Genel Matematik Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi DERS 4 Determinantlar, Leontief Girdi - Çıktı Analizi 4.1. Bir Kare Matrisin Determinantı. Determinant kavramını tümevarımla tanımlayaca ğız. 2×2 matrislerin determinantını tanımlayarak ba şlayalım. Tanım 1. ? ? ? ? ? ? = 22 21 12 11 a a a a A matrisinindeterminantı, 22 21 12 11 a a a a A = 12 21 22 11 a a a a - = olarak tanımlanır. Örnek 1. ? ? ? ? ? ? = 3 1 4 2 A matrisinin determinantı, 4 4 1 3 2 3 1 4 2 = · - · = = A , ? ? ? ? ? ? = 2 1 1 2 A matrisinin determinantı, 3 1 1 2 2 2 1 1 2 = · - · = = A tür. Tanım 2. m ve n sayıları 2 den büyük olmak üzere bir m × n matrisin i-inci satırı ve j-inci sütunu çıkarılarak elde edilen (m-1) × (n-1) matrise o matrisin i-j altmatrisi denir. A matrisinin i-j altmatrisi A(i,j) ile gösterilir. Örnek 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = 5 2 1 1 0 4 3 2 1 A matrisinin bazı altmatrisleri şunlardır: ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? = 1 0 3 1 ) 1 , 3 ( , 2 1 2 1 ) 3 , 2 ( , 5 1 1 4 ) 2 , 1 ( , 5 2 1 0 ) 1 , 1 ( A A A A . Dersv 4 ……………………………………………………………………………………. 52 n > 2 içi n bir n × n matrisin determinantı, altmatrislerinin determinantları cinsinden tanımlanır. Tanım 3. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nn n n n n a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 matrisin determinantı, nn n n n n a a a a a a a a a A K K K K 2 1 2 22 21 1 12 11 = ile gösterilir ve ) , 1 ( ) 1 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 1 ( 1 1 12 11 n A a A a A a A n n + - + + - = L olarak tanımlanır. Sigma gösterimi ile ) , 1 ( ) 1 ( 1 1 1 j A a A j n j j ? = + - = . Bu ifadeye A nın determinantının birinci satıra göre açılımı denir Böylece 3× 3 matris ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A ün determinantının birinci satıra göre açılımı ) 3 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 1 ( 13 12 11 A a A a A a A + - = 32 31 22 21 13 33 31 23 21 12 33 32 23 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a + - = ) ( ) ( ) ( 22 31 32 21 13 23 31 33 21 12 23 32 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a - + - - - = , dir. Terimlerin uygun sıralanı şıyla, 22 31 13 33 21 12 23 32 11 32 21 13 23 31 12 33 22 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a A - - - + + = ifadesi elde edilir. Örnek 3. Birinci satıra göre açılım kullanılarak = · + - · - - - · = - - = 1 0 4 3 2 2 0 1 3 ) 2 ( 2 1 1 4 1 2 1 0 1 4 3 2 2 1 A 1 . (8+1) – (-2) . (6-0) + 2 . (3-0) = 9 + 12 + 6 = 27. Determinantlar , Leontief Girdi-Çıktı Analizi …………………………………………… 53 3×3 matrislerin determinantının hesabında izlenebilecek pratik bir yol şöyledir: Deter- minantın sa ğ yanına birinci ve ikinci sütunlar eklenir (a şa ğıda izleyiniz) ve görülen oklar yönünde bulunan girdiler çarpılarak a şa ğı yönde olanların toplamından yukarı yönde olanların toplamı çıkarılır. 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A = 31 21 11 a a a 32 22 12 a a a Örnek 4. Yukarıda, birinci satıra göre açılım kullanılarak hesaplanan determinant, pratik olarak a şa ğıdaki gibi hesaplanabilir. 