Genel Matematik Çok Değişkenli Fonksiyonlarda Maksimum - Minimum DERS 6 Çok De ği şkenli Fonksiyonlarda Maksimum – Minimum 6.1. Yerel Maksimum, Yerel Minimum. z = f(x,y) denklemi ile tanımlanan iki de ği şkenli bir f fonksiyonu ve bu fonksiyonun tanım kümesi içinde (a,b) ? R 2 verilmi ş olsun. Bir fonksiyonun yerel maksimum veya yerel minimum de ğerleri tanım kümesindeki hangi noktalarda ortaya çıkabilir? Bir de ği şkenli fonksiyonlar için de aynı soruyu sormu ş ve yanıtlamı ştık. İki de ği şkenli fonksiyonlar için bu sorunun yanıtı a şa ğıdaki teoremde verilmektedir. Bu yanıtın bir de ği şkenli durumda verilen yanıta ne kadar benzadi ğine dikkat ediniz. Teorem. f(a,b), f nin yerel maksimum veya yerel minimum de ğeri ise ve f x (a,b) , f y (a,b) kısmi türevleri varsa, f x (a,b) = f y (a,b) =0 dır. z y x (a,b,0) (0,0,0) (a,b,f(a,b)) Tanım 1. E ğer (a,b) yi merkez kabul eden bir dairesel bölgedeki her (x,y) için f(a,b) ? f(x,y) ise, bu takdirde f(a,b) ye f nin bir yerel maksimum de ğeri denir. f (a,b) değeri f nin bir yerel maksimum de ğeri ise, f nin (a,b,f (a,b)) civarındaki grafi ği yanda görüldü ğü gibi olacaktır. z y x (a,b,0) (0,0,0) (a,b,f(a,b)) Tanım 2. E ğer (a,b) yi merkez kabul eden bir dairesel bölgedeki her (x,y) için f(a,b) ? f(x,y) ise, bu takdirde f(a,b) ye f nin bir yerel minimum de ğeri denir. f (a,b) değeri f nin bir yerel minimum de ğeri ise, f nin (a,b,f (a,b)) civarındaki grafi ği yanda görüldü ğü gibi olacaktır. Ders 6 …………………………………………………………………………………. 86 Örnek 1. z = f(x,y)= 2 + x 2 + y 2 fonksiyonu için f(0,0) = 2 yerel minimum de ğeridir. Teoremde ifade edildi ği üzere her iki kısmi türev de (0,0) noktasında 0 de ğerini alırlar. f x (x,y) = 2x , f x (0,0) = 0 f y (x,y) = 2y , f y (0,0) = 0. Tanım 3. f x (a,b) = f y (a,b) = 0 olan (a,b) noktalarına f fonksiyonunun kritik noktaları denir. E ğer f tanım kümesindeki her (x,y) için kısmi türevleri mevcut olan iki de ği şkenli bir fonk- siyon ise, f nin yerel maksimum veya minimum de ğerleri kritik noktalarda ortaya çıkacak- tır. Ancak yerel maksimum veya minimum de ğere yol açmayan kritik noktalar da olabilir. Tanım 4. E ğer (a,b) , f nin bir kritik noktası fakat yerel maksimum veya yerel minimumu de ğilse, (a,b,f (a,b)) noktasına f nin bir eyer noktası denir. Örnek 2. z = f(x,y) = x 2 - y 2 için (0,0,0) noktası bir eyer noktasıdır. Gerçekten, 0 ) 0 , 0 ( = x f ve 0 ) 0 , 0 ( = y f olup ) 0 , 0 ( a yakın her ) 0 , (a için 0 ) 0 , 0 ( ) 0 , ( 2 = > = f a a f ve her ) , 0 ( b için 0 ) 0 , 0 ( ) , 0 ( 2 = < - = f b b f dır. Dolayısıyla, ) 0 , 0 ( noktası ne yerel maksimum ne de yerel minimum de ğere yol açmayan bir kritik noktadır. Bir fonksiyonun bir kritik