Genel Matematik Çok Değişkenli Doğrusal Denklem Sistemleri ( Gauss - Jordan Yoketme Yöntemi ) DERS 2 Çok De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi 1.1. Çok De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri. Daha önce de belirtti ğimiz üzere, iki de ği şkenli iki denklemden olu şan denklem sistemleri dü şünebilece ğimiz gibi de ği şken sayısı ve denklem sayısı ikiden fazla olan do ğrusal denklem sistemleri de dü şünebiliriz. Gerçekten, günlük hayatta kar şımıza çıkan problemlerden pek ço ğu çok de ği şkenli do ğrusal denklemlerden olu şan denklem sistemleri ile modellenebilir. Bundan böyle tartı şmalarımızı çok deği şkenli do ğrusal denklem sistemleri üzerinde yürütece ğiz. De ği şken sayısı üç veya daha az ise, deği şkenler için genellikle x, y, z harfleri kullanılmakla beraber, tartı şmaları en genel biçimde yapmak için de ği şkenleri numaralamak daha elverişli olmaktadır: x 1 , x 2 , x 3 , . . . gibi. Tanım 1. a 1 , a 2 , . . . , a n , b ? R olmak üzere a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = b ifadesine bir n-de ği şkenli do ğrusal denklem denir. a 1 , a 2 , . . . , a n sayılarına denklemin katsayıları, b sayısına da sa ğ taraf sabiti denir. Tanım 2. Verilen c 1 , c 2 , . . . , c n sayıları için a 1 c 1 + a 2 c 2 + . . . + a n c n = b ise, (c 1 , c 2 , . . . , c n ) sıralı n-lisine a 1 x 1 + a 2 x 2 + . . . + a n x n = b denkleminin bir çözümü denir. Tanım 3. a ij , b i , 1 ? i ? m , 1 ? j ? n olmak üzere n de ği şkenli m denklemden olu şan ? ? ? ? ? ? ? = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 L L L L Ders 2 ………………………………………………………………………………… 18 denklemler toplulu ğuna bir do ğrusal denklem sistemi denir. a ij s a y ılarına sistemin katsayıları, b i sayılarına da sa ğ taraf sabitleri denir. n-deği şkenli bir doğrusal denklem sisteminin bir çözümü denince, o sistemdeki denk- lemlerden her birinin çözümü olan bir sıralı reel sayı n-lisi anla şılır. Tanım 4. Çözüm kümeleri aynı olan iki do ğrusal denklem sistemine denk sistemler denir. İki de ği şkenli do ğrusal denklem sistemleri için gördü ğümüz yoketme yöntemi, daha çok de ği şkenli do ğrusal denklem sistemleri için de aynen geçerlidir. Bir denklem sistemini çözmek için a şa ğıdaki teoremde ifade edilen A, B, C i şlemleri kullanılarak o sisteme denk ancak çözümü daha kolay bir takım denklem sistemleri zinciri elde edilerek adım adım çözüme ula şılır. Teorem. A şa ğıdaki i şlemlerden her biri, uygulandı ğı bir denklem sistemini ona denk olan bir denklem sistemine dönü ştürür: A. İki denklemin yerini de ği ştirmek. B. Bir denklemi sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. C. Bir denklemin bir sabitle çarpımını ba şka bir denkleme (taraf – tarafa) toplamak. İki de ği şkenli do ğrusal denklem sistemleri için gözlemledi ğimiz, do ğrusal denklem sistemleri ile matrisler arasındaki ili şki, çok de ği şkenli do ğrusal denklem sistemleri için de geçerlidir. n-deği şkenli m denklemden ibaret olan ? ? ? ? ? ? ? = + + + = + + + = + + + m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 L L L L doğrusal denklem sisteminin katsayıları ve sa ğ taraf sabitlerinden olu şan ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? m mn m m n n b b b a a a a a a a a a K K K K K 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 matrisine bu sistemin ilaveli matrisi denir. Dikkât edilirse, n-deği şkenli m denklemden olu şan sistemin ilaveli matrisi bir m ×(n+1) matristir. Son sütundan önceki dü şey çizgi, sa ğ taraf sabitlerini di ğer girdilerden ayırmak için konmu ştur. Bir do ğrusal denklem sisteminin, ilaveli matrisince tamamen belirlendi ğine dikkat ediniz. Çok De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri , Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi……. 