Genel Matematik Belirli İntegran DERS 12 Belirli İntegral 12.1. Bir e ğri altında kalan alan. Bir [a , b] kapalı aralı ğı üzerinde sürekli bir f fonksiyonu verilmi ş olsun ve her x ? [a , b] için f(x) ? 0 oldu ğunu kabul edelim. y= f(x) in grafi ği ile x – ekseni arasında kalan bölgenin alanı ile bu derste görece ğimiz belirli integral kavramı çok yakından ili şkilidir. Ye şil renkli alanın hesabı belirli integralle yapılır. Örnek. y= x 2 + 1 in [0 , 1] aralı ğı üzerinde belirledi ği A alanı için a b x y y=f(x) A x y 1 0 1 2 1/2 . 2 2 1 4 5 2 1 4 5 2 1 1 2 1 · + · ? ? · + · A12.2. Belirli integral, Riemann Toplamları. Bir [a , b] kapalı aralı ğı üzerinde sürekli bir f fonksiyonu verilmi ş olsun. T n = f(c 1 ) ? x1 + f(c 2 ) ? x 2 + . . . + f(c n ) ? xn = toplamına bir Riemann Toplamı denir. Burada ? x k lardan her biri sıfıra yakla şırken (ki bu durumda n sayısı da sonsuza yakla şır) T n Riemann toplamının limit de ğerine f fonksiyonunun [a , b] kapalı aralı ğı üzerinde belirli integrali (definite integral) denir ve bu integral sembolü ile gösterilir. Riemann Toplamı: Belirli İntegral: x y a b x 0 = x 1 x 2 x 3 x n-3 x n-2 x n-1 =x n y = f(x) c 1 c 2 c 3 c n-2 c n-1 c n (c 1 , f(c 1 )) a=x 0 < x 1 < x 2 < x 3 < . . . < x n-2 < x n-1 < x n =b c k ? (x k-1 , x k ) , 1 ? k ? n ?x k = x k –x k-1 , 1 ? k ? n ? = ? n k k k x c f 1 ) ( ? b a dx x f ) ( integralin üst sınırı integralin alt sınırı T n = f(c 1 ) ? x 1 + f(c 2 ) ? x 2 + . . . + f(c n ) ? x n = ? = ? n k k k x c f 1 ) ( () n n x n x b a x c f x c f x c f T dx x f k k ? + + ? + ? = = › ? › ? ? ) ( ) ( ) ( lim lim ) ( 2 2 1 1 0 0 L Belirli İntegralin Bazı Özellikleri. 1. E ğer her x ? [a , b] için f(x) ? 0 ise, ? dx x f ) ( belirli integrali , [a , b] aralı ğı üzerinde y = f(x) in grafi ği ile x – ekseni arasında kalan alanı verir. 2. () ? ? · = · b a b a dx x f k dx x f k ) ( ) ( 3. () ? ? ? = b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( m m 4. a < c < b için ? ? ? + = b c c a b a dx x f dx x f dx x f ) ( ) ( ) ( 12.3. Kalkülüs’ün Temel Teoremi(Fundamental Theorem of Calculus). Bu teorem belirli integral ile belirsiz integral arasındaki ili şkiyi verir: Kalkülüs’ün Temel Teoremi. f fonksiyonu [a , b] kapalı aralı ğında sürekli ve f nin bir ters türevi F ise, ) ( ) ( ) ( a F b F dx x f b a - = ? dir. Gösterim. ) ( ) ( ) ( a F b F x F b a - = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' a F b F x F dx x f x f x F b a b a - = = ? = ? Örnek. () ()(). 2 0 0 1 1 1 2 1 0 2 1 0 = + - + = + = + ? x x dx x x y a b y = f(x) A B C C B A dx x f b a + - = ? ) (Örnek. () () . 2 ln 4 ) 1 ( 3 0 3 1 2 ln 4 3 4 ln 4 3 4 3 2 2 2 2 1 2 - - + = - + - - + = - + = ? ? ? ? ? ? - + ? e e e e x e x dx x e x x x ? 10 2 5 0 2 = + ? dx x x u= x 2 + 10 , du = 2x dx . ( ) C x u du u dx x x + + = = = + ? ? 10 ln ln 1 10 2 2 2 () () . 5 . 3 ln 10 ln 35 ln 10 ln 10 2 5 0 2 5 0 2 = - = + = + ? x dx x x 12.4. Belirli integralde de ği şken de ği ştirme. Son örne ğimizde belirli integrali he- saplarken, ters türevin, yani belirsiz integralin belirlen-mesinde de ği şken de ği ş-tirme yöntemini kullandık. Bu yöntemi do ğrudan do ğruya belirli integral üze-rinde de uygulayabiliriz. Hatta bu durumda zaman kazanılaca ğı da söylenebilir. () () . 