Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler Diferansiyel Denklemler - bölüm 1b Diferansiyel Denklemler Prof.Dr. Ş aban EREN Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Bilgisayar M ü hendisli ğ i B ö l ü m ü B ö l ü m 1 1.4.De ğ i şkenlerine ayr labilir diferansiyel denklem tipi: 2 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.4.De ğ i ş kenlerine ayr labilir diferansiyel denklem tipi: 3 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.4.De ğ i ş kenlerine ayr labilir diferansiyel denklem tipi: (1.17) f ( y ) sadece y ’nin, g ( x ) ise sadece x ’in bir fonksiyonudur. 4 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.4.De ğ i ş kenlerine ayr labilir diferansiyel denklem tipi: (1.17) f ( y ) sadece y ’nin, g ( x ) ise sadece x ’in bir fonksiyonudur. Yukar daki ifade f ( y ) dy = g ( x ) dx (1.18) şeklinde de yaz labilir.5 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.18) e şitli ğ inin her iki taraf n n integrali al n rsa,6 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.18) e şitli ğ inin her iki taraf n n integrali al n rsa, elde edilir.7 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.8. (1.19) diferansiyel denkleminin ö zel çö z ü m ü n ü x = 0, y = 0 şart i ç in elde ediniz.8 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.8. (1.19) diferansiyel denkleminin ö zel çö z ü m ü n ü x = 0, y = 0 şart i ç in elde ediniz. Verilen e şitli ğ i de ğ i şkenlerine ayr labilir diferansiyel denklem t ü r ü ne d ö n üş t ü rmeye ç al şal m. (1.19) e şitli ğ i d ü zenlenirse elde edilir.9 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler G ö r ü ld ü ğ ü gibi y de ğ i şkeni bir tarafta, x de ğ i şkeni di ğ er tarafta yer almaktad r. Her iki taraf n integrali al n rsa, (1.20) genel çö z ü m ü elde edilir. Burada y direk olarak x ’in bir fonksiyonu şeklinde ifade edilmemektedir ( y , x ’in kapal (implicit) bir fonksiyonudur).10 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0, y = 0 (1.20) nolu e şitlikte yerine konursa, -1 =1 + A e şitli ğ inden A = -2 elde edilir. Bu de ğ er (1.20)’de yerine konursa ö zel çö z ü m, (1.21) olarak bulunur. 2 ) 1 ( 2 1 2 ? ? ? ? ? x e y11 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0, y = 0 (1.20) nolu e şitlikte yerine konursa, -1 =1 + A e şitli ğ inden A = -2 elde edilir. Bu de ğ er (1.20)’de yerine konursa ö zel çö z ü m, (1.21) olarak bulunur. (1.21) nolu ifade d ü zenlenirse ö zel çö z ü m, şeklinde elde edilir. 2 ) 1 ( 2 1 2 ? ? ? ? ? x e y12 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler De ğ i şkenlerine ayr labilen diferansiyel denklem t ü r ü ne ili şkin ö rnekler a şa ğ da sunulmu ştur. Ö rnek: 1.9. diferansiyel denkleminin x = 1, y = 0 şart i ç in ö zel çö z ü m ü n ü elde ediniz.13 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ ini ö nce de ğ i şkenlerine ayr labilen t ü r haline d ö n üş t ü relim.14 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,15 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,16 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,17 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,18 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,19 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,20 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan ,21 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan ,22 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan ,23 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler A x y y u u du y y du xdx xdx du x u ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 1 ln( 2 1 1 1 ln 2 1 ln 2 1 2 1 1 1 ln 2 1 2 , 2 , 1 2 224 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1 i ç in y = 0 ko şulu kullan l rsa25 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1 i ç in y = 0 ko şulu kullan l rsa26 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1 i ç in y = 0 ko şulu kullan l rsa elde edilir.27 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu de ğ er genel çö z ü mde yerine konursa,28 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu de ğ er genel çö z ü mde yerine konursa,29 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu de ğ er genel çö z ü mde yerine konursa,30 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler31 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler32 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler33 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler34 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler35 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ö zel çö z ü m ü elde edilir.36 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.10.37 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.10.38 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.10.39 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.10.40 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler41 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler42 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler43 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler44 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler45 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler46 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler47 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler48 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler49 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.11. diferansiyel denkleminin x = 0, y = 1 şart i ç in ö zel çö z ü m ü n ü elde ediniz.50 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.11. diferansiyel denkleminin x = 0, y = 1 şart i ç in ö zel çö z ü m ü n ü elde ediniz. ifadesini de ğ i şkenlerine ayr labilen t ü r haline d ö n üş t ü relim.51 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitli ğ in her iki taraf n n integrali al n rsa,52 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitli ğ in her iki taraf n n integrali al n rsa,53 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitli ğ in her iki taraf n n integrali al n rsa,54 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitli ğ in her iki taraf n n integrali al n rsa,55 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitli ğ in her iki taraf n n integrali al n rsa,56 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitli ğ in her iki taraf n n integrali al n rsa,57 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler58 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler59 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler60 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler61 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler62 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler63 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler64 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler65 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler66 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler67 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler olarak elde edilir.68 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0 iken y = 1 oldu ğ undan69 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0 iken y = 1 oldu ğ undan70 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0 iken y = 1 oldu ğ undan71 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0 iken y = 1 oldu ğ undan72 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0 iken y = 1 oldu ğ undan ö zel çö z ü m ü bulunur.