19 Bu noktada, okuyucunun ilaveli matrisi verilen bir denklem sistemini veya verilen bir doğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisini yazmak hususunda birkaç alı ştırma yapması yararlı olacaktır. Do ğrusal denklem sistemlerini yoketme yöntemi ile çözerken yukarda ifede etti ğimiz teoremdeki i şlemleri uygularız. Bu i şlemler bir do ğrusal denklem sistemine uygulandı ğında, o sistemin ilaveli matrisi üzerinde, sırasıyla, a şa ğıdaki satır i şlemlerine kar şılık gellirler: İki satırın yerini de ği ştirmek. Bir satırı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. Bir satırın bir sabitle çarpımını ba şka bir satıra toplamak. Tekrar anımsayalım ki bir satırı bir sabitle çarpmak, o satırın tüm girdilerini o sabitle çarpmak demektir. Bir satırı ba şka bir satıra toplamak, o satırın her girdisini di ğer satırın kar şılık gelen girdisine toplamak demektir. Matrisler üzerinde satır i şlemleri için kullandı ğımız gösterimleri de anımsayalım: İki satırın yerini de ği ştirmek. R i - R j (i-inci satır ile j-inci satırın yerlerini de ği ştirmek) Bir satırı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpmak. cR i ›R i (i-inci satırı sıfırdan fark- lı c sabiti ile çarpmak) Bir satırın bir sabitle çarpımını ba şka bir satıra toplamak. cR i +R j ›R j (i-inci satırı c sabiti ile çarpıp j-inci satıra toplamak) İlk dersimizde, basit bir örnek üzerinde, denklem sisteminin ilaveli matrisine herhangi bir satır işlemi uygulanınca elde edilen matrisin o sisteme denk olan bir do ğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi oldu ğunu gözlemlemi ştik. Bu gözlemden, bir denklem sistemini çözmek için, o sistemin ilaveli matrisine uygun satır işlemleri uygulanarak, kar şılık gelen denklem sisteminin çözüm kümesinin hemen belirlenebilece ği basit bir matris elde etmenin yararlı olaca ğı sonucunu çıkarmı ştık. Basit matris ile ne söylenmek istendi ğinin bu dersimizin konusu olaca ğını belirterek ilk dersimizi bitirmi ştik. Ders 2 ………………………………………………………………………………… 20 1.2. İndirgenmi ş Matrisler. Bir do ğrusal denklem sistemini çözmek için o sistemin ilaveli matrisine bazı satır işlemleri uygulayarak ilaveli matrisi öyle bir matrise dönü ştürmek istiyoruz ki, dönü ştürülen matris, çözümünü kolayca belirleyebilece ğimiz bir do ğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi olsun. İşte ilk dersimizde basit matris ile söylenmek istenen bu idi. O halde, hangi matrisler çözüm kümesi kolayca belirlenebilecek bir do ğrusal denklem sisteminin ilaveli matrisi olabilir? Şimdi verece ğimiz tanımı bu ba ğlamda de ğerlendiriniz. Tanım 1. A şa ğıdaki dört ko şulu sa ğlayan matrise indirgenmiş matris denir: 1. Tüm girdileri sıfır olan tüm satırlar, sıfırdan farklı girdisi bulunan satırlardan sonra gelir. 2. Her satırın soldan itibaren sıfırdan farklı ilk girdisi 1 dir. 3. Bir satırın sıfırdan farklı ilk girdisinin bulundu ğu sütundaki di ğer girdilerin hepsi sıfırdır. 4. Bir satırın sıfırdan farklı ilk girdisinin bulundu ğu sütun, kendisinden önceki satırın ilk girdisinin bulundu ğu sütunun sağındadır. Örnek 1. ? ? ? ? ? ? 2 3 1 0 0 1 bir indirgenmi ş matristir. Örnek 2. ? ? ? ? ? ? 9 8 3 1 1 2 indirgenmi ş matris de ğildir. Örnek 3. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 0 0 0 1 1 0 0 2 0 0 1 bir indirgenmi ş matristir. Örnek 4. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 7 1 0 6 3 1 2 3 0 2 1 bir indirgenmi ş matris de ğildir. Bir matris indirgenmi ş matris de ğilse, tanımdaki ko şullardan bazılarını sa ğlamıyor demektir. Örnek 2 deki matriste birinci satırının soldan itibaren ilk girdisi 2 oldu ğundan tanımdaki ikinci ko şul sa ğlanmamaktadır. Bununla beraber, uygun bir satır i şlemiyle, bu matrisi birinci satırının ilk girdisi 1 olan bir matrise dönü ştürerek indirgenmiş olmaya daha yakın bir matris elde edebiliriz: iki satırın yerini de ği ştirmek gibi. Elde edilen matris yine de indirgenmi ş matris de ğildir. Şimdi, sözünü etti ğimiz matris üzerinde bazı satır işlemleri uygulayarak bir indirgenmi ş matris elde edece ğiz. Her adımda uygulanan satır işleminin tanımdaki hangi ko şul ile ilgili oldu ğunu görmeye çalı şınız. Çok De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri , Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi……. 