3 4 0 0 1 3 1 3 1 1 0 3 1 0 2 = + - ? ? ? ? ? ? + = + = + ? x x dx x x y 1 0 1 2 y = x 2 +1 ( ) . 3 4 1 1 0 2 = + = ? dx x A A = ? b a dx x g x g F ) ( ' )) ( ( ' = ? ) ( ) ( ) ( ' b g a g du u F )) ( ( )) ( ( ) ( ) ( ) ( a g F b g F u F b g a g - = u = g(x) , du = g´(x) dx x=a ? u=g(a) ; x=b ? u =g(b) Son örne ğimizi bu yolla yapalım: Ba şka bir örnek: Ba şka bir örnek: Uygulama. Haftada x televizyon ünitesi üreten bir i şletmenin haftalık marjinal kârı, YTL olarak, P´(x) = 165 - (0.1)x , 0 ? x ? 4000 biçiminde veriliyor. Şu anda haftada 1500 = + ? 5 0 2 10 2 dx x x ? = 35 10 1 du u ( ). 5 . 3 ln 10 ln 35 ln ln 35 10 = - = u u = x 2 + 10 , du = 2x dx x=0 ? u=10 ; x=5 ? u =35 = + ? 1 0 2 1 3 dx x x ? = 4 1 6 1 du u (). 9 7 1 8 9 1 9 1 2 3 6 1 4 1 2 3 4 1 2 3 = - = · = · u u u = 3x 2 + 1 , du = 6x dx , x dx = (1/6) du x=0 ? u=1 ; x=1 ? u =4 () () = - - ? 1 0 2 2 1 2 dx e x e x x ? - = 2 1 2 2 1 e du u () . 4 1 2 4 1 4 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 - - = · = · - - e u u e e u = e 2x – 2x , du = (2e 2x – 2) dx , (e 2x – 1) dx = (1/2) du x=0 ? u=1 ; x=1 ? u =e 2 - 2 ünite üreten firma, haftalık üretimini artırmak istiyor. Haftalık üretimini 1600 e çıkarırsa, haftalık kârındaki de ği şim ne olacaktır? Çözüm. Kârdaki artı ş YTL olur. Daha önce belirsiz integral hesabında kullandı ğımız kısmî integrasyon yöntemini belirli integral hesaplarken de kullanabiliriz. Örnek. () . 1 1 0 1 0 1 0 = - - = - = - = - = = ? ? ? ? x x x x x e xe dx e xe vdu uv dv u dx e x Bazı integrallerin hesabında de ği şken de ği ştirme ve kısmî integrasyon yöntemleri birlikte kullanılabilir. Örnek. ? = = - 1600 1500 1600 1500 ) ( ' ) ( ) 1500 ( ) 1600 ( dx x P x P P P () ()( ) 1600 1500 2 1600 1500 05 . 0 165 1 . 0 165 x x dx x - = - = ? ( ) 000 250 2 05 . 0 500 1 165 000 560 2 05 . 0 600 1 165 · - · - · - · = 1000 500 15 16500 000 31 05 . 0 16500 = - = · - = u = x , dv = e x dx du = dx , v = e x () = + ? 1 0 2 1 ln dx x x () = ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 ln dt t () ? 2 1 ln 2 1 dt t () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? dt t t t t 1 ln 2 1 () () () () 1 0 2 2 ln 2 2 1 ln 2 1 2 1 - - - = - = t t t () . 2 1 2 ln 1 2 ln 2 2 1 - = - = t= x 2 + 1 , dt= 2x dx , x dx = (1/2) dt x = 0 ? t = 1 , x = 1 ? t = 2 u = ln t , dv = dt du = (1/t) dt , v = t 12.5. İntegral için ortalama de ğer teoremi. f fonksiyonu [a , b] kapalı aralı ğında sürekli ise, öyle bir c ? (a , b) vardır ki dir. Örnek. f(x) = x - 3x 2 nin [-1 , 2] aralı ğı üzerinde ortalama de ğeri ) ( ) ( ) ( c f a b dx x f b a - = ? ? - = b a dx x f a b c f ) ( ) ( 1 ) ( a b x y c (c , f(c)) f fonksiyonunun [a , b] aralı ğı üzerinde ortalama de ğeri (Average value of f on the interval [a , b] ) . 