2 1 0 1 4 3 2 2 1 - - = A 0 3 1 1 4 2 - = (8 + 0 + 6 ) - (0 - 1 - 12) = 27. Örnek 5. Bir 4 × 4 determinantın birinci satırına göre açılımına örnek olarak 5 1 0 3 0 1 2 4 2 3 1 0 1 0 2 1 - - = A 5 1 0 0 1 2 2 3 1 1 - = 5 1 3 0 1 4 2 3 0 2 - 5 0 3 0 2 4 2 1 0 0 - + 1 0 3 1 2 4 3 1 0 ) 1 ( - - - 1 0 1 2 2 5 0 0 2 3 5 1 0 1 1 ( 1 + - - = 1 3 1 4 2 5 3 0 4 3 5 1 0 1 0 ( 2 + - - +0 0 3 2 4 3 1 3 1 4 ) 1 ( 1 0 1 2 0 ( 1 + - - + 4 30 5 ( 1 + - - = ) 2 60 0 ( 2 + - - ) 18 1 0 ( 1 - + + 1 116 31 - + - = =68. + - -- + + 0 -1 0 -12 6 8 Dersv 4 ……………………………………………………………………………………. 54 4.2. Determinantların temel özellikleri. Yukarıda verilen determinant tanımı yardımıyla kanıtlanabilecek bazı özellikler vardır ki bunlar determinant hesabında kolaylıklar da sa ğlar. Bu özelliklerden bir kısmını a şa ğıya listeliyoruz. A daima bir n× n matrisi göstermektedir. 1. . 1 | | = n I 2. ? = + - = n j ij j i j i A a A 1 . ) , ( ) 1 ( ( Bu ifadeye | A | nın i-inci satıra göre açılımı denir.) 3. E ğer A nın bir satırının her bir girdisi bir s sayısı ile çarpılarak elde edilen matris A ' ise, |A '|= s|A| dır. 4. E ğer A nın bir satırının bir sayı ile çarpılıp ba şka bir satırına toplanmasıyla elde edilen matris A ' ise, |A '|=|A| dır. 5. E ğer A nın iki satırının yerleri de ği ştirilerek elde edilen matris A ' ise, |A '|= -|A| dır. 6. E ğer A nın bir satırındaki tüm girdiler 0 ise, |A|= 0 dır. 7. E ğer A nın iki satırı özde ş ise, |A|= 0 dır. 8. ? = + - = n i ij j i j i A a A 1 . ) , ( ) 1 ( (Bu ifadeye | A | nın j-inci sütuna göre açılımı denir.) 9. | A T | = | A | 10. Yukarıda, üç, dört, be ş, altı ve yedinci özelliklerde satır sözcükleri yerine sütun sözcü ğü yazılırsa, özellikler geçerlili ğini korur. Örnek 1. Daha önce hesapladı ğımız 4×4 determinantı, yukarıda ifade edilen özellikleri kullanarak hesaplayalım.. 5 1 0 3 0 1 2 4 2 3 1 0 1 0 2 1 - - = A 8 1 6 0 4 1 6 0 2 3 1 0 1 0 2 1 - - - - = 4 17 0 0 8 17 0 0 2 3 1 0 1 0 2 1 - - - - - - = 4 0 0 0 8 17 0 0 2 3 1 0 1 0 2 1 - - - - = 4 0 0 8 17 0 2 3 1 1 - - - = 4 0 8 17 ) 1 ( 1 - - = 68 4 ) 17 )( 1 ( 1 = - - = . (birinci satır -4 ile çarpılıp üçüncü satıra, -3 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı.) (ikinci satır -6 ile çarpılıp üçüncü satıra, -6 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı.) (üçüncü satır -1 ile çarpılıp dördüncü satıra toplandı.) Determinantlar , Leontief Girdi-Çıktı Analizi …………………………………………… 55 Determinantların bir di ğer özelli ği de çarpımsallık özelli ğidir: • A ve B, n× n matrisler ise, |AB| = |A| |B| dir. Determinantların yukarıda belirtilen özelliklerinden yararlaarak | A | ? 0 olmasının A nın indirgenmi ş biçiminin birim matris olmasına denk oldu ğu görülebilir. Dolayısıyla, A n ın tersinir olması için gerek ve yeter ko şul, | A | ? 0 olmasıdır. Di ğer yandan, A A -1 = I e şitli ği ve determinantın çarpımsallık özelli ğinden, • A tersinir ise, |A -1 | = (|A|) -1 dir. 4.3. Ters Matris , Cramer Kuralı. Bir n×n matris A = [a ij ] , 1 ? i , j ? n verilmi ş olsun. A n ın k-inci satırını atıp onun yerine i-inci satırını yazarak elde edilen matris ' A ile gösterilsin. E ğer k ? i ise, ' A nün iki satırı aynı olaca ğından | ' A | = 0 dır; k-inci satıra göre açılım yazılırsa, 0 ) , ( ) 1 ( ' 1 = - = ? = + j k A a A n j j i j k elde edilir. Burada, k ? i oldu ğunu unutmayalım. k = i için yukarıdaki ifade |A | ya e şit olaca ğından, ? ? ? ? = = - ? = + i , 0 , ) , ( ) 1 ( 1 k i k A j k A a n j j i j k oldu ğu görülür. | A | ? 0 ise, iki taraf | A | ile bölünerek ? ? ? ? = = - ? = + i , 0 , 1 ) , ( ) 1 ( 1 k i k A j k A a n j j i j k elde edilir. Son ifade, j-k girdisi A j k A c j k jk ) , ( ) 1 ( + - = Dersv 4 ……………………………………………………………………………………. 