Genel Matematik Çok Değişkenli Fonksitonlar, Kısmi Türevler DERS 5 Çok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler 5.1. Çok De ği şkenli Fonksiyonlar. Reel sayılar kümesi R ile gösterilmek üzere, () {} R , : R 2 ? = y x x,y , () {} R , , : , R 3 ? = z y x z x,y ve her n ? 2 için () { } R , , : , , R 2 1 2 1 ? = n n n x ,x x x ,x x L L olarak tanımlanır. Tanım 1. Tanım kümesi R n içinde olan bir fonksiyona n de ği şkenli fonksiyon denir. Bu dersimizde, a şa ğıda gösterildi ği gibi, görüntü kümesi reel sayılardan olu şan çok de ği şkenli fonksiyonları ele alaca ğız. ) , , , ( ) , , , ( R A , R A : 2 1 2 1 n n n x x x f z x x x f L L = › ? › Tanım 2. Yukarıdaki gösterimde, n x x x , , , 2 1 K ye ba ğımsız de ği şkenler, z ye de ba ğımlı de ği şken denir. Ço ğu zaman, e ğer ba ğımsız de ği şken sayısı 2 ise, ba ğımsız de ği şkenler x , y ve ba ğımlı de ği şken z ile; ba ğımsız de ği şken sayısı 3 ise, ba ğımsız de ği şkenler x, y, z ve ba ğımlı de ği şken w ile gösterilir. Çok de ği şkenli fonksiyonlar günlük ya şamın pek çok alanında kar şımıza çıkar ve i şlerimizi kolayla ştırırlar. Çok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler ………………………………………… 68 Örnek 1. A türü ve B türü olmak üzere iki tür ürün üreten bir i şletmenin haftalık sabit gideri 5000 YTL, ürün ba şına haftalık gideri A için 700 YTL, B için 800 YTL ise, bu i şletmenin haftada x adet A ve y adet B üretmesi durumunda haftalık toplam gideri C(x,y) = 5000 + 700x + 800y YTL dir ki, bu , bir iki de ği şkenli fonksiyondur. Bu i şletme, haftada 10 adet A ve 15 adet B üretirse, haftalık toplam gideri, yukarıdaki ifadede x yerine 10 ve y yerine 15 yerle ştirilerek C(10,15) = 5000 + 700.10 + 800.15 = 24 000 YTL olarak hesaplanır. E ğer bu i şletme haftada x adet A ve y adet B üretmekte iken üretti ği A sayısını haftada h adet artırmaya karar verirse, haftalık toplam giderindeki de ği şim C(x+h,y) - C(x,y) = 5000 + 700(x+h) + 800y – (5000 + 700x + 800y) = 700 h olur. Örnek 2. Basit faiz için kullandı ğımız formül A(P,r,t) = P + Prt bir üç de ği şkenli fonksiyon tanımlar. 100 YTL, yıllık %5 faiz oranı ile 4 yıl faizde kalırsa ula şaca ğı de ğer A(100,0.05,4) = 100 + 100·(0.05)·4 = 120 YTL olarak hesaplanır. Örnek 3. Boyutları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı xy y x A A = = ) , ( bir iki de ği şkenli fonksiyon; boyutları x , y , z olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi y x Ders 5 ……………………………………………………………………………………. 