Genel Bir Akımın Manyetik Alanı 154 III.8.BİR AKIMIN MANYETİK ALANI III.8.0l. MANYETİK ALAN VE B İOT-SAVART YASASI Hareket halindeki bir elektrik yükü etrafındaki uzayda bir manyetik alan olu şturur. Bir manyetik alan içinde hareket eden yüklere’de manyetik kuvvet etkir. Bu bölümde bir iletken içinde hareket eden yüklerin daha açık olarak yüklerin hareketi sonunda olu şan elektrik akımının iletken etrafında olu şturaca ğı manyetik alan incelenecektir. Akımlar tarafından oluşturulan manyetik alanlara ait ilk denel gözlemler Oersted tarafından l820 yılında yapılmı ştır. Oersted, içinden akım geçen bir telin altında bulunan bir pusulanın, uzun ekseni tele dik olacak şekilde bir duruma geldi ğini ş gözlemi ştir. Daha sonra Biot , Savart ve Ampere tarafından yapılan deneyler sonunda, içinden akım geçen bir iletkenin, etrafındaki uzayın bir noktasındaki manyetik alan de ğerini veren ba ğıntılar elde edilmi ştir. Genel olarak bir akımın, etrafındaki uzayın herhangi bir noktasında olu şturdu ğu manyetik alan şiddeti, akımın yönüne ve doğrultusuna, şiddetine, akımın geometrik şekline ( akımın geçti ği iletkenin şekli, dairesel selonoid,doğru biçiminde, vb olması ) ve akımı çeviren ortamın cinsine ba ğlıdır. Üzerinden I akımı geçen bir devrenin elemanter bir dl akım elemanını düşünelim. Bu akım elemanından r uzaklıkta ve akım elemanı ile ? açısı yapan bir P noktasındaki dB manyetik alan şiddeti vektörel olarak (r b birim vektördür. . Daha açık olarak r = r b r dir .) 155 b dlxr dB 2 r I k = ( 0 1 . a ) veya büyüklük olarak dB k IdI r = sin ? 2 ( 0 1 . b ) ba ğıntısıyla verilmektedir ( Şekil 01 ). Şekil 01 Bu ba ğıntı ilk kez 1820 yılında Biot tarafından teklif edilmi ştir. P noktasında akım elemanınca olu şturulan dB alanının do ğrultusu ve yönü Şekil 0l'de gösterilmi ştir. dB vektörü, dl 'nin eksenine dik bir düzlem içinde bulunur ve dl ile P 'yi dl ile birle ştiren çizginin belirtti ği düzleme diktir. Bunun sonucu olarak, manyetik alan çizgileri, akım elemanının eksenine dik düzlemde bulunan dairelerdir. Bu alan çizgilerinin yönleri, akım elemanını, ba ş parmak akımın yönünü gösterecek şekilde sa ğ el içine alarak kavramakla bulunur. Bu durumda kavrayan parmaklar manyetik alan yönünü gösterir. (0l.b) ba ğıntısına göre, bir akım elemanının olu şturdu ğu manyetik alan, elemanın ekseni üzerindeki bütün noktalarda sıfırdır çünkü bu noktalarda Sin0 ° = 0 dır. Akım elemanına dikey olan bir düzlem içindeki alanda Sin 90 ° = 1 olaca ğından maksimum de ğerde olur. SI birim sisteminde, I amper , dl m. ve dB Weber / m 2 ( T ) olarak alınır. Bu sisteme göre k sabitinin de ğeri, 156 kW b == - µ ? ? 4 10 7 /.m A veya Tm/A ( 02.a ) veya Tm/A ( 02.b ) µ? o Wb m A =· - 41 0 7 /. dir. Buna göre µ O serbest uzayın geçirgenli ği adıyla anılan bir sabittir. Sonlu uzunlukta bir telin ele alınan uzayın bir noktasında olu şturdu ğu manyetik alanın şiddeti, devreyi kuran bütün akım elemanlarının dB alanlarının katkılarının toplamına e şit olaca ğından (01.a) e şitli ğinin integrali alınarak, b dlxr ? ? ? µ = = ? 2 r I 4 B d B ( 0 3 ) şeklinde elde edilir (r b birim vektör olmak üzere , r yerde ği ştirme vektörünün r = r b r oldu ğuna dikkat ediniz. ). Manyetizmadaki Biot-Savart yasasıyla elektrostati ğin Coulomb yasası arasında benzerlik vardır. Örne ğin Idl akım elemanı bir manyetik alan olu şturur, buna kar şılık bir q nokta yükü elektrik alan olu şturur. Nokta yükün elektrik alanı gibi, manyetik alanın büyüklü ğü de akım elemanından olan uzaklığın karesi ile ters orantılı olarak de ği şir. Bu iki alanın yönleri oldukca farkıdır. Nokta yükün olu şturdu ğu elektrik alan yükten çıkan do ğrular boyuncadır. pozitif nokta yük durumunda E nokta yükten alanın hesaplandı ğı noktaya yönelir. Fakat bir akım elemanının olu şturdu ğu manyetik alan, hem akım elemanına hem de yarıçap vektörüne diktir. Bu yüzden iletken, ka ğıt düzleminde bulunuyorsa dB, P noktasında ka ğıt düzleminden dışa do ğru, P’ noktasında içe do ğru yönelmi ştir ( Şekil 02). P r I r dl P’ Şekil 02 157 III.8. 