56 olan matrisin A nın tersi, A -1 , oldu ğunu gösterir. Gerçekten, A ile j-k girdisi c jk olan matrisin çarpımının i-k girdisi , A nın i-inci satırı [a i1 , a i2 , . . . , a in ] ile di ğer matrisin k-inci sütunu ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + A j k A A k A c c j k k nk k ) , ( ) 1 ( ) 1 , ( ) 1 ( . .. 1 1 L nın çarpımı, yani ? ? ? ? = = - = ? ? = + = i , 0 , 1 ) , ( ) 1 ( 1 1 k i k A j k A a c a n j j i j k n j jk ij olur ki, bu, söz konusu iki matrisin çarpımının birim matris, I n , oldu ğunu gösterir. O halde, | A | ? 0 ise, A = [ a ij ] nin tersi, [] n k j A j k A c c A j k jk jk ? ? - = = + - , 1 , ) , ( ) 1 ( , 1 dır. Özel olarak, 3×3 matrisler için ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A ; | A | ?0 ise, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = - A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ) 3 , 3 ( ) 3 , 2 ( ) 3 , 1 ( ) 2 , 3 ( ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 3 ( ) 1 , 2 ( ) 1 , 1 ( 1 . Yukarıdaki tartı şmalar, 2×2 matrisler için de geçerlidir. A(1,1) = a 22 , A(1,2) = a 21 , A(2,1) = a 12 ve A(2,2) = a 11 , |A| = a 11 a 22 – a 21 a 12 alınarak ? ? ? ? ? ? = 22 21 12 11 a a a a A ; | A | ?0 ise, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - = - 12 21 22 11 11 12 21 22 11 21 12 21 22 11 12 12 21 22 11 22 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A elde edilir. Determinantlar , Leontief Girdi-Çıktı Analizi …………………………………………… 57 Örnek 1. A = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 2 1 1 3 1 2 2 1 1 matrisinin tersini bulalım. 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 2 2 1 1 - - - , 2 ) 4 3 2 ( ) 4 3 2 ( = - - - - + + - = A . 1 2 1 3 1 ) 1 , 1 ( = - - = A , 0 2 1 2 1 ) 1 , 2 ( = - - = A , 1 3 1 2 1 ) 1 , 3 ( = = A 7 2 1 3 2 ) 2 , 1 ( - = - = A , 4 2 1 2 1 ) 2 , 2 ( - = - = A , 1 3 2 2 1 ) 2 , 3 ( - = = A 3 1 1 1 2 ) 3 , 1 ( - = - = A , 2 1 1 1 1 ) 3 , 2 ( - = - = A , 1 1 2 1 1 ) 3 , 3 ( - = = A ve böylece, . 2 1 1 2 3 2 1 2 2 7 2 1 0 2 1 ) 3 , 3 ( ) 3 , 2 ( ) 3 , 1 ( ) 2 , 3 ( ) 2 , 2 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 3 ( ) 1 , 2 ( ) 1 , 1 ( 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = - A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Ters matris için yukarıda bulunanlar do ğrusal denklem sistemlerinin çözümüne uygulanınca, Cramer Kuralı olarak bilinen kural elde edilir. De ği şken sayısı denklem sayısına e şit olan ? ? ? ? ? ? ? = + + + = + + + = + + + n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 do ğrusal denklem sisteminin katsayılar matrisini A , de ği şkenlerden olu şan sütun matrisini X ve sa ğ taraf sabitlerinden oluşan sütun matrisini B ile göstererek ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = nn n n n n a a a a a a a a a A L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n x x x X L 2 1 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = n b b b B L 2 1 verilen denklem sisteminin B AX = matris denklemi olarak yazılabilece ğini; A tersinir ise, bu denklemin tek bir çözümü bulundu ğunu ve çözümün B A X 1 - = ile verildi ğini biliyoruz. Dersv 4 ……………………………………………………………………………………. 