69 V = V(x,y,z) = xyz bir üç de ği şkenli fonksiyon; taban yarıçapı r ve yüksekli ği h olan bir silindirin hacmi V = V(r,h) = ? r 2 h bir iki de ği şkenli fonksiyon verir. Örnek 4. Karton levha kullanılarak yandaki şekil- de görüldü ğü gibi üstü açık, dikdörtgenler priz- ması biçiminde bir kutu yapılmak isteniyor. Kutu- nun boyutları z y x , , ile gösterilirse, bu kutunun yapımı için gereken levhanın alanı z y x , , nin fonksiyonu olarak yz xz xy z y x A A 2 2 ) , , ( + + = = biçiminde ifade edilir. Örnek 5. İki tür ürün üreten bir firma, haftalık talebin A ürünü için x adet, B ürünü için ise y adet olması durumunda haftalık toplam giderinin y x y x C 80 60 250 ) , ( + + = olaca ğını ve A ürününün tanesini y x p 4 150 - + = YTL ve B ürününün tanesini y x q + - = 3 200 YTL ye satmasının uygun olacağını tespit ediyor. Bu firmanın a) Haftalık gelir fonksiyonu ) , ( y x R ve kâr fonksiyonu ) , ( y x P yi bulalım. b) Bir haftada 12 adet A ve 16 adet B üretilip satılması durumunda firmanın o haftadaki gider, gelir ve kârını belirleyelim. z x y h r x y zÇok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler ………………………………………… 70 Çözüm. a) Haftalık gelir y x xy y x y y x x y x qy px y x R 200 150 7 ) 3 200 ( ) 4 150 ( ) , ( 2 2 + + - + = + - + - + = + = ve haftalık kâr 250 120 90 7 ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 - + + - + = - = y x xy y x y x C y x R y x P olarak bulunur. b) 2250 16 80 12 60 250 ) 16 , 12 ( = · + · + = C YTL, YTL, 4248 2880 1368 16 180 12 114 16 ) 16 12 3 200 ( 12 ) 16 4 12 150 ( ) 16 , 12 ( = + = · + · = · + · - + · · - + = R 2098 2250 4348 ) 16 , 12 ( ) 16 , 12 ( ) 16 , 12 ( = - = - = C R P YTL. 5.2. Uzayda Koordinatlar. Düzlemde Kartezyen koordinatlar alarak düzlemdeki noktalar ile R 2 nin elemanları arasında bire-bir bir e şleme kuruldu ğu gibi, uzayda da Kartezyen koordinatlar tanımlanabilir. Bunun için önce uzayda, orijinlerinde kesi şen ve iki şer-iki şer birbirine dik olan üç tane koordinat ekseni seçilir. Bu koordinat eksenlerinden ikisi yazı yazdı ğımız düzlemde, daha önce seçildi ği biçimde, biri yatay, di ğeri dikey olarak seçilir; yatay olanına y-ekseni , dikey olanına z-ekseni denir. Üçüncü koordinat ekseni ise yazı yazılan düzlemden yazı yazan ki şiye do ğru dik olarak uzanan eksendir ki, x-ekseni olarak adlandırılır. z y x Ders 5 ……………………………………………………………………………………. 71 Uzayda, x- ve y-eksenlerini içinde bulunduran düzleme xy-düzlemi, x- ve z-eksenlerini içinde bulunduran düzleme xz-düzlemi, y- ve z-ekenlerini içinde bulunduran düzleme de yz-düzlemi denir. Uzayda bir noktanın Kartezyen koordinatları şöyle belirlenir. • Verilen noktanın xy-düzlemine izdü şümü bulunur. • Elde edilen noktanın x- ve y-koordinatları verilen noktanın x- ve y-koordinatları olarak tanımlanır. • Verilen noktadan z-eksenine bir dik indirilerek elde edilen noktanın kar şılık geldi ği reel sayı o noktanın z-koordinatıdır. Yukarıdaki i şlemler tersine çevrilerek koordinatları verilen bir noktanın yerinin belirlene- bilece ği açıktır. z y x a b c P(a,b,c) (a,b,0) (0,0,0) Çok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler ………………………………………… 72 A şa ğıda, bir kö şesi orijinde, tabanı xy-düzleminde, bir yüzü xz-düzleminde ve bir yüzü de yz-düzleminde olan, kenar uzunlu ğu 1 birim olan kübün kö şelerinin koordinatları gösterilmektedir. 