02. BEL İRL İ UZUNLUKTA VE ÇOK UZUN DO ĞRUSAL İLETKEN İN MANYET İK ALANI Belli bir uzunlukta do ğrusal bir akımın kendisinden a uzaklıktaki bir A noktasında olu şturdu ğu manyetik alan a şa ğıdaki gibi hesaplanır. İletkenin uçlarında I ile r arasındaki açılar ? l ve ? 2 olsun. Her akım elemanının A 'da olu şturaca ğı dB alanı sa ğ el avuç içi kuralına göre şekil düzlemine dik ve içe do ğru yönlü olduklarından bunlar skaler olarak toplanabilirler.A noktası ile iletken arasındaki en kısa uzaklık a nın iletkeni kesti ği noktayı ba şlangıç olarak alırsak,(03) ba ğıntısına göre ( Şekil 05), a I ? 2 ? r ? 1 L = +L 2 L = -L 1 r 1 Şekil 03 B r dl L L = - + ? µ ? ? ? 4 2 ? sin ve de ği şken olarak ? açısı alınırsa, r aa tg a d == -= sin sin ?? ? ? l dl 2 olaca ğından B a a d a d = ? = ? µ ? ?? ?? µ ? ?? ? ? ? ? ? ? 44 222 1 2 1 2 ?? /sin . sin sin sin . 158 ( B ) a =- µ ? ?? ? 4 1 ? cos cos 2 ( 0 4 ) elde edilir. Tel sonsuz uzun olarak alınırsa ? = 0, ? = 180 o olaca ğından (04) ba ğıntısı 1 2 B I a n = µ ? 4 2 ( 0 5 ) haline dönü şür. (05) ba ğıntısı kullanılarak do ğrusal iletkenlerden olu şan bir elektrik devresinin manyetik alanını hesaplayabiliriz. III 8. 03. AMPER' İN DEVRESEL YASASI Hareket halindeki yükler yada akımlar manyetik alanlar olu ştururlar. Akım ta şıyan iletken yüksek simetriye sahipse ( silindir, selonoid, toroid gibi ) manyetik alan Amper yasası ile hesaplanır. Biot - Savart yasasının bir integral şekli olan Ampare devresel yasası,manyetik alan şidsdetinin uzaklığa ba ğlı olarak de ği şmedi ği bölgelerde B nin hesaplanması için kullanılır. Bu yasa Bl .d I = ? µ ? ( 0 6 ) şeklindedir. Buradaki çizgi integrali, iletim akımının içinden geçti ği bölgeyi çevreleyen herhangi kapalı yol üzerinden alınır. Ba ğıntının sol tarafı bir skalar çarpımı oldu ğundan (06) e şitli ği Bd l cos?µ ? =I ? ( 0 7 ) olarak verilebilir. Son ba ğıntıda B cos ? , B'nin dl üzerindeki bile şenidir. Ba ğıntıdaki çizgisel integral, e ğri boyunca keyfi olarak seçilen pozitif dolanma yönünde ilerledikçe B cos ?dl de ğerlerinin toplanaca ğını anlatmaktadır. Genelde saat ibrelerinin tersi dolanım yönü seçilmektedir. Ba ğıntının sa ğ tarafındaki I ise, kapalı e ğrinin içinden geçen akımların cebirsel toplamını yani net akımı göstermektedir. 159 Buna örnek olarak Şekil 04.a ‘daki durum için I = I 1 - I 2 olacaktır.Bu uygulamada B ‘nin saat ibrelerini şn ters dolanımı için, şekil 04.a . düzlemden dışa do ğru çıkan akımlar pozitif içe do ğru ğirenler negatif kabul edilmektedir. Buda sa ğ el kuralına uygun olmaktadır. Şekil04.a ‘daki I 3 akımı kapalı e ğrinin dışında kaldı ğından net akımın hesaplanmasında ele alınmaz . Şekil 04.a. Sayfa düzlemine dik üç iletkenden geçen üç ayrı akıma Ampere yasasının uygulanması. Şekil 04.a. da verilen duruma Ampere yasasını uygularsak, ) I I ( dl Cos . B 2 1 0 - µ = ? ? oldu ğunu görürüz. Bu ba ğıntının B 'nin bulunmasında nasıl kullanılaca ğına dair ikinci bir örnek verelim, üzerinden yukarı do ğru I akımı geçen çok uzun do ğrusal bir iletkenden a uzaklıktaki bir noktadaki B 'nin de ğerini hesaplıyalım. Şekil 04.b ‘de bu sistemin simetri gere ği alan çizgileri merkezleri tel üzerinde olan ve tele dik dairelerdir. Bu daireler daireler üzerinde alınan bir noktadaki , o noktraya te ğet B nin yönü sa ğ el kuralı ile belirlenir. . B B I a a a a B Şekil 04.b. Üzerinden I akımı geçen iletkenden belli bir a uzaklı ğında B ‘nin bulunması 160 kımdan a uzaklıktaki yarı çaplı daire üzerinde ele alınan her hangi bir noktadaki B 'nin de ğeri aynıdır. Buna göre integral yoluyla dairenin çevresini bulabiliriz. B vektörü ele alınan noktada bu daireye te ğet oldu ğundan dl ' ile aynı do ğrultuludur ve ?