noktasının yerel maksimum veya yerel minimum de ğer veya eyer noktasına yol açıp açmadı ğını a şa ğıdaki teoremde ifade edilen ikinci türev testi ile belirleyebiliriz. Teorem( İkinci Türev Testi). (a,b) noktası, z = f(x,y) ile verilen f fonksiyonunun bir kritik noktası olsun. Ayrıca, (a,b) yi merkez kabul eden bir dairesel bölgenin her noktasında f nin tüm ikinci mertebeden türevleri mevcut olsun ve A =f xx (a,b) , B= f xy (a,b) , C = f yy (a,b) tanımlansın. Bu takdirde, a) AC - B 2 > 0 ve A < 0 ise, f(a,b) yerel maksimumdur, b) AC - B 2 > 0 ve A > 0 ise, f(a,b) yerel minimumdur, c) AC - B 2 < 0 ise, (a,b,f (a,b)) eyer noktasıdır, d) AC - B 2 = 0 ise, bu test geçersizdir. z y x (0,0,2) (0,-2,6) (2,0,6) (0,2,6) (-2,0,6) z = 2+x 2 + y 2Maksimum Minimum ………………………………………………………………… 87 Örnek 3. z = f(x,y)= 2 + x 2 + y 2 fonksiyonunu ele alalım. Kritik noktaları bulmak için birinci mertebeden kısmi türevleri hesaplayıp sıfıra e şitliyoruz. f x (x,y) = 2x = 0 ? x = 0 f y (x,y) = 2y = 0 ? y = 0 Buradan görüyoruz ki (0,0) noktası f nin bir kritik noktasıdır. Şimdi ikinci türev testini uygulayalım. 2 ) 0 , 0 ( 2 ) , ( = = ? = xx xx f A y x f 0 ) 0 , 0 ( 0 ) , ( = = ? = xy xy f B y x f 2 ) 0 , 0 ( 2 ) , ( = = ? = yy yy f C y x f 0 2 , 0 4 0 ) 2 ).( 2 ( 2 > = > = - = - A B AC 0 > - B AC ve 0 > A oldu ğundan 2 ) 0 , 0 ( = f f nin yerel minimum de ğeridir. Örnek 4. z = f(x,y)= - x 2 - y 2 +6 x + 8 y -21 fonksiyonunun kritik noktalarını ara ştırırsak f x (x,y) = -2x + 6 = 0 f y (x,y) = -2y + 8 = 0 denklemlerinin çözümünden (3,4) noktasının f nin bir kritik noktası oldu ğunu görürüz. İkinci türev tesitini uygulayalım. 2 ) 4 , 3 ( 2 ) , ( - = = ? - = xx xx f A y x f 0 ) 4 , 3 ( 0 ) , ( = = ? = xy xy f B y x f 2 ) 4 , 3 ( 2 ) , ( - = = ? - = yy yy f C y x f 0 2 , 0 4 0 ) 2 ).( 2 ( 2 < - = > = - - - = - A B AC 0 > - B AC ve 0 < A oldu ğundan 4 ) 4 , 3 ( = f f nin yerel maksimum de ğeridir. Örnek 5. z = f(x,y)= x 3 + y 3 – x – y fonksiyonunun kritik noktalarını ara ştıralım. Birinci mertebeden kısmi türevleri sıfır yapan x , y de ğerlerini buluyoruz. 3 1 0 1 3 ) , ( 2 m = ? = - = x x y x f x , 3 1 0 1 3 ) , ( 2 m = ? = - = y y y x f y . Ders 6 …………………………………………………………………………………. 88 Böylece, f nin dört adet kritik noktası bulunur: ) 3 1 , 3 1 (- , ) 3 1 , 3 1 ( , ) 3 1 , 3 1 (- , ) 3 1 , 3 1 ( - - . İkinci türev testi için ikinci mertebeden kısmi türevleri hesaplayalım. y y x f y x f x y x f yy xy xx 6 ) , ( , 0 ) , ( , 6 ) , ( = = = için noktası ) 3 1 , 3 1 ( ikinci türev testini uygulayalım. 3 6 ) 3 1 , 3 1 ( 0 ) 3 1 , 3 1 ( , 3 6 ) 3 1 , 3 1 ( = = = = = = yy xy xx f C f B f A 0 3 6 , 0 12 0 ) 3 6 ).