ise ( )( ) x gof fonksiyonunun x e göre türevini bulunuz. Çözüm13. ( )( ) ( ) [ ] ( ) x x x f g x gof - = - = = 1 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 1 1 x x gof - - = ' Soru14. x y = , 1 5 4 - = z x ve t z 1 = ise 1 = t için dt dy türevini bulunuz. Çözüm14. I. Yol: dt dz dz dx dx dy dt dy . . = x dx dy x y 2 1 = ? = 3 4 20 1 5 z dz dx z x = ? - = 2 1 1 t dt dz t z - = ? = 4 1 1 = ? = ? = x z t 5 1 1 . 1 . 20 . 4 2 1 3 - = ? ? ? ? ? ? - = dt dy II. Yol: t z 1 = için 1 5 4 - = z x denklemi 1 5 4 - = t x olur. 1 5 4 - = t x için x y = denklemi 1 5 4 - = t y olur. Böylelikle y bağımsız değişkenini t cinsinden yazmış oluruz ve t ye göre türev alıp 1 = t için değerini araştırırız. 1 5 4 - = t y ( ) 5 2 1 4 1 . 4 . 5 . 1 5 . 2 1 t t dt dy - ? ? ? ? ? ? - = - ( ) 5 1 1 . 4 . 5 . 1 1 5 . 2 1 5 2 1 4 1 - = - ? ? ? ? ? ? - = - = t dt dy Soru15. ( ) ( ) 4 5 - = x g x f ve ( ) 18 6 = ' g ise ( ) 2 f' değeri nedir? Çözüm15. ( ) ( ) 4 5 - = x g x f ( ) ( ) 5 . 4 5 - ' = ' x g x f ( ) ( ) ( ) 90 18 . 5 2 6 . 5 2 = = ' ? ' = ' f g f Soru16. ? ? ? ? ? ? - › ? ? ? ? ? ? - 5 3 5 3 : IR IR f , ( ) 3 5 2 3 - - = x x x f fonksiyonu için ( ) 1 - f fonksiyonunun türevini bulunuz. Çözüm16. ( ) ( ) 3 5 2 3 3 5 2 3 1 - - = ? - - = - x x x f x x x f ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 3 5 1 3 5 2 3 5 3 5 . 3 3 5 2 3 - = - - - - = ' ? - - = - - x x x x f x x x f Soru17. ( ) 3 x x f = fonksiyonu için ( ) ? ? ? ? ? ? ' - 27 1 1 f türevini hesaplayınız. Çözüm17. ( ) ( ) ( ) 2 0 0 1 3 1 1 x x f y f = ' = ' - , 2 1 27 1 0 3 = ? = x x ( ) 3 4 2 1 3 1 2 1 1 27 1 2 1 = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ' = ? ? ? ? ? ? ' - f f Soru18. Aşağıda verilen fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) ( ) x x x f 2 cos . sin = b) ( ) 2 3 tan x x g = c) ( ) ( ) 6 cos 2 2 - + = x x x h d) ( ) x x x m 3 3 cos . = e) ( ) x y sin cos = f) x x y 3 cos . 2 sin = g) x x y sec . tan = h) ( ) x x y cos sin = ı) x x x y + + = cot tan 3 1 3 i) ( ) 1 csc 2 + = x x y j) x x x x y cos sin cos . 2 + = k) ( ) ( ) x x y csc cos cos csc + = Çözüm18. a) ( ) ( ) x x x x x x f x x x f sin . cos 2 . sin cos cos cos . sin 2 2 - = ' ? = ( ) x x x x f sin . 2 sin cos 3 - = ' ( ) x x x x f cos 2 1 3 cos 2 1 cos 3 - + = ' b) ( ) ( ) ' ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = ' ? = 2 2 2 3 3 tan 1 3 tan x x x g x x g ( ) ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? + = ' 3 2 6 3 tan 1 x x x g c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2 6 sin 6 cos 2 6 cos 2 2 2 2 + - + - + - = ' ? - + = x x x x x x h x x x h ( ) ( ) ( ) 12 2 2 sin 1 2 2 - + + - = ' x x x x h d) ( ) x x x m 3 3 cos . = ( ) ( ) x x x x x x m sin . cos . 3 . cos . 3 2 3 3 2 - + = ' ? ( ) ( ) x x x x x x m sin cos cos . 3 2 2 - = ' e) ( ) ( ) x x y x y cos . sin sin sin cos - = ' ? = f) x x x x y x x y 3 sin 2 sin 3 3 cos 2 cos 2 3 cos . 2 sin - = ' ? = ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] x x x x x x x x y 2 3 cos 2 3 cos 2 1 . 3 2 3 cos 2 3 cos 2 1 . 2 - - + + - + + = ' ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) x x x x x x y cos 2 1 5 cos 2 5 cos 5 cos 2 3 . cos 5 cos - = - + + = ' g) x x x x x x x y 2 cos sin cos 1 . cos sin sec . tan = = = ( ) x x x x x x y 4 2 cos sin cos . 2 . sin cos . cos - - = ' ( ) x x x x y 4 2 2 cos sin 2 cos . cos + = ' ( ) x x x x x y sec tan sec cos sin 1 2 3 3 2 + = + = ' h) ( ) x x y cos sin = ( ) x x y cos sin ln ln = ( ) x x y sin ln . cos ln = ( ) ? ? ? ? ? ? + - = ' x x x x x y y sin cos . cos sin ln . sin ( ) x x x x y y sin cos sin ln . sin 2 2 + - = ' ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? + - = ' x x x x y y sin cos sin ln . sin . 2 2 ( ) ( ) ( ) x x x x x y x cos . cot sin ln . sin . sin cos + - = ' ı) x x x y + + = cot tan 3 1 3 ( ) ( ) 1 cot 1 tan 1 . tan 3 . 