Sayısal Elektronik Boolen Matematiği 82 BOOLEAN MATEMATİĞİ İngiliz matematikçi George Bole tarafından 1854 yılında geli ştirilen BOOLEAN matemati ği sayısal devrelerin tasarımında ve analizinde kullanılması 1938 yılında Claude Shanon tarafından gerçekle ştirildi. BOOLEAN matemati ği sayısal devrelerin çıkı ş ifadelerinin giri ş deği şkenleri cinsinden ifade edilmesi ve elde edilen ifadenin en basit haline ula şması için kullanılır. Bu bölümde a şa ğıdaki konular anlatılacaktır. DEĞİL,VE,VEYA,VEDEĞİL ve VEYADE ĞİL kapılarının, BOOLEAN Matemati ği ifadeleri BOOLEAN matemati ğinde temel kuralların ve kanunların uygulanması BOOLEAN ifadelerinde DeMorgan teoreminin uygulanması BOOLEAN ifadelerinden sayısal devrenin çizilmesi,bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilmesi BOOLEAN ifadelerinin kanunlar ve kurallar yardımı ile sadele ştirilmesi BOOLEAN ifadelerinin do ğruluk tablolarından elde edilmesi ve BOOLEAN açılmları ve standart ifadeler.. BOOLEAN açılımların birbirlerine dönü şümü. Sayısal i şlemler BÖLÜM - 4 BOOLEN MATEMATIGI 83 4.1. BOOLEAN İŞLEMLER İ Boolean matemati ği sayısal sistemlerin analizinde ve anla şılmasında kullanılan temel sistemdir. Bu bölümde temel Boolean i şlemleri ve bunların sayısal devrelerde nasıl kullanıldı ğı anlatılacaktır. 4.1.1 BOOLEAN MATEMATİĞİ SEMBOLLER İ Boolean matemati ğinde kullanılan de ği şkenler veya fonksiyonlar büyük harfler kullanılarak gösterilmi ştir. Sayısal olarak bir de ği şken veya fonksiyon iki de ğer alabilir. Bu de ğerler 1 veya 0 olacaktır. De ği şkenlerin veya fonksiyonların aldı ğı bu de ğerler sayısal devrelerde e ğer “1” ise YÜKSEK gerilim seviyesi , “0” ise ALÇAK gerilim seviyesini gösterecektir. De ğil veya tümleyen (komplement), boolean matemati ğinde de ği şkenin üzerine çizilen bir çizgi ile gösterilir. Örne ğin A ifadesi “ A’ nın de ğili veya A’nın komplementi” şeklinde okunur. E ğer A=1 ise A=0, A=0 ise A=1 olur. Tümleyen (komplement) veya de ğil için A’ şeklinde yazım kullanılabilir. A ve B giri şlere uygulanan iki de ği şkeni gösterirse VE fonksiyonu Boolen ifadesi olarak ‘A.B’ şeklinde yazılırken, VEYA fonksiyonu için ‘A+B’ şeklinde yazılacaktır. 4.1.2 BOOLEAN TOPLAMA VE ÇARPMA Boolean toplamaya ili şkin temel kurallar a şa ğıda verilmi ştir. 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 Boolean matemati ğinin sayısal devre uygulamalarında Boolean toplama VEYA fonksiyonu ile tanımlanacaktır. Boolen çarpma i şlemi ise VE fonksiyonu ile ifade edilir. Boolean çarpma i şlemine ili şkin temel kurallar a şa ğıda verilmi ştir. 0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1 SAYISAL ELEKTRONIK 84 4.2. BOOLEAN KANUNLARI Boolen matemati ğinin üç temel kanunu: Yer de ği ştirme kanunu( Commutative Laws), Birle şme kanunu (Associative Laws) ve Da ğılma Kanunu (Distributive Laws) adını alırlar. YER DE ĞİŞT İRME KANUNU( COMMUTATİVE LAWS) İki giri ş de ği şkeni için Boolean toplamaya ait yer de ği ştirme kanunu a şa ğıdaki gibi yazılır A+B = B+A İki giri şli bir VEYA kapısının giri şlerine uygulanan de ği şkenler yer de ği şirse çıkı ş de ğeri de ği şmez. Yer de ği ştirme kanunun VEYA kapısı uygulaması Şekil 4.1’de verilmi ştir. ? A+B A B B A B+A Şekil 4.1 Yerde ği ştirme kanunun VEYA kapısı uygulaması İki giri ş de ği şkeni için Boolean çarpmaya ait yer de ği ştirme kanunu a şa ğıdaki gibi yazılır A.B = B.A İki giri şli bir VE kapısının giri şlerine uygulanan de ği şkenler yer de ği şirse çıkı ş de ğeri de ği şmez. Yer de ği ştirme kanunun VE kapısı uygulaması Şekil 4.2’de verilmi ştir. ? A.B A B B A B.A Şekil 4.2 Yerde ği ştirme kanunun VE kapısı uygulaması SAYISAL ELEKTRONIK 85 B İRLE ŞME KANUNU (ASSOC İAT İVE LAWS) Boolean toplama i şlemine ili şkin birle şme kanunu A,B,C giri ş de ği şkenlerini göstermek üzere a şa ğıdaki gibi yazılır. A + (B + C) = (A + B) + C Bir VEYA kapısının giri şlerine uygulanan de ği şkenlerin gruplandırılmaları de ği şirse çıkı ş de ğeri de ği şmeyecektir. Şekil 4.3 birle şme kanununun VEYA kapısı uygulamasını göstermektedir. A