İleri Malzeme Mekaniği Denge Denklemleri 1 Differential Differential Differential Differential Differential Differential Differential Differential Equations Equations Equations Equations Equations Equations Equations Equations of of of of of of of of Equilibrium Equilibrium Equilibrium Equilibrium Equilibrium Equilibrium Equilibrium Equilibrium of a of a of a of a of a of a of a of a Deformable Deformable Deformable Deformable Deformable Deformable Deformable Deformable Body Body Body Body Body Body Body Body Dr. Dr. Nusret Nusret MEYDANLIK MEYDANLIK nm nm- -2011 2011 İleri Malzeme Mekaniği Dr. Nusret MEYDANLIK Ders Ders 3 3 İ İ LER LER İ İ MALZEME MEKAN MALZEME MEKAN İĞİ İĞİ M M K K 64 64 5 5 Kaynak Kaynakç ça: a: -Advanced Mechanics of Materials , ARTHUR P. BORESI & RICHARD J. SCHMIDT Differential Differential Equations Equations of of Equilibrium Equilibrium of a of a Deformable Deformable Body Body We consider a general deformed body and choose a differential volume element at point 0 in the body as indicated in Figure 2.14. The form of the differential equations of motion depends on the type of orthogonal coordinate axes employed. We choose rectangular coordinate axes (x, y, z) whose directions are parallel to the edges of the volume element. In this section, we derive differential equations of motion for a deformable solid body (differential equations of equilibrium if the deformed body has zero acceleration). These equations are needed when the theory of elasticity is used to derive load-stress and load-deflection relations for a member. Yük etkisi altındaki bir cisimde gerilme durumunun noktadan noktaya değiştiğini söylemiştik. Bu değişimler statiğin denge denklemleri yardımıyla elde edilir. Bunun içinde denge halinin içinde kısmi türevlerin de olduğu diferansiyel denklemlerinin elde edilmesi gerekir3 Six cutting planes bound the volume element shown in the free-body diagram of Figure 2.15. In general, the state of stress changes with the location of point 0. In particular, the stress components undergo changes from one face of the volume element to another face. Figure 2.15. Stress components showing changes from face to face along with body force per unit volume including inertial forces. 4 Consider Fig. 2.15, the differential equations of equilibrium in rectangular coordinate axes ( x, y, z ) can be written as following, Diferansiyel Diferansiyel denge denge denklemleri denklemleri Burada g Burada gö ör rü üld ldü üğ ğü ü gibi uzay gerilme halinde alt gibi uzay gerilme halinde altı ı gerilme bile gerilme bileş şeni, d eni, dü üzlem gerilme zlem gerilme halinde halinde üç üç gerilme bile gerilme bileş şeni bilinmemektedir. Buna kar eni bilinmemektedir. Buna karşı şın elimizde d n elimizde dü üzlem gerilme zlem gerilme hali i hali iç çin iki, uzay gerilme hali i in iki, uzay gerilme hali iç çin 3 ifade bulunmaktad in 3 ifade bulunmaktadı ır. Bu durumda gerilme r. Bu durumda gerilme problemi problemi statik statikç çe belirli olmayan ( e belirli olmayan (hiperstatik hiperstatik) bir problemdir ) bir problemdir. Dolay . Dolayı ıs sı ıyla gerilme yla gerilme problemini problemini çö çözmek i zmek iç çin in ş şekil de ekil değ ği iş ştirmeleri g tirmeleri gö öz z ö ön nü üne almak gerekir. ne almak gerekir. 