3 1 2 2 2 + - - + + = ' x x x y 1 cot 1 tan tan 2 4 2 + - - + = ' x x x y x x x y 2 4 2 cot tan tan - + = ' i) ( ) 1 csc 2 + = x x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? + - + = + + - + = + + - + + = ' 1 cot . . 2 2 1 1 csc 1 cot . 1 csc . . 2 1 csc 2 1 1 cot . 1 csc . 2 . 1 csc 2 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x y j) x x x x y cos sin cos . 2 + = ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 cos sin cos sin cos . cos sin cos . x x x x x x x x x x y + ' + - + ' = ' ( )( ) ( )( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x y 2 2 2 2 cos cos sin 2 sin sin cos cos . cos sin sin cos 2 . cos + + - - + - = ' ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x x x x x x y 2 sin 1 sin cos cos . sin cos 2 sin cos 2 cos sin cos 2 3 2 2 3 2 + - - - - + = ' ( ) x x x x x x x x x x x x y 2 sin 1 cos . sin cos sin cos 2 cos sin cos 3 2 2 3 2 + - - - + = ' ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x x x y 2 sin 1 1 cos cos sin 2 cos cos sin 3 + - + - - = ' k) ( ) ( ) x x y csc cos cos csc + = ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] x x x x x y csc sin csc cos cot cos csc sin - ' + - - = ' ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] x x x x x x y csc sin cot . csc cos cot . cos csc sin - - + = ' ( ) ( ) ( ) x x x x x x y csc sin cot . csc cos cot . cos csc . sin + = ' Soru19. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında yazılı türevlerini bulunuz. a) ( ) ( ) 3 2 cos 1 x x f + = , ? ? ? ? ? ? ' 2 ? f b) ( ) x x x x f tan 3 cos sin + = , ? ? ? ? ? ? ' 4 ? f c) ( ) x x x f sec . 2 = , ( ) ? f ' d) ( ) x x x f 2 cot cot 2 - = , ? ? ? ? ? ? ' 6 ? f Çözüm19. a) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 cos 1 cos 1 x x x f + = + = ( ) ( ) ( ) x x x f sin 0 . cos 1 . 3 2 3 1 - + = ' - ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ' - 2 sin . 2 cos 1 . 3 2 2 3 1 ? ? ? f ( ) ( ) 3 2 1 . 0 1 . 3 2 2 3 1 - = - + = ? ? ? ? ? ? ' - ? f b) ( ) x x x x f tan 3 cos sin + = ( ) ( ) ( )( ) x x x x x x x x f 2 tan tan 3 cos sin tan 3 cos sin ' + - ' + = ' ( ) ( ) ( )( ) x x x x x x x x f 2 2 tan tan 1 3 cos sin tan 3 sin 3 cos + + - - = ' 4 tan 4 tan 1 4 3 cos 4 sin 4 tan . 4 3 sin 3 4 cos 4 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? + - ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ' f ( ) 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 . 2 2 . 3 2 2 4 + ? ? ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ' ? f 2 1 2 . 0 2 2 2 4 - = - ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ' ? f c) ( ) x x x f sec . 2 = ( ) x x x x x x f tan . sec sec . 2 2 + = ' ( ) ? ? ? ? ? ? tan . sec sec . 2 2 + = ' f ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? 2 0 . 1 . 1 2 2 - = - + - = ' f d) ( ) x x x f 2 cot cot 2 - = ( ) ( ) [ ] ( ) x x x x f 2 cot 1 2 cot 1 cot 2 2 2 + + + - = ' ( ) x x x x f 2 cot 2 2 cot 2 cot 2 2 3 + + - - = ' 3 cot 2 2 6 cot 2 6 cot 2 6 2 3 ? ? ? ? + + - - = ? ? ? ? ? ? ' f ( ) 3 8 3 4 9 3 . 2 2 3 3 . 2 3 2 6 3 3 . 2 2 3 2 3 . 2 6 2 3 + - = + + - - = ? ? ? ? ? ? ' ? ? ? ? ? ? ? ? + + - - = ? ? ? ? ? ? ' ? ? f f Soru20. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) x y 5 arctan 2 = b) x y arccos = c) ( ) 1 arcsin 2 + = x y d) ( ) 3 2 arccosx y = e) x arc y 2 cot = f) x arc x y 3 cot 3 arctan - = g) ( ) x y cos arctan = h) ( ) x arc y tan cot = ı) ( ) x arc y cot sin = i) ( ) ( ) 1 arcsin 2 1 2 + + + + = x x x x y j) x x y arcsin 1 arccos + = k) ( ) ( ) 2 2 1 arctan + = x y Çözüm20. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) 2 25 1 10 5 arctan 2 x y x y + = ' ? = b) 2 2 1 1 1 . 2 1 arccos x x x x y x y - - = - - = ' ? = c) ( ) 1 arcsin 2 + = x y ( ) 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 4 2 2 - - = - - - = + - = ' ? x x x x x x y d) ( ) ( ) ( ) 4 2 2 4 2 2 3 2 1 arccos 6 1 2 . arccos 3 arccos x x x x x x y x y - - = - - = ' ? = e) x x x x x y x arc y + - = + - = ' ? = 1 1 1 . 