= 0 ° 'dır. B 'nin de ğeri yol boyunca sabit oldu ğundan B integralin dışına çıkarılabilir ve ( 07 ) ba ğıntısı Bd l I o = ? ? µ olur. İntegralin de ğeri 2 ? a 'dır ve akım yalnızca bir tane oldu ğundan ? I = I olacaktır. Böylece B I a = µ ? ? 4 2 ( 0 8 ) bulunur. III.8.04. İK İ PARALEL AKIM ARASINDAK İ KUVVET, AKIM ŞİDDET İ B İR İM İ AMPER' İN TANIMI. Üzerinden Akım geçen bir 1 iletkeninin çevresinde bir manyetik alan olu şaca ğı, e ğer buna yakın bir yerde di ğer bir paralel 2 iletkeni varsa 1 'den olu şan manyetik alanın 2' de bir etki olu şturaca ğı açıktır. Ayrıca 2' nin de 1 'de benzer etkiyi yarataca ğı açıktır. Bu kar şılıklı etkile şim sonunda bir elektromanyetik kuvvet ortaya çıkacaktır.Bu kuvvetin nedeni ise iletkenlerden birinin di ğerinin etki alanının içinde bulunmasıdır. l 161 1 I 1 F 1 B 2 a a F 2 2 I 2 a Şekil 05. İçinden akım geçen iki iletken arasındaki kuvvet. Şekil 05 den, içinden I 2 akımı geçen 2 iletkeninin kendinden a uzaklıkta içinden I 2 ile aynı yönlü akım geçen iletkende olu şturdu ğu manyetik alan B I a o 2 2 2 = µ ? dır. Bölüm III.7.07. deki ba ğıntıya göre 1 telinin uzunlu ğuna etkiyen F l 1 kuvveti, FIBI I a II a oo 1121 21 22 == ? ? ? ? ? ? = ll l µ ? µ ? 2 ( 0 9 ) ve telin birim uzunlu ğuna etkiyen kuvvette, FI a o 11 2 l = µ ? I 2 ( 0 9 . a ) olarak bulunur. Şekil 05 de 1 iletkeninden hareket ederek 2 iletkenindeki manyetik alanı ve F 2 kuvvetini hesaplasaydık bu F 2 kuvveti F 1 le de ğerce aynı, fakat zıt yönlü olurdu. 162 I 1 I 2 F C A o I 1 I 2 F o F F B dy ?a B içe Yönlü (a) (b) Şekil 06. İçlerinden aynı ve zıt yönde akım geçen iki paralel iletkene etkiyen kuvvetler. Şekil 06 da içlerinden aynı yönlü ve zıt yönlü akımlar geçen iki paralel iletkene etkiyen kuvvetleri inceledi ğimizde; Zıt yönlü paralel akımlar birbirini iter Aynı yönlü paralel akımlar birbirini çeker, kuralını buluruz. Bu kural her türlü şekillenmedeki akımlara uygulanır ve akımlar arasındaki bu etkile şimlerin elektrik motorlarında ve teknolojik uygulamalarda önemi büyüktür. SI birim sisteminde, dördüncü temel birim olarak akım şiddeti birimi Amper, k= µ o /4 ? = 10 -7 W/m.A alınarak tanımlanmı ştır.(09.a ) ba ğıntısına göre Amper, bo şlukta l m aralıklı çok uzun iki paralel iletkenden geçti ğinde her iletken üzerinde ve iletkenin metresi ba şına 2 10 -7 Newton'luk bir kuvvet olu şturan akım şiddeti olarak tarif edilir. 163 III.8.05. DA İRESEL İLETKEN İN MERKEZ VE EKSEN İ ÜZER İNDEK İ B İR NOKTADA MANYET İK ALAN Dairesel bir iletkenin yarıçapı R ve ondan geçen akım I ise, dairesel iletkenin merkezindeki manyetik alanı hesaplayabiliriz. Dairesel iletkenin sonsuz küçük dl akım elemanlarından olu ştu ğunu kabul edersek, her elemanın dairesel iletkenin merkezinde olu şturdu ğu dB manyetik alanları aynı yön ve do ğrultulu olacaklardır ( Şekil 07,a.). Her eleman için r=R ve ?=90 o olaca ğından Ampere yasasından () Bd B R dl R R o R o == = ?? µ ? µ ? ? ? 44 2 2 0 2 2 ?? B RR oo == µµ ? ? 24 2 ? ? ( 1 0 ) Dairesel iletken N sarımlı bir bobin ise son ba ğıntı B N R o = µ 2 ? ( 1 1 ) şeklini alır. Şekil 07,b 'de böyle bir dairesel iletkenin alan çizgileri gösterilmi ştir. ? dl 1 dl 2 dl 3 dl n dB n dB 3 dB 2 dB 1 I (a) (b) Şekil 07.a.b. Dairesel bir iletkenin merkezindeki manyetik alan ve bunun alan çizgileri. 