Genel Matematik Belirsiz İntegral DERS 11 Belirsiz İntegral 11.1. Belirsiz İntegral. Bu derste türevi bilinen bir fonksiyonun yeniden in şasını ele alaca ğız. Türevi bilinen bir fonksiyonun yeniden in şası i şlemine ters türev i şlemi (anti- differentiation) denir. f ve F fonksiyonlar, F´(x) = f(x) ise, F ye f nin ters türevi (anti-derivative) denir. Örnek. f(x) = 2x in ters türevi F(x)= x 2 dir. Gerçekten, F´(x) = 2x = f(x). Benzer şekilde, G(x) = x 3 fonksiyonu da g(x) = 3x 2 nin ters türevidir; çünkü, G´(x) = 3x 2 = g(x) dir. Teorem. F ve G fonksiyonları (a , b) aralı ğında türevli ve her x ? (a , b) için F´(x) = G´(x) ise, uygun bir c sabiti için F(x) = G(x) + c dir. f nin ters türevlerinden birinin grafi ği biliniyorsa, her ters türevinin grafi ği biliniyor demektir. Çünkü, F ve G fonksiyonları f nin iki ters türevi ise, F(x)= G(x) + c dir. F nin grafi ği G nin grafi ğinden düşey kayma ile elde edilir. f nin tüm ters türevlerinin ailesini göstermek için gösterimi kullanılır ve buna f nin belirsiz integrali(indefinite integral) denir. Böylece, e ğer F´(x) = f(x) ise, ? dx x f ) ( sabit ; ) ( ) ( C C x F dx x f + = ? integrand integral de ği şkeni integralin hangi de ği şkene göre hesaplanaca ğını gösterir. integral sabiti integral i şareti 11.2. İntegral Formülleri. Her türev formülü bir integral formülüne yol açar. Örnek. Örnek. (2 , 5) noktasından geçen ve her hangi bir x noktasındaki e ğimi y´ = 2x olan e ğrinin denklemini bulalım. Çözüm. y´ = F´(x) = 2x oldu ğuna göre, dir. Di ğer yandan, aranan e ğri (2 , 5) noktasından geçece ğinden , F(2) = 5 olmalıdır. Dolayısıyla, F(2) = 22 + C = 5 ten C = 1 olup aranan e ğrinin denklemi, y = F(x) = x 2 + 1 dir. Türev Formülü İntegral Formülü () C kx dx k k kx dx d + = = ? L L L L 1 , 1 1 1 1 - ? + + = = ? ? ? ? ? ? ? ? + + + ? n C n x dx x x n x dx d n n n n L L L L L () ( ) C dx x f k dx x f k x F k x F k dx d + = = ? ? ) ( ) ( ) ( ' ) ( L L L () () C dx x g dx x f dx x g x f x G x F x G x F dx d + = = ? ? ? ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( ' ) ( ) ( m m L L m m () C e dx e e e dx d x x x x + = = ? L L L L () C x dx x x x dx d + = = ? ln 1 1 ln L L L L = ? ? ? ? ? ? + + ? dx x x e x 2 2 2 dx x dx x dx e x ??? + + 1 2 2 2 dx x dx x dx e x ??? + + = 1 2 2 2 . ln 2 1 2 2 1 2 C x x e x + + + + = + C x C x dx x dx x x F + = + · = = = ? ? 2 2 2 2 2 2 ) (Örnek. Haftada x ürün üreten bir işletmenin sabit gideri 2000 birim para ve marjinal gideri C´(x) = (0.3)x 2 + 2x olarak veriliyor. Bu i şletmenin haftalık gider fonksiyonunu ve 20 ürün için haftalık toplam giderini bulunuz. Çözüm. C´(x) = (0.3)x 2 + 2x ve C(0) = 2000 verilmi ştir. C(0) = 2000 oldu ğundan, C(0) = C = 2000 , toplam gider birim para olur ve 20 ürün için toplam gider birim para olur. 11.3. De ği şken De ği ştirme Yöntemi. Her türev formülünün bir integral formülüne yol açtı ğını belirtmi ştik. Türev hesabı için kullandı ğımız bazı formüller de integral hesabı için önemli yöntemler verir. Bu yöntemleri açıklarken çok yararlı olaca ğı için önce diferansiyel kavramını tanımlıyoruz. u = g(x) ve g türevli bir fonksiyon ise, g´(x)dx ifadesine u nun diferansiyeli denir ve du = g´(x)dx yazılır. Örnek. u = x 3 – x 2 +10x ise, du = (3x 2 – 2x +10)dx. Örnek. u = e x ise, du = e x dx ; u = ln x ise, du = (1/x)dx. Şimdi türev için zincir kuralını hatırlayalım: Buradan şu integral formülü elde edilir: () () () () C x x C x x dx x x x C + + = + · + = + = ? 