( 3 6 ( 2 > = > = - = - A B AC Buradan, 3 3 4 3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 ) 3 1 , 3 1 ( - = - - + = f de ğerinin f nin bir yerel minimum de ğeri oldu ğu görülür. Benzer şekilde, ,0) 3 1 , 3 1 (- ve ,0) 3 1 , 3 1 ( - noktaları eyer noktaları olup 3 4 ) 3 1 , 3 1 (- = - f de ğeri f nin bir yerel maksimum de ğeridir. Örnek 6. z = f(x,y)= x 3 + y 2 – 6 xy fonksiyonu için de önceki örneklerde yaptıklarımızı tekrarlayalım. Birinci mertebeden kısmi türevlerden 2 2 0 6 3 ) , ( = - = y x y x f x 0 6 2 ) , ( = - = x y y x f y denklemlerini elde ederiz. Bu iki denklemi ortak çözmek için ikinci denklemden x y 3 = elde edilip birinci denklemde y nin bu de ğeri yerle ştirilirse, 6 , 0 0 ) 6 ( 3 0 ) 3 ( 6 3 2 = = ? = - ? = - x x x x x x bulunur. Dolayısıyla, kritik noktalar (0,0) ve (6,18) noktalarıdır. İkinci türev testi için ikinci mertebeden kısmi türevleri hesaplayalım. 2 ) , ( , 6 ) , ( , 6 ) , ( = - = = y x f y x f x y x f yy xy xx Maksimum Minimum ………………………………………………………………… 89 : için noktası ) 0 , 0 ( 2 ) 0 , 0 ( 6 ) 0 , 0 ( , 0 ) 0 , 0 ( = = - = = = = yy xy xx f C f B f A 0 36 6 ) 2 ).( 0 ( 2 2 < - = - = - B AC ? (0,0,0) eyer noktasıdır. : için noktası ) 18 , 6 ( 2 ) 18 , 6 ( , 6 ) 18 , 6 ( , 36 ) 18 , 6 ( = = - = = = = yy xy xx f C f B f A 0 36 , 0 6 ) 2 ).( 36 ( 2 2 > = > - = - A B AC -108 6.6.18 - 18 6 ) 18 , 6 ( 2 3 = + = ? f yerel minimumdur. 6.2. Maksimum - Minimum Problemleri. Bu kesimde günlük yaşamda kar şıla şılabilecek maksimum minimum problemlerine örnekler verece ğiz. Örnek 1. İki bölmeli, üstü açık, dikdörtgenler prizması şeklinde, 48 cm 3 hacimli bir küçük karton kutu yapılmak isteniyor. Bu i ş için kullanılacak karton levhanın alanının minimum olması için kutunun boyutları ne olmalıdır? Kullanılacak levhanın alanının minimum olması isteniyor. Kutunun boyutlarını, şekilde görüldü ğü gibi, x , y ve z ile gösterelim. Bu takdirde, kutu için kulla- nılacak levhanın alanı A = xy + 3yz + 2xz olur. Di ğer yandan, kutunun hacmi 48 cm 3 oldu ğundan 48= xyz ve buradan z = 48/xy oldu ğu görülür. Böylece, A alanı iki de ği şkene ba ğlı olarak ifade edilebilir: y x xy y x A A 96 144 ) , ( + + = = . Problemin do ğası gere ği 0 > x ve 0 > y olmalıdır. Şimdi problemimiz A = A(x,y) nin minimum de ğerini belirlemektir. A nın birinci mertebeden kısmi türevlerini hesaplayalım. 2 2 96 , 144 y x A x y A y x - = - = . x y z Ders 6 …………………………………………………………………………………. 90 Bu türevler 0 > x ve 0 > y olan her (x,y) için tanımlıdır. A nın minimum de ğeri kritik noktalar arasında ortaya çıkacaktır. 