164 Böyle bir dairesel iletkenin merkezinden geçen ve dairesel iletkenin düzlemine dik simetri ekseni üzerindeki bir P noktasının manyetik alan de ğeri hesaplanabilir ( Şekil 08). İletkende seçilen bir dl akım elemanının P noktasındaki dB manyetik alanını inceleyelim. Buna göre dl ile r arasındaki açı ? =90 o olacak ve dB, dl ile P nin olu şturdu ğu düzlem içinde ve r 'ye dik olacaktır. Bu durumda dB, biri akımın üzerindeki yatay bile şen dBsin ? ve eksene dik bile şen dBcos ? olmak üzere iki bile şene ayrılabilir. P noktasında olu şan manyetik alana bu bile şenlerden yalnızca yatay olanın katkısı vardır, dikey bile şenin dBcos ? de ğerleri toplandıkları zaman iki şer iki şer birbirlerini yok ederler. Şekil 08’den görülece ği gibi , manyetik alanın yatay dB x =dBsin ? bile şenleri bütün akım elemanları için aynı do ğrultulu ve aynı yönlü olduklarından bunların P noktasındaki ş bile şkesi bir tek sarımlı iletken için a şa ğıdaki gibi, Şekil 08.Dairesel bir iletkenin simetri ekseni üzerindeki bir noktada manyetik alan de ğeri i r x R r dl Y Z X dBcos ?=dB x dBsin ? dB ? ? () Bd B r dl r R x oo R == = ?? cos cos cos ? µ ? ? µ ? ?? ? 44 2 2 0 2 2 ?? 165 B R r o = µ ? 2 2 ? c o s ( 1 2 ) cos ? = ve r = R + x R r 222 oldu ğundan, B r o = µ 2 2 3 ? R veya () B Rx o = + µ 2 2 22 32 ? R / (13) olarak elde edilir. İlme ğin merkezindeki manyetik alan için (13) de x=0 dır ve buradan B I R o =µ 2 ( 1 4 ) bulunur. İlmekten çok uzakta x>>R oldu ğundan B IR x o =µ 2 3 2 (r>>R için) elde edilir.Elektrik dipol momentinde oldu ğu gibi manyetik dipol momentide µ = I. S ba ğıntısıyla verilir. Buna göre bir ilme ğin manyetik dipol momenti µ=I ( ?R 2 ) olaca ğından (15) ba ğıntısı B x o = µ ? µ 2 2 3 ( 1 5 ) şeklini alır. 166 I Şekil 09 İçinden akım geçen dairesel bir ilme ğin manyetik alan çizgileri, burada alt taraf sanki S kutbu üst ise N kutbu gibi davranır. Şekil 09 da çembersel bir akım ilme ğinin manyetik alan çizgileri kolaylık için bir düzlemde gösterilmektedir.Bu akım ilme ğinin alt tarafı sanki S kutbu yukarı tarafıda N kutbu gibi davranır. Ayrıca bu akım ilme ğinin ilmekten çok uzakta manyetik alan çizgileri biçimsel olarak, bir elektrik dipolünün çizgilerine özde ştir. III.8.06. HELMHOLTZ BOB İNLER İ Teknolojide ve ara ştırma laboratuvarlarında sınırlı bir bölgede bir manyetik alana gereksinim duyulmaktadır. Bu tip bir manyetik alanı olu şturmak amacıyla Helmholtz bobinleri adı verilen bir sistem kullanılır. Bu bobinler yarıçapları a ve birbirine paralel olan ve düzlemleri arasındaki uzaklıkta a kadar olan iki bobinden olu şmu ş bir sistemdir ( Şekil 10). a a I I a a Şekil 10. Şematik Helmholtz bobinleri 167 N sarımlı a yarıçaplı dairesel bir iletkenin (Bobinin) ekseni üzerindeki ve bobin merkezinden b uzaklıktaki manyetik alan şiddeti bobinin ekseni boyunca () B R Rb o = + µ 2 2 22 32 ? / ba ğıntısına göre çabucak azalır. Bu azalmayı ifade eden (13) ba ğıntısının b’ye göre de ğişimi Şekil11,a 'da gösterilmi ştir. Şekilden izlenece ği gibi manyetik alan ancak bobinin merkezi yanındaki çok küçük uzaklıklar için düzgün olarak kabul edilebilir. B b O a/2 a a a a a b (a) bir bobinin manyetik alanı (b) Helmholtz bobinlerinin manyetik alanı Şekil 11 a.b. Bir bobinin ve Helmholtz bobinlerinin manyetik alanları N sarımlı tek bir bobin kullanılaca ğına, N sarımlı Helmloltz bobinleri kullanılarak, bunlardan C merkezi yakınında belli bir uzaklık boyunca düzgün manyetik alan elde edilir. C noktasında her iki bobin tarafından olu şturulan manyetik alan de ğeri, b = a /2 olaca ğından B = 2 5 a 5 NI 8 2 a a NIa 2 0 2 / 3 2 2 2 0 µ = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + µ ( 1 6 ) 168 olarak bulunur. Şekil 11.b.de Helmholtz bobinlerinin alanı gösterilmi ştir.Bobinlerin tam ortasında geni ş bir düzgün alan bölgesi meydane gelir. Bu bölge şekil 11.b de taralı k ısım olarak gösterilmi ştir.Bu taralı aralıkta orta noktadan yatay eksen üzerinde uzakla ştıkça bir bobine ait B azlmasını di ğerinin B artması kar şılayarak düzgün alan sistemi korunur. III.8.07. B İR SELONO İD İN EKSEN İ BOYUNCA MANYET İK ALAN L uzunlu ğu R yarıçapından oldukça büyük olan bir selenoide ideal selenoid denilmektedir. Böyle bir ideal selenoidin simetri ekeseninde ve uçlerındaki manyetik alannı hesaplayalım. Böyle