0 = + ? ? i j ji B x ?5 Fundamentals of Fundamentals of strain strain , , The The strain strain deviator deviator ve ve Mohr Mohr ’ ’ s s circle circle for for strain strain 6 Şimdiye kadar dış yükler etkisinde gerilmeleri hesap etmesini öğrendik. Oysa dış yükler etkisinde bir cisim deformasyona da uğrar. Deformasyonun şiddetinin ölçümüne genleme (gerinim yada birim şekil değiştirme) diyoruz. Dış yükler etkisinde cismin boyut ve şeklindeki değişimleri hesaplamak, gerilme analizlerini yapabilmek için deformasyon ve genlemelerin bulunması gerekir. A ve B noktalarının A’ ve B’ noktalarının yerine yer değiştirmesi deformasyon nedeniyledir. Bu yer değiştirmenin iki bileşeni olabilir. Doğrusal ve açısal yerdeğiştirme ..7 Normal genleme Kayma genlemesi 2D 2D Strain Strain – – Genleme Genleme (gerinim, birim (gerinim, birim ş şekil de ekil değ ği iş ştirme) Alan tirme) Alanı ı (D (Dü üzlem zlem ş şekil de ekil değ ği iş ştirme hali) tirme hali) (SYT +ve) xy düzleminde total açısal değişim ? xy ile gösterilir (Kayma genlemesinin isareti +ve dir eğer xy düzlemindeki açı azalıyorsa) (u ve v, x ve y nin bir fonksiyonudur, Taylor açılımı ve 2. derceden terimlerin ihmal edilmesiyle) (Normal genlemenin isareti +ve dir eğer cisim uzuyorsa) dx dx dy dy 89 3D üç boyutlu gerilme hali için genişletilirse; normal ve kayma genlemeleri, ifadeleri elde edilir ki burada da; ki burada ; Tensörel notasyonla, yazılabilir. Simetrik Simetrik genleme genleme tens tensö ör rü ü 10 ? y ,11 ile Ö ÖRNEK : RNEK : 12 Transformation Transformation of of Strains Strains13 14 Principal Principal Shearing Shearing Strains Strains15 1617 18 Usefulness Usefulness of of the the Strain Strain Deviator Deviator19 Mohr Mohr ’ ’ s s Circle Circle for for Strain Strain 2021 2223 Shear Shear Strain Strain 2425 2627 28 C (300;0) ve R=161.2429 Ö ÖREK : REK : ? xx ? yy 30 e xx =510 µ, e yy =120 µ , ? xy =260 µ31 32 MOHR DA MOHR DAİ İRES RESİ İNDE GER NDE GERİ İLME ile GENLEME ARASINDAK LME ile GENLEME ARASINDAKİ İ İ İL LİŞ İŞK Kİ İ33 Ö ÖRNEK : RNEK : 3435 3637 38 Small Small displacement displacement theory theory Önceki bölümde deformasyon ifadeleri küçük yer değiştirmelerin varsayımı ile tamamen geometrik ilişkilerden elde edildi, yani 3. dereceden terimler ihmal edildi, bu durumda ; Bu şu demektir ki eğer bir noktadaki şekil değiştirme halini tanımlayan 3 yerdeğiştirme bileşeni (u, v, ve w) biliniyorsa 6 genleme bileşeni (2.81) ile belirlenebilir. Ancak keyfi olarak seçilmiş 6 genleme bileşeni biliniyorsa 3 yer değiştirme bileşeni (u, v, ve w) integrasyonla elde edilmeyebilir. Yani 6 genleme bileşeninin aralarında belli bir ilişkinin olması gerekir ki integrasyonla bulunabilsin ki bu ilişkilere de UYGUNLUK İFADELERİ denir. Düzlem şekil değiştirme için , şeklinde elde edilir. 3D için genelleştirilirse,39 K Küçü üçük yer k yer- -de değ ği iş ştirme tirme teorisi i teorisi iç çin uygunluk in uygunluk ifadeleri ifadeleri Eğer genleme bileşenleri yandaki ifadeleri sağlarsa , yer-değiştirme bileşenleri de (2.81) ifadelerini sağlar 40 • Bu hafta için bu kadar yeter, (Boresi den iki problem çözülecek) iyi bayramlar iyi bayramlar41