4 , 6 0 144 96 144 0 96 0 144 2 4 2 2 2 = = ? = - ? = ? ? ? ? ? ? ? ? = - = = - = y x x x x y y x A x y A y x Yukarıdaki hesaplamalar, bir tek kritik nokta bulundu ğunu gösteriyor: (6,4). Problemin do ğasından bu noktanın yerel minimum de ğere yol açaca ğı görülmekle beraber ikinci türev testi uygulanınca 3 4 288 3 = ? = A x A xx , 1 1 = ? = B A xy , 3 192 3 = ? = C y A yy . 0 3 4 , 0 3 1 4 2 > = > = - = - A B C A ve böylece, 72 4 96 6 144 4 6 4 6 = + + = . ) , A( de ğeri A nın (yerel)minimum de ğeridir. O halde, kullanılacak levha miktarının minimum oldu ğu 48 3 cm hacimli kutunun boyutları 2 , 4 , 6 = = = z y x cm ve kullanılacak levhanın alanı da 3 72 cm olmalıdır. Örnek 2. Bir yılda x bin tane A türü ve y bin tane B türü ürün üreten bir firmanın yıllık gideri, 30 15 2 4 6 ) , ( 2 2 + - + - = x y xy x y x C milyon YTL ve yıllık geliri, y x y x R 4 5 ) , ( + = milyon YTL olmaktadır. Bu firmanın yıllık kârının maksimum olması için yılda kaç bin adet A türü ve kaç bin adet B türü ürün üretmesi gerekir? Maksimum kâr ne olur? Çözüm. Kâr fonksiyonu, 30 4 20 2 4 6 ) 30 15 2 4 6 ( 4 5 ) , ( ) , ( ) , ( 2 2 2 2 - + + - + - = + - + - - + = - = y x y xy x x y xy x y x y x C y x R y x P olup, ? ? ? = + - = = + + - = 0 4 4 4 ) , ( 0 20 4 12 ) , ( y x y x P y x y x P y x denklem sisteminin çözümünden ? ? ? = = ? ? ? ? = + - = + + - ? ? ? ? = + - = + + - 4 3 0 24 8 0 20 4 12 0 4 4 4 0 20 4 12 y x x y x y x y x Maksimum Minimum ………………………………………………………………… 91 (3,4) kritik noktası elde edilir. İkinci türev testi, 0 12 , 0 32 16 48 , 4 ) , ( , 4 ) , ( , 12 ) , ( 2 < - = > = - = - = - = = = = - = A B AC C y x P B y x P A y x P yy xy xx P(3,4) =-54 + 48 -32 + 60 + 16 -30 = 8 in P nin maksimum de ğeri oldu ğunu gösterir. Dolayısıyla, yılda 3 bin adet A ve 4 bin adet B türü ürün üretilirse, maksimum kâr elde edilir. Maksimum kâr 8 milyon YTL dir. Örnek 3. Pozitif reel sayılardan olu şan ) , , ( z y x sayı üçlüsündeki sayıların toplamı 30 = + + z y x dur. Bu sayı üçlülerinden hangisi için xyz çarpımı maksimum olur? Çözüm. 30 = + + z y x ko şulundan y x z - - = 30 elde edilir. Problemimiz, 0 > x ve 0 > y olmak üzere, 2 2 30 ) 30 ( ) , ( xy y x xy y x xy y x f - - = - - = fonksiyonunun minimum de ğerini bulmaktır. Birinci mertebeden kısmi türevler 0 2 30 ) , ( 2 = - - = y xy y y x f x 0 2 30 ) , ( 2 = - - = xy x x y x f y denklem sistemini verir. Burada ikinci denklem birinci denklemden çıkarılırsa, 0 ) 30 )( ( 0 ) ( 30 2 2 = - - - ? = + - - x y x y x y x y ve buradan da x y = olması gerekti ği görülür(Aksi halde, 30 = + y x ve 0 = z olmas ı gerekir ve bu, 0 > z olmas ıyla çeli şir). Birinci denklemde x y = alalım ve denklemi çözelim. 0 > x ko şulundan . 