5.3. İki nokta arasındaki uzaklık. Düzlemde oldu ğu gibi, uzayda da koordinat sistemi seçimi, nokta kümeleri ile ilgili soruları yanıtlamamızı kolayla ştırır, önemli hesaplama kolaylıkları sa ğlar. Ayrıca, bazı cebirsel kavram veya önermeleri geometrik olarak somutla ştırmamıza ve yorumlamamıza imkân sa ğlar. z y x (1,1,0) (0,1,0) (1,0,1) (1,0,0) (0,0,0) (0,0,1) (0,1,1) (1,1,1)Ders 5 ……………………………………………………………………………………. 73 Bu ba ğlamda, uzayda iki nokta arasındaki uzaklı ğı o noktaların koordinatları cinsinden hesaplayabiliriz: Yukarıdaki şekilde, ) , , ( c b a den ) , , ( c y x ye olan uzaklık ile ) 0 , , ( b a den ) 0 , , ( y x a olan uzaklı ğın aynı oldu ğuna ve kö şeleri ) , , ( c b a , ) , , ( c y x ve ) , , ( z y x olan üçgenin bir dik üçgen olduğuna dikkat ediniz. Örnek 1. (1,-2,3) ve (5,1,-2) noktaları arasındaki uzaklık 2 5 50 25 9 16 ) 3 2 ( ) 2 1 ( ) 1 5 ( 2 2 2 = = + + = - - + + + - = d dir. Örnek 2. Orijin (0,0,0) dan (x , y , z ) noktasına olan uzaklık 2 2 2 z y x d + + = dir. Orijinden uzaklı ğı 1 birim olan noktaların olu şturdu ğu küme için bir denklem yazabilir misiniz? Bu nokta kümesinin olu şturdu ğu şekle ne ad verilir? (a, b, c) (x, y, z) (x, y,0) (a, b,0) 2 2 ) ( ) ( b y a x - + - z-c d z y x 2 2 2 ) ( ) ( ) ( c z b y a x d - + - + - = (x, y,c) Çok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler ………………………………………… 74 5.4. Uzayda nokta kümeleri. x, y, z de ği şkenlerine göre verilen her denklem üç boyutlu uzayda bir nokta kümesi verir. Bu nokta kümesine söz konusu denklemin grafi ği denir. Bu ba ğlamda, 2 de ği şkenli bir f fonksiyonu z = f(x, y) gibi bir denklemle belirlenece ğinden, bu tür fonksiyonların da üç boyutlu uzayda grafi ği dü şünülebilir. Nokta kümelerine birkaç örnek verelim. Örnek 1. Her bir koordinat düzlemi bir denklemin grafi ğidir. xy-düzlemi (x, y, 0) : x, y ? R}, z = 0 denkleminin; xz-düzlemi {(x, 0, z) : x, z ? R}, y = 0 denkleminin; yz-düzlemi {(0, y, z) : y, z ? R}, x = 0 denkleminin grafi ğidir. Örnek 2. z = 3 denkleminin grafi ği, xy-düzlemine paralel ve onun 3 birim üstündeki düzlemdir. Bu düzlem, {(x, y, 3) : x, y ? R} nokta kümesi olarak da tanımlanabilir. Benzer şekilde, z = -3 denkleminin grafi ği, xy-düzlemine paralel ve onun 3 birim altındaki düzlemdir. Bu düzlem, {(x, y, -3) : x, y ? R} nokta kümesi olarak da tanımlanabilir. Üç de ği şken içeren bir denklemin grafi ğini çizmek için grafi ğin koordinat düzlemleri veya koordinat düzlemlerine paralel düzlemler ile kesi şimini dü şünmek çok yararlı olur. Örnek 3. x 2 + y 2 + z 2 =1 denklemi için • xy- düzlemi ile kesi şim : z = 0, x 2 + y 2 = 1. Merkezi orijinde olan 1 yarıçaplı çember. • xz- düzlemi ile kesi şim : y = 0, x 2 + z 2 = 1. Merkezi orijinde olan 1 yarıçaplı çember. • yz- düzlemi ile kesi şim : x = 0, y 2 + z 2 = 1. Merkezi orijinde olan 1 yarıçaplı çember. Bu gözlemler yardımıyla yapılan a şa ğıdaki çizim, x 2 + y 2 + z 2 =1 denkleminin grafi ğinin ne oldu ğunu zihnimizde canlandırmamızı sa ğlar: z y x (1,0,0) (0,-1,0) (0,0,-1) (0,0,1) (0,1,0) (-1,0,0)Ders 5 ……………………………………………………………………………………. 