21 ? ? ? ? ? ? 9 8 3 1 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? - 8 1 2 9 3 1 2 1 R R ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ?› ? › + - 10 5 0 9 3 1 2 2 1 2 R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? › - 2 1 0 9 3 1 2 2 5 1 R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? › + - 2 1 0 3 0 1 1 1 2 3 R R R Yukarıdaki örneklerden sonuncusu için de aynı şey geçerlidir: Bir matris, farklı tür ve sırada satır işlemleri uygulanarak indirgenmi ş matrise dönü ştü- rülebilir, ancak sonunda elde edilen indirgenmi ş matris aynıdır. Örne ğin yukarıda indirgenmi ş matrise dönü ştürdü ğümüz ? ? ? ? ? ? 9 8 3 1 1 2 matrisi için oradakilerden farklı satır i şlemleri uygulayabilir ve aynı indirgenmi ş matrise ula şabiliriz: ? ? ? ? ? ? 9 8 3 1 1 2 ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ?› ? › + - 9 3 1 1 2 1 1 1 2 1 R R R ? ? ? ? ? ? - - ? ? ? ?› ? › + - 10 5 0 1 2 1 2 2 1 1 R R R ? ? ? ? ? ? - - ? ? ?› ? › 2 1 0 1 2 1 2 2 5 1 R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?› ? › + 2 1 0 3 0 1 1 1 2 2 R R R Siz de daha farklı yollar izleyerek indirgenmi ş matrise ula şabilirsiniz. Sonunda aynı indirgenmi ş matrisi elde edersiniz. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 7 1 0 6 3 1 2 3 0 2 1 ? ? ? ?› ? › + - 2 2 1 2 R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 7 1 0 0 3 3 0 3 0 2 1 ? ? ?› ? › 2 2 3 1 R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 7 1 0 0 1 1 0 3 0 2 1 ? ? ? ? ?› ? › + - 3 3 2 1 R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 6 0 0 0 1 1 0 3 0 2 1 ? ? ? ?› ? › + 1 1 2 2 R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 6 0 0 0 1 1 0 3 2 0 1 ? ? ?› ? › 3 3 6 1 R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 0 0 0 1 1 0 3 2 0 1 ? ? ? ?› ? › + - R R R 2 3 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 0 0 0 0 1 0 3 2 0 1 ? ? ? ?› ? › + - 1 1 3 2 R R R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 0 0 0 0 1 0 3 0 0 1Ders 2 ………………………………………………………………………………… 22 Acaba her matris indirgenmi ş biçime dönü ştürülebilir mi? Bu sorunun yanıtı olumludur ve a şa ğıdaki teoremde ifade edilmi ştir. Teorem. Her matris sonlu sayıda satır işlemi ile tek türlü belirli bir indirgenmi ş matrise dö- nüştürülebilir. Tanım 2. Bir matristen sonlu sayıda satır i şlemi ile elde edilen tek türlü belirli indirgenmi ş matrise o matrisin indirgenmi ş biçimi denir. Birkaç örnek verelim: Örnek 5. ? ? ? ? ? ? 2 3 1 0 0 1 bir indirgenmi ş matristir; bu matris, ? ? ? ? ? ? 9 8 3 1 1 2 in indirgenmi ş biçimidir. Örnek 6. ? ? ? ? ? ? 3 0 0 1 0 0 matrisi indirgenmi ş matris de ğildir; bu matrisin indirgenmi ş biçimi ? ? ? ? ? ? 0 3 0 0 0 1 matrisidir. Örnek 7. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 8 12 4 4 0 0 1 2 2 3 1 1 matrisi indirgenmi ş matris de ğildir. Bu matrisin indirgenmi ş biçimi a şa ğıdaki gibi bulunabilir: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 8 12 4 4 0 0 1 2 2 3 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 0 0 0 4 6 1 0 2 3 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 0 0 0 0 4 6 1 0 2 3 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 0 0 0 0 4 6 1 0 2 3 0 1 En sonda elde edilen matris indirgenmi ş biçimdedir. Bu matrisi elde etmek için uygulanan satır işlemleri sırasıyla şöyledir: ilk adımda, birinci satır 2 ile çarpılıp ikinci satıra, sonra da -4 ile çarpılıp üçüncü satıra toplanmı ştır; ikinci adımda, ikinci satır -1 ile çarpılmı ştır; son adımda, ikinci satır -1 ile çarpılıp birinci satıra toplanmı ştır. Ku şkusuz, daha farklı satır i şlemleri ile de aynı sonuca ula şılabilir. Örnek 8. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 0 8 12 4 4 2 0 0 1 2 4 2 3 1 1 matrisinin indirgenmi ş biçimini bulalım: Çok De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri , Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi……. 23 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 0 8 12 4 4 2 0 0 1 2 4 2 3 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 0 0 0 0 10 4 6 1 0 4 2 3 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 0 0 0 0 10 4 6 1 0 4 2 3 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 0 0 0 0 10 4 6 1 0 6 2 3 0 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 0 0 0 0 0 4 6 1 0 0 2 3 0 1 En sondaki matris, verilen matrisin indirgenmi ş biçimidir. 1.3. Gauss - Jordan Yoketme Yöntemi. İndirgenmi ş matris kavramına denklem sistem- lerinin çözümünü tartı şırken vardı ğımızı unutmayınız. İndirgenmi ş biçimde bir ilaveli matrise sahip olan bir denklem sisteminin çözüm kümesini belirlemek çok kolaydır. Örnek 1. A şa ğıdaki tabloda, ilaveli matrisi indirgenmi ş matris olan denklem sistemleri ve bunların çözüm kümeleri verilmi ştir. Çözüm kümelerinin nasıl yazıldı ğı üzerinde dü şününüz. Konu içinde ilerledikçe bu çözüm kümelerinin nasıl yazıldı ğını daha iyi anlayacaksınız. İlaveli Matris Sistem Çözüm kümesi ? ? ? ? ? ? 2 3 1 0 0 1 ? ? ? = = 2 3 y x Ç={(3,2)} ? ? ? ? ? ? 0 3 0 0 0 1 ? ? ? = = 0 0 3 x Ç={(3 , t) : t ?R} ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 0 0 0 0 4 6 1 0 2 3 0 1 ? ? ? ? ? = = - - = - 0 0 4 6 2 3 3 2 3 1 x x x x Ç={(-2+3t , 4+6t , t) : t ?R} ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 3 1 ? ? ? = = + 1 0 0 3 2 1 x x Ç = Ø Di ğer yandan, bir denklem sisteminin ilaveli matrisi indirgenmi ş biçime getirilirken her adımda, kar şılık gelen denklem sistemi ba şlangıçtaki denklem sistemine denk olan bir sistemin ilaveli matrisi elde edilir. Dolayısıyla, bir denklem sistemi, ilaveli matrisinin indirgenmi ş biçimine karşılık gelen denklem sistemine denktir, yani o sistemle aynı çözüm kümesine sahiptir. Böylece, bir do ğrusal denklem sistemini çözmek için o sistemin ilaveli matrisinin indirgenmi ş biçimini bulmak önem kazanmaktadır. Denklem sistemlerini bu yolla çözmeye Gauss-Jordan yoketme yöntemi denir. Ders 2 ………………………………………………………………………………… 24 Tanım 1. E ğer bir matrisin bir satırının tüm girdileri sıfır ise, o satıra sıfır satırı denir. En az bir girdisi sıfırdan farklı olan satıra sıfırdan farlı satır denir. Bu tanımlar, bundan sonrası için, ifade kolaylı ğı sa ğlayacaktır. Gauss-Jordan yoketme yönteminde bir do ğrusal denklem sistemini çözmek için, sistemin ilaveli matrisi, indirgenmi ş biçime getirilir ve a şa ğıdaki durumlara göre çözüm kümesi belirlenir. 1. İndirgenmi ş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı varsa, sistemin çözümü yoktur. 2. İndirgenmi ş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı yok ve sütun sayısı sıfırdan farklı satır sayısından bir fazla ise, sistemin tek bir çözümü vardır. 3. İndirgenmi ş biçimde (0 , 0 , . . . ,0 | 1) satırı yok ve sütun sayısı sıfırdan farklı satır sayısından en az iki fazla ise, sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır. E ğer sütun sayısı, sıfırdan farklı satır sayısından r fazla ise, sistem için r -1 parametreye ba ğlı bir genel çözüm yazılabilir. Örnek 2. E ğer bir denklem sisteminin ilaveli matrisinin indirgenmi ş biçimi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 ise, bu sistemin hiç çözümü yoktur, çünkü son satır (0 , 0 , 0 | 1) dir ve bu satıra kar şılık gelen denklem 0 = 1 dir. Örnek 3. E ğer bir denklem sisteminin ilaveli matrisinin indirgenmi ş biçimi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 4 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ise, bu sistemin tek bir çözümü vardır, çünkü (0 , 0 , 0 | 1) biçiminde bir satır yoktur ve sütun sayısı, sıfırdan farklı satır sayısından bir fazladır. Bu matrise kar şılık gelen sistem yazılırsa tek çözümün ne oldu ğu görülür. ? ? ? ? ? = = = 1 4 3 3 2 1 x x x ; çözüm kümesi Ç = {(3 , 4 , 1)} dir. Örnek 4. E ğer bir denklem sisteminin ilaveli matrisinin indirgenmi ş biçimi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 4 3 0 0 0 1 1 0 2 0 1 ise, bu sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır, çünkü (0 , 0 , 0 | 1) biçiminde bir satır yoktur ve sütun sayısı, sıfırdan farklı satır sayısından iki fazladır. Bu matrise kar şılık gelen sistem yazılırsa çözüm kümesinin ne oldu ğu görülür. ? ? ? = - = + 4 3 2 3 2 3 1 x x x x ? ? ? + = - = ? 3 2 3 1 4 2 3 x x x x ; çözüm kümesi Ç = {(3-2t , 4+t , t) : t ? R} dir. Çok De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri , Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi……. 25 Örnek 5. ? ? ? ? ? = + - - = + - - = - + 1 2 5 4 1 2 2 1 3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x denklem sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. Sistemin ilaveli matrisini yazıp indirgenmi ş biçimini bulaca ğız. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 1 1 1 2 5 4 1 2 2 1 3 3 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 1 1 2 2 5 4 1 2 2 0 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 9 5 2 2 1 0 1 0 0 0 1 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - 1 5 2 0 1 0 1 0 0 0 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 5 2 0 1 0 1 0 0 0 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Son matristen, çözüm kümesi, Ç = {(1 , 1 , 5)} olarak elde edilir. Örnek 6. ? ? ? ? ? = + - = - + = + - 0 2 3 7 3 3 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 0 7 3 2 3 1 1 1 3 1 2 2 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 3 7 0 1 2 2 1 1 3 2 3 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 3 7 0 3 4 0 7 10 0 2 3 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 3 7 . 0 0 3 4 0 7 . 0 1 0 2 3 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 2 . 0 7 . 0 1 . 2 2 . 0 0 0 7 . 0 1 0 1 . 0 0 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Son matristen, çözüm kümesi, Ç = {(2 , 0 , -1)} olarak elde edilir. Örnek 7. ? ? ? ? ? = - + - = + - - = + - 5 3 4 2 2 7 8 4 4 4 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x denklem sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. Ders 2 ………………………………………………………………………………… 26 ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - - - 5 2 4 3 4 2 7 8 4 1 4 2 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - 1 10 2 2 0 0 5 0 0 5 . 0 2 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - 1 2 2 2 0 0 1 0 0 5 . 0 2 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - 1 2 3 0 0 0 1 0 0 0 2 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 Son matristen, çözüm kümesi, Ç = Ø olarak elde edilir. Örnek 8. ? ? ? ? ? - = + - - = - + = - + 6 4 3 2 10 6 4 2 15 9 6 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x denklem sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - - - 6 10 15 4 3 2 6 4 2 9 6 3 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - - - 6 10 5 4 3 2 6 4 2 3 2 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 4 0 5 2 1 0 0 0 0 3 2 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 4 5 0 0 0 2 1 0 3 2 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - 0 4 3 0 0 0 2 1 0 1 0 1 Son matristen, ? ? ? = - - = + 4 2 3 3 2 3 1 x x x x ? ? ? + = - - = ? 3 2 3 1 2 4 3 x x x x ? ? ? ? ? = + = - - = ? t x t x t x 3 2 1 2 4 3 ve böylece çözüm kümesi Ç = {(-3-t , 4+2t , t) : t ? R} olarak elde edilir . Örnek 9. ? ? ? ? ? - = + + + = - + + + = - + + + 2 3 7 3 2 4 3 8 4 2 1 4 2 5 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x denklem sistemini Gauss-Jordan yoketme yöntemi ile çözelim. Çok De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri , Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi……. 