10 0 ) 10 ( 3 2 30 2 2 = ? = - = - - x x x x x x O halde, (10,10) noktası f nin kritik noktasıdır. İkinci türev testini uygulayalım. , 20 ) 10 , 10 ( 2 ) , ( - = = ? - = xx xx f A y y x f 160 20 20 30 ) 10 , 10 ( 2 2 30 ) , ( = - - = = ? - - = xy xy f B y x y x f , 20 ) 10 , 10 ( 2 ) , ( - = = ? - = yy yy f C x y x f , . 0 20 , 0 300 100 400 2 < - = > = - = - A B AC Sonuç olarak, 1000 ) 10 , 10 ( = f de ğeri f nin(yerel) maksimum de ğeridir; 30 = + + z y x olup xyz çarpımının minimum oldu ğu z y x , , de ğerleri 10 = = = z y x dur. Ders 6 …………………………………………………………………………………. 92 6.3. Lagrange Çarpanları Yöntemi. Pratikte kar şıla şılan çok de ği şkenli maksimum ve minimum problemlerinden pek ço ğunun çözümünü veren Lagrange Çarpanları yöntemini a şa ğıdaki örnek problem üzerinde açıklayaca ğız. Örnek 1. Şekilde görüldü ğü gibi, uzun bir duvarın önünde bir tarafı duvar ve di ğer üç tarafı tel örgü ile çevrili dikdörtgen biçimin- de bir alan olu şturulmak isteniyor. Bu i ş için en çok 240 m tel örgü kullanılabilecektir. Olu şturulacak alanın maksimum olması için dikdörtgenin boyutları ne olmalıdır? Maksimum alan ne olur? Problemin çözümü için dikdörtgenin boyutlarını x ve y ile gösterelim. O zaman, olu şturulan alan A = f (x,y) = xy ; kullanılacak tel örgünün uzunlu ğu x + 2y = 240 m olur. Bu, x ve y üzerinde bir kısıtlamadır. Şimdi, problemimizi matematiksel olarak şöyle formüle edebiliriz: “ z = f (x,y) = xy nin g (x,y) =x + 2y - 240 = 0 kısıtlaması altında maksimum de ğerini bulunuz.” Problemimizin çözümünü bir süre için erteleyerek konu ile ilgili bazı temel tanım ve bilgilerri sunalım. Tanım 1. “ z = f (x,y) nin g (x,y) = 0 kısıtlaması altında maksimum (veya minimum) de ğerini bulunuz.” biçiminde ifade edilmi ş problemlere kısıtlamalı maksimizasyon (veya minimizasyon) problemleri denir. g (x,y) = 0 ko şuluna problem kısıtı denir. Örnek 1 de, bir kısıtlamalı maksimizasyon problemi söz konusudur. “ z = f (x,y) nin g (x,y) = 0 kısıtlaması altında maksimum (veya minimum) de ğerini bulunuz.” biçiminde ifade edilmi ş bir kısıtlamalı maksimizasyon veya minimizasyon probleminin çözümü için ) , ( ) , ( ) , , ( y x g y x f y x F ? + = ? tanımlanır. Tanım 2. Yukarıda tanımlanan F fonksiyonuna ilgili problemin Lagrange Fonksiyonu, ve fonksiyonu tanımlayan ifadedeki ? sembolüne Lagrange Çarpanı denir. Kısıtlamalaı maksimizasyon ve minimizasyon problemlerinin çözümünde Lagrange’ın a şa ğıdaki teoremi kullanılır. x y Maksimum Minimum ………………………………………………………………… 93 Teorem(Lagrange). g (x,y) = 0 kısıtlaması altında z = f (x,y) nin herhangi bir yerel maksimum veya minimum de ğeri f (a,b) ise , (a,b, ?) noktası a şa ğıdaki denklemler sisteminin bir çözümüdür: ? ? ? ? ? = ? = ? = ? ? . 