B C A + B + C B + C ? A B C A + B A + B + C Şekil 4.3 Birle şme kanununun VEYA kapısı uygulaması Boolean çarpma i şlemine ili şkin birle şme kanunu A,B,C giri ş de ği şkenlerini göstermek üzere a şa ğıdaki gibi yazılır. A . ( B . C ) = ( A . B ) . C Bir VEYA kapısının giri şlerine uygulanan de ği şkenlerin gruplandırılmaları de ği şirse çıkı ş de ğeri de ği şmeyecektir. Şekil 4.4 birle şme kanununun VE kapısı uygulamasını göstermektedir. A B C A . B . C B . C ? A B C A . B A . B . C Şekil 4.4 Birle şme kanununun VE kapısı uygulaması SAYISAL ELEKTRONIK 86 DA ĞILMA KANUNU (DISTRIBUTIVE LAW) A,B,C giri ş de ği şkenlerini göstermek üzere da ğılma kanunu a şa ğıdaki gibi yazılır. A . ( B + C ) = A . B + A .C VEYA’ lanmı ş B , C d e ği şkenlerinin A ile VE’ lenmesi ile elde edilen ifade , A de ği şkeninin B, C de ği şkenleri ile VE’ lenmesi sonucu VEYA’ lanmasından elde edilen ifadeye e şittir. Şekil 4.5 da ğılma kanununu göstermektedir B C A B+C A.(B+C) ? A A C B A.B + A.C Şekil 4.5 Da ğılma kanununun mantık kapıları ile uygulanması 4.3 BOOLEAN MATEMAT İĞİ KURALLARI Tablo 4.1 Lojik ifadelerin indirgenmesinde kullanılan temel Boolean kurallarını göstermektedir. Tablo 4.1 1.a- A + 0 = A b- A + 1 = 1 c- A + A = 1 d- A + A = A 2.a- A . 0 = 0 b- A . 1 = A c- A . A = 0 d- A . A = A 3. A = A 4. A + A.B = A 5. A + B . A = A+B 6. ( A + B ) . ( A + C ) = A + B . C SAYISAL ELEKTRONIK 87 Kural 1- VEYA özde şlikleri a) Bir VEYA kapısının giri şlerinden biri “0” ise çıkı ş ifadesi A’ nın durumuna ba ğlıdır. E ğer A=0 ise çıkı ş “0”, A=1 ise çıkı ş “1” olur. b) Bir VEYA kapısının giri şlerinden biri “1” ise , A’ nın durumu ne olursa olsun çıkı ş daima “1” olur. c) Bir VEYA kapısının giri şlerine de ği şkenin de ğili ile kendisi uygulanırsa çıkı ş A’nın durumu ne olursa olsun daima “1” olur. d) Bir VEYA kapısının her iki giri şine aynı de ği şken uygulanırsa çıkı ş A’nın durumuna ba ğlıdır. E ğer A=0 ise çıkı ş “0”, A=1 ise çıkı ş “1” olur. A = 0 0 F = 0 A = 1 0 F = 1 A = 0 1 F = 1 A = 1 1 F = 1 a- A+0 = A b-A+1=1 A = 0 F = 1 A = 1 F = 1 A = 0 F = 0 A = 1 F = 1 A = 0 A = 1 A = 0 A = 1 c- 1 = A + A d- A+A=A Şekil 4.6. VEYA özde şlikleri Kural 2- VE özde şlikleri a) Bir VE kapısının giri şlerinden biri “0” ise, A’ nın durumu ne olursa olsun çıkı ş daima “0”olur. b) Bir VE kapısının giri şlerinden biri “1” ise çıkı ş ifadesi A’ nın durumuna ba ğlıdır. E ğer A=0 ise çıkı ş “0”, A=1 ise çıkı ş “1” olur. c) Bir VE kapısının giri şlerine de ği şkenin de ğili(tümleyeni) ile kendisi uygulanırsa çıkı ş A’nın durumu ne olursa olsun daima “0” olur. d) Bir VE kapısının her iki giri şine aynı d e ği şken uygulanırsa çıkı ş A’nın durumuna ba ğlıdır. E ğer A=0 ise çıkı ş “0”, A=1 ise çıkı ş “1” olur. SAYISAL ELEKTRONIK 88 A = 0 0 F = 0 A = 1 0 F = 0 A = 0 1 F = 0 A = 1 1 F = 1 a- A . 0 = 0 b- A . 1 = A A = 0 F = 0 A = 1 F = 0 A = 0 F = 0 A = 1 F = 1 A = 0 A = 1 A = 0 A = 1 c- 0 = A .. A d- A . A = A Şekil 4.7. VE özde şlikleri Kural 3- Çift tersleme kuralı Bir Lojik ifadenin veya de ği şkenin iki defa de ğili alınırsa (terslenirse) lojik ifadenin veya de ği şkenin aslı elde edilir. A=0 1 A = A 0 A = = 0 A = A 1 A = = A=1 Şekil 4.8. Çift tersleme kuralı Kural 4- Yutma kuralı Bu kuralı da ğılma kanunu ve VEYA, VE özde şlikleri yardımı ile açıklayalım. E ğer ifadeyi A ortak parantezine alırsak a şa ğıdaki dönü şüm sa ğlanmı ş olur. A + A.B = A ( 1 + B ) Da ğılma kanunu, VEYA özde şlikleri = A.1 VE özde şlikleri = A SAYISAL ELEKTRONIK 89 Tablo 4.2 ‘ de A + A.B ifadesine ait do ğruluk tablosu gösterilmi ştir. Giri ş de ği şkenlerinin durumuna ba ğlı olarak çıkı ş ifadesi yazılabilir. A+A.B çıkı şının A giri ş ifadesine e şit oldu ğu Tablo 4.2’den görülmelidir. Tablo 4.2 Kural 5 Bu kuralı yutma, VE, VEYA özde şlikleri, çift tersleme kuralları yardımı ile açıklayalım. B . A A + = (A + A.B) + B . A Yutma kuralı = (A.A + A.B) + B . A VE özde şli ği = A.A + A.B + A . A + B . A Çift tersleme = ( A + A ). ( A + B) VEYA özde şli ği = 1. ( A + B) VE özde şli ği = A + B