1 2 cot f) 2 2 2 2 9 1 3 9 3 9 1 1 3 9 1 1 . 3 1 3 cot 3 arctan x x x x y x arc x y + + + = + + + = ' ? - = g) ( ) x x x x y x y 2 2 cos 1 sin cos 1 1 . sin cos arctan + - = + - = ' ? = h) ( ) ( ) x x x x x x x x x y x arc y 2 cos 1 cos sin cos cos sin cos tan 1 tan 1 tan cot 2 2 2 2 2 2 2 2 = - + = - + = ' ? = ı) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 cot cos cot cos . cot cot sin x x arc x arc x arc y x arc y + - = ' = ' ? = i) ( ) ( ) 1 arcsin 2 1 2 + + + + = x x x x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 arcsin 1 1 1 1 arcsin 1 1 2 1 2 2 + + - + + = + + - + + + = x x x y x x x x y a x = +1 diyelim böylece denklemimiz a a a y arcsin 1 2 + - = olur ve türev almak kolaylaşır. 2 2 2 1 1 1 2 2 . 1 1 a a a a a y - + - + - = ' 2 2 2 2 1 1 1 1 a a a a y - + - + - = ' 1 + = x a olduğuna göre 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 - - - + - + + + + + - + + = ' x x x x x x x x y x x x x x x x x y 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 - - + + + + + + = ' j) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 arcsin 1 arccos 2 2 2 2 2 - + - - = - + - - = ' ? + = x x x x x x y x x y k) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 arctan . . 4 1 1 2 . 1 arctan . 2 1 arctan 2 4 2 2 2 2 2 2 + + + = + + + = ' ? + = x x x x x x x y x y Soru21. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında yazılı türevlerini bulunuz. a) 2 arcsinx y = , ( ) 5 f ' b) x y arctan = , ( ) 1 f ' c) ( ) x y arctan cos = , ( ) 1 f ' d) 5 arcsin 2 25 25 2 1 2 x x y + - = , ( ) 3 f ' Çözüm21. a) ( ) 2 arcsinx x f = ( ) ( ) 4 2 2 1 2 1 2 x x x x x f - = - = ' ( ) ( ) 6 5 6 2 5 2 25 1 5 2 5 1 5 2 5 4 - = - = - = - = ' f b) ( ) x x f arctan = ( ) ( ) ( ) x x x x x f + = ? ? ? ? ? ? ? ? + = ' 1 2 1 2 1 . 1 1 2 ( ) ( ) 4 1 1 1 1 2 1 1 = + = ' f c) ( ) ( ) x x f arctan cos = ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x f arctan sin 1 1 arctan sin . arctan 2 + - = ' - = ' ( ) ( ) 4 2 2 2 . 2 1 4 sin 2 1 1 arctan sin 1 1 1 1 2 - = - = - = + - = ' ? f d) ( ) 5 arcsin 2 25 25 2 1 2 x x x f + - = ( ) 25 1 5 1 . 2 25 25 2 2 . 2 1 2 2 x x x x f + + ? ? ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? = ' ( ) ( ) 2 2 25 2 125 25 2 x x x x f + + ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ' ( ) ( ) 136 199 272 398 272 500 102 68 125 8 3 9 25 2 125 9 25 2 3 3 = = + - = + - = + + ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ' f Soru22. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) x e y 2 = b) 1 2 + = x e y c) x e y ln 1 = d) 2 2 1 3 x y = e) x e y 2 sin = f) x y cot 2 = g) x x y 2 3 2 4 + = h) ( ) 2 tan x e y = ı) 3 3 3 1 x y + = Çözüm22. a) x e y 2 = x e y 2 2 = ' ? b) 1 2 + = x e y ( ) 1 . 1 2 1 1 2 2 2 + - = ' + = ' ? + + x e x e x y x x c) x x e y e y ln 1 ln 1 ln ln = ? = e x y ln . ln 1 ln = ? x y 1 ln ln - = ? x y 1 ln ln - = x x x x y y 2 2 ln . 1 1 . ln - = ? ? ? ? ? ? - = ' - x x y y 2 ln . - = ' x x e y x 2 ln 1 ln . - = ' d) 3 ln . 2 1 ln 3 ln ln 3 2 2 1 2 1 2 2 x y y y x x = ? = ? = 3 ln . 1 3 x y y - = ' 3 ln . 3 3 2 1 2 x y x - = ' e) x e y 2 sin = x e y x 2 sin ln ln 2 sin = = ? x y 2 sin ln = ? x y y cos 2 = ' x y y 2 cos 2 . = ' ? x e y x 2 cos 2 2 sin = ' ? f) x y cot 2 = 2 ln . cot 2 ln ln cot x y x = = ? x y cot . 2 ln ln = ( ) x y y 2 cot 1 2 ln + - = ' ( ) x y y 2 cot 1 . 2 ln . + - = ' ? ( ) x e y x 2 cot cot 1 . 2 ln . + - = ' ? g) x x y 2 3 2 4 + = ( ) 4 ln . 2 3 4 ln ln 2 2 3 2 x x y x x + = = ? + ( ) x x y 2 3 . 4 ln ln 2 + = ( ) 2 6 . 4 ln + = ' x y y ( ) 2 6 . 4 ln . + = ' ? x y y ( ) x x x y 2 3 2 4 . 2 6 . 4 ln + + = ' ? h) ( ) 2 tan x e y = ( ) ( ) 2 2 2 tan 1 x x e e y + ' = ' ? ( ) 2 2 2 tan 1 2 x x e xe y + = ' ? ı) 3 3 3 1 x y + = 3 ln . 