58 Dolayısıyla, denklem sisteminin tek çözümünün i-inci bile şeni, A -1 in i-inci satırı ile B nin çarpımıdır. A -1 in hesabı için yukarıda geli ştirdi ğimiz yöntem kullanılırsa, çözümün i-inci bile şeninin ? ? = + = + - = - = n k k i k n k k i k i i k A b A b A i k A x 1 1 ) , ( ) 1 ( 1 ) , ( ) 1 ( oldu ğu görülür. Dikkat ediklirse, yukarıda ikinci ifadedeki toplam, katsayılar matrisi A nın i-inci sütununun B sütunuyla de ği ştirilmesiyle elde edilen matrisin determinantının i-inci sütuna göre açılımıdır. A n ın i-inci sütununun B sütunuyla de ği ştirilmesiyle elde edilen matris A(B,i) ile gösterirlirse, A i B A x i ) , ( = oldu ğu görülür. Elde edilen sonucu teorem olarak ifade edelim. Teorem (Cramer Kuralı). E ğer ? ? ? ? ? ? ? = + + + = + + + = + + + n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L 2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 denklem sisteminin katsayılar matrisi A tersinir ise, bu sistemin bir tek çözümü vardır ve bu tek çözüm, A nın i-inci sütunu sistemin sa ğ taraf sabitlerinden olu şan B sütunuyla de ği ştirilince elde edilen matris A (B,i) olmak üzere, ? ? ? ? ? ? ? ? A n B A A B A A B A ) , ( , , ) 2 , ( , ) 1 , ( L dir. Cramer kuralı üç de ği şkenli ? ? ? ? ? = + + = + + = + + 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a denklem sistemi için uygulanırsa, katsayılar matrisinin determinantı | A | ? 0 olmak ko şuluyla, bu sistemin tek çözümünün ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 32 31 2 22 21 1 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 3 31 23 2 21 13 1 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 33 32 3 23 22 2 13 12 1 , , a a a a a a a a a b a a b a a b a a a a a a a a a a a a b a a b a a b a a a a a a a a a a a a b a a b a a b oldu ğu görülür. Determinantlar , Leontief Girdi-Çıktı Analizi …………………………………………… 59 Örnek 2. ? ? ? ? ? = - - = + + = + + 1 2 2 3 2 4 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x denklem sistemini Cramer kuralı ile çözelim. Katsayılar nmatrisinin ve bu matrisin sütunlarını, sırasıyla, sa ğ taraf sabitlerinin olu şturdu ğu sütunla de ği ştirince elde edilen matrislerin determinantları 1 1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 2 2 1 1 - - - , , 2 ) 4 3 2 ( ) 4 3 2 ( = - - - - + - = A 1 1 1 1 2 4 2 1 1 3 1 2 2 1 4 - - - , , 5 ) 4 12 2 ( ) 4 3 8 ( ) 1 , ( = - - - - + - = B A 1 2 4 1 2 1 2 1 1 3 2 2 2 4 1 - , , 21 ) 16 3 4 ( ) 4 12 4 ( ) 2 , ( = - + - + + - = B A 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 4 1 1 - - , . 9 ) 2 2 4 ( ) 8 2 1 ( ) 3 , ( - = + - - - + = B A Böylece, sistemin tek çözümü, ? ? ? ? ? ? - = ? ? ? ? ? ? ? ? 2 9 , 2 21 , 2 5 ) 3 , ( , ) 2 , ( , ) 1 , ( A B A A B A A B A olarak elde edilir. Cramer kuralı iki de ği şkenli iki denklemden olu şan denklem sistemleri için de geçerlidir: ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? = + = + k h B y x X d c b a A k dy cx h by ax , , , 0 ? - = bc ad A ise, denklem sisteminin tek çözümü a şa ğıda verildi ği gibidir. | | , | | A k c h a y A d k b h x = = Dersv 4 ……………………………………………………………………………………. 60 Örnek 3. ? ? ? = + = + 9 3 8 2 y x y x denklem sisteminin katsayılar matrisinin determinantı 5 1 1 3 2 3 1 1 2 = · - · = olup sistemin tek çözümü 2 5 9 1 8 2 , 3 5 3 9 1 8 = = = = y x olarak elde edilir. 