27 ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - 2 2 1 3 0 7 3 1 4 3 8 4 2 1 1 4 2 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - - 3 0 1 4 1 3 1 0 2 1 0 0 0 1 1 4 2 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - - 0 3 1 2 1 0 0 0 4 1 3 1 0 1 1 4 2 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - - 0 3 1 2 1 0 0 0 4 1 3 1 0 1 1 4 2 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - - - 0 3 7 2 1 0 0 0 4 1 3 1 0 9 3 2 0 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - - 0 3 7 2 1 0 0 0 2 0 3 1 0 3 0 2 0 1 Son matristen, ? ? ? ? ? = - - = + + = - - 0 2 3 2 3 7 3 2 5 4 5 3 2 5 3 1 x x x x x x x x ? ? ? ? ? = - - - = + + = ? 5 4 5 3 2 5 3 1 2 2 3 3 3 2 7 x x x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = - - - = + + = ? t x t x s x t s x t s x 5 4 3 2 1 2 2 3 3 3 2 7 ve böylece çözüm kümesi Ç = {(7+2s+3t , -3-3s-2t , s , 2t , t) : s , t ? R} olarak elde edilir. Bazı durumlarda katsayıları aynı fakat sa ğ taraf sabitleri farklı olan çok sayıda do ğrusal denklem sistemini çözmemiz gerekebilir. Böyle durumlarda Gauss-Jordan yoketme yöntemi tüm sistemlere aynı anda uygulanabilir. A şa ğıda bu duruma bir örnek veriyoruz: Örnek 10. ? ? ? ? ? = + - - = + - - = - + 1 2 5 4 1 2 2 1 3 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x ? ? ? ? ? = + - - = + - - = - + 3 2 5 4 0 2 2 2 3 3 , 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x ? ? ? ? ? = + - - = + - - = - + 5 2 5 4 3 2 2 1 3 3 , 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x denklem sistemlerini aynı anda çözelim. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 5 3 1 3 0 1 1 2 1 2 5 4 1 2 2 1 3 3 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 5 3 1 3 0 1 4 2 2 2 5 4 1 2 2 0 1 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 21 11 9 11 4 5 4 2 2 2 1 0 1 0 0 0 1 1 Ders 2 ………………………………………………………………………………… 28 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 11 4 5 21 11 9 4 2 2 1 0 0 2 1 0 0 1 1 › ? ? ? ? ? - - - ? ? ? ? ? - 11 4 5 21 11 9 25 13 11 1 0 0 2 1 0 2 0 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? 11 4 5 1 3 1 3 5 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Çözüm kümeleri, sırasıyla, Ç = {(1 , 1 , 5)} , Ç = {(5 ,-3 , 4)} , Ç = {(3 , 1 , 11)} . 1.4. Problemler. Daha önce de gördü ğümüz üzere, günlük ya şamda kar şıla şılan problemler- den pek ço ğu matemati şksel olarak do ğrusal denklem sistemleri ile modellenip çözülebilir. A şa ğıda , bu duruma birkaç örnek daha verece ğiz. Problem 1(Eski Çin’den bir Problem). Bir çiftlikte üretilen pirinç üç farklı boyda torbalara doldurularak paketleniyor: büyük boy, küçük boy ve orta boy torbalar. 3 tane büyük boy torba, 2 tane küçük boy torba ve 1 tane orta boy torba birlikte tartılınca 40 kg; 2 tane büyük boy torba, 3 tane küçük boy torba ve 1 tane orta boy torba birlikte tartılınca 30 kg geliyor. Benzer şekilde, 1 tane büyük boy torba, 2 tane küçük boy torba ve 3 tane orta boy torba birlikte tartılınca 28 kg geliyor. Her tür torbada kaçar kg pirinç bulundu ğunu belirleyiniz. Çözüm. 1 büyük boy torbada x kg , 1 küçük boy torbada y kg ve 1 orta boy torbada z kg pirinç bulundu ğunu kabul edelim. Problemdeki ko şulların a şa ğıdaki denklem sistemini verece ği açıktır. ? ? ? ? ? = + + = + + = + + 28 3 2 30 3 2 40 2 3 z y x z y x z y x . Bu sistemin ilaveli matrisi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 28 30 40 3 2 1 1 3 2 1 2 3 dir. İlaveli matrisin indirgenmi ş biçimini bulalım. Çok De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri , Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi……. 