3 3 3 ln 3 3 3 - = = ' ? x x y Soru23. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) ( ) 3 5 ln + = x y b) ( ) ( ) 2 2 6 ln - - = x x y c) ( ) x y 2 cos ln = d) ( ) 1 log 2 - = x y e) x x y 3 2 log = f) ( ) x y ln cos = g) x x y sin ln = h) x x y cos ln . = ı) ( ) [ ] x x y sin ln . 1 2 - = i) x x y 2 log . cos = j) ( ) 1 ln 2 - = x x y k) 5 2 4 - = x y l) x y cos 2 ln = m) ( ) x x y tan ln cos 1 + = n) ( ) x x y cot ln . 3 2 = o) x x x y cos . ln . = Çözüm23. a) ( ) 3 5 ln + = x y ( ) ( ) 3 5 5 3 5 3 5 + = + ' + = ' ? x x x y b) ( ) ( ) 2 2 6 ln - - = x x y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - ' - - - - = ' ? 6 1 2 6 ln 2 6 6 6 ln 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x y c) ( ) x y 2 cos ln = ( ) x x x x x y 2 2 cos 2 sin cos sin cos 2 - = - = ' ? d) ( ) 1 log 2 - = x y ( ) ( ) 2 ln 1 1 log 1 1 2 - = - = ' ? x x y e e) x x y 3 2 log = e x x x e x x x x y 3 3 3 2 3 log log 2 log . 1 . log 2 + = + = ' ? f) ( ) x y ln cos = ( ) ( ) ( ) x x x x x y 2 ln sin . 2 1 ln sin = ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ' ? g) x x y sin ln = x x x x x x x x x x x x x x x x x y sin cos sin sin . sin cos sin sin sin cos sin . 1 2 2 - = - = - = ' ? h) x x x x x x x y tan . cos ln cos sin . cos ln . 1 - = ? ? ? ? ? ?- + = ' ? ı) ( ) [ ] x x y sin ln . 1 2 - = ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ' - + ' - = ' x x x x y sin ln . 1 sin ln . 1 2 2 ( ) [ ] ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ' x x x x x x y sin cos . 1 sin ln . 1 2 2 2 2 ( ) x x x x x y cot . 1 1 sin ln . 2 2 - + - - = ' i) x x y 2 log . cos = 2 ln 1 . cos log sin 2 x x x x y + - = ' ? j) ( ) 1 ln 2 - = x x y ? ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 . 1 1 1 2 2 2 2 2 - ? ? ? ? ? ? ? ? - + - = - ' - = ' x x x x x x x x x x y ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - ? ? ? ? ? ? ? ? - + - = - ? ? ? ? ? ? ? ? - + - = ' ? x x x x x x x x x x y ( ) x x x x x x x y - - = ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ' ? 3 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 2 k) 5 2 4 - = x y ( ) 4 ln 5 ln 2 - = ? x y 4 ln 2x y y = ' 4 ln 2 4 ln 2 . 2 4 ln 2 9 2 10 2 2 2 x x x y y x x - - = = = ' l) x y cos 2 ln = 2 ln sin 2 ln . cos x y x y - = ' ? = ? m) ( ) x x y tan ln cos 1 + = ( ) ( ) x x x x y tan 1 tan sin cos 1 2 2 + + - - = ' x x x x x y tan 1 tan tan cos sin 2 2 + + = ' x x x x y cot tan sec . tan + + = ' n) ( ) x x y cot ln . 3 2 = ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? + - + = ' - x x x x x y cot 1 cot . cot ln . 3 2 2 3 2 3 1 ( ) ( ) x x x x x y tan cot 3 cot ln 2 3 2 3 + - = ' o) x x x y cos . ln . = ( ) ( ) ' + ' = ' x x x x x x y cos . ln . cos . ln . ( ) x x x x x x x y sin . ln . cos . 1 . ln . 1 - + ? ? ? ? ? ? + = ' x x x x x x y sin . ln . cos cos . ln - + = ' Soru24. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) x x y 3 = b) 2 2 x x y = c) ( ) x x y ln = d) x x y sin = e) ( ) 3 sin cos x e y = f) ( ) x x y ln 1 ln = g) ( ) x e x y sin = h) x x y 1 1 ? ? ? ? ? ? = Çözüm24. a) x x y 3 = x x y ln 3 ln = ? x x x y y 1 . 3 ln 3 + = ' ? [ ] 3 ln 3 3 + = ' ? x x y x ( ) 1 ln 3 3 + = ' ? x x y x b) 2 2 x x y = x x y ln . 2 ln 2 = ? ( ) ( ) ' + ' = ' - x x x x y y ln 2 ln 2 2 2 ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + - = ' - x x x x y y 1 2 ln 4 2 3 ( ) 1 ln 2 2 2 ln 4 3 2 3 3 2 2 2 + - = ? ? ? ? ? ? + - = ' - x x x x x x y x x c) ( ) x x y ln = ( ) x x y ln ln ln = ? ( ) ( ) ( ) ' + = ' ? x x x y y ln ln ln ln . 1 ( ) ( ) x x x x y y ln ln ln ln ' + = ' ? ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = ' ? x x x x y y ln 1 ln ln ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? + = ' ? x x x y x ln 1 ln ln ln d) x x y sin = x x y ln sin ln = ? ( ) ( ) ' + ' = ' x x x x y y ln sin ln sin ? ? ? ? ? ? + = ' x x x x y y 1 . sin ln . cos ? ? ? ? ? ? + = ' x x x x x y x sin ln . cos sin e) ( ) 3 sin cos x e y = ( ) 2 3 . . cos . sin sin 3 3 3 x e e e y x x x - = ' ? f) ( ) x x y ln 1 ln = ( ) x x y ln ln ln 1 ln = ( ) ( ) ( ) ' + ' ? ? ? ? ? ? = ' x x x x y y ln ln ln 1 ln ln ln 1 ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ' + - = ' - x x x x x x y y ln ln ln 1 ln ln 1 . ln 2 ( ) ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + - = ' x x x x x x x y x ln 1 ln 1 ln ln ln ln 2 ln 1 ( ) ( ) [ ] 1 ln ln ln 2 ln 1 + - = ' - x x x y x g) ( ) x e x y sin = ( ) x e y x sin ln ln = ? ( ) ( ) ( ) ( ) ' + ' = ' x e x e y y x x sin ln sin ln ( ) ? ? ? ? ? ? + = ' x x e x e y y x x sin cos sin ln ( ) ( ) [ ] x x e x y x e x cot sin ln . sin + = ' h) x x y 1 1 ? ? ? ? ? ? = x x y 1 ln 1 ln = ? x x x x x y y 1 1 1 1 ln 1 2 2 - + - = ' ? ? ? ? ? ? - - = ' 2 2 1 1 ln 1 x x x y y ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? = ' - 1 1 ln 1 1 1 ln 1 1 2 1 2 1 x x x x x y x x Soru25. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) x e x arc y ln cot + = b) 1 ln 1 1 ln 2 + + ? ? ? ? ? ? - + = x x x y c) x x e y x + = ln . d) ( ) 2 ln x x y + = e) ( ) x y ln arctan = f) x x y - = 1 ln g) x arc x y cot 1 2 + = h) 3 4 ln x y = Çözüm25. a) x e x arc y ln cot + = x x arc + = cot ? 2 2 2 1 1 1 1 x x x y + = + + - = ' b) 1 ln 1 1 ln 2 + + ? ? ? ? ? ? - + = x x x y ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 + ' + + ? ? ? ? ? ? - + ' ? ? ? ? ? ? - + = ' x x x x x x y ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 1 1 . 1 1 . 1 2 2 2 + + - + ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? ? ? - + - - = ' x x x x x x x x y ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + + - ? ? ? ? ? ? + - - - - - = ' x x x x x x x x y ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 2 1 1 2 4 2 3 4 3 2 2 2 - + - + - = - + - - - = + - - - = ' x x x x x x x x x x x y c) x x e y x + = ln . ( ) ( ) 1 ln ln . + ' + ' = ' x e x e y x x 1 ln . 1 1 ln . + + = + + = ' x e x e x e x e y x x x x d) ( ) 2 ln x x y + = ? ( ) ? ? ? ? ? ? + + + = ? ? ? ? ? ? + + = ' x x x x x x x y ln 1 ln . 2 1 1 ln 2 e) ( ) x y ln arctan = ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 ln x x x x x x y + = + = + ' = ' f) x x y - = 1 ln ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 . ln 1 1 ln 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 ln 1 ln x x x x x x x x x x x x x x x x x x y - + - = - + - = - - - - = - ' - - - ' = ' g) x arc x y cot 1 2 + = ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 cot cot 1 cot 1 x arc x arc x x arc x y ' + - ' + = ' ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 cot 1 cot . 2 cot 1 1 1 cot . 2 x arc x arc x x arc x x x arc x y + = ? ? ? ? ? ? + - + - = ' h) 3 4 ln x y = x x x x x x y 3 4 3 4 3 4 1 3 4 3 1 3 4 3 4 = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ' ? ? ? ? ? ? ? ? = ' ? - Soru26. ( ) ( ) 2 log 5 - = x x f ise ( ) 1 - f fonksiyonunun türevi nedir? Çözüm26. ( ) ( ) 2 log 5 - = x x f ? ( ) 2 5 1 + = - x x f ? ( ) ( ) 5 ln 5 1 x x f = ' - Soru27. ( ) 5 + = x e x f ise ( ) 1 - f fonksiyonunun türevi nedir? Çözüm27. ( ) 5 + = x e x f ( ) 5 ln 1 - = ? - x x f ( ) ( ) x x f 1 1 = ' ? - Soru28. ( ) 2 ln . t e t f t = ise ( ) 1 f ' kaçtır? Çözüm27. ( ) 2 ln . t e t f t = ? ( ) ( ) ( )( ) ' + ' = ' 2 2 ln . ln . t e t e t f t t ? ( ) ? ? ? ? ? ? + = ' 2 2 2 . ln . t t e t e t f t t ? ( ) e e e e e f 2 2 . 0 . 1 2 . 1 ln . 1 1 1 = + = ? ? ? ? ? ? + = ' Soru29. ( ) 3 5 2 ln . - + = x x x x f ise ? ? ? ? ? ? ? ? ' 2 2 e f kaçtır? Çözüm29. ( ) ( ) ( ) ' + ' + ' = ' x x x x x x f 5 2 ln . 2 ln . ( ) x x x x x f 5 2 5 2 2 . 2 ln . 