bir ideal N sarımlı bir selenoid bobinin içinden geçen akımın, herhengi bir noktada ol şturdu ğu manyetik alan, o noktada selenoidin her sarımının olu şturdu ğu manyetik alanların bile şkesidir. Selonoidin ekseni üzerindeki bir P noktasındaki akı yo ğunlu ğunu bulmak için P'den eksen do ğrultusunda x kadar uzakta bulunan, selonoidin bir dx elemanter uzunlu ğunu ele alalım ( Şekil 12). Selenoidin sarım sayısı N ve uzunlu ğu 1 ise, uzunluk birimindeki sargı sayısı N/1 olacaktır. Buna göre dx uzunlu ğundaki sarım sayısıda (N / l) dx olacaktır. x ? ß ? P dx Şekil 12. İdeal bir selenoidin içindeki ve uçlarındaki manyetik alanın hesaplanması Uzunlu ğu dx olan elemandaki akım şideti I tarafından P noktasında olu şturulan manyetik alan (l3) ba ğıntısına göre () dx L N I R x R 2 dB 2 / 3 2 2 2 o ? ? ? ? ? ? + ? µ = olur. r = ( x 2 + R 2 ) alınır ve son ba ğıntıya iletilirse , 169 dx r R L NI 2 dB 3 2 0 µ = elde edilir. Burada x yerine de ği şken olarak ? açısı kullanılır ve x R tg x R d R Rx = d = - ve r ? ? ? ? sin sin () 2 22 ==+ de ğerleri ba ğıntıya iletilirse , B N d o =- ? µ ?? ß ? 2 ? l sin ( B N o =- µ ? 2 ? l cos cos) ß ( 1 7 ) bulunur. Bu ba ğıntı, sadece selenoidin içine de ğil, dışındaki herhangi bir nokta içinde geçerlidir. Uzun bir selonoidin içinde ve eksen üzerindeki her hangi bir noktada ( merkezde ) bir noktada ?=0 ve ß =180 o olaca ğından böyle bir noktadaki manyetik alan B N o = µ ? l ( merkezindeki manyetik alan ) ( 1 8 ) olacaktır. Bu tür bir selonoidin eksen üzerindeki uçlarındaki bir noktadada manyetik alan de ğeri, ?=0 ve ß=90 o oldu ğundan, B NI = µ 0 2 . l (uçlarındaki manyetik alan ) ( 19 ) dir. Bir selonoidin olu şturdu ğu manyetik alanının kuvvet çi şzgileri Şekil 13' de gösterilmi ştir.Bu ideal selenoidin sol tarafı sanki bir mıknatısın S kutbu sa ğ tarafıd N kutbu gibi davranır. Manyetik alan çizgileri N kutbundan çıkıp S kutbundan girerler. 170 Şekil 13 . İdeal bir selenoidin manyetik alan çizgileri. Bu selenoidin sol tarafı sanki bir mıknatısın S kutbu gibi , sa ğ tarafı N kutbu gibi davranır. ekil 13 ‘deki ideal selenoide Ampere yasasını uygulayarak onun merkezindeki manyetik alam ifadesini bulabiliriz. Bunun için ,PQMK dikdörtgeninin dört kenarı boyunca B.dl ‘nin integralini alarak Ampere yasasını uygularız . PQ kenarı boyunca bu bölgede B = 0 oldu ğundan bunun toplam etkiye katkısı s ıfırdır. PM ve KQ kenarlarının her ikisindende gelen katkı her iki haldede B , dl ‘ ye dik oldu ğundan sıfır olacaktır. MK boyunca ? = 0 olacak ve bu yol boyunca B sabit kabul edilecektir. Böylece MKQP kapalı dikdörtgen yol boyunca ? dl . B ‘nin de ğeri : ? B.dl = B. MK + 0 + 0 + 0 = µ 0 ? I olur. Burada MK uzunlu ğundaki sarım sayısı n’ , selenoidin uzunlu ğu L ve toplam sarım sayısı N ise, n’ = MN L N olur. Buna göre : B ( MN ) = µ 0 n’ I = µ 0 I . MN L N Olaca ğından, buradan, B = µ 0 L NI ( 1 9 . a ) Elde edilir. Bu ba ğıntı , daha önce aynı selenoid için hesaplanan ( 19 ) ba ğıntısıyla aynıdır. 171 I.8.08. MANYET İZMADA GAUSS YASASI Bir yükü içine alan kapalı bir yüzeyden geçen elektrik alan akısının, net yükle orantlı oldu ğunu Gauss yasasına göre görmü ştük. Buna göre kapalı yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısı yalnızca içteki net yüke ba ğlıdır. Manyetik alanlar için bu durum daha de ğişiktir. Manyetik alan çizgileri sürekli olup kapalı ilmekler olu ştururlar. Akımlardan olu şan manyetik alan çizgileri herhangi bir noktadan ba şlayamaz ya da bir noktada sona eremez. Şekil 14 deki çubuk mıknatısın manyetik alan çizgileri bu olguyu açıklamaktadır. N kapaly yüzey S ? B =0 Şekil 14 Herhangi bir kapalı yüzeye giren alan çizgilerinin sayısı, bu yüzeyden çıkan alan çizgilerinin sayısına e şittir. Buna göre kapalı yüzeyden geçen net manyetik akı s ıfırdır. Bu durum elektrik dipolünün yüklerinden birini saran kapalı bir yüzey durumuna terstir ( Şekil 15); orada net elektrik akısı s ıfır de ğildir. 