Kural-5’e ait do ğruluk tablosu Tablo 4.3’de verilmi ştir. Giri ş de ği şkenlerinin durumlarına ba ğlı olarak B . A A + ifadesi ve A+B ifadesi yazılırsa, bu iki ifadenin e şitli ği tablodan görülebilir. Tablo 4.3 A B A.B A + A.B 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 A B B . A B . A A + A+B 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 SAYISAL ELEKTRONIK 90 Kural 6 Bu kuralı da ğılma kanunu, VE özde şli ği, VEYA özde şli ği yardımı ile açıklayalım: ( A + B ) . ( A + C )= A.A + A.C + A.B +B.C = A + A.C + A.B + B.C = A. ( 1 + C) + A.B + B.C = A.1 + A.B +B.C = A. ( 1 + B ) + B.C = A + B.C A B C A +B A+C ( A + B ).( A + C ) B.C A + B.C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Tablo 4.4 Tablo 4.4’de giri şlerin durumuna ba ğlı olarak ( A + B) . ( A + C ) ile A + B.C ifadelerinin durumları yazılmı ştır. Bu iki ifadenin e şitli ği tablodan görülebilir. 4.4 DEMORGAN TEOREMLER İ DeMorgan teoremleri Boolean matemati ğinin en önemli teoremleridir. İki de ği şken için DeMorgan teoremleri a şa ğıdaki gibi yazılır. Teorem-1 B A B . A + = Teorem-2 B . A B A = + SAYISAL ELEKTRONIK 91 Teorem-1 Bu teoremi açıklamadan önce Boolean çarpma ve Boolean toplama i şlemi arasındaki ili şkiyi açıklayalım. “Boolean matemati ğinde çarpma i şleminin komplementeri toplama i şlemine e şittir.” A, B gibi iki de ği şkenin VEDEĞİL kapısına uygulanması ile elde edilen ifade bu iki de ği şkenin de ğilinin alınmasından sonra VEYA’lanması ile elde edilen ifadeye e şittir. B + A = B . A ( Teorem -1 ) A şa ğıda Şekil 4.8 Teorem-1’e ait kapı e şitli ğini ve do ğruluk tablosunu göstermektedir. A B B . A ? A B B A + B A B . A B A + 00 0 0 00 011 11 111 11 a-Kapı e şitli ği b-Do ğruluk tablosu Şekil 4.9 Teorem-1’e ait kapı e şitli ği ve do ğruluk tablosu Teorem-2 “Boolean matemati ğinde toplama i şleminin komplementeri çarpma i şlemine e şittir.” A, B gibi iki de ği şkenin VEYA DEĞİL kapısına uygulanması ile elde edilen ifade bu iki de ği şkenin de ğilinin alınmasından sonra VE’ lenmasi ile elde edilen ifadeye e şittir. B . A B A = + ( Teorem-2 ) A şa ğıda Şekil 4.9 Teorem-2’ye ait kapı e şitli ğini ve do ğruluk tablosunu göstermektedir. A B B A + ? A B B . A B A 00 0 0 00 000 11 100 11 B A + B . A a-Kapı e şitli ği b-Do ğruluk tablosu Şekil 4.10 Teorem-2’ye ait kapı e şitli ği ve do ğruluk tablosu SAYISAL ELEKTRONIK 92 Örnek: A şa ğıdaki Lojik ifadelere DeMorgan teoremlerini uygulayınız. a- Q= C + B + A = C . B . A b- Q= C . B . A = C + B + A E ğer verilen lojik ifade fazla sayıda de ği şken ve i şlem içeriyorsa bu durumda ifadenin basitle ştirilmesi için lojik ifade içersindeki farklı de ği şken tanımlayarak DeMorgan teoremleri uygulanabilir. Örnek: A şa ğıdaki Lojik ifadeye DeMorgan teoremini uygulayınız. ) E . D ( ). C . B + A ( = Q Çözüm: İşlemi adım adım anlatalım. I. Adım: Lojik ifade içindeki i şlemleri farklı bir de ği şken kullanarak tanımlayalım C . B + A = X ve E . D = Y dönü şümleri yapılır. II.Adım: Basitle ştirilmi ş e şitlik Y . X = Q olur. III.Adım: Bu ifadeye DeMorgan teoremini uygularsak Y + X = Q olacaktır. X ve Y de ği şkenlerini fonksiyona tekrar yazarsak Q e şitli ği E . D + ) C . B + A ( = Q olur. IV.Adım: C . B + A ifadesinde Z=A ve C . B = W dönü şümü yapılırsa V. Adım: W + Z = W . Z olacaktır.Q ifadesi ise; E . D + ) C + B .( A = Q olacaktır. SAYISAL ELEKTRONIK 93 Örnek: A şa ğıdaki lojik ifadelere DeMorgan teoremini uygulayınız. a- D ). C + B + A ( = Q b- F . E . D + C . B . A = Q Çözüm: a- A+B+C=X ve D=Y dönü şümleri yapılırsa; Y + X = Y . X olacaktır. D + ) C + B + A ( = D ). C + B + A ( olur. ) C + B + A ( ifadesine DeMorgan teoremi uygulanırsa D + C . B . A = D + ) C + B + A ( olacaktır. b- X = C . B . A ve D.E.F=Y dönü şümleri yapılırsa. Y + X = Y . X olacaktır. ) F + E + D ).( C + B + A ( = F . E . D + C . B .A ifadesi elde edilir 4.5 SAYISAL DEVRE TASARIMI Boolean ifadesinden mantık kapıları arasında uygun ba ğlantılar yapılması ile sayısal devrenin elde edilmesi i şlemine sayısal devre tasarımı adı verilir. Bu bölümde verilen bir Boolean ifadesinden sayısal devrenin çizimi ve sayısal devrelerden Boolean ifadesinin elde edilmesi anlatılacaktır. 