2 3 2 3 2 1 . 0 2 2 3 3 . 0 2 3 . 0 ) ( () 2000 1 . 0 ) ( 2 3 + + = x x x C () ()() 3200 2000 400 800 2000 20 20 1 . 0 ) 20 ( 2 3 = + + = + + = C u = g(x) , du = g´(x)dx () ) ( ' )) ( ( ' )) ( ( x g x g f x g f dx d · = ? + = · C x g f dx x g x g f )) ( ( ) ( ' )) ( ( 'Bu integral formülünde u = g(x) alınırsa, g´(x)dx = du olaca ğından yukarıdaki formül biçiminde yazılabilir. Verilen bir integral, uygun bir u seçimi ile yukarıdaki biçimde ifade edilebilirse, kolayca hesaplanmı ş olur. Bu yönteme integral hesabında de ği şken de ği ştirme (substitution) yöntemi denir. Örnek. integralinin hesabı için u = x 3 – 1 seçilirse du = (3x 2 ) dx olur ve verilen integral biçiminde hesaplanmı ş olur. De ği şken De ği ştirme Yöntemi uygulanırken izlenen adımlar: 1. Uygun bir u seçerek integrandı basitle ştiriniz. Özel olarak, u yu öyle seçiniz ki, integrandın bir çarpanı du olsun. 2. İntegrali tamamen u ve du cinsinden ifade ediniz. 3. Yeni integrali bulunuz. 4. Buldu ğunuz integrali eski de ği şken cinsinden ifade ediniz. Örnek. integralinin hesabı için u = t 2 seçilirse du = (2t)dt olur ve verilen integral biçiminde hesaplanmı ş olur. Örnek. ? + 7 4 1 x integralinin hesabı u = 4x + 7 seçilirse, du = 4dx, dx = (1/4) du olur ve böylece ? + = C u f du u f ) ( ) ( ' ? - dx x x ) 3 ( ) 1 ( 2 5 3 = - ? dx x x ) 3 ( ) 1 ( 2 5 3 ? = du u 5 C u + 6 6 C x + - = 6 ) 1 ( 6 3 ? dt t e t ) 2 ( 2 = ? dt t e t ) 2 ( 2 ? = du e u = + C e u C e t + 2 = + ? dx x 7 4 1 ? = ? ? ? ? ? ? du u 4 1 1 ? = du u 1 4 1 = + C u ln 4 1 . ) 7 4 ( ln 4 1 C x + +Örnek. u = x 3 + 5 seçilirse, du = (3x 2 )dx, x 2 dx = (1/3) du olur ve böylece Örnek. u = -t 2 seçilirse, du = -2t dt, tdt = (-1/2) du olur ve böylece Örnek. u = x + 2 seçilirse, du = dx , x = u - 2 olur ve böylece 11.4. Kısmî İntegrasyon. Her türev formülünün bir integral formülüne yol açtı ğını belirtmi ş ve türev için Zincir Kuralından yola çıkarak integral için De ği şken De ği ştirme Yöntemini elde etmi ştik. Şimdi, çarpım için türev formülünü kullanarak integral için bir yöntem elde edilebilece ğini görece ğiz: Kısmî İntegrasyon Yöntemi. Son türev formülünden integrale geçersek ? 5 4 3 2 = + ? dx x x ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = + du u du u dx x x 3 4 3 1 4 5 4 3 2 . ) 5 ( 9 8 9 8 2 3 3 4 3 4 2 3 3 2 3 2 3 2 1 C x C u C u du u + + = + = + = = ? ? = - ? 2 dt e t t . 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 C e C e du e du e dt e t t u u u t + - = + - = - = - = - - ? ? ? ? 2 = + ? dx x x C u u du u u du u u du u u dx x x + - = ? ? ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? - = - = + ? ? ? ? - 2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 (). 