172 kapaly yüzey ? E ?0 Şekil 15 Manyetizmadaki Gauss yasası, herhangi bir kapalı yüzeyden geçen net manyetik akının ( ? B ) her zaman sıfır oldu ğunu belirtir, buna göre ? B d =·= ? BS0 ( 2 0 ) dir. Bu sonuç yalıtılmı ş manyetik kutuplara (tek kutuplara) bugüne de ğin rastlanmamı ş olması olgusuna dayanmaktadır. Tek bir kutup belkide evrende hiç yoktur, varsa bile ölçüm teknolojisi bunu şimdilik algılayamamaktadır. Manyetik alanın şimdilik bilinen kaynakları yalnızca manyetik dipoller (akım ilmekleri) dir. Manyetik maddeler için bile durum aynıdır. Maddelerdeki tüm manyetik olaylar elektronlar ve çekirdeklerden kaynaklanan manyetik dipol momneti (etkin akım ilmekleri) cinsinden açıklanabilmektedir. III.8.09. GENELLE ŞT İR İLM İŞ AMPER YASASI VE MAXWELL DENKLEMLER İ Hareket halindeki yükler yada akımlar manyetik alan olu ştururlar. Akım ta şıyan iletken simetrik yapıya sahipse; Bl= o ? ·dI µ 173 şeklindeki Amper yasası kullanılarak manyetik alan hesaplanabilir. Buradaki çizgi integrali, iletim akımın içinden geçti ği bölgeyi çevreleyen herhangi bir kapalı yol üzerinden alınabilmektedir. Bir kondansatörde herhangi bir andaki yük Q ise iletim akımı I dQ dt = ile verilir. Bu iletim akımı zamanla de ği şmiyorsa yukardaki biçimiyle verilen Amper yasası geçerlidir. Maxwell, Amper yasasındaki bu sınırlamayı kaldırıp yasayı tüm hallere uygulayabilmek amacıyla genelle ştirmi ştir. kondansatör plakalary -Q +Q S 1 yüzeyi S 2 yüzeyi A yolu Şekil 16 Maxwel’ in de ği şimini açıklayabilecek bir sisteme örnek Şekil 16 da verilmi ştir. Burada yüklenmekte olan bir kondansatör olsun. I akımı zamanla de ği şiyorsa ( alternatif akım A.A) plakadaki yük de de ği şecektir. Fakat plakadan plakaya hiçbir akım geçmeyecektir. Şekil 15 deki A yolunu çevreleyen S 1 ve S 2 gibi iki yüzey ele alalım. Amper yasasının düzeltilmemi ş hali bu A yolu boyunca çizgi integralinin µ O I oldu ğunu açıklar. T burada P yolunu çevreleyen herhangi bir yüzeyden geçen toplam akımdır. A yolu S 1 i çevrelemektedir ve akım S 1 den geçmektedir. Böylece integralin de ğeri µ O I olacaktır. Akım S 2 yi çevreledi ğinde S 2 den hiçbir iletim akımı geçmedi ğinden sı ğanın levhaları arasında da iletim akımı olmadı ğına göre, akımın süreksiz olu şundan kaynaklanan bir yetersizlik vardır. Maxwell (06) ba ğıntısının sa ğ tarafına I d yerde ği ştirme akımı denen I d dt do E =? ? ( 2 1 ) 174 şeklinde ek bir terim ilave etmi ştir. Burada ? E d =· ? ES ile tanımlanan elektrik akısıdır. İletim akımındaki süreksizli ği, sı ğa yüklenirken veya bo şalırken levhalar arasındaki de ği şken alanın olu şturdu ğu I d akımı ortadan kaldırır. (04) Amper ba ğıntısına I d terimi eklenirse, bo şluk için Bl ·= += + ? dI II d dt odoo o E µµ µ ? ? () ( 2 2 ) şeklindeki Amper-Maxwell yasasına ait ba ğıntı elde edilir.Bu ba ğıntıya göre; manyetik alanları, iletim akımları ve de de ği şken elektrik alanları olu şturur. (22) ba ğıntısı bo şluk için geçerlidir. Manyetik bir ortamda Amper yasasının tam olarak geçerli olabilmesi için (22) ba ğıntısına I m şeklinde bir mıknatıslanma akımı ilave edilmesi gerekir. Mikro ölçekte I m akımı da iletim akımı I kadar önemli olmaktadır. I.8.10. ÖRNEK PROBLEMLER l) Amper devresel yasası ile Şekil 13 'deki selenoidin merkezi bölgesindeki manyetik alan de ğerini hesaplayınız. Çözüm : İstenilen bölgedeki manyetik akı düzgün ve selonoidin eksenine paralel oldu ğundan kapalı integral yolu olarak MKOP dikdörtgeni seçilebilir. Bu durumda KO ve MP kenarları manyetik alana dik olduklarından ? =90 o ve integral sıfır olur. PO bobinin dı şında ve orada’da manyetik akı olmadı ğı için OP boyunca B=0 olacaktır. Bu ko şullarda (07) ba ğıntısından () B MK I µ 0 000 +++= ? elde edilir. Her sarımdan geçen akım sayfa düzlemine dik ve yönleri şekil 13 'deki gibidir. Buna göre dikdörtgensel yolun düzleminden geçen toplam akım şiddeti, ? I =n' olacaktır. Burada n' dikdötgenin MK uzunlu ğundaki sarım sayısıdır. Selonoidin toplam sarım sayısı N uzunlu ğu l ise, nNL M K ' = / olacaktır.Buradan 175 () B MK nI NI MKL µ 0 == ' olaca ğından, B N I N I == µµ ? ? 