4.5.1 BOOLEAN İFADESİNDEN SAYISAL DEVRELER İN Ç İZ İLMES İ Bu kısımda verilen bir Boolean ifadesinden sayısal devrelerin çizilmesi anlatılacaktır. Devre tasarlanırken ilk önce Boolean ifadesinde kaç tane giri ş de ği şkenin oldu ğu, daha sonra bu de ği şkenlerin hangi Boolean i şlemine uygulandı ğı bulunmalıdır. Çizim SAYISAL ELEKTRONIK 94 sırasında Boolean matemati ği i şlem sırası takip edilmelidir. İşlem sırası parantez ,DE ĞİL,VE, VEYA şeklindedir. Örnek: C B . A Q + = ifadesini gerçekle ştirecek sayısal devreyi tasarlayınız. Çözüm: C B . A Q + = ifadesinde A,B,C üç giri ş de ği şkenini, Q ise çıkı ş de ği şkenini göstermektedir. İşlemin gerçekle ştirilmesine Boolean çarpma ile ba şlanır. Boolean çarpma i şlemi VE kapısı ile gerçekle şece ğinden, ilk adımda A ile B de ği şkenlerinin VE kapısına uygulanması gerekir. Boolean çarpma i şlemi ile elde edilen ifade (A. B), di ğer giri ş de ği şkeni ile Boolean toplama i şlemine tabi tutulur. Boolean toplama i şlemi VEYA kapısı ile gerçekle şece ğinden A.B ifadesi C ile VEYA kapısına uygulanır. B A C Q Şekil 4.10 Q=A.B+C ifadesine ait sayısal devre Verilen C B . A Q + = boolean ifadesi “ A VE B VEYA C ” şeklinde okunur. Örnek: C . B . A B . A Q + = ifadesini gerçekle ştirecek sayısal devreyi tasarlayınız. SAYISAL ELEKTRONIK 95 Çözüm: Verilen Boolean ifadesinin çizimine öncelikle VE kapıları ile ifade edilen Boolean çarpma i şlemi ile ba şlarız. Ancak VE kapılarına uygulanacak de ği şkenlerden DE ĞİL olan varsa, öncelikle bu de ği şken DEĞİL kapısına uygulanarak bu i şlem A ( ) gerçekle ştirilir. DE ĞİL’i alınan de ği şken di ğer de ği şken(B) ile VE kapısına ( B . A ) uygulanır. Elde edilmek istenen A.B.C ifadesinde üç de ği şkenin VE kapısına uygulanması gerekti ğinden üç giri şli bir VE kapısı ve iki giri şli iki VE kapısının ardı ardına ba ğlanması ile bu i şlem gerçekle ştirilir. Elde edilen bu iki ifade VEYA kapısına uygulanarak devrenin çizimi tamamlanır. Şekil 4.11’de C . B . A B . A Q + = ifadesine ait sayısal devre hem iki ve üç giri şli VE kapıları ile hemde sadece iki giri şli VE kapıları kullanılarak çizilmi ştir. . A A B C C . B . A B . A + B . A C . B . A A . A B C C . B . A B . A + B . A . B . A C . B . A (a) Üç giri şli VE kapıları kullanarak devre (b) İki giri şli VE kapıları kullanarak devre çizimi çizimi Şekil 4.11. C . B . A + B . A = Q ifadesine ait devre çizimleri 4.5.2 SAYISAL DEVREDEN BOOLEAN İFADESİN İN ELDE ED İLMES İ Çizilmi ş bir sayısal devreden Boolean ifadesinin elde edilebilmesi için ilk önce kapı giri şlerine uygulanan de ği şkenler belirlenir. Her kapı ç ıkı şına ait Boolean ifadesi yazılır. Bu i şlem devredeki en son kapıya kadar sürdürülür. SAYISAL ELEKTRONIK 96 Örnek: A şa ğıda verilen sayısal devrenin çıkı şına ait Boolean ifadesini bulunuz. C B A Şekil 4.12 Q Çözüm: Her bir kapı giri ş ve çıkı ş ifadesi devredeki son kapıya kadar yazılarak ifade elde edilir. C B A B C B + A ) C B .( A Q + = 4.6 BOOLEAN İFADELER İN İN SADELE ŞT İR İLMES İ Ço ğu zaman sayısal bir devre için elde edilen Boolean ifadesi uzun ve karma şık olabilir. Devreyi bu haliyle tasarlamak i şlemin maliyetinin artmasını ve hata yapma olasılı ğını beraberinde getirmektedir. Boolean teorem, kural ve kanunular yardımı ile ifadeler sadele ştirilerek daha az sayıda mantık kapısı ile sayısal devreler tasarlanabilir. SAYISAL ELEKTRONIK 97 Örnek: ) A + B .( C + ) A + C .( B + C . B = Q ifadesini Boolean teoremleri yardımı ile indirgeyiniz. Çözüm: Sadele ştirme i şlemini çe şitli adımlarla gösterelim I.Adım: Da ğılma kanununu ikinci ve üçüncü terimlere uygularsak ifade a şa ğıdaki gibi olacaktır. C . A + C . B + B . A + C . B + C . B = Q II.Adım: Birinci ve ikinci terimi “B” de ği şkeni ortak parantezine alırsak ifade C . A + C . B + B . A + ) C + C .