Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler Diferansiyel Denklemler - bölüm 1a Diferansiyel Denklemler Prof.Dr. Ş aban EREN Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Bilgisayar M ü hendisli ğ i B ö l ü m ü B ö l ü m 1 1.1. Giri ş 1.2. Diferansiyel denklem bi ç imleri 1.3. tipi2 KAYNAKLAR Ayd n, M., G ü nd ü z, G., Kuryel, B. (1987). Diferansiyel ? Denklemler ve Uygulamalar . Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Ders Kitaplar Yay nlar No: 14. Boyce, W.E., DiPrima, R.C. (1992). Elementary Differential ? Equations and Boundary Value Problems. Fifth edition. John Wiley & Sons, Inc. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics ? for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 2. Chirgwin, B.H., Plumpton, C. (1964). A course of Mathematics ? for Engineers and Scientists. Pergamon Press. Volume 5.3 KAYNAKLAR Er, U. (1985). Uygulamal Diferansiyel Denklemler. Anadolu ? Ü niversitesi. Lambe, C.G., Tranter, C.J. (1964). Differential Equations for ? Engineers and Scientists. The English Universities Press Ltd. Rainville, E.D., Bedient, P.E. (1989). Elementary Differential ? Equations. Seventh edition. Macmillan Publishing Company. Spiegel, M.R. (1965). Theory and Problems of Laplace ? Transforms. Schaum Publishing Company.4 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.1. Giri ş Bu b ö l ü mde diferansiyel denklem kavram ? a ç klanacak ve konuya a ç kl k getirmek amac yla bilinen bir ö rnek ele al nacak ve bu ö rnek yard m yla diferansiyel denklem olu şturulmas sa ğ lanacakt r.5 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.2. Diferansiyel Denklem Bi ç imleri Bir x de ğ i şkeni ile onun fonksiyonu olan y ve bu fonksiyonun t ü revleri aras nda mevcut olan F ( x , y , y', ..., y ( n ) ) = 0 (1.1) denklemine diferansiyel denklem denir. Konuya a ç kl k getirmek i ç in a şa ğ da sunulan ö rne ğ i g ö z ö n ü ne alal m.6 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek: 1.1. K ü tlesi m olan bir cisim yer ç ekimi etkisi alt nda serbest d üş me yapmaktad r. Serbest olarak d üş en bu k ü tlenin ü zerine havan n direnci etki etmektedir. Havan n direnci d üş en cismin h z n n karesiyle do ğ ru orant l d r. Bir t zaman d üş t ü ğ ü nde cismin (v) h z n ve d üş t ü ğ ü mesafeyi bulunuz.7 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ş ekil 1.1.’den de g ö r ü lece ğ i gibi k ü tlenin ü zerine iki kuvvet etki etmektedir: Yer ç ekimi kuvveti : mg Havan n direnci : kmv 2 Burada k bir sabit ve g yer ç ekimi kuvvetidir.8 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler9 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Cisim yere do ğ ru d üş t ü ğ ü nden mg > kmv 2 ’dir. Dolay s yla cisme etki eden net kuvvet, F = mg – kmv 2 (1.2) dir. F = m ? a (1.3) oldu ğ undan ( m , k ü tle ve a da ivmeyi belirtmektedir).10 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.4)11 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.4) ve dolay s yla (1.5) elde edilir.12 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu denklemde (e şitlikte) diferansiyel katsay s bulundu ğ undan denklem diferansiyel denklem olarak bilinmektedir. Bu diferansiyel denklemin çö z ü m ü sonucunda bir t an ndaki v h z n elde etmek m ü mk ü n olacakt r.13 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler s ’in cismin t zaman kadar d üş mesi sonucu al nan mesafeyi belirtti ğ ini varsayal m. Bu mesafeyi bulmak i ç in ifadesi (1.5) e şitli ğ inde yerine konursa bu e şitlik, (1.6) şekline d ö n üşü r.14 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bir diferansiyel denklemde en y ü ksek dereceden t ü rev y ( n ) ise denkleme n ’inci dereceden diferansiyel denklem denir. Ö rne ğ in, (1.5) e şitli ğ inde en y ü ksek t ü rev birinci dereceden oldu ğ undan bu e şitli ğ e birinci dereceden diferansiyel denklem ve (1.6) e şitli ğ inde en y ü ksek dereceden t ü rev ikinci dereceden oldu ğ undan bu e şitli ğ e ikinci dereceden diferansiyel denklem denir.15 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Verilen ö rnekte ba ğ ml de ğ i şkenler yol s , s = f ( t ) ve h z v , v = g ( t ) sadece tek bir t ba ğ ms z de ğ i şkeninin fonksiyonlar oldu ğ undan ordinary diferansiyel katsay lar ndan dolay (1.5) ve (1.6) diferansiyel denklemleri adi (ordinary) diferansiyel denklemler olarak bilinmektedir.16 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E ğ er z ba ğ ml de ğ i şkeni x ve y gibi iki ba ğ ms z de ğ i şkenin fonksiyonu ise ö rne ğ in, z = f (x, y) ise, z ’nin x ve y de ğ i şkenlerine g ö re t ü revleri al n rsa, ve benzer şekilde, k smi diferansiyel katsay lar elde edilir. Dolay s yla bu t ü r katsay lar i ç eren diferansiyel denklemlere de k smi diferansiyel denklemler denir. 17 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rne ğ in, (1.7) ve (1.8) denklemleri k smi diferansiyel denklemler olarak bilinmektedir.18 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Diferansiyel denklemlerin çö z ü m ü nde t ü m ü n ü n ? çö z ü m ü n ü elde edebilecek standart bir y ö ntem mevcut de ğ ildir. Fakat belirli tipler i ç in ö zel y ö ntemler vard r. Ele al nacak y ö ntemler sonucunda y ba ğ ml de ğ i şkeninin x ba ğ ms z de ğ i şkeni cinsinden analitik çö z ü m ü elde edilecektir. 19 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ancak baz durumlarda analitik çö z ü m ü n elde edilmesi ? m ü mk ü n olmamaktad r. Bu durumlarda N ü merik y ö ntemler uygulanarak ba ğ ml de ğ i şkene ili şkin yakla ş k bir sonu ç elde edilmektedir. İ zleyen k s mlarda de ğ i şik tip diferansiyel denklemler ? i ç in çö z ü m y ö ntemleri ö rneklerle a ç klanm şt r.20 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.3. Bu t ü r diferansiyel denklemlerde ardarda ? integral i şlemi bizi sonuca g ö t ü r ü r.21 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.2. (1.9) diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz. a bir sabit de ğ eri ifade etmektedir.22 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinin x ’e g ö re integrali al n rsa,23 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinin x ’e g ö re integrali al n rsa, (1.10) ( A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x ’e g ö re integrali al n rsa,24 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinin x ’e g ö re integrali al n rsa, (1.10) ( A bir sabit) elde edilir. Bu ifadenin x ’e g ö re integrali al n rsa, (1.11) ( B bir sabit) bulunur. 