00 4 4 ll I bulunur. Biz selonoidin bu tür manyetik alan de ğerini, Bölüm III.8.08' de uzun hesaplamalar sonunda elde edebilmi ştik. 2) Kenarları 2a olan N sarımlı karesel bir bobinden I de ğerinde akım geçmektedir. Bu bobinin merkezindeki manyetik alan de ğerini bulunuz ( Şekil 17). I 135 O 45 O 2a 2a a B Şekil 17.Örnek problem 2. Çözüm, Şekil 17' ye göre, karesel bobinin merkezinde, her kenarın olu şturaca ğı manyetik alan şiddeti ve yönü aynı olaca ğından (04) ba ğıntısının dört kere toplanması gerekir. cos / ? 1 22 = ve cos / ? 2 22 =- oldu ğundan (04) ba ğıntısına göre () B I a Cos Cos =- µ ? ? 0 1 4 ? 2 den B N a o = 2 ? µ ? elde edilir. 176 3) Şekil 18' deki uzun iletkenden geçen akım şiddeti 30 Amp. ve dikdörtgensel bobinden geçen akım iddeti 20 Amp. dir. Bobine etkiyen bile şke kuvveti bulunuz. l=30 cm. , b= 8 cm. ve a= l cm. Şekil 18.Örnek problem 3. kiyen itme kuv ti (07) µ 0 = 10 -7 .4 ? Tm/A veya Wb/mA u ğuna göre ş 20Amp 8cm 1cm Bobinin uzak kenerına et ve ifadesinden rrr FFF iç 0 =+ ? ld Fl i = l . . 02 . .. . = 0 , . N . -7 -3 3 0 20 0 3 009 40 e yakın kenara etkiyen çekme kuvveti v Fl ç = l . . . . . = , . N -7 -3 02 3 02 0 03 001 36 0 177 buna göre yatay ve uzun tele etkiyen yönlü bile şke kuvvet ır. eki manyetik alan şiddetini, -)selonoidin bir merkez kesitinden geçen manyetik akıyı hesaplayınız. özüm, a- 18 ba ğıntısına ğöre F çi = F - F = , l N. -3 32 0 d 4) Bir selonoidin uzunlu ğu l m. ortalama çapı 3 cm., her birisi 850 sarımlı be ş tabaka sarımı vardır ve sarımlardan geçen akım şiddeti 5 Amp.dir. a-)Bobinin merkezind b Ç BN I =/ l = . 850.5,5 1 0 2,67.10 T -2 µ? 7 41 0 . - ? it oldu ğundan manyetik akı ? = B S cos ? ve ? b- Selenoidin merkezinde B sab = 0 o , S= ? R 2 S=7,07.10 -4 m 2 oldu ğundan ? = B S = 2,67.10 -2 . 7,07.10 -4 = 1,89.10 -5 W. ulunur. II.8.11. PROBLEMLER t etmektedir. Buna göre akımın manyetik alanının areketli elektrona uyguladı ğı kuvveti hesaplayınız. evap,2,403. 10 -20 N. rtgen çerçeveden 5 Amp.'lik akım geçiyor. unun merkezindeki manyetik alan de ğerini hesaplayınız. b I l) Uzun do ğrusal bir iletkenden geçen akım şiddeti 1,5 Amp.dir. Bir elektron, telden 0,l m.uzakta tele paralel olarak 5 10 4 m/sn hızla akım yönünde hareke h C 2) Uzunlu ğu 40 cm. geni şli ği 10 cm. 100 sarımlı bir dikdö B 178 Cevap ; 0,00412 T. bile şke alanın e olmalıdır. Bu hesaplanan de ğerlere göre evap , a-I 2 =2 Amp. dik bize yönlü. b-B 0 =22. 10 -7 T. c -B s = 16,4 .10 -7 T. kım rın de ğeri 20 Amp.dir. Bu karesel sistemin merkezindeki manyetik alanın de ğerini hesaplayınız. . Şekil 19.Problem 3 Şekil 20.problem 4. detleri e şit ve zıt yönlüdür. Tellerden e şit zaklıktaki bir A noktasındaki manyetik alan de ğerinin 3) Şekil 19' daki üst telden geçen akım I 1 =6 Amp. ve içe dik yönlüdür.a-P noktasındaki sıfır olması için I 2 akımının de ğeri ve yönü n b-Q 'daki , c - S ' deki bile şke alanı bulunuz. C 4) Şekil 20' da birbirine paralel dört uzun telden şekildeki gibi akımlar geçmektedir ve bu a la 20 cm 20 cm 20 cm 20 cm 50 cm 50 cm 100 cm 80 cm 60 cm S P I = 6 Amp I 1 2 5) Aralıkları a olan iki uzun telden geçen akım şid u () B Ia ba =+ 2 4 0 22 µ ? oldu ğunu gösteriniz ( Şekil 21). 179 a b P Şekil 21.Problem 5 6) Şekil 22'deki sistemde lm uzunlu ğundaki CD iletkeni, CD eklemlerinde kolayca kayabilmektedir.AB iletkeni ile CB iletkeninden geçen akım şiddeti 50 Amp.dir. CD iletkeninin kütlesi 5. 