( B = Q III.Adım: VEYA özde şlikleri ile (C+C=C) C . A C . B B . A C . B Q + + + = IV.Adım: Birinci ve üçüncü terimi “C” de ği şkeni ortak parantezine alırsak C . A B . A ) B B ( C Q + + + = V.Adım: VEYA özde şlikleri ile ) 1 B B ( = + Q= C + A.B + A.C VI.Adım: Birinci ve üçüncü terimi “C” ile ortak paranteze alırsak Q= C( 1 + A ) + A.B VII.Adım: VEYA özde şlikleri yardımı ile (1+A=1) Q= C + A.B olacaktır. Şekil 4.13 ifadenin indirgenmemi ş ve indirgenmiş haliyle devreleri göstermektedir. (a) (b) SAYISAL ELEKTRONIK 98 A B ) A B ( C ) A C .( B C . B + + + + C A B C A.B+C Şekil 4.13 İfadenin sadele şmeden önce (a) ve sadele ştirildikten (b)sonra tasarımı 4.7. BOOLEAN İFADELER İN İN ELDE ED İLMES İ Bir do ğruluk tablosu tasarımcı tarafından sayısal devrenin çalı şmasına yönelik olu şturulmu ş ve giri ş de ği şkenlerinin durumuna ba ğlı olarak çıkı şın ne olması gerekti ği anlatan tablodur. Tasarım a şamasında en önemli i şlemlerden biri olan do ğruluk tablosunu olu şturduktan sonra ifadenin mantık kapıları ve bu kapıların birbirleriyle olan ba ğlantılarının elde edilebilmesi için tablodan Boolean ifadesinin elde edilmesi gerekmektedir. Önceki kısımlarda bu ifadelerin sadele ştirilmesi ve devrelerin çizilmesi anlatıldı. Bu bölümde Boolean ifadelerinin do ğruluk tablosundan elde edilmesi konusu anlatılacaktır. 4.7.1. BOOLEAN AÇILIMLARI VE STANDART FORMLAR Boolean ifadeleri fonksiyonun do ğruluk tablosundan elde edilen iki temel açılımdır. Bu ifadeler e ğer bir sadele ştirme i şlemi uygulanmazsa az sayıda de ği şken içermesi ender olarak kar şıla şılan bir durumdur. Boolean ifadelerinin yazıldı ğı iki temel açılım minterimlerin toplamı ve maxterimlerin çarpımı olarak gösterilebilirler. 4.7.1.1 M İNTER İM VE MAX İTER İM İkili bir de ği şken Boolean ifadesi olarak de ği şkenin kendisi (A) veya de ği şkenin de ğili ( A ) şeklinde gösterilebilir. VE kapısına uygulanan A ve B de ği şkenlerinin iki şekilde Boolean ifadesi yazılabilece ğinden bu de ği şkenlerin alabilece ği dört durum söz konusudur. Bu dört durum minimum terim veya standart çarpım adını alır. Benzer şekilde n sayıda de ği şken için 2 n kadar minimum terim yazılabilir.Tablo 4.5 üç de ği şkene ait minimum terimleri göstermektedir. SAYISAL ELEKTRONIK 99 Tablo 4.5 Üç de ği şkenin alabilece ği sekiz (2 3 ) durum oldu ğundan 0’dan 7’ye kadar olan onluk sayıların ikilik kar şılıkları, yazılabilecek durumları vermektedir. Her bir de ği şken ikilik sayıda e ğer “0” ise de ğili “1” ise de ği şkenin kendisi yazılarak bulunur. Minimum terim Boolean ifadesini “1” yapan terimdir.Her bir minimum terim m j şeklinde gösterilir. Burada j indisi ilgili ikilik sayının onluk kar şılı ğıdır. Benzer biçimde n kadar de ği şken için de ği şkenin kendisi ve de ğili olmak üzere VEYA i şlemini ile birle ştirilmi ş 2 n kadar durum yazılabilir. VEYA i şlemi ile birle ştirilmi ş bu durumlar ise maksimum terimler veya standart toplama adını alırlar. Üç de ği şkene ait maksimum terimler Tablo 4.6’da verilmi ştir. Her maxterim üç de ği şkenin VEYA i şlemi ile birle ştirilmi ş halinden elde edilir ve burada ikilik sayıda de ği şken 0 ise de ği şkenin kendisi, 1 ise de ği şkenin de ğili yazılarak bulunabilir. Maxterimler A B C Terim Sembol 0 0 0 C + B + A M 0 0 0 1 C + B + A M 1 0 1 0 C + B + A M 2 0 1 1 C + B + A M 3 1 0 0 C + B + A M 4 1 0 1 C + B + A M 5 1 1 0 C + B + A M 6 1 1 1 C + B + A M 7 Tablo 4.6 Minterimler A B C Terim Sembol 0 0 0 C . B . A m 0 0 0 1 C . B . A m 1 0 1 0 C . B . A m 2 0 1 1 C . B . A m 3 1 0 0 C . B . A m 4 1 0 1 C . B . A m 5 1 1 0 C . B . A m 6 1 1 1 C . B . A m 7 SAYISAL ELEKTRONIK 100 4.7.1.2. M İN İTER İMLER İN TOPLAMI Bir önceki konuda n sayıda de ği şkene ait 2 n sayıda minimum terim yazılabilece ğini ve bu minimum terimlerin fonksiyonu ‘1’ yapan terimler oldu ğu anlatılmı ştı. Boolean fonksiyonunu minterimlerin toplamı (çarpımların toplamı) cinsinden ifade edebilmek için fonksiyonun ‘1’ oldu ğu her durum için minimum terimler bulunur. Bulunan bu minimum terimler VEYA’lanarak fonksiyon minterimlerin toplamı(çarpımların toplamı) cinsinden yazılabilir. Örnek: A şa ğıdaki do ğruluk