1 + ? ? ? ? ? ? + = ' ( ) x x x f 5 2 5 1 2 ln + + = ' 2 5 2 5 1 2 2 ln 2 2 2 2 e e e f + + = ? ? ? ? ? ? ? ? ' e e e e e f 2 10 3 2 10 1 2 10 5 1 ln 2 2 2 + = + + = + + = ? ? ? ? ? ? ? ? ' Soru30. Aşağıdaki fonksiyonların karşılarında yazılı denklemleri sağladığını gösteriniz. a) x e x y sin sin - + = , ( ) 0 cos 1 sin = - + - ' x y x y b) ( )x x y 5 ln + = , x y x y = - ' Çözüm30. a) x e x y sin sin - + = x e x x y sin . cos cos - - = ' ( ) x e y x cos 1 sin - - = ' ( ) x e x x y x cos sin sin 1 sin - - - + = ' ( x sin ekleyip çıkardığımızda y e x x - = - - - sin sin eşitliğini gördük.) ( ) x y x y cos sin 1 - + = ' ( ) 0 cos 1 sin = - + - ' x y x y b) ( )x x y 5 ln + = ? ( ) ( )x x x x y ' + + ' + = ' 5 ln 5 ln ( ) 5 ln . 1 + + = ' x x x y ( ( )x x y 5 ln + = eşitliğini elde edebilmek için ( ) 5 ln + x ifadesini x ile çarpıp böleriz.) ( ) x x x y 1 . . 5 ln 1 + + = ' x y x y y x x y x y y = - ' ? + = ' ? + = ' 1 Soru31. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) shx chx y + = b) ( ) x ch y ln = c) ( ) tghx x y sin = d) 2 cothx y = e) shx e y = f) ( ) x y coth ln = g) shx y 2 = h) ( ) x h y ln csc = Çözüm31. a) shx chx y + = x x x x x e e e e e chx shx y = + + - = + = ' ? - - 2 2 b) ( ) x ch y ln = ( ) ( ) x sh x y ln ln ' = ' ? 2 1 . 1 2 1 ln ln x x x e e x y x x - = - ? ? ? ? ? ? = ' ? - 2 2 2 1 x x - = c) ( ) tghx x y sin = ( ) x tghx y sin ln . ln = ? ( ) x x tghx x x h y y sin cos . sin ln . sec 2 + = ' ( ) [ ] x tghx x x h y y cot . sin ln . sec 2 + = ' ( ) ( ) [ ] x tghx x x h x y tghx cot . sin ln . sec sin 2 + = ' d) 2 cothx y = 2 2 csc 2 x h x y - = ' ? e) shx e y = ( ) shx shx e chx e shx y . = ' = ' ? f) ( ) x y coth ln = ( ) ( ) x x h x x y coth csc coth coth 2 - = ' = ' ? x x e e x x x x x y 2 2 2 4 cosh . sinh 1 sinh cosh sinh 1 - - - = - = - = ' ? g) shx y 2 = ? 2 ln . . 2 chx y shx = ' h) ( ) x h y ln csc = ( ) ( ) x x x h y 1 . ln coth . ln csc - = ' ? Soru32. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) ( ) shx arcsh y = b) ( ) x arcch y cos = c) ? ? ? ? ? ? = x arcch y 1 d) ( ) 2 1 x arctgh y + = e) ( ) tghx arc y coth = f) ? ? ? ? ? ? + + = x x arctgh y 2 1 2 g) x arcsh y 2 = h) ( ) arcshx arcsh y = Çözüm32. a) I. Yol: ( ) shx arcsh y = ? 1 1 2 2 = = = + = ' chx chx x ch chx x sh chx y II. Yol: ( ) shx arcsh y = x = 1 = ' ? y b) ( ) x arcch y cos = i x x x x x x x x y = - - = - - - = - - = ' 1 sin sin sin cos cos sin 1 cos sin 2 2 2 2 c) ? ? ? ? ? ? = x arcch y 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x y - - = - - = - - = - - = ' d) ( ) 2 1 x arctgh y + = ( ) ( ) 1 1 1 . 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 + = + = - + + = - + ' + = ' x x x x x x x x x x y e) ( ) tghx arc y coth = ( ) 1 1 1 . 1 1 1 1 sec 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = - = - = - = - ' = ' x sh x ch x ch x ch x ch x sh x ch x tgh x h x tgh tghx y f) ? ? ? ? ? ? + + = x x arctgh y 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 3 3 2 1 4 4 1 4 4 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 - = + - - = + - - - + + + + - + = - ? ? ? ? ? ? + + ' ? ? ? ? ? ? + + = ' x x x x x x x x x x x x x x y g) x arcsh y 2 = ? ( ) 1 2 2 ln 2 1 2 2 2 2 + = + ' = ' x x x x y h) ( ) arcshx arcsh y = ? ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 + + = + + = + ' = ' x arcsh x x arcsh x x arcsh arcshx y Soru33. Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz. a) ? arcsin 2 = ? ? ? ? = = dx dy t y t x b) ? cos 3 5 = ? ? ? ? = + = dx dy t y t x c) ? cos cos 2 = ? ? ? ? = = dx dy t y t x d) ? 4 tan 2 = ? ? ? ? ? ? = = dx dy e y t x t e) ? 3 2 = ? ? ? ? = = dx dy y e x t t f) ? 