29 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 28 30 40 3 2 1 1 3 2 1 2 3 › ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? - - - - 28 26 44 3 2 1 5 1 0 8 4 0 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - 44 26 28 8 4 0 5 1 0 3 2 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - 60 26 24 12 0 0 5 1 0 7 0 1 › ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - 5 26 24 1 0 0 5 1 0 7 0 1 › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 1 11 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Böylece, çözüm kümesi Ç = {(11 , 1 , 5)} dir. Dolayısıyla, 1 büyük boy torbada 11 kg , 1 küçük boy torbada 1 kg ve 1 orta boy torbada 5 kg pirinç vardır. Problem 2(2004 ÖSS Sorusu). Aslı, Hakan ve Tolga’nın bugünkü ya şları toplamı 72 dir. Aslı Hakan’ın bugünkü ya şına geldi ğinde, Tolga’nın ya şı da Hakan’ın ya şının iki katı olacaktır. Buna göre, Hakan’ın bugünkü ya şı kaçtır? Çözüm. Aslı, Hakan ve Tolga’nın bugünkü ya şları, sırasıyla, x 1 , x 2 , x 3 olsun. Verilenlerden, x 1 + x 2 + x 3 = 72; x 3 +(x 2 – x 1 ) = 2(x 2 + (x 2 – x 1 ) ) olur. Böylece ? ? ? = + - = + + 0 3 72 3 2 1 3 2 1 x x x x x x denklem sistemi elde edilir. Problemin çözümünü elde etmek için, ikinci denklem (-1) ile çarpılıp birinci denkleme toplanır ve 4x 2 = 72, x 2 = 18 elde edilir. Yani, Hakan’ın bugünkü ya şı 18 dir. Sistemin Gauss-Jordan Eliminasyon Yöntemi ile çözümü a şa ğıda verilmi ştir: ? ? ? ? ? ? - 0 1 3 1 72 1 1 1 › ? ? ? ? ? ? - - 72 0 4 0 72 1 1 1 › ? ? ? ? ? ? 18 0 1 0 72 1 1 1 › ? ? ? ? ? ? 18 0 1 0 54 1 0 1 ? ? ? = = + 18 54 2 3 1 x x x › ? ? ? ? ? = = - = t x x t x 3 2 1 18 54 , çözüm kümesi Ç = {(54-t , 18 , t) : 1 ? t ? 17}. Aslı, Hakan ve Tolga’nın ya şlarının tamsayı oldu ğuna ve küçükten büyü ğe sıralı verildi ğine dikkat ediniz. Çözümden, Aslı ve Tolga’nın ya şlarının de ği şik de ğerler alabildi ği; ancak Hakan’ın ya şının sadece 18 de ğerini aldı ğı görülüyor. Ders 2 ………………………………………………………………………………… 30 Problem 3. 36 bin YTL nin bir kısmı A-bank’a, bir kısmı B-bank’a ve geri kalan kısmı da C-bank’a yatırılıyor. A-bank ve B-bank’a yatırılan toplam miktar, C-bank’a yatırılan miktardan 6 bin YTL fazla; A-bank ve C-bank’a yatırılan toplam miktar ise, B-bank’a yatırılan miktarın iki katından 3 bin YTL eksiktir. Her bir bankaya kaç YTL yatırılmı ştır? Çözüm. A-bank’a yatırılan miktar x, B-bank’a yatırılan miktar y ve C-bank’a yatırılan miktar z bin YTL olsun. Problemde verilenlerden 36 = + + z y x , 6 + = + z y x , 3 2 - = + y z x denklemleri elde ediklir. Dolayısıyla, problemimizin çözümü ? ? ? ? ? - = + - = - + = + + 3 2 6 36 z y x z y x z y x denklem sisteminin çözümüne indirgenmi ştir. Gauss-Jordan eliminasyon yöntemi ile, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 13 0 1 0 15 1 0 0 23 1 0 1 13 0 1 0 15 1 0 0 36 1 1 1 39 0 3 0 30 2 0 0 36 1 1 1 3 1 2 1 6 1 1 1 36 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? › ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? › 15 1 0 0 13 0 1 0 8 0 0 1 13 0 1 0 15 1 0 0 8 0 0 1 . Böylece, çözüm kümesi, Ç = {(8, 13, 15)}dir. A-bank’a 8 bin YTL, B-bank’a 13 bin YTL, C-bank’a 15 bin YTL yatırılmı ştır. Çok De ği şkenli Do ğrusal Denklem Sistemleri , Gauss-Jordan Yoketme Yöntemi……. 31 Problemler 2 1. ? ? ? ? ? - - ? ? ? ? ? - - - 4 8 2 3 0 1 6 4 2 3 1 1 matrisi için a şa ğıda verilen satır işlemlerini yapınız: a) 2 1 R R - b) 2 2 2 1 R R › c) 1 1 2 R R › - ç) 2 2 1 2 R R R › + d) 2 2 3 2 R R R › + - e) 1 1 2 2 1 R R R › + 2. A şa ğıdaki matrislerin indirgenmi ş biçimlerini bulunuz. a) ? ? ? ? ? ? - 3 1 0 1 2 1 b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 6 3 0 0 0 2 1 0 1 3 0 1 c) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - 3 / 1 1 1 2 1 0 6 3 0 2 2 1 3. A şa ğıda verilen indirgenmi ş ilaveli matrislerin her birine kar şılık gelen denklem sistemini ve sistemin çözüm kümesini yazınız. a) ? ? ? - ? ? ? 3 2 1 0 0 1 b) ? ? ? - ? ? ? - 0 3 0 0 2 1 c) ? ? ? ? ? ? 