2 4 ) 2 ( 3 2 4 3 2 2 1 2 3 2 1 2 3 C x x C u u + + - + = + - = () ) ( ' ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( x f x g x g x f x g x f dx d · + · = · () ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( x f x g x g x f dx d x g x f · - · = · . ) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ( ' ) ( dx x f x g x g x f dx x g x f ? ? · - · = ·Bu formülde, f(x) = u , g´(x) dx = dv alınırsa, f´(x) dx = du , g(x) = v olur ve formül a şa ğıdaki biçimi alır: E ğer verilen bir integral, uygun u ve v seçimiyle, ? udv biçiminde ifade edilince, sa ğ taraftaki ? vdu hesaplanması ba şlangıçtaki integralden daha kolay bir integral oluyorsa, bu formül tercih edilir. Bu yöntemle integral hesaplamaya kısmî integrasyon denir. Örnek. Örnek. Örnek. Örnek. ? ? ? - = = - vdu uv dv u dx x x 12 2 ) 1 ( = dx x x x x 13 13 2 ) 1 ( 13 2 ) 1 ( 13 - - - ? dx x x x x 13 13 2 ) 1 ( 13 2 ) 1 ( 13 - - - = ? ) ( 13 2 ) 1 ( 13 ) ( 13 2 ) 1 ( 13 ) 1 ( 13 2 13 2 12 2 ? ? ? - - - = - - = - tdz zt x x dt z x x dx x x ? ? ? ? ? ? - - - - - = ? dx x x x x x 14 14 13 2 ) 1 ( 14 1 ) 1 ( 14 13 2 ) 1 ( 13 C x x x x x + - · · + - · - - = 15 14 13 2 ) 1 ( 15 14 13 2 ) 1 ( 14 13 2 ) 1 ( 13 . ? ? - = vdu uv udv ? = dx e x x ? ? - = vdu uv dv u u = x , dv = e x dx du = dx , v = e x ? - = dx e xe x x . ) 1 ( C e x C e xe x x x + - = + - = () ? ? ? - = = vdu uv dv u dx x ln ? - = dx x x x x 1 ln . ) 1 (ln ln C x x C x x x + - = + - = u = ln x , dv = dx du = (1/x)dx , v = x ? ? ? - = = vdu uv dv u dx x x ln u = ln x , dv =x dx du = (1/x)dx , v = (1/2) x 2 ? ? ? ? ? ? ? - = dx x x x x 1 2 1 ln 2 1 2 2 C x x x + - = 2 2 4 1 ln 2 1 . 2 1 ln 2 1 2 C x x + ? ? ? ? ? ? - = u = x 2 , dv =(x-1) 12 dx du = 2xdx , v = (1/13) (x-1) 13 z = x , dt =(x-1) 13 dx dz = dx , t = (1/14) (x-1) 14 Bu derste elde ettiklerimizi özetleyelim. Belirsiz integral formülleri 1. ? + = C kx kdx 2. ? + + = + , 1 1 C n x dx x n n 1 - ? n 3. ? + = , C e dx e x x 4. C x dx x + = ? ln 1 , 5. ?? = dx x f k dx x kf ) ( ) ( 6. ? ? ? ± = ± dx x g dx x f dx x g x f ) ( ) ( )) ( ) ( ( Kısmî İntegrasyon Formülü ? - ? = vdu uv udv De ği şken de ği ştirme ( ) dx x g du x g u du u f dx x g x g f ) ( ' , ) ( , ) ( ) ( ' )) ( ( = = ?? = Problemler 11 1. A şağıdaki belirsiz integralleri hesaplayınız. a) ? dx x 6 b) dt t 3 8 ? c) ? + du u ) 1 2 ( ç) dx x x ) ( 5 2 3 2 - + ? d) dt e t 3 ? e) dx x 1 2 - ? f) u du ? g) 5 2u du ? h) dx x x ) ( 3 3 2 4 + ? 2. A şağıdaki belirsiz integralleri hesaplayınız. a) dx x x ) 2 3 ( ? + b) dx x e x 4 3 - ? c) ? - xdx x 2 ) 4 ( 5 2 ç) ? dx e x 4 4 d) ? + dt t 2 3 2 1 e) ? dx xe x 2 2 3. A şa ğıdaki belirsiz integralleri hesaplayınız. a) ? + dt t t 4 2 ) 1 3 ( b) dx x x ? + 4 c) dx x x ? - 3 ç) ? - dx x x 9 ) 4 ( d) ? + dx e e x x 3 2 2 ) 1 ( e) dx e x x ? 4 3 f) ? + dx x x 7 3 2 g) ? + dx x x 2 3 ) 2 ( h) ? + dx x x 3 2 4 3 ı) dx e x x 1 2 1 - ? i) ? + dx e e x x 1 j) ? dx x x ln 1 k) ? + + + dx x x x 2 2 4 1 l) ? - - dx e x e x x ) 2 ( ) 2 ( 3 m) dx x x x x ? + + + 4 2 4 3 ) 1 2 ( 4. A şağıdaki integralleri Kısmî İntegrasyon Formülü uygulayarak hesaplayınız. a) ? dx xe x 3 b) ? xdx x ln 2 c) ? dx e x x 2 ç) ? + dx xe x 1 5. A şağıdaki integralleri hesaplayınız. a) ? + dx x x ) 1 ln( 2 b) ? - dx e x x 2 2 c) ? dx x x 2 ) (ln ç) ? dx x 2 ) (ln