5 1 2 = ? ? ? ? + = + - = dx dy t y t t x g) ? cos 2 sin = ? ? ? ? = = dx dy y x ? ? h) ? = ? ? ? ? = = - dx dy e y e x t t Çözüm33. a) dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy t y t x = = ? ? ? ? = = 2 arcsin 3 2 2 2 1 1 2 t t t t + = + = b) dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy t y t x = = ? ? ? ? = + = cos 3 5 3 sin 3 sin t t - = - = c) dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy t y t x = = ? ? ? ? = = 2 cos cos ( ) ( ) t t t t cos 2 sin sin cos 2 = - - = d) dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy e y t x t = = ? ? ? ? ? ? = = tan 2 4 ( ) ( ) 8 tan 1 8 tan 1 2 3 tan 3 2 tan t t e t t e t t + - = - + = e) dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy y e x t t = = ? ? ? ? = = 3 2 t t t e e ? ? ? ? ? ? = = 2 2 3 2 3 ln . 2 3 ln 3 f) dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy t y t t x = = ? ? ? ? + = + - = 5 1 2 1 2 1 - = t g) dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy y x = = ? ? ? ? = = ? ? cos 2 sin ? ? 2 cos 2 sin - = h) dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy e y e x t t = = ? ? ? ? = = - t t t e e e 2 - = - = - Soru34. Aşağıdaki bağıntılardan y' türevini bulunuz. a) ( ) y x y x 2 2 2 2 2 = + b) 0 3 4 sin . 2 3 = + - + y x y x y c) 0 4 sin . . = - y y x d) x x y e xy sin ln = + e) ( ) 2 2 ln 2 1 cot y x x y arc - = f) 1 3 1 3 1 = + y x Çözüm34. ( ) 0 , = y x F fonksiyonunun türevi ( ) ( )( ) ( )( ) görülür gibi sabit x y F görülür gibi sabit y y x F dx dy y x F y x ' ' - = = ' , , formülü ile bulunur a) ( ) ( ) 0 2 2 0 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 = - + + ? = - + ? = + y x y y x x y x y x y x y x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 3 2 3 2 2 3 2 2 2 2 4 4 4 4 4 , , , x y y x xy xy x x y y x xy xy x y x F y x F dx dy y x F y x - + - + - = - + - + - = ' ' - = = ' b) 0 3 4 sin . 2 3 = + - + y x y x y ( ) ( ) ( ) 4 3 sin 2 cos . , , , 2 2 3 - + + - = ' ' - = = ' x y x x y x y y x F y x F dx dy y x F y x c) 0 4 sin . . = - y y x ( ) ( ) ( ) y xy y x y y y x F y x F dx dy y x F y x cos sin sin , , , + - = ' ' - = = ' d) 0 sin ln sin ln = - + ? = + x x y e x x y e xy xy ( ) ( ) ( ) x x e x x x y e xy x e x x x y e y y x F y x F dx dy y x F xy xy xy xy y x ln . cos . ln . cos . , , , 2 + - + - = + - + - = ' ' - = = ' e) ( ) ( ) 0 ln 2 1 cot ln 2 1 cot 2 2 2 2 = - - ? - = y x x y arc y x x y arc ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 1 1 1 2 . 2 1 1 , y x y x y x y x x x y y y x y x y x y x x x y x y y x F - + + - - + - = - - - + ? ? ? ? ? ? - - + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - = ' ( ) y x y xy x x xy y y x x y y x y xy x x y x xy y y x y x F 2 3 2 3 3 2 3 2 4 4 2 3 2 3 4 4 3 2 3 2 , + + - - - - - = - + + - - - - - - = ' ( ) y x xy y x y x xy y x y x F 2 2 3 3 2 2 3 3 , + - + - + + = ' f) 1 3 1 3 1 = + y x ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 2 3 1 3 1 , , , x y y x y x F y x F dx dy y x F y x - = - = ' ' - = = ' - - Soru35. ( ) ( ) x g x h y = için, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x h k n y k n n k k n - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = . 0 olacağını gösteriniz.[ Leibniz Formülü ] Çözüm35. ( ) ( ) x g x h y = için ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x h k n y k n n k k n - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = . 0 eşitliğinin doğruluğunu tümevarım yardımıyla göstereceğiz 1 = n için ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x h x g x h x g x h x g x h x g x h k y k k k . . . 1 1 . 0 1 . 1 1 0 1 ' + ' = ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ' ? = - doğrudur. p n = için ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x h k p y k p p k k p - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = . 0 doğru kabul edelim ve 1 + = p n için ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x h k p y k p p k k p - + + = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = 1 1 0 1 . 1 doğru olduğunu gösterelim. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x h k p y k p p k k p - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? = . 