tablosundan lojik ifadeyi minterimler cinsinden bulunuz. A B C Q 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Çözüm: Do ğruluk tablosunda çıkı ş ifadesinin ‘1’ oldu ğu her duruma ait miniterim bulunduktan sonra bu terimler VEYA’ lanarak lojik ifade elde edilir. A B C Q 0 0 0 1 C . B . A m 0 0 0 1 1 C . B . A m 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 C . B . A m 5 1 1 0 0 1 1 1 1 C . B . A m 7 SAYISAL ELEKTRONIK 101 Yazılan minterimlerin her birisinin çıkı şı 1 yapan terimler oldu ğu do ğruluk tablosundan görülmelidir. Miniterimlerin VEYA ’lanması ile elde edilen ifade çıkı şın 1 oldu ğu tüm durumları kapsayacaktır. C . B . A + C . B . A + C . B . A + C . B . A = Q veya Q= m 0 + m 1 + m 5 +m 7 şeklinde yazılabilir Ço ğu durumda do ğruluk tablosunu vermek yerine a şa ğıdaki gösterimde kullanılabilir. Q(A,B,C)= ?(0,1,5,7) Burada ? sembolü parantez içinde verilen minimum terimlerin VEYA ’ lanması ile lojik ifadenin elde edilece ğini anlatır. Çıkı ş ifadesini gösteren terimden (Q) sonra gelen parantez bu fonksiyonda kaç de ği şkenin (A,B,C) oldu ğunu göstermektedir. Bazı durumlarda Boolean ifadesi minterimlerin toplamı formunda olmayabilir. Fonksiyonu VE terimlerinin VEYA’ lanması ile bu forma dönü ştürülür. Daha sonra her terimde eksik de ği şken olup olmadı ğı kontrol edilir. E ğer terimde eksik de ği şken veya de ği şkenler varsa, A eksik de ği şkeni göstermek üzere A + A ifadesi terimle VE’lenerek eksik de ği şken eklenmi ş olur. Bu i şlem terim içinde eksik de ği şken kalmayana kadar devam eder. Not: Eksik bir de ği şken veya de ği şkenlerin terime eklenilmesi i şleminde; Teorem1.c. A = 1 . A Teorem 2.d. A = A + A teoremleri kullanılmaktadır. Örnek: C . B + A = Q fonksiyonunu minterimlerin toplamı şeklinde ifade edin. Çözüm: Fonksiyon A,B ve C olmak üzere üç de ği şkene sahiptir. İlk terim A’de B ve C de ği şkenlerinin ikisi bulunmamaktadır. Bu de ği şkenleri terime eklemek için: SAYISAL ELEKTRONIK 102 B . A + B . A = ) B + B .( A = 1 . A = A yazılabilir. Ancak terimde hala C de ği şkeni eksiktir. ) C + C .( B . A + ) C + C ( B . A = A C . B . A + C . B . A + C . B . A + C . B . A = İkinci terim C . B ’de ise A de ği şkeni eksiktir. C . B . A + C . B . A = ) A + A .( C . B = C . B şeklinde yazılabilir. Bütün terimleri birle ştirirsek: C . B . A + C . B . A + C . B . A + C . B . A + C . B . A + C . B . A = Q sonucu elde edilir. C . B . A ifadesi fonksiyonda iki defa görülür, bu nedenle (A+A=A) şeklinde ifade edilen Teorem 1.d’ ye göre bunlardan birini çıkararak sadele ştirme gerçekle şir. Minterimleri artan sıraya göre yazarsak. ) (0,1,2,3,6 Ó = ) C, B, Q(A, m + m + m + m + m = Q C . B . A + C . B . A + C . B . A + C . B . A + C . B . A = Q 6 3 2 1 0 şeklinde yazılır. Örnek: A şa ğıda verilen Boolean ifadelerini minterimlerin toplamı formunda yazınız a) C . B + B . A = F b) Z . Y . X + Y + X = Q c) D . C . B + C . A + C . B . A = Q d) ) D . B + A ).( C + B . A ( = Q SAYISAL ELEKTRONIK 103 4.7.1.3. MAX İTER İMLER İN ÇARPIMI Boolean fonksiyonları maxterimlerin çarpımı olarak da ifade edilebilirler. n sayıda de ği şkene ait 2 n sayıda maxterim yazılabilir. Bu maxterimler fonksiyonun ‘0’ olmasını sa ğlayan terimlerdir. Boolean fonksiyonunu maxterimlerin çarpımı formunda yazmak için fonksiyonun ‘0’ oldu ğu her duruma ait maxterimler bulunur. Bulunan bu maxterimler VE ’lanarak fonksiyon maxterimlerin çapımı formunda yazılabilir. Örnek: A şa ğıdaki do ğruluk tablosundan lojik ifadeyi maxiterimler cinsinden bulunuz. A B C Q 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Çözüm: Do ğruluk tablosunun çıkı ş ifadesinin 0 oldu ğu her duruma ait maksimum terim bulunduktan sonra bu terimler VE’ lenerek lojik ifade elde edilir. A B C Q 0 0 0 0 C + B + A 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 C + B + A 1 0 1 0 C + B + A 1 1 0 1 1 1 1 1 Yazılan minimum terimlerin çıkı şın ‘0’ olmasını sa ğlayan terimler oldu ğu do ğruluk tablosundan görülmelidir. ) C + B + A ).( C + B + A ).( C + B + A ( = Q Q= M 0 .M 4 .M 5 şeklinde yazılabilir.