2 5 )) 1 ( 2 1 ( 8 2 3 1 ) 2 ( 3 1 ) 3 ( )) 1 ( 2 ( 1 ) ( 2 1 3 2 2 1 2 - = ? ? ? ? ? ? - - - - = - = - - - = - - ? x x dx x x c f12.6. Alan Hesabı. Bir e ğri ile x-ekseni arasında kalan alan. ? = b a dx x f A ) ( a b x y f(x) ? 0 , x ? [a , b] A y = f(x) ? - = b a dx x f A ) ( a b f(x) ? 0 , x ? [a , b] x y y = f(x) A ? ? ? + - = d c c b b a dx x f dx x f dx x f A ) ( ) ( ) ( a d x y y =f (x) b c Boyalı Alan : A Örnek. f(x) = 6x – x 2 , 1 ? x ? 4 ile verilen bölgenin alanı. Örnek. f(x) = x 2 - 2x , 1 ? x ? 2 ile verilen bölgenin alanı. ( ) ? - = 4 1 2 6 dx x x A 4 1 3 2 3 3 x x - = ? ? ? ? ? ? ? ? - · - - · = 3 1 1 3 3 4 4 3 3 3 3 2 . 24 3 63 45 = - = 1 4 y = 6x – x 2 3 A x y ( ) ? - - = 2 1 2 2 dx x x A 2 1 2 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? - - = x x ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? - - = 1 3 1 4 3 8 . 3 2 3 3 7 = + - = 2 1 x y y = x 2 – 2x A Örnek. f(x) = x 2 - 2x , -1 ? x ? 1 ile verilen bölgenin alanı. 12.7. İki E ğri Arasında Kalan Alan. f ve g [a , b ] aralı ğında sürekli fonksiyonlar, her x ? [a , b ] için g(x) ? f(x) olsun . Bu durumda y = f(x) in grafi ği y = g(x) in grafi ğinin yukarısındadır ve [a , b ] aralı ğı üzerinde bu iki e ğri arasında kalan alan integral olarak şöyle ifade edilir: ( )() ? ? - - - = - 1 0 2 0 1 2 2 2 dx x x dx x x A ? ? ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? - - - = 0 1 3 1 1 3 1 0 1 -1 x y y = x 2 – 2x . 2 1 3 1 1 3 1 = + - + = 1 0 2 3 0 1 2 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? ? ? ? - = - x x x x b a x y y = f(x) y = g(x) A () ? - = b a dx x g x f A ) ( ) (Örnek. f(x) = 2x +3 , g(x) = -x 2 + 1 , 0 ? x ? 2 ile verilen bölgenin alanı. İki e ğri arasında kalan alan hesaplanırken, y = f(x) in grafi ğinin bir kısmı y = g(x) in grafi ğinin yukarısında, bir kısmı da a şa ğısında olabilir. Bu durumda söz konusu aralık alt aralıklara bölünerek alan hesaplanır. Örnek olarak a şa ğıdaki şekilde gösterilen bölgenin alanına bakalım. () ( ) ( ) ? + - - + = 2 0 2 1 3 2 dx x x A ( )dx x x ? + + = 2 0 2 2 2 2 0 2 3 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? + + = x x x . 3 32 4 4 3 8 = + + = 2 1 x y y = -x 2 + 1 A y = 2x + 3 b a y = f(x) y = g(x) A : Boyalı alan ()() ? ? - + - = b c c a dx x f x g dx x g x f A ) ( ) ( ) ( ) ( c x y Örnek. f(x) = -x +1 , g(x) = x 2 - 1 , 0 ? x ? 2 ile verilen bölgenin alanı. 12.8. Hacim Hesabı , Dönel Cisimlerin Hacmi. Düzlemde bir bölgenin x-ekseni etrafında döndürülmesiyle meydana gelen cismin hacmi integral yardımıyla hesaplanabilir. () ( ) ( ) () () () ? ? + - - - + - - + - = 2 1 2 1 0 2 1 1 1 1 dx x x dx x x A ( )() dx x x dx x x ? ? - + + + - - = 2 1 2 1 0 2 2 2 2 1 2 3 1 0 2 3 2 2 3 2 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? - + + ? ? ? ? ? ? ? ? + - - = x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - + - - + + ? ? ? ? ? ? - + - - = 2 2 1 3 1 4 2 3 8 0 2 2 1 3 1 . 3 = 2 1 x y y = -x + 1 y = x 2 - 1 Cismin Hacmi : V () ? = b a dx x f V 2 ) ( ? ( ) dx x f dV 2 ) ( ? = a x y y = f(x) b dx f(x) Silindirin Hacmi : dV Örnek. f(x) = x 2 , 0 ? x ? 