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g h p p g h p p g h p p g h p g h p g h p y p p p p p p p . . 1 . 2 ... . 2 . 1 . 0 1 2 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ? ? ? ? ? ? ? ? - + ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? - + + ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = - - - - tekrar türevini aldığımızda ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g h p p g h p p g h p p g h p p g h p p g h p p g h p g h p g h p g h p g h p g h p y p p p p p p p p p p p p p . . . 1 . 1 . 2 . 2 ... . 2 . 2 . 1 . 1 . 0 . 0 1 1 1 2 2 1 1 1 1 + - - - - - - + + ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? - + ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? - + ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? - + ' ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? - + + ' ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = elde ederiz. Ayrıca ? ? ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 0 p p , ? ? ? ? ? ? ? ? + + = ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 p p p p ve ? ? ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? r p r p r p 1 1 bilgisini göz önünde bulundurarak düzenlendiğinde, 1 + = p n için ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g h p p g h p p g h p p g h p g h p g h p y p p p p p p p . 1 1 . 1 . 1 1 ... . 2 1 . 1 1 . 0 1 1 1 1 1 1 + - - + + ? ? ? ? ? ? ? ? + + + ' ? ? ? ? ? ? ? ? + + ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? - + + + ' ' ? ? ? ? ? ? ? ? + + ' ? ? ? ? ? ? ? ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x g x h k p y k p p k k p - + + = + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = 1 1 0 1 . 1 doğruluğu görülür ve böylece ispat tamamlanır. Soru36. Leibniz formülünü kullanarak ( ) x e x f x sin . = fonksiyonunun 3. mertebeden türevini bulunuz. Çözüm36. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x e x e x e x e x e k y ııı x x x ııı x k x sin . 3 3 sin . 2 3 sin . 1 3 sin . 0 3 sin . 3 3 0 ? ? ? ? ? ? ? ? + ' ¨ ? ? ? ? ? ? ? ? + ¨ ' ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = ' ' ' ? = ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) x e x e x e x e y x x x x sin . cos . 3 sin . 3 cos . + + - + - = ' ' ' ( ) x x e y x sin cos 2 - = ' ' ' Soru37. Aşağıdaki fonksiyonların . n mertebeden türevlerini bulunuz. a) ( ) x x f cos = b) ( ) x x f sin = c) ( ) x e x f = d) ( ) 1 2 1 - = x x f e) ( ) x x f ln = f) ( ) 2 1 5x x f = Çözüm37. a) ( ) x x f cos = ( ) x x f sin - = ' ( ) x x f cos - = ' ' ( ) x x f sin = ' ' ' . . . ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? + = 2 . cos ? n x x f n b) ( ) x x f sin = ( ) x x f cos = ' ( ) x x f sin - = ' ' ( ) x x f cos - = ' ' ' . . . ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? + = 2 . sin ? n x x f n c) ( ) x e x f = ( ) x e x f = ' ( ) x e x f = ' ' ( ) x e x f = ' ' ' . . . ( ) ( ) x n e x f = d) ( ) ( ) 1 1 2 - - = x x f ( ) ( ) 2 1 2 2 - - - = ' x x f ( ) ( ) 3 2 1 2 2 . 2 - - = ' ' x x f ( ) ( ) 4 3 1 2 3 . 2 . 2 - - - = ' ' ' x x f ( ) ( ) ( ) 5 4 4 1 2 4 . 3 . 2 . 2 - - = x x f . . . . . . ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 ! . 2 1 - - - - = n n n n x n x f e) ( ) x x f ln = ( ) x x f 1 = ' ( ) 2 1 x x f - = ' ' ( ) 3 1 2 x x f = ' ' ' ( ) ( ) 4 4 1 . 3 . 2 x x f - = . . . ( ) ( ) ( ) ( ) n n n x n x f 1 ! 1 1 1 - - = + ( ) ( ) ( ) ( ) n n n x n x f ! 1 1 1 - - = + f) ( ) 2 1 5x x f = ( ) 2 1 . 2 1 . 5 - = ' x x f ( ) 2 3 . 2 1 . 2 1 . 5 - ? ? ? ? ? ? - = ' ' x x f ( ) 2 5 . 2 3 . 2 1 . 2 1 . 5 - ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - = ' ' ' x x f ( ) ( ) 2 7 4 . 2 5 . 2 3 . 2 1 . 2 1 . 5 - ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - = x x f . . . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 . 2 ) 3 2 ....( 5 . 3 . 1 . 5 - - + - - = n n n n x n x f