0 ) , , ( 0 ) , , ( 0 ) , , ( y x F y x F y x F y x Örnek 1 deki problemimizin Lagrange Fonksiyonu ) 240 2 ( ) , , ( - + ? + = ? y x xy y x F dir. Lagrange Teoremi’ni uygulayalım. ? ? ? ? ? = - + = ? = ? + = ? = ? + = ? ? 0 240 2 ) , , ( 0 2 ) , , ( 0 ) , , ( y x y x F x y x F y y x F y x ? ? ? = = = = ? . 60 , 120 , 240 4 2 y x y y x Demek ki maksimum alan için dik dörtgenin boyu 120 m , eni 60 m olmalıdır. Maksimum alan, 7 200 2 m dir. Örnek 2. z = f (x,y) = x 2 + y 2 nin x + y = 10 kısıtlaması altında minimum de ğerini bulunuz. Burada, problem kısıtını 0 10 ) , ( = - + = y x y x g biçiminde ifade ederek Lagrange Fonksiyonu’nun ) 10 ( ) , ( ) , ( ) , , ( 2 2 - + ? + + = ? + = ? y x y x y x g y x f y x F olduğunu görürüz. Lagrange Teoremi’ni uygulayalım. ? ? ? ? ? = - + = ? = ? + = ? = ? + = ? ? 0 10 ) , , ( 0 2 ) , , ( 0 2 ) , , ( y x y x F y y x F x y x F y x ? ? ? = = = + = ? . 5 , 10 y x y x x y Böylece, f fonksiyonunun x + y = 10 kısıtlaması altında minimum de ğeri f (5,5) =50 dir. Burada, f fonksiyonunun x + y = 10 olan her (x,y) noktasındaki de ğerinin 50 den büyük oldu ğunu gözlemleyebilirsiniz. Ders 6 …………………………………………………………………………………. 94 Örnek 2 deki problemin çözümünde elde edilen sonucu a şa ğıdaki grafikten izleyebilirsiniz. Örnek 3. z = f (x,y) = 25 – x 2 – y 2 nin x + y = 4 kısıtlaması altında maksimum de ğerini bulunuz. Problem kısıtını 0 4 ) , ( = - + = y x y x g biçiminde ifade edersek, Lagrange Fonksiyonu ) 4 ( 25 ) , ( ) , ( ) , , ( 2 2 - + ? + - - = ? + = ? y x y x y x g y x f y x F olur. Bu takdirde, ? ? ? ? ? = - + = ? = ? + - = ? = ? + - = ? ? 0 4 ) , , ( 0 2 ) , , ( 0 2 ) , , ( y x y x F y y x F x y x F y x ? ? ? = = = + = ? . 2 , 4 y x y x x y Böylece, f fonksiyonunun x + y = 4 kısıtlaması altında maksimum de ğeri f (2,2) =17 dir. Burada, f fonksiyonunun x + y = 4 olan her (x,y) noktasındaki de ğerinin 17 den küçük olduğunu gözlemleyebilirsiniz. z y x (0,0,0) z = x 2 + y 2 (5,5,0) (5,5,50) x+ y = 10 Maksimum Minimum ………………………………………………………………… 95 Örnek 3 teki problemin çözümünde elde edilen sonucu a şa ğıdaki grafikten izleyebilirsiniz. Lagrange çarpanları yönteminin uygulanabilece ği problemlere bir örnek te ekonomiden veriyoruz. Örnek 4. Bir firmanın üretmeye karar verdi ği yeni bir ürün için x birimlik i ş gücü ve y birimlik ham madde ve teçhizat yatırımı yapılması durumunda o üründen üretebilece ği ürün sayısı N (x,y) = 20 x 0.55 y 0.45 (Cobb – Douglass Fonksiyonu) olarak belirleniyor. Bir birimlik i ş gücü, 45 YTL; bir birimlik hammadde ve teçhizat, 90 YTL olarak dü şünüldü ğüne ve bu i ş için 450 000 YTL ayrıldı ğına göre, üretilen ürün sayısının maksimum oması için bu mebla ğın ne kadarı i ş gücü için, ne kadarı ham madde ve teçhizat için tahsis edilmelidir? Çözüm. Bu problemin matematiksel modeli, i ş gücü için x birimlik, ham madde ve teçhizat için y birimlik yatırım yapıldı ğı varsayılarak, z y x (0,0,0) z = 25 - x 2 - y 2 (220 ) (221 7 ) x+ y = 4 (0,0,25)Ders 6 …………………………………………………………………………………. 