4.4. Leontief Girdi – Çıktı Analizi. Burada ele alınan konu, adını a şa ğıda resmi görülen Rus asıllı matematikçi Wassili Leontief`den almaktadır. Örnek 1. Elektrik Şirketi (E) ve su şirketi (S) den olu şan iki endüstrili bir ekonomi dü şünelim. Her iki şirketin de çıktısı birim para (bp) ile ölçülsün. Elektrik şirketi, su ve elektrik kullanarak elektrik; su şirketi de yine su ve elektrik kullanarak su üretiyor. • 1 bp lık elektrik üretmek için 0.30 bp lık elektrik ve 0.10 bp lık su , • 1 bp lık su üretmek için 0.20 bp lık elektrik ve 0.40 bp lık su gerekiyor. Dı ş sektörün talebi, 12 bp lık elektrik ve 8 bp lık su olarak belirlenmi ş. Denge ko şullarını belirleyelim. Önce, dı ş talep kadar, yani 12 bp lık elektrik ve 8 bp lık su üretildi ğini varsayalım. Bu takdirde, şirketlerin harcamaları gereken elektrik ve su miktarları şöyledir: Wassili Leontief , 1906 yılında Leningrad’da do ğdu. Üniversiteyi Leningrad’da bitirdi; dok- torasını Almanya’da yaptı. 1931 yılında New York’a gitti. 1973 yılında Nobel ekonomi ödülünü aldı. 1999 yılında vefat etti. Girdi – Çıktı Analizi, bir ekonomideki endüstrilerin dı ş taleplerle birlikte birbirlerinin iç taleplerini de kar şılayacak kadar üretim yapmalarını sa ğlayacak denge ko şullarını belirlemek için yapılır. Determinantlar , Leontief Girdi-Çıktı Analizi …………………………………………… 61 Elektrik şirketi, 12 bp lık elektrik üretmek için 0.3 . 12 bp lık, su şirketi de 8 bp lık su üretmek için 0.2 . 8 bp lık elektrik tüketece ğinden, söz konusu üretimin gerçekle ştirile- bilmesi için iki şirketin 0.3 . 12 +0.2 . 8 = 5.2 bp lık elektrik tüketmeleri gerekir. Benzer şekilde, elektrik şirketi, 12 bp lık elektrik üretmek için 0.1 . 12 bp lık, su şirketi de 8 bp lık su üretmek için 0.4 . 8 bp lık su tüketece ğinden, söz konusu üretimin gerçekle ştirile- bilmesi için iki şirketin 0.1 . 12 +0.4 . 8 = 4.4 bp lık su tüketmeleri gerekir. Bu durumda dı şarıya sadece 6.8 bp lık elektrik ve 3.6 bp lık su verilebilir. Denge ko şulları gerçekle ş- memi ştir!.. Denge ko şulları ne zaman gerçekle şir? Üretilen su ve elektrik tüm iç ve dı ş talepleri kar şıladı ğı zaman. Denge ko şullarını belirlemek için elektrik şirketinin toplam çıktısının x 1 bp lık , su şirketinin toplam çıktısının da x 2 bp lık oldu ğunu kabul edelim. Bu takdirde, iç talepler elektrik için 0.3x 1 + 0.2x 2 bp lık ve su için 0.1x 1 + 0.4x 2 bp lık olacaktır. Dı ş talepler, elektrik için d 1 = 12 bp lık, su için d 2 = 8 bp lık olacaktır. İç ve dı ş talepler birle ştirilince ? ? ? + + = + + = 8 4 . 0 1 . 0 12 2 . 0 3 . 0 2 1 2 2 1 1 x x x x x x denklem sistemi elde edilir ki, bu sistem matris biçiminde ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? 8 12 4 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 2 1 2 1 x x x x olarak ifade edilebilir. E ğer ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = 8 12 , 4 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 , 2 1 D M x x X tanımlanırsa, yukarıdaki denklem X = MX + D matris denklemine dönü şür. Elde edilen matris denklemi, X = MX + D veya (I - M)X = D biçiminde yazılabilir. Yukarıda tanımlanan M matrisine teknoloji matrisi, X matrisine çıktı matrisi ve D matrsine de dı ş talep matrisi denir. (I – M) X = D matris denklemine girdi-çıktı matris denklemi ya da kısaca girdi-çıktı denklemi denir. Girdi çıktı denklemi, ö ğrendi ğimiz yöntemlerden herhangi biri ile çözülebilir. Katsayılar matrisi, I-M, bir kare matris oldu ğundan, |I-M | ? 0 olmak ko şuluyla, bu matris denklemi ters matristen yararlanılarak veya Cramer kuralı kullanılarak da çözülebilir. Örnek problemimizde, ? ? ? ? ? ? = 4 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 M , ? ? ? ? ? ? - - = ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? = - 6 . 