1 2 0 0 2 1 ç) ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - - 0 2 5 0 0 0 0 3 1 0 0 3 0 2 1 d) ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? 0 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 e) ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? - 0 5 3 0 0 0 1 0 0 0 2 1 f) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 0 0 0 1 0 0 1 g) ? ? ? - ? ? ? - - 2 5 3 1 0 0 3 0 2 1 4. A şa ğıdaki denklem sistemlerini ilaveli matris kullanarak çözünüz. a) ? ? ? - = + - - = - 3 2 2 4 2 1 2 1 x x x x b) ? ? ? = + - = - 8 2 8 2 2 1 2 1 x x x x c) ? ? ? = - = + 5 2 4 2 3 2 1 2 1 x x x x 5. A şa ğıdaki denklem sistemlerini Gauss - Jordan yoketme yöntemi ile çözünüz. a) ? ? ? ? ? = - + = - + - = - + 1 12 5 0 21 9 3 2 10 4 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x b) ? ? ? ? ? - = + + = + + - = - + 4 2 4 2 8 5 2 18 8 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x c) ? ? ? ? ? = + - = + - = - - 2 3 2 1 3 2 1 4 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x d) ? ? ? ? ? = - + = - + - = + - 1 3 0 4 2 7 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x e) ? ? ? - = - = - - 1 2 1 3 2 2 1 3 2 1 x x x x x f) ? ? ? ? ? - = - = + = - 1 0 2 3 0 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x Ders 2 ………………………………………………………………………………… 32 6. A şa ğıdaki denklem sistemlerini Gauss - Jordan yoketme yöntemi ile çözünüz. a) ? ? ? ? ? - = - - = + + - = - - 19 15 6 6 2 10 4 7 3 5 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x b) ? ? ? ? ? ? ? = + + + + - = + + + - = - + + + - = + + + - 3 3 2 4 2 6 3 0 2 2 2 4 2 2 2 2 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 7. A şa ğıdaki denklem sistemlerini katsayılarının aynı oldu ğuna dikkât ederek çözünüz. a) ? ? ? ? ? = + - = - - = + - 12 4 2 4 1 3 2 13 2 3 5 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x b) ? ? ? ? ? - = + - = - - = + - 2 4 2 4 3 3 2 1 2 3 5 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x c) ? ? ? ? ? = + - = - - - = + - 4 4 2 4 1 3 2 1 2 3 5 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 8. Bir ta şıma şirketi, toplam 250 ton kapasiteli bir filoya sahip olmak için 24 adet kamyon satın almak istiyor. Alınması düşünülen kamyonlar, 6 , 8 ve 18 tonluk üç farklı modelden olu şmaktadır. Bu modellerden her birinden kaç adet kamyon alınması uygun olur? Şirket, kamyonlardan 9 tanesini 18 tonluk modellerden alarak bu i şlemi gerçekle ştirebilir mi? 9. Bir hava yolu şirketi, toplam 960 yolcu kapasiteli bir filoya sahip olmak için 30 adet uçak satın alacaktır. Alınması düşünülen uçaklar, 18, 24 ve 42 yolcu kapasiteli üç farklı modelden olu şmaktadır. Bu modellerden her birinden kaç adet uçak alınması uygun olur? 10. Büyük bir şehrin merkezinde dört adet tek-yön caddeden olu şan bir yol a ğındaki trafik akı şı, yandaki şekilde verilmi ştir. Her bir caddenin ucunda ve sonundaki sayılar, o caddeye bir saatta giren ve çıkan araç sayısını göstermek- tedir. x 1 , x 2 , x 3 ve x 4 de ği şkenle- rinden her biri, her bir kav şakta, ok yönünde bir saatta giden araç sayısını göstermektedir. a) Düzgün bir trafik akı şında, bir saat boyunca bir kav şağa giren araç sayısı, o kav şaktan çıkan araç sayısına e şit olur. Örne ğin, Do ğu-Güney kav şağına giren araç sayısı 1000, çıkan araç sayıası x 1 + x 4 tür; dolayısıyla, x 1 + x 4 = 1000 dir. Di ğer üç kav şak için de benzer denklemler yazarak düzgün bir trafik akı şında sa ğlanması gereken do ğrusal denklem sistemini bulunuz. b) Önceki şıkta buldu ğunuz denklem sistemini çözünüz. c) Do ğu-Güney kav şağından Do ğu Caddesi boyunca Do ğu-Kuzey kavşağına saatta en çok kaç araç gidebilir? En az kaç araç gidebilir? d) Trafik ı şıkları, Do ğu-Güney kav şağından Batı-Güney kav şağına saatta 200 araç gidecek şekilde ayarlanmı şsa, her bir kav şaktan her bir yöne saatta kaç araç gitti ğini belirleyiniz. 600 600 500 500 x 4 400 800 700 x 1 x 3 900 Kuzey Cad. Güney Cad. Batı Cad. Do ğu Cad. x 2