75 5.5. İki De ği şkenli bir f Fonksiyonunun Grafi ği. z = f (x , y ) denklemi ile verilen iki de ği şkenli fonksiyonun grafi ği, üç boyutlu uzayda, ( x , y , f (x , y )) noktalarından oluşan kümedir ve bu, bir yüzey olarak ortaya çıkar. Burada, (x , y ) fonksiyonun tanım kümesinde de ği şmektedir. İki de ği şkenli fonksiyonların grafi ğini çizerken de grafi ğin koordinat düzlemleri veya koordinat düzlemlerine paralel düzlemlerle kesi şiminden yaralanılır. Örnek 1. z = x 2 + y 2 nin grafiği. • xy- düzlemi ile kesi şim : z = 0, x 2 + y 2 = 0. • xz- düzlemi ile kesi şim : y = 0, z = x 2 . • yz- düzlemi ile kesi şim : x = 0, z = y 2 . • z=4 düzlemi ile kesi şim : x 2 + y 2 = 4. z y x (x, y, 0) (x,y, f(x, y)) z = f (x, y) z y x (0,0,0) (0,-2,4) (2,0,4) (0,2,4) (-2,0,4) z = x 2 + y 2 Çok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler ………………………………………… 76 Örnek 2. z = 4 –x 2 - y 2 nin grafi ği. • xy- düzlemi ile kesi şim : z = 0, x 2 + y 2 = 4. • xz- düzlemi ile kesi şim : y = 0, z = 4 – x 2 . • yz- düzlemi ile kesi şim : x = 0, z = 4 – y 2 . Örnek 3. 1 2 2 y x z - - = nin grafi ği. • xy- düzlemi ile kesi şim : z = 0, x 2 + y 2 = 1. • xz- düzlemi ile kesi şim : y = 0, 0 , 1 ; 1 2 2 2 ? = + - = z z x xz • yz- düzlemi ile kesi şim : x = 0, 0 , 1 ; 1 2 2 2 ? = + - = z z y yz z = 4 - x 2 - y 2 z y x (0,0,0) (0,-2,0) (2,0,0) (0,2,0) (-2,0,0) (0,0,4) z y x (0,0,0) (0,-1,0) (1,0,0) (0,1,0) (-1,0,0) (0,0,1) Yarım Küre 1 2 2 y x z - - =Ders 5 ……………………………………………………………………………………. 77 5.6. Kısmi Türevler. z = f(x,y) denklemi ile tanımlanan iki de ği şkenli bir f fonksiyonu ve onun tanım kümesinde bir ) , ( b a noktası verilmi ş olsun. f nin ) , ( b a noktasındaki iki adet kısmi türevi şöyle tanımlanır. Tanım 1. f fonksiyonunun (a,b) de x e göre kısmi türevi h b a f b h a f b a f h x ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 - + = › ve y ye göre kısmi türevi k b a f k b a f b a f k y ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 - + = › olarak tanımlanır. Kısmi türevler için a şa ğıdaki de ği şik gösterimler kullanılır: x z z y x f x y x f x x ? ? = = ? ? = ) , ( ( ) , ( , y z z y x f y y x f y y ? ? = = ? ? = ) , ( ( ) ,(. f x (a,b) türevi, (a,b) noktası x - ekseni do ğrultusunda de ği şirken f(a,b) nin nasıl de ği şti ğini gösterir. Benzer şekilde, f y (a,b) türevi, (a,b) noktası y - ekseni do ğrultusunda de ği şirken f(a,b) nin nasıl de ği şti ğini gösterir. Bu hususları a şa ğıdaki şekillerden geometrik olarak görmeye çalı şınız. z y x (a+h, b, 0) (a+h,b, f (a+h, b)) (a, b, 0) (a,b, f(a, b)) E ğim : ) , ( b a f x z = f(x, y) z = f(x, b) y = b Çok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler ………………………………………… 78 y ye göre kısmi türev için de benzer bir resim çizilebilir. z = f(x,y) ile