0 1 . 0 2 . 0 7 . 0 4 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 1 0 0 1 M I , |I-M | = 0.4 Dersv 4 ……………………………………………………………………………………. 62 tür. Cramer kuralı ile, girdi-çıktı denkleminin çözümü, ) 17 , 22 ( 4 . 0 8 . 6 , 4 . 0 8 . 8 6 . 0 1 . 0 2 . 0 7 . 0 8 1 . 0 12 7 . 0 , 6 . 0 1 . 0 2 . 0 7 . 0 6 . 0 8 2 . 0 12 = ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - - - olarak elde edilir. O halde, iç ve dı ş talebin kar şılanabilmesi için x 1 = 22 bp lık elektrik ve x 2 = 17 bp lık su üretilmelidir. Bu üretimle, 12 bp lık elektrik ve 8 bp lık su olan dı ş talep kar şılanacak ve bunu mükün kılacak üretimin yapılabilmesi için gerekli iç talep de kar şılanacaktır. Örnek 1 de tartı şmı ş oldu ğumuz problem iki endüstrili bir ekonomide girdi-çıktı problemidir. Pratikte, girdi-çıktı analizi yapılan ekonomilerde onlarca endüstri söz konusudur, ancak, yapılacak analiz iki endüstrili modelden farklı de ğildir. Ba şka örnekler vermeden önce temel girdi-çıktı problemini bir kez daha ifade edelim ve iki endüstrili ekonomi modeli için yaptı ğımız çözümü tekrar gözden geçirelim. Temel Girdi-Çıktı Problemi: Bir ekonomide her bir endüstrinin üretim gerçekle ştirebilmesi için gerekli iç talepleri bilindi ğinde, bu endüstrilerin hem iç talepleri hem de dı ş talepleri kar şılayacak çıktı sa ğlamaları için denge ko şullarının belirlenmesi.. C 1 ve C 2 gibi iki endüstri kolundan olu şan bir ekonomi modeli için girdi-çıktı matris denklemi ve ilgili matrisler a şa ğıdaki gibi olu şturulur. 1 ? i , j ? 2 olmak üzere, e ğer C j endüstrisinin 1 bp. lık çıktı yapması için C i den beklenen girdi a ij ile gösterilirse, bu ekonominin teknoloji matrisi a şa ğıdaki gibi olu şturulur. M a a a a = ? ? ? ? ? ? 22 21 12 11 Girdi-çıktı denklemini yazmak için, C 1 endüstrisinin toplam çıktısı x 1 , C 2 endüstrisinin toplam çıktısı x 2 ; dı ş sektörün C 1 den talebi d 1 , C 2 den talebi d 2 ile gösterilerek çıktı matrisi X ve dı ş talep matrisi D olu şturulur: ? ? ? ? ? ? = 2 1 x x X , ? ? ? ? ? ? = 2 1 d d D . C 2 Girdi C 1 C 1 C 2 Çıktı 1 bp lık C 1 için C 1 girdisi 1 bp lık C 2 için C 1 girdisi 1 bp lık C 1 için C 1 girdisi 1 bp lık C 2 için C 2 girdisi Determinantlar , Leontief Girdi-Çıktı Analizi …………………………………………… 63 Girdi – çıktı matris denklemi, X = MX + D olarak ifade edilip (I - M) X = D biçiminde düzenlenebilir. Problemin çözümü için, bu denklem daha önce açıklanan yöntemlerden herhangi biri ile çözülebilir. Özel olarak, katsayılar matrisinin determinantı |I – M | ? 0 ise, ters matris yöntemi veya Cramer kuralı kullanılabilir. Üç veya daha çok endüstrili ekonomi modelleri için de yukarıdakiler tekrarlanabilir. E ğer ekonomi C 1 , C 2 ve C 3 endüstrilerinden olu şuyorsa, teknoloji matrisinin nasıl olu şturuldu ğu a şa ğıdaki şekilden izlenebilir: M a a a a a a a a a = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33 32 31 23 22 21 13 12 11 Yukarıda oldu ğu gibi, M nin i – j girdisi, a ij , C j endüstrisinin 1 bp lık çıktı yapması için C i den beklenen girdidir , 1 ? i , j ? 