96 “ N (x,y) = 20 x 0.55 y 0.45 fonksiyonunu 45x + 90y = 450 000 kısıtlaması altında maksimize ediniz.” biçiminde ifade edilebilir. Böylece, N (x,y) = 20 x 0.55 y 0.45 , g(x,y) = 45x + 90y – 450 000 . Lagrange çarpanları yönteminde F (x,y, ?) = N (x,y) + ? g(x,y) = 20 x 0.55 y 0.45 + ? (45x + 90y – 450 000 ). F x (x,y, ?) = 11 x -0.45 y 0.45 + 45 ? = 0 F y (x,y, ?) = 9 x 0.55 y -0.55 + 90 ? = 0 F ? (x,y, ?) = 45x + 90y = 450 000 = 0. İlk iki denklemden ? yokedilirse, 22 x -0.45 y 0.45 - 9 x 0.55 y -0.55 = 0 ? x = (22/9) y elde edilir. Üçüncü denklem kullanılarak, 45(22/9) y + 90y – 450 000 = 0 ? 110 y + 90y = 450 000 ? y = 2 250. ? x = (22/9)2 250 = (22) 250 (22/9)= 5 500. E ğer 5 500 birimlik i ş gücü, 2 250 birimlik ham madde ve teçhizat yatırımı yapılırsa, maksimum sayıda ürün üretilir ki, bu maksimum sayı, N(5 500, 2 250) = (5 500) 0.55 (2 250) 0.45 ? 146 dır. Maksimum Minimum ………………………………………………………………… 97 Problemler 6 1. İlgili teoremi kullanarak, verilen fonksiyonun yerel ekstremumlarını bulunuz. a) 2 2 4 6 y x x ) y , x ( f - - - = b) 14 6 2 2 2 + - + + = y x y x ) y , x ( f c) 2 3 2 - - + = y x xy ) y , x ( f ç) xy e ) y , x ( f = d) xy y x ) y , x ( f 3 3 3 - + = e) 2 3 6 2 x xy y ) y , x ( f - - = f) xy y x ) y , x ( f 12 2 2 4 - + = g) 2 2 3 6 3 y xy x ) y , x ( f + - = 2. Ambalaj i şi yapan bir şirket, karton levhadan, a şa ğıdaki şekilde gösterilen yapıda, 3 bölmeli, 64 cm 3 hacimli kutular üretmek istemektedir. Bu biçimde bir kutunun üretiminde kullanılan malzeme miktarının minimum olması için kutunun boyutları ne olmalıdır? 3. A ve B türü olmak üzere iki tür hesap makinesi üreten bir firmanın yılda x bin tane A ve y bin tane B türü hesap makinesi üretmesi durumunda yıllık gideri C(x,y) = x 2 – 2xy + 2y 2 + 6x – 9y + 5 ve geliri de R(x,y) = 2x + 3y birim para olmaktadır. Bu firmanın yıllık kârının maksimum olması için her tür hesap makinesinden kaç adet üretmesi gerekir? Maksimum kâr ne olur? 4. Düz bir platoda bulunan A, B ve C kentlerine hizmet vermek üzere bir baz istasyonu kurulacaktır. Platoda yerle ştirilen bir Kartezyen koordinat sistemine göre kentlerin konumu yandaki şekilde gösterilmi ştir. Baz istasyonunun P (x,y) noktasına yerle ştirilece ği varsayı- yılırsa, P den A , B ve C kentlerine olan uzaklıkla- rın kareleri toplamının minimum olması için x ve y ne olmalıdır? Bu durumda, baz istasyonunun her üç kente olan uzaklı ğını bulunuz. 