verilen f fonksiyonunun kısmi türevleri de yine iki de ği şkenli fonksiyonlar olarak dü şünülebilir: h y x f y h x f y x f h x ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 - + = › k y x f k y x f y x f k y ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 - + = › . f x in tanım kümesi f nin x e göre kısmi türevinin bulundu ğu (x,y) noktalarından, f y nin tanım kümesi de f nin y ye göre kısmi türevinin bulundu ğu (x,y) noktalarından olu şur. Şimdiye kadar verilen tanımlardan ve onların geometrik yorumlarından görülebilece ği üzere, f nin x e göre kısmi türevi, f x , hesaplanırken, y sabit kabul edilerek sadece x de ği ş- kenine göre türev alınır; f y hesaplanırken de x sabit kabul edilerek y ye göre türev alınır. Bu hesaplar yapılırken daha önce bir de ği şkenli fonksiyonlar için elde edilmi ş olan tüm türev alma kuralları geçerlidir. z y x (a, b+k, 0) (a,b+k, f(a, b+k)) (a, b, 0) (a,b, f(a, b)) E ğim : ) , ( b a f y z = f(a, y) z = f(x, y) Ders 5 ……………………………………………………………………………………. 79 Örnek 1. z = f(x,y)=2x 2 – 3x 2 y+5y+1 için 5 2 3 , 6 4 + - = ? ? - = ? ? x y z xy x x z , 5 2 3 , 6 4 + - = ? ? - = ? ? x y z xy x x z , 28 3 2 6 2 4 ) 3 , 2 ( - = · · - · = x f , . 7 5 2 2 3 ) 3 , 2 ( - = + · - = y f Örnek 2. z = f(x,y)=e xy-2x + 3xy 2 + 5x+4 için xy x x xy e y z y y x xy e x z 6 ) .( 2 , 5 2 3 ) 2 .( 2 + - = ? ? + + - - = ? ? , 3 5 0 3 ) 2 0 ( 0 ) 0 , 0 ( = + · + - = e x f , . 0 0 0 6 0 0 ) 0 , 0 ( = · · + · = e y f Örnek 3. y x e y x f z 2 2 ) , ( + = = için y x y x e y z xe x z 2 2 2 2 2 , 2 + + = ? ? = ? ? . 2 ) 1 , 2 ( , 4 ) 1 , 2 ( 6 6 e f e f y x = = Örnek 4. 3 2 ) 2 ( ) , ( x xy y x f z + = = için x x xy y z x y x xy x z · + = ? ? + · + = ? ? 2 2 2 2 ) 2 ( 3 , ) 4 ( ) 2 ( 3 . 48 1 ) 2 2 ( 3 ) 2 , 1 ( , 288 ) 4 2 ( ) 2 2 ( 3 ) 2 , 1 ( 2 2 = · + = = + + = y x f f Örnek 5. Bu dersin ba şlangıç kesiminde Örnek 5 te kâr fonksiyonu 250 120 90 7 ) , ( 2 2 - + + - + = y x xy y x y x P idi. ) 16 , 14 ( x P ve ) 16 , 14 ( y P yı bulalım ve yorumlayalım. Çok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler ………………………………………… 80 Çözüm. 90 7 2 ) , ( + - = y x y x P x , 120 7 2 ) , ( + - = x y y x P y dir. 6 90 112 28 ) 16 , 14 ( = + - = x P olup bu sayı, haftada 14 adet A ve 16 adet B üretilirken A ürününün haftalık üretimi 1 birim artırılıp B ürününün üretimi sabit bırakılırsa, kârın 6 YTL artaca ğını gösterir. Benzer şekilde, 54 120 98 32 ) 16 , 14 ( = + - = y P olup bu sayı B ürününün haftalık üretimi 1 birim artırılıp A ürününün üretimi sabit bırakılırsa, kârın 54 YTL artaca ğını gösterir. Örnek 6(Verimlilik) . Bilgisayar üreten bir firmanın verimlili ği, x birim i ş gücü ve y birim sermaye kullanılması durumunda yakla şık olarak, Cobb-Douglas Verimlilik fonksiyonu diye bilinen 4 . 0 6 . 