3 . Her i = 1,2,3 için C i nin toplam çıktısı x i ve dı ş sektörün C i den talebi d i ise, çıktı matrisi ve dı ş talep matrisi ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 2 1 x x x X , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 2 1 d d d D ; girdi – çıktı matris denklemi X = MX + D , (I - M) X = D dir. Örnek 2. Tarım (T) , Enerji (E) ve İmalat ( İ) sektörlerinden olu şan bir ekonomide, 1 bp lık tarımsal üretim için , 0.2 bp lık tarım, 0.4 bp lık enerji girdisi; 1 bp lık enerji üretimi için , 0.2 bp lık enerji , 0.4 bp lık imalat girdisi; 1 bp lık imalat için , 0.1 bp lık tarım, 0.1 bp lık enerji ve 0.3 bp lık imalat girdisi C 1 C 2 C 3 Çıktı Girdi C 1 C 2 C 3Dersv 4 ……………………………………………………………………………………. 64 gerekmektedir. Dı ş talep, tarım için 20 bp lık, enerji için 10 bp lık ve imalat için 30 bp lıktır. İç ve dı ş talebin kar şılanabilmesi için her sektörün gerçekle ştirmesi gereken çıktı ne olmalıdır? İlgili matrisleri yazalım: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 . 0 4 . 0 0 1 . 0 2 . 0 4 . 0 1 . 0 0 2 . 0 M , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 2 1 x x x X , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 30 10 20 D , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - = - 7 . 0 4 . 0 0 1 . 0 8 . 0 4 . 0 1 . 0 0 8 . 0 M I . Çözümü Cramer kuralı ile yapalım. 4 . 0 ) 12 . 0 12 . 1 ( 4 . 0 7 . 0 4 . 0 3 . 0 6 . 1 4 . 0 7 . 0 4 . 0 0 1 . 0 8 . 0 4 . 0 3 . 0 6 . 1 0 7 . 0 4 . 0 0 1 . 0 8 . 0 4 . 0 1 . 0 0 8 . 0 = - = - - = - - - - = - - - - = - M I 33 4 . 0 2 . 13 4 . 0 8 . 2 4 . 10 4 . 0 ) 24 4 ( 1 . 0 ) 04 . 0 56 . 0 ( 20 4 . 0 7 . 0 4 . 0 30 1 . 0 8 . 0 10 1 . 0 0 20 1 = = + = - - - - = - - - = x , , 37 4 . 0 8 . 14 4 . 0 8 . 6 8 4 . 0 ) 3 14 ( 4 . 0 ) 3 7 ( 8 . 0 4 . 0 7 . 0 30 0 1 . 0 10 4 . 0 1 . 0 20 8 . 0 2 = = + = + + + = - - - = x 64 4 . 0 6 . 25 4 . 0 2 . 3 4 . 22 4 . 0 ) 0 16 . 0 ( 20 ) 4 24 ( 8 . 0 4 . 0 30 4 . 0 0 10 8 . 0 4 . 0 20 0 8 . 0 3 = = + = - + + = - - = x . O halde, iç ve dı ş talebin tamamının kar şılanabilmesi için, tarım sektörü 33 bp lık, enerji sektörü 37 bp lık ve imalat sektörü 64 bp lık çıktı gerçekle ştirmelidir. Determinantlar , Leontief Girdi-Çıktı Analizi …………………………………………… 65 Problemler 4 1. A şa ğıdaki matrislerin determinantlarını bulunuz. a) ? ? ? ? ? ? - 3 2 1 1 b) ? ? ? ? ? ? 3 2 8 5 c) ? ? ? ? ? ? - - 2 2 1 1 ç) ? ? ? ? ? ? 3 2 0 0 d) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 1 4 0 2 2 1 3 0 0 1 1 1 1 1 1 2 e) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - - 2 2 3 1 4 9 8 4 6 f) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - 0 0 1 1 1 1 1 1 2 g) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 1 1 2 0 1 1 3 2 h) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - - - 2 2 3 0 2 2 1 0 1 2. A şa ğıdaki denklem sistemlerini Cramer Kuralı ile çözünüz. a) ? ? ? = + = + 1 2 5 1 3 2 1 2 1 x x x x b) ? ? ? ? ? = - - = + + = + 1 5 2 3 2 0 3 2 3 2 3 2 1 2 1 x x x x x x x c) ? ? ? ? ? = - + = + + - = - + 1 2 1 3 2 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x ç) ? ? ? ? ? = + - = + - = - - 2 4 2 1 3 2 1 4 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x d) ? ? ? ? ? = + + = - + = - + 2 2 4 4 4 2 3 2 3 2 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x e) ? ? ? ? ? = + - = + - = - - 2 4 1 2 3 4 1 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x 3. A şa ğıda, tarım (T) ve enerji (E) sektörlerine dayalı bir ekonominin, teknoloji matrisi M ve dı ş talep matrisi D için çe şitli de ğerler verilmi ştir: Para birimi YTL dir. . 90 120 ; 500 800 ; 400 600 ; 1 . 0 2 . 0 2 . 0 4 . 