10 -3 kg/ m dir. AB iletkenindeki akım nedeniyle olu şan manyetik kuvvet nedeniyle CD iletkeninin yükselebilece ği denge yüksekli ğini bulunuz. Cevap: 1, 02 cm. D C B I A b a a Şekil 22.Problem 6. Şekil 23.Problem 8 7) Kenarları 20 cm. uzunlu ğunda düzgün altıgen bir iletken çerçeveden 100 Amp.lik bir akım geçmektedir. Bu sistemin merkezindeki manyetik alan de ğerini hesaplayınız. Cevap:3. 10 -4 T. 8) Her birinin yarıçapı a olan ve içlerinden aynı yönlü ve e şit akımlar geçen, iki dairesel sarımın düzlemleri paralel ve aralarındaki uzaklık b dir. Sarımlardan birinin merkezindeki manyetik alan de ğerini hesaplayınız ( Şekil 23). 180 Cevap: () B Ia a ab 0 0 2 3 22 3 2 2 11 =+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? µ 9) Herbirinin yarıçapı 20 cm. ve sarım sayısı 50 olan iki dairesel bobin, düzlemleri birbirine paralel ve aralarındaki uzaklık 20 cm. olamak üzere monte edilmi şlerdir. Bobinlerin her birinden 10/ ? Amp.lik akım, a- aynı yönlü geçerken, b- Zıt yönlü geçerken, bunların ortak ekseninin merkezindeki manyetik alan de ğerini hesaplayınız. Cevap : a -B a = 7,15 .10 -4 T b-B T = 0 10.) Uzunlu ğu 20 cm., çapı 10 cm., sarım sayısı 200 olan ve üzerinden 2/ ? Amp. akım geçen kısa bir selonoidin ekseni üzerinde ve bir ucundan 5 cm. uzaklıkta bir noktadaki manyetik alan de ğerini hesaplayınız. Cevap : B = 6 , 64 .10 -4 T. 11.) R yarıçaplı tahta bir kürenin yüzeyi üzerine,ince bir iletken telden biti şik ve N sayıda sarım sadece bir tabaka halinde ve sarımların düzlemi kürenin eksenine dik olmak üzere ve kürenin yüzeyini tamamen örtmek üzere sarılmı ştır. Sargılardan geçen akım şiddeti I ise kürenin merkezindeki manyetik alan de ğerini hesaplayınız. Cevap : B NI R = µ 0 4 12.) Süper iletken telden yapılmı ş 12cm × 16cm boyutlarındaki dikdörtgen şeklindeki ilmekten 30A lik akım geçmektedir. İlme ğin merkezindeki manyetik akanı hesaplayınız. C. N = 120 sarım. 13.) Toplam uzunlu ğu 60cm olan sıkı sarılmı ş bir selonoidden geçen akım şiddeti 2A oldu ğunda manyetik alan 12.10 -5 T dır. Bu verilere göre selonoidin sarım sayısını hesaplayınız. C. N = 90 sarım. 14.) Bir füzyon reaktörünün manyetik alan kangalları iç yarıçapı 0,7m ve dı ş yarıçapı 1,3m olan toroid biçimindedir. Toroidin içi plazma ile doludur. Toroidin kalın tellerden olu şan 900 sarımım varsa 181 bunların herbirinden 14000A geçiyorsa a) iç yarıçapı boyunca b) dış yarıçapı boyunca manyetik alan şiddetini hesaplayınız. C . a : B iç = 3,6 T , b : B = 1,94 T. 15.) Elektronun atom çekirde ği etrafında r yarıçaplı yörüngede dolanmasının bir peryoduna kar şılık olu şturdu ğu akım şiddeti I = e v / 2 ? r oldu ğuna göre, N. Bohr’ un 1913 de önerdi ği hidrojen atomu modeklinde bir elektron protondan 5,3.10 -11 m uzakta çember şeklindeki yörüngede 2,2.10 6 m/s hızla dolanmaktadır. Elektronun hareketinin protonun bulundu ğu konumda olu şturdu ğu manyetik alan şiddetini bulunuz. C. µ = I . S = 9,3 .10 – 24 A m 2 16.) Toplam uzunlu ğu 8 ? olan bir tel parçası yatay x eksenine göre artı y ekseni boyunca yarıçapı 2 ? cm olan yarım çember şekline getirilmi ştir. Bu durumdaki sistemin sol tarafından sa ğ tarafına doğru 6A şiddetinde bir akım geçmektedir. Çemberin merkezindeki manyetik alanın de ğerini ve yönünü bulunuz. C. B = 3. 10 –5 T. Sayfa düzlemine dik ve içe do ğru. 17.) Çakan şim şek kısa bir zaman süresinde 10 4 A.lik akım ta şıyabilmektedir. Yıldırımın düştü ğü noktadan 50 m uzakta olu şturaca ğı manyetik alan de ğerini bulunuz. C. 4.10 -5 T. 18.) Co ğrafi ekvatorda do ğu batı yönünde yerle ştirilen do ğrusal bir tel parçasına bu noktada etkiyen yerkürenin manyetik alanının yatay bile şeninin de ğeri 3,3.10 - 5 T. dır. Telim birim uzunlu ğunun kütlesi 2.10 – 3 kg/m olduğuna göre , telden geçen akımın de ğeri ne olmalıdırki bunun olu şturdu ğu manyetik kuvvet telin a ğırlığını dengeleyebilsin ?. C. 594 A do ğuya do ğru.