0 20 ) , ( y x y x f = fonksiyonuyla ifade edilmektedir. f nin x e göre kısmi türevi ) , ( y x f x , verimlili ğin kullanılan i ş gücüne göre de ği şim oranını vermektedir ve marjinal i ş gücü verimlili ği olarak adlandırılır. ) , ( y x f y kısmi türevi de verimlili ğin kullanılan sermayeye göre de ği şim oranını vermektedir ve marjinal sermaye verimlili ği olarak adlandırılır. a) Firma şu anda 3 000 birimlik i ş gücü ve 2 500 birimlik sermaye kullandı ğına göre marjinal i ş gücü verimlili ğini ve marjinal sermaye verimlili ğini bulunuz. b) 3 000 birimlik i ş gücü ve 2 500 birimlik sermaye kullanılırken i ş gücü artırılarak mı yoksa sermaye artırılırak mı verimlilikte daha çok artı ş sa ğlanaca ğını belirleyiniz. Çözüm. a) 6 . 0 6 . 0 8 ) , ( y x y x f x - = ve 4 . 0 4 . 0 12 ) , ( - = y x y x f y olup ? · · = - 6 . 0 6 . 0 2500 3000 8 ) 2500 , 3000 ( x f 35.56, ? · · = -04 4 . 0 2500 3000 12 ) 2500 , 3000 ( y f 12.91 dir. Dolayısıyla, 3 000 birimlik i ş gücü ve 2 500 birimlik sermaye kullanılması durumunda marjinal i ş gücü verimlili ği 35.56 birimlik ve marjinal sermaye verimlili ği de 12.91 birimliktir. b) 3 000 birimlik i ş gücü ve 2 500 birimlik sermaye kullanılırken sermaye sabit tutulmak kaydıyla i ş gücündeki her 1 birimlik artı ş verimlilikte 35.56 birimlik artı ş sa ğlayacak; i ş gücü sabit tutulmak kaydıyla sermayedeki her 1 birimlik artı ş ise verimlilikte 12.91 birimlik artı ş sa ğlayacaktır. Bu nedenle, i ş gücü artırılarak verimlilikte daha çok artı ş sa ğlanaca ğı görülmektedir. Ders 5 ……………………………………………………………………………………. 81 5.7. İkinci Mertebeden Kısmi Türevler. İki de ği şkenli bir f fonksiyonunun x ve y ye göre kısmi türevleri de iki de ği şkenli fonksiyonlar olarak dü şünülüp onların da x ve y ye göre kısmi türevleri söz konusu edilebilir. Böylece yüksek mertebeden kısmi türevler ortaya çıkar. Bu nedenle, f x (x,y) ve f y (x,y) ye f nin birinci mertebeden kısmi türevleri denir. f nin birinci mertebeden kısmi türevlerinin birinci mertebeden kısmi türevlerine f nin ikinci mertebeden kısmi türevleri denir. f nin ikinci mertebeden kısmi türevleri a şa ğıda verilmi ştir. ) , ( 2 2 y x f x z x z x z xx xx = ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = , ) , ( 2 y x f x y z x z y z xy xy = ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ) , ( 2 y x f y x z y z x z yx yx = ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = , ) , ( 2 2 y x f y z y z y z yy yy = ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = . Daha yüksek mertebeden kısmi türevlerin de benzer biçimde tanımlanabilece ği açıktır. Örne ğin, z xyyxy ifadesi, z nin, sırasıyla x e göre türevi, sonra onun y ye göre türevi, sonra elde edilenin yine y ye göre türevi, sonra elde edilenin tekrar x e göre türevi ve nihayet sonda elde edilenin y ye göre türevi alınaca ğını gösterir. Örnek. z = f(x,y)=2x 2 – 3x 2 y+5y+1 için xy x x z 6 4 - = . 5 2 3 , + - = x y z . 0 , 6 , 6 , 6 4 = - = - = - = yy yx xy xx z x z x z y z . 12 2 6 ) 3 , 2 ( , 14 3 6 4 ) 3 , 2 ( - = · - = - = · - = xy xx f f Örnek. z = f(x,y)=e xy-2x + 3xy 2 + 5x+4 için 5 2 3 ) 2 .