1 ile verilen bölgeyi x - ekseni etrafında döndürünce meydana gelen cismin hacmini hesaplayalım. Örnek(Kürenin hacmi). Yarıçapı r birim olan küre, yarıçapı r birim olan bir yarım çemberin çapı etrafında döndürülmesiyle elde edilir. Dolayısıyla, sözü edilen hacim f(x)= (r 2 - x 2 ) 1/2 , -1 ? x ? 1 e ğrisinin x - ekseni etrafında döndü-rülmesiyle elde edilir. ( ) ? = 1 0 2 2 dx x V ? dx x ? = 1 0 4 ? . 5 5 1 0 5 ? ? = = x 1 x y y = x 2 ( ) ? - - = r r dx x r V 2 2 2 ? ( )dx x r r r ? - - = 2 2 ? r r x x r - ? ? ? ? ? ? ? ? - = 3 3 2 ? . 3 4 3 3 3 3 3 3 3 r r r r r ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + - - - = r x y -r 2 2 x r y - =Örnek(Koninin hacmi). Taban yarıçapı r birim ve yüksekli ği h birim olan koni, f(x) = (r/h)x , 0 ? x ? h e ğrisinin x - ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilir. () ? = h dx x h r V 0 2 ) / ( ? dx x h r h ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 2 2 2 ? h x h r 0 3 2 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? = ? . 3 3 2 3 2 2 h r h h r ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? · = h x y x h r y ) / ( = Problemler 12 1. A şa ğıdaki belirli integralleri hesaplayınız. a) ? - - 2 1 2 ) 3 2 ( dx x b) ? 4 1 3 dx x c) ? - 3 2 5 2 ) 4 ( 12 xdx x ç) ? - 5 3 1 1 dx x d) ? - - 10 5 05 . 0 dx e x e) ? - - 0 6 2 4 dx x f) ? - + 7 1 2 dx x x g) ? - - 1 0 2 2 ) 1 )( 2 ( dx e x e x x 2. A şa ğıdaki belirli integralleri hesaplayınız. a) ? + 1 0 ) 1 ( dx e x x b) ? 3 1 ) 2 ln( dx x c) ? e dx x x 1 2 ln ç) ? - 3 0 4 ) 1 2 ( 10 dx x d) ? - 10 0 02 . 0 10 dx e x e) ? - - + 2 1 2 1 dx e e x x 3. Da ğ bisikleti üreten bir firmanın ara ştırma departmanı, marjinal gider fonksiyonunu, ayda x adet bisiklet üretilmesi durumunda, 900 0 , 3 500 ) ´( ? ? - = x x x C olarak belirliyor. 300 bisikletlik bir üretim seviyesinden 900 bisikletlik bir üretim seviyesine geçilmesi durumunda toplam giderde ne kadar artı ş olaca ğını bir belirli integral olarak ifade edip hesaplayınız. 4. A şa ğıdaki şekilde verilen alanları belirli integraller olarak ifade ediniz: a) [a , b] aralı ğı ile grafik arasındaki alan. b) [b , c] aralı ğı ile grafik arasındaki alan. c) [c , d] aralı ğı ile grafik arasındaki alan. ç) [a , c] aralı ğı ile grafik arasındaki alan. d) [b , d] aralı ğı ile grafik arasındaki alan. e) [a , d] aralı ğı ile grafik arasındaki alan. 5. A şa ğıda verilen e ğriler ile verilen aralık üzerinde çevrelenmi ş bölgelerin alanlarını bulunuz. a) 2 1 ; 0 , 3 2 ? ? = = x y x y b) 4 0 ; 0 , 1 2 ? ? = - - = x y x y c) 0 1 ; 0 , 2 2 ? ? - = + = x y x y ç) 2 1 ; 0 , ? ? - = = x y e y x d) 1 5 . 0 ; 0 , 1 ? ? = - = t y t y e) 2 1 ; 12 , 8 2 ? ? - = + - = x y x y f) 2 1 ; 2 2 , 1 2 ? ? - - = + = x x y x y g) 2 2 ; , 3 ? ? - = = x x y x y 6. A şa ğıda verilen iki e ğri arasında kalan bölgenin alanını bulunuz. a) 12 , 3 2 = = y x y b) 5 , 4 2 - = - = y x y c) x y x y 4 , 3 = = ç) x y x y = = , d) 2 , 2 x y x y = - = e) 9 4 , 6 2 2 4 - = - = x y x x y 7. Alı ştırma 6 da verilen bölgelerin x – ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cisimlerin hacimlerini bulunuz. y x 0 d c b a y = f(x)