Ço ğu durumda do ğruluk tablosu yerine Q(A,B,C)=(0,4,5) SAYISAL ELEKTRONIK 104 Şeklinde fonksiyon verilebilir. ? sembolü parantez içindeki maxiterimlere VE i şleminin uygulanaca ğını gösterirken, çıkı ş ifadesini (Q) takip eden parantez de ği şkenleri (A,B,C) göstermektedir. Boolean fonksiyonların maxterimlerin çarpımı (toplamların çarpımı) olarak ifade edebilmek için fonksiyonu VEYA terimleri haline getirmek gerekir. Bu i şlem: (A+B).(A+C) = A+B.C da ğılma kanunu kullanılarak gerçekle ştirilir.Daha sonra her bir VEYA teriminde eksik de ği şken varsa , A eksik de ği şkeni göstermek üzere, terim A . A ile VEYA’lanır. Örnek: C . B + B . A = Q fonksiyonunu maxiterimlerin çarpımı olarak ifade ediniz. Çözüm: İlk önce da ğılma yasası kullanılarak fonksiyonu VEYA terimlerine çevirelim ) C + B ).( C + A ).( B + A ( = Q oldu ğundan 1 = B + B ) C + B ).( B + B ).( C + A ).( B + A ( = Q ) C . B + B ).( C . B + A ( = C . B + B . A = Q şeklinde VEYA terimlerine dönü ştürülür. Fonksiyon A,B ve C olmak üzere üç de ği şkenden olu şmu ştur. Her bir VEYA teriminde eksik de ği şken varsa bu de ği şkenler eklenir. ) C + B + A ).( C + B + A ( = A . A + C + B = C + B ) C + B + A ).( C + B + A ( = B . B + C + A = C + A ) C + B + A ).( C + B + A ( = C . C + B + A = B + A Elde edilen terimler birle ştirilip fonksiyonda aynı terimlerden biri atılıp sadele şmi ş fonksiyon yazılırsa: ) 6 , 2 , 1 , 0 ( ? = Q M M . M . M = Q ) C + B + A ).( C + B + A ).( C + B + A ).( C + B + A ( = Q 6 . 2 1 0 şeklinde yazılabilir. SAYISAL ELEKTRONIK 105 Örnek: A şa ğıda verilen Boolean ifadelerini maxterimlerin toplamı formunda yazınız a) C . B + B . A = F b) Z . Y . X + Y + X = Q c) D . C . B + C . A + C . B . A = Q 4.7.1.4 BOOLEAN AÇILIMLARININ B İRB İRLER İNE DÖNÜ ŞTÜRÜLMES İ İki temel Boolean açılımda kullanılan minterim ve maxterimler ifade edili ş bakımından birbirlerinin tümleyeni oldu ğu görülebilir. Bunun nedeni fonksiyonu ‘1’ yapan terimlere ait minimum terimler bulunurken, fonksiyonu ‘0’ yapan minimum terimlerin tümleyeninin fonksiyonu ‘1’ yapmasıdır. Örne ğin : F(A,B,C)= ?(0,2,5,7) fonksiyonu minterimlerin toplamı şeklinde a şa ğıdaki gibi yazılabilir. F(A,B,C)= m 0 +m 2 +m 5 +m 7 Bu fonsiyonun tümleyeni a şa ğıdaki gibi olacaktır: F’(A,B,C)= m 1 +m 3 +m 4 +m 6 Elde edilen fonksiyona DeMORGAN teoremi ile F’ fonksiyonun de ğilini alarak F fonksiyonu elde etmek istersek : F(A,B,C)=( m 1 +m 3 +m 4 +m 6 )’ F(A,B,C)= m 1 ’.m 3 ’.m 4 ’.m 6 ’ Minterim ve maxterimlere ait Tablo4.5 ve Tablo 4.6 incelenirse m i ’ = M j oldu ğu kolaylıkla görülebilir. F(A,B,C)= M 1 .M 3 .M 4 .M 6 F(A,B,C)= ?(1,3,4,6) şeklinde olacaktır. Bu durumda m i ’ = M j ili şkisi yazılabilir.Yani bir maksimum terim aynı alt indise sahip bir minterimin tümleyenine e şittir. Bu ifadenin terside do ğrudur. SAYISAL ELEKTRONIK 106 Boolean açılımlarının birbirleri arasındaki dönü şümde; I - Dönü şüm i şlemine göre a) E ğer minterimden maxterime dönü şüm isteniyorsa ? sembolü ile ? sembolü ile de ği ştirilir. b) E ğer maxterimden minterime dönü şüm isteniyorsa ? sembolü ile ? sembolü ile de ği ştirilir. II - Fonksiyonda sayılar seklinde verilen terimlerin yerlerine fonksiyonda bulunmayan sayıları yazılır. adımları takip edilebilir. Örnek : A şa ğıda minterimler cinsinden verilen fonksiyonu maxterimler cinsinden yazınız. Q(x,y,z,w)= ?(0,2,3,7,9,11,12,13,15) Çözüm: Dönü şüm i şlemi maxterimden minterime oldu ğuna göre ?sembolü ? sembolü ile yer de ği şecektir. Fonksiyonda olmayan sayılar yazılarak dönü şüm i şlemi tamamlanmı ş olur. Q(x,y,z,w)= ? (1,4,5,6,8,10,14) 4.7.1.5. STANDART İFADELER Boolean fonksiyonların elde etmenin bir di ğer yolu standart formlardır. Bu formda fonksiyonu olu şturan terimler de ği şkenlerin tamamı içermetebilir. İki temel tip standart form vardır, çarpımların toplamı (Sum of Product-SOP) ve toplamların çarpımı (Product of Sum-POS). SAYISAL ELEKTRONIK 107 Çarpımların toplamı formu, bir veya daha fazla de ği şkenden olu şan çarpım terimleri olarak adlandırılan VE terimlerinden olu şmu ş Boolean ifadesi gösterimidir.Toplam, elde edilen VE terimlerinin VEYA ’landı ğını göstermektedir.Bu forma bir örnek a şa ğıda gösterilmi ştir. D . C . A + C . B + A = F Boolean ifadesi A,B,C,D gibi dört de ği şkene sahip olup ,sırayla bir,iki ve üç de ği şkenden olu şmu ş üç VE teriminin VEYA’ lanmasından olu şmu ştur. Toplamların çarpımı formu ise, bir veya daha fazla de ği şkenden olu şan toplam terimleri olarak adlandırılan VEYA terimlerinden olu şmu ş Boolean ifadesi gösterimidir.