( 2 + + - - = y y x xy e x z , . 6 ) .( 2 xy x x xy e y z + - = . 6 1 ) 2 ( , ) 2 )( 2 ( 2 2 2 y e y x e z y y e z x xy x xy xy x xy xx + · + - · · = - - = - - - 0 ) 0 , 0 ( , 1 ) 0 , 0 ( , 4 ) 0 , 0 ( , 6 2 = = = + · · = - yy xy xx x xy yy f f f x x x e z Örnek. z = f(x,y)=x 4 y 7 için . 7 , 4 6 4 7 3 y x z y x z y x = = . 42 , 28 , 12 5 4 6 3 7 2 y x z y x z y x z yy xy xx = = = . 672 ) 1 , 1 ( , 224 ) 1 , 2 ( , 48 ) 1 , 2 ( = = = yy xy xx f f f Çok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler ………………………………………… 82 5.8. Üç veya Daha Çok De ği şkenli Fonksiyonlarda Kısmi Türevler. De ği şken sayısı ikiden çok olan fonksiyonlar için de kısmi türevler benzer biçimde tanımlanır. Bir de ği şkene göre kısmi türev hesaplanırken, di ğer de ği şkenler sabit kabul edilerek bilinen türev alma kuralları kullanılır. Örne ğin, w = f (x,y,z) denklemi ile tanımlanan üç de ği şkenli f fonksiyonunun üç tane birinci mertebeden kısmi türevi h z y x f z y h x f z y x f h x ) , , ( ) , , ( lim ) , , ( 0 - + = › , k z y x f z k y x f z y x f k y ) , , ( ) , , ( lim ) , , ( 0 - + = › , t z y x f t z y x f z y x f t z ) , , ( ) , , ( lim ) , , ( 0 - + = › dir. Bu durumda da daha önce oldu ğu gibi de ği şik gösterimler kullanılır: ). , , ( , ) , , ( , ) , , ( z y x f z w w z y x f y w w z y x f x w w z z y y x x = ? ? = = ? ? = = ? ? = Örnek. w = f (x,y,z) = 3 2 z xy e xyz + için , 3 , 2 , 2 2 3 3 2 z xy xy e w xyz xz e w z y yz e w xyz z xyz y xyz x + = + = + = Yüksek mertebeden türevler de iki de ği şkenli durumda tanımlandı ğı gibi tanımlanır ve benzer şekilde hesaplanır. Örnek. w = f (x,y,z) = 3 2 z xy e xyz + için , 2 2 ) )( ( 3 2 3 xyz z e xyz e xyz z e yz xz e w xyz xyz xyz xyz xy + + = + + = 2 2 2 2 2 2 6 2 ) 6 2 ) )( ( xyz xyz e z y x e xyz xyz e xyz xy e w xyz xyz xyz xyz xyz + + = + + = . 3 2 2 2 2 ) )( ( yz yz e yz xz e w xyz xyz xyx + + = 3 2 2 2 2 ) ( ) ( xz xz e yz xz e w xyz xyz xyy + + = z xy xy e w xyz zz 2 2 6 ) ( + = 2 3 6 ) ( xy xy e w xyz zzz + = Ders 5 ……………………………………………………………………………………. 83 Problemler 5 1. A şağıda verilen soru i şaretlerinin yerine gelmesi gereken de ğerleri veya ifadeleri yazınız. a) Q(x,y) = 100x / y , Q(12 , 8) = ? b) V(h,r) = ? r 2 h , V(2,4) = ? c) A(p,r,t) = p + prt , A(100,0.06,3) = ? ç) A(p,r,t) = pe rt , A(100,0.08,10)=? d) 3 2 4 6 5 ) , ( 2 2 + + - + - = x y xy x y x R , R(1,2) = ? , R(x+h,y+k) = ? e) h y x f y h x f xy y x f ) , ( ) , ( 2 ) , ( 2 - + = , =?, h y x f h y x f ) , ( ) , ( - + =? 2. Ambalaj i şi yapan bir şirkette şekilde gösterilen biçimde iki bölmeli, üstü açık bir kutu üretilmek istenmektedir. Kutunun boyutları, x, y, ve z ile gösterilirse, bu kutunun yapılması için gereken malzemenin toplam alanını x, y, ve z nin fonksiyonu olarak ) , , ( z y x M biçiminde ifade ediniz ve bu fonksiyon için ) 6 , 12 , 10 ( M de ğerini bulunuz. 