5. Posta idaresi, postaya verilecek kutuların şekilde görül- dü ğü gibi uzunlu ğu ile çevre uzunlu ğunun toplamı 300 cm. yi geçmeyecek biçimde olmasını istemektedir. Bu ko şulları sağlayan ve hacmi maksimum olan kutunun boyutlarını bulunuz. P (x,y) C (10,0) B (2,6) A (0,0) çevre uzunlu ğu uzunlukDers 6 …………………………………………………………………………………. 98 6. Bir kırtasiye ma ğazasında A ve B türü olarak adlandırılan iki tür kalem satılacaktır. Ma ğaza, A türü kalemlerden her birini 6 YTL ye, B türü kalemlerden her birini 8 YTL ye mal etmektedir. Yapılan ara ştırmalar, bir A türü kalemin satı ş fiyatı x YTL ve bir B türü kalemin satı ş fiyatı y YTL olarak belirlendi ği takdirde, A türü kalemlerden haftada s = 116 – 30x + 20y , B türü kalemlerden de haftada t = 144 + 16x –24y adet satılabilece ğini göstermi ştir. a) x = 10 ve y = 12 olması durumunda haftalık satı şı belirleyiniz. b) x = 11 ve y = 11 olması durumunda haftalık satı şı belirleyiniz. c) Haftalık kârın maksimum olması için A ve B türü kalemlerin satı ş fiyatı ne olmalıdır? Maksimum kâr ne olur? 7. Lagrange Çarpanları yöntemi ile çözünüz. a) xy ) y , x ( f 2 = fonksiyonunun 6 = + y x kısıtlaması altında maksimum de ğerini bulunuz. b) 2 2 y x ) y , x ( f + = fonksiyonunun 25 4 3 = + y x k ısıtlaması altında minimum de ğerini bulunuz. c) xy ) y , x ( f 2 = fonksiyonunun 18 2 2 = + y x k ısıtlaması altında maksimum de ğerini bulunuz. d) Toplamları 10 olan reel sayı ikilileri arasında çarpımı maksimum olan ikiliyi bulunuz. e) 2 2 2 z y x ) z , y , x ( f + + = fonksiyonunun 28 3 2 - = + - z y x k ısıtlaması altında maksimum de ğerini bulunuz. f) z y x ) z , y , x ( f + + = fonksiyonunun 12 2 2 2 = + + z y x k ısıtlaması altında maksimum de ğerini bulunuz 8. İki model televizyon üreten bir firma, A model televizyonlardan haftada x adet , B model televizyonlardan haftada y adet üretmesi durumunda haftalık toplam gideri 2 2 12 6 ) , ( y x y x C + = birim para(bp) olmaktadır. Eğer firmanın haftada her iki türden üretti ği televizyonların toplam sayısının 90 olması isteniyorsa, giderin minimum olması için haftalık üretim programı ne olmalıdır? Minimum gider nedir? 9. Bir firmanın üretmeye karar verdi ği yeni bir ürün için x birimlik i ş gücü ve y birimlik ham madde ve teçhizat yatırımı yapılması durumunda o üründen üretebilece ği ürün sayısı N (x,y) = 20 x 0.4 y 0.6 (Cobb – Douglass Fonksiyonu) olarak belirleniyor. Bir birimlik i ş gücü, 50 YTL; bir birimlik hammadde ve teçhizat, 75 YTL olarak dü şünüldü ğüne ve bu i ş için 500 000 YTL ayrıldı ğına göre, üretilen ürün sayısının maksimum oması için bu mebla ğın ne kadarı i ş gücü için, ne kadarı ham madde ve teçhizat için tahsis edilmelidir? 10. Be şinci problemi Lagrange Çarpanları Yöntemi ile çözünüz.