Çarpım, elde edilen VEYA terimlerinin VE ’lendi ğini göstermektedir.Bu forma bir örnek a şa ğıda gösterilmi ştir. ) D + B + A ).( C + B .( A = Q Boolean ifadesi A,B,C,D gibi dört de ği şkene sahip olup ,sırayla bir,iki ve üç de ği şkenden olu şmu ş üç VEYA teriminin VE’ lenmasinden olu şmu ştur. Bazı durumlarda verilen ifade her iki formda olmayabilir. Örne ğin: ) D . C + B . A ).( D . C + B . A ( = F fonksiyonu her iki formda de ğildir. Bu ifade da ğılma kanunu kullanılarak parantezlerin kaldırılması halinde standart forma dönü ştürülebilir. D . C . B . A + D . C . B . A = F 4.7.2 D İĞER SAYISAL İŞLEMLER n kadar de ği şkene sahip bir Boolean fonksiyonu için 2 n olası durum yazılabildi ği için, n kadar de ği şken için yazılabilecek fonksiyon sayısı n 2 2 kadardır. İki de ği şken için n=2 oldu ğundan yazılabilecek fonksiyon sayısı 16’dır. X ve y gibi iki de ği şkene ait yazılabilecek 16 fonksiyona ait doğruluk tabloları Tablo 4. 7’de verilmi ştir.Tabloda F 0 ’dan F 15 ’e kadar olan 16 sütündan her birisi x ve y de ği şkenlerinden olu şan fonksiyonlardan birinin do ğruluk tablosunu göstermektedir. Fonksiyonlar F’in alabilece ği 16 durumdan elde edilmi ştir. Fonksiyonların bazılarında i şlemci sembolü vardır. Örme ğin F 1, Ve i şlemine ili şkin do ğruluk tablosunu vermektedir ve i şlem sembolü “.” olarak verilmi ştir. SAYISAL ELEKTRONIK 108 Tablo 4.7 Tablo 4.8 do ğruluk tablosu verilen 16 fonksiyona ait Boolean ifadelerini göstermektedir. Boolean ifadeleri en az sayıda de ği şken içerecek biçimde sadele ştirilmi ştir. Tabloda görülen fonksiyonların bir bölümü (VE,VEYA,DEĞİL vb.) Boolean işlemcileri ile ifade edilebilmelerine ra ğmen di ğer fonksiyonların ( Özel VEYA, x de ğil ve y vb.) ifade edilebilmeleri için özel i şlem sembolü kullanılmı ştır. Özel-Veya i şlemi dı şındaki i şlem sembolleri tasarımcılar tarafından pek kullanılmaz. Tablo 4.8’da verilen 16 fonksiyon üç ana gurupta incelenebilir: I. İki fonksiyon ‘0’ veya ‘1’ gibi bir sabit üretir. II. Dört fonksiyon tümleyen ve transfer i şlemini verir. III. On fonksiyon VE,VEYA,VEDEĞİL,VEYADEĞİL,Özel-VEYA, Özel-VEYA DEĞİL, engelleme ve içerme olmak üzere sekiz i şlemi gösterir. x y F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 6 F 7 F 8 F 9 F 10 F 11 F 12 F 13 F 14 F 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 İşlem sembolü . / / + v y’ x’ ^ SAYISAL ELEKTRONIK 109 İkilik bir fonksiyon sadece ‘1’ veya ‘0’ de ğerlerini alabilir. Tümleyen fonksiyonu ikilik de ği şkenlerden (x ,y) her birisinin tümleyenini(x’,y’) verir. Giri şin de ği şkenlerinden birine e şit olan fonksiyona transfer fonksiyonu denir. Engeleme ve içerme i şlemleri sayısal tasarımcılar tarafından kullanılsada bilgisayar mantı ğında nadiren kullanılr. VE,VEYA,VE de ğil,VEYA de ğil,Özel-VEYA ve Özel-VEYA de ğil i şlemleri sayısal sistemlerin tasarımında yaygın olarak kullanılmaktadır. Boolean Fonksiyonu İşlem Sembolü İşlem Adı Açıklama F 0 =0 Bo ş İkilik sabit 0 F 1 =x.y x.y VE x ve y F 2 =x.y’ x/y Engelleme x ve y de ğil F 3 =x Transfer x F 4 =x’.y y/x Engelleme x de ğil ve y F 5 =y Transfer y F 6 =x.y’+x’.y xy Özel-VEYA x veya y fakat ikisi birden de ğil F 7 =x+y x+y VEYA x veya y F 8 =(x+y)’ x vy VEYA DE ĞİL VEYA de ğil F 9 =x.y+x’.y’ xy Özel-VEYA DEĞİL x e şit y F 10 =y’ y’ De ğil y’ nin de ğili F 11 =x+y’ xy İçerme x veya y de ğil F 12 =x’ x’ De ğil x’ in de ğili F 13 =x’+y xy içerme x de ğil veya y F 14 =(x.y)’ x ^y VE DEĞİL VE’nin de ğili F 15 =1 Birim eleman İkilik sabit 1 SAYISAL ELEKTRONIK