3. Bir şirket, 10-vitesli ve 3-vitesli bisikletler üretmektedir. Bir 10-vitesli bisikletin satı ş fiyatı p birim para(bp), bir 3-vitesli bisikletin satı ş fiyatı q bp ; 10-vitesli bisikletler için haftalık talep x adet, 3-vitesli bisikletler için haftalık talep y adet ve ayrıca haftalık gider C = C(x,y) olmak üzere fiyat, talep ve gider fonksiyonları p = 230 – 9x + y , q = 130 + x - 4y , C = C(x,y) = 200 + 80x + 30y olarak veriliyor. Haftalık gelir fonksiyonu R = R(x,y), haftalık kâr fonksiyonu P = P(x,y) yi ; R(10,15) ve P(10,15) i bulunuz. 4. z = 2x 2 + y 2 nin grafi ğinin a) y=0, y=1, y=2 düzlemlerinden herbiri ile kesi şimini belirleyiniz ve grafikle gösteriniz, b) x=0, x=1, x=2 düzlemlerinden herbiri ile kesi şimini belirleyiniz ve grafikle gösteriniz, c) z=0, z=1, z=2 düzlemlerinden herbiri ile kesi şimini belirleyiniz ve grafikle gösteriniz. Bu grafi ği çiziniz. 5. A şa ğıda verilen iki de ği şkenli fonksiyonların grafi ğini çiziniz. z y x Çok De ği şkenli Fonksiyonlar , Kısmi Türevler ………………………………………… 84 a) z = 2x 2 + 3y 2 b) z = 1 + 2x 2 + 3y 2 c) z=1 - 2x 2 - 3y 2 6. A şa ğıda verilen fonksiyonlardan her biri için ) 2 , 1 ( , ) 2 , 1 ( , , , , 2 2 2 2 y x f f y z x y z y x z y z x z , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? yi bulunuz. a) 1 2 3 ) , ( 2 2 + - = = xy x y x f z b) 5 9 6 2 2 ) , ( 2 2 + - + + - = = y x y xy x y x f z c) 2 2 ) , ( y x e y x f z + = = ç) 2 2 3 ) ( ) , ( xy x y x f z - = = d) x y y x y x f z + = = ) , ( e) ) ( ln ) , ( 2 2 y x y x f z + = = 7. y x y x y x f + + = 3 2 2 ) , ( fonksiyonu için a şa ğıdaki türevleri hesaplayınız: ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( y x f d y x f y x f y x f y x f yy yx xy xx x ) ç) c) b) a) 8. 5 12 4 2 2 ) , ( 2 2 - + - - + - = y x y xy x y x P fonksiyonu için ? ? ? = = 0 ) , ( 0 ) , ( y x P y x P y x sistemini sa ğlayan x ve y’i bulunuz. 9. Üçüncü alı ştırmada buldu ğunuz kâr fonksiyonu ) , ( y x P için ) 15 , 10 ( x P ve ) 15 , 10 ( y P de ğerlerini bulunuz; bu de ğerleri yorumlayınız. 10. Br firmanın verimlili ği, x birim i ş gücü ve y birim sermaye kullanılması durumunda yakla şık olarak, 35 . 0 65 . 0 10 ) , ( y x y x f = denklemi ile ifade edilmektedir. c) Firma şu anda 300 birimlik i ş gücü ve 250 birimlik sermaye kullandı ğına göre marjinal i ş gücü verimlili ğini ve marjinal sermaye verimlili ğini bulunuz. d) 300 birimlik i ş gücü ve 250 birimlik sermaye kullanılırken i ş gücü artırılarak mı yoksa sermaye artırılırak mı verimlilikte daha çok artı ş sa ğlanaca ğını belirleyiniz. 11. Bir firma her hafta gazete reklamları için x YTL, televizyon reklamları için y YTL harcamaktadır. Firmanın haftalık satı ş miktarı 4 . 0 8 . 0 10 ) , ( y x y x S = denklemi ile verilmektedir. ) 1500 , 2000 ( x S ve ) 1500 , 2000 ( y S de ğerlerini bulunuz ve yorumlayınız. 12. 25 ) , , ( 2 3 - + - = = z y x xyz z y x f w için a şa ğıdakileri bulunuz. a) x w b) y w c) z w ç) xy w d) xz w e) zy w f) xzzy w