25 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Elde edilen bu ifadenin x ’e g ö re bir kez daha integrali al n rsa, (1.12) elde edilir. Bu ifade verilen (1.9) diferansiyel denkleminin çö z ü m ü d ü r ve bu çö z ü m A, B, C gibi sabitleri i ç erdi ğ inden genel çö z ü m olarak bilinir.26 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler A, B, C sabitlerini elde etmek i ç in x = 0 iken şartlar (ba şlang ç şartlar ) verilirse, bu de ğ erler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu e şitliklerde yerine konursa, (1.13)27 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler A, B, C sabitlerini elde etmek i ç in x = 0 iken şartlar (ba şlang ç şartlar ) verilirse, bu de ğ erler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu e şitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14)28 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler A, B, C sabitlerini elde etmek i ç in x = 0 iken şartlar (ba şlang ç şartlar ) verilirse, bu de ğ erler (1.10), (1.11) ve (1.12) nolu e şitliklerde yerine konursa, (1.13) (1.14) (1.15)29 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitlikleri elde edilir. Bu e şitliklerden bulunur.30 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitlikleri elde edilir. Bu e şitliklerden bulunur. Elde edilen bu de ğ erler (1.12) nolu e şitlikte yerine konursa, elde edilir. Bu (1.9) nolu diferansiyel denklemin ö zel çö z ü m ü d ü r. Ö zel çö z ü m olarak belirtilmesinin nedeni, ba şlang ç ko şullar de ğ i ştirildi ğ inde A, B, C de ğ erlerinin de bu ko şullara g ö re de ğ i şmekte olmas ndan dolay d r.31 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler A şa ğ da verilen diferansiyel denklemlerin genel veya ko ş ullar veriliyorsa ö zel çö z ü mlerini elde ediniz. Ö rnek 1.3.32 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler A şa ğ da verilen diferansiyel denklemlerin genel veya ko ş ullar veriliyorsa ö zel çö z ü mlerini elde ediniz. Ö rnek 1.3.33 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler A şa ğ da verilen diferansiyel denklemlerin genel veya ko ş ullar veriliyorsa ö zel çö z ü mlerini elde ediniz. Ö rnek 1.3.34 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.4.35 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.4.36 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.4.37 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.4.38 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.4. Bu son e şitlikten39 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.4. Bu son e şitlikten40 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.4. Bu son e şitlikten41 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu son ifadenin integrali al n rsa42 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu son ifadenin integrali al n rsa elde edilir.43 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.5. K smi integral y ö ntemi uygulan rsa44 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.5. K smi integral y ö ntemi uygulan rsa45 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.5. K smi integral y ö ntemi uygulan rsa46 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler47 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler48 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler49 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler50 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler51 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler52 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler53 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler54 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 2 2 (1) (2) (2) (2)() 2 (3)() 2 xx x x xx x dy exeAxB dx exAxB dyexAxBdx x yxeeABxC x yxeABxC ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ??55 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.6.56 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.6. e şitli ğ inden57 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.6. e şitli ğ inden elde edilir.58 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler59 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler60 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler61 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler62 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu son ifadenin integrali al n rsa63 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu son ifadenin integrali al n rsa integralinin sonucu olarak genel çö z ü m64 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir. 65 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir. Bu ifadenin sadele ştirilmesi sonucunda genel çö z ü m olarak bulunur.66 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir. Bu ifadenin sadele ştirilmesi sonucunda genel çö z ü m olarak bulunur. Burada ’dir.67 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.7. diferansiyel denklemi ve x = 0 i ç in y = 0 ve ko şullar verilmektedir.68 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.7. diferansiyel denklemi ve x = 0 i ç in y = 0 ve ko şullar verilmektedir. Ö nce genel çö z ü m ü elde edelim.69 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden genel çö z ü m ü elde edilir.70 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinde konursa e şitli ğ inden71 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinde konursa e şitli ğ inden ifadesinde konursa ve dolay s yla elde edilir. 72 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinde konursa e şitli ğ inden ifadesinde konursa ve dolay s yla elde edilir. A ve B sabitlerine ili şkin bu de ğ erler genel çö z ü mde yerine konursa ö zel çö z ü m ü bulunur.