0 3 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? D D D M a) Bir YTL lik T çıktısı sa ğlamak için kaç YTL lik T ve kaç YTL lik E girdisi gerekmektedir? b) Bir YTL lik E çıktısı sa ğlamak için kaç YTL lik T ve kaç YTL lik E girdisi gerekmektedir? c) I - M ve (I - M) -1 i bulunuz. ç) D 1 son talebini kar şılayabilmek için her bir sektörün çıktısı ne olmalıdır? d) D 2 son talebini kar şılayabilmek için her bir sektörün çıktısı ne olmalıdır? e) D 3 son talebini kar şılayabilmek için her bir sektörün çıktısı ne olmalıdır? 4. İki-endüstrili bir ekonomide, a şa ğıda verilen M ve D için X i bulunuz. a) ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = 25 10 ; 3 . 0 3 . 0 2 . 0 2 . 0 D M b) ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? = 20 15 ; 3 . 0 2 . 0 1 . 0 4 . 0 D M T E T E Çıktı GirdiDersv 4 ……………………………………………………………………………………. 66 5. Üç-Endüstrili bir ekonomide, a şa ğıda verilen M ve D için X i bulunuz. a) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 10 5 20 ; 1 . 0 1 . 0 1 . 0 2 . 0 1 . 0 2 . 0 3 . 0 1 . 0 3 . 0 D M b) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 15 25 10 ; 1 . 0 2 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 3 . 0 2 . 0 3 . 0 D M 6. Tarım (T) ve otomobil (O) üretimine dayalı bir ekonominin teknoloji matrisi M yandaki gibi veriliyor. Para birimi, milyon YTL dir. a) 40 milyon YTL tarım ve 40 milyon YTL lik otomobil üretimi tutarında son (dı ş) talep için her sektörün çıktısı ne olmalıdır? b) Tarım çıktısı 20 milyon YTL artarsa ve otomobil üretimi çıktısı de ği şmez kalır ise, dı ş talep matrisi nasıl de ği şir? 7. İn şaat(I ) ve madencili ğe(Ma) dayalı bir ekonominin tek- noloji matrisi M yandaki gibi veriliyor. Bu iki sektörün yönetimleri toplam çıktı düzeyinin öyle bir de ğerine ula şmak istiyorlar ki son talep toplam çıktının %40 ı olsun. Bu iste ğin kar şılanması için nasıl bir yöntem uygulanmalıdır? 8. Bir ekonomi, tarım ve turizm endüstrilerine dayanmaktadır. 1 YTL lik tarımsal üretim için tarım sektöründen 0.20 YTL lik, turizm sektöründen 0.15 YTL lik üretim gerekmekte; 1 YTL lik turizm üretimi için ise tarım sektöründen 0.40 YTL lik, turizm sektöründen 0.30 YTL lik üretim gerekmektedir. Dı ş talep, 60 bin YTL lik tarım ve 80 bin YTL lik turizm üretimi oldu ğuna göre her sektör için toplam çıktıyı bulunuz. 9. Bir ekonomi, kömür ve çelik sektörlerine dayanmaktadır. Bir YTL lik kömür üretimi , 0.1YTL lik kömür ve 0.2 YTL lik çelik girdisi; bir YTL lik çelik üretimi ise, 0.2 YTL lik kömür ve 0.4 YTL lik çelik girdisi gerektirmektedir. Son talep 20 milyon YTL lik kömür ve 10 milyon YTL lik çelik üretimi oldu ğuna göre her sektörün ne kadar YTL lik üretim yapması gerekti ğini (çıktısını) belirleyiniz. 10. Bir şirket, elektrik, do ğal gaz ve petrol üretmektedir. Bir YTL lik elektrik üretimi , 0.30 YTL lik elektrik, 0.10 YTL lik do ğal gaz ve 0.20 YTL lik petrol gerektirmektedir. Bir YTL lik do ğal gaz üretimi , 0.30 YTL lik elektrik, 0.10 YTL lik do ğal gaz ve 0.20 YTL lik petrol gerektirmektedir. Bir YTL lik petrol üretimi , her sektörden 0.10 YTL lik miktar gerektirmektedir. Dı ş talep 25 milyon YTL lik elektrik, 15 milyon YTL lik do ğal gaz ve 20 milyon YTL lik petrol oldu ğuna göre her sektörün ne kadar YTL lik üretim yapması gerekti ğini (çıktısını) belirleyiniz. M . . . . O T O T = ? ? ? ? ? ? › › ^ ^ 25 0 1 0 25 0 3 0 M Ma I Ma I = ? ? ? ? ? ? › › ^ ^ 3 . 0 4 . 0 3 . 0 2 . 0