Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler Diferansiyel Denklemler - bölüm 1c Diferansiyel Denklemler Prof.Dr. Ş aban EREN Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Bilgisayar M ü hendisli ğ i B ö l ü m ü B ö l ü m 1 1.5.Homojen E şitlikler:2 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.5.Homojen E ş itlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen E şitlikler olarak s n fland r lm şt r.3 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.5.Homojen E ş itlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen E şitlikler olarak s n fland r lm şt r.Diferansiyel denklemin çö z ü m ü i ç in y = vx (1.22) diyelim. Burada y ve v de ğ i şkenleri x ’in fonksiyonlar d r.4 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.5.Homojen E ş itlikler: tipindeki birinci dereceden diferansiyel denklemler Homojen E şitlikler olarak s n fland r lm şt r.Diferansiyel denklemin çö z ü m ü i ç in y = vx (1.22) diyelim. Burada y ve v de ğ i şkenleri x ’in fonksiyonlar d r. Her iki taraf n x ’e g ö re t ü revi al n rsa, (1.23) elde edilir.5 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.22) ve (1.23) nolu ifadeler e şitli ğ inde yerine konursa (1.24) bulunur. 6 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.22) ve (1.23) nolu ifadeler e şitli ğ inde yerine konursa (1.24) bulunur. (1.24) nolu ifade d ü zenlenirse (1.25) elde edilir. 7 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.22) ve (1.23) nolu ifadeler e şitli ğ inde yerine konursa (1.24) bulunur. (1.24) nolu ifade d ü zenlenirse (1.25) elde edilir. Bunun sonucu olarak de ğ i şkenlerine ayr lan e şitli ğ i elde edilir. Her iki taraf n integrali al n r ve ilgili de ğ i şkenler yerine konursa verilen homojen diferansiyel denklemin genel çö z ü m ü bulunur.8 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.12. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.9 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.12. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz. Ö nce bu diferansiyel denklem t ü r ü n ü belirlemeye ç al şal m.10 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan bu homojen diferansiyel t ü r ü d ü r.11 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan bu homojen diferansiyel t ü r ü d ü r. ifadesinin x ’e g ö re t ü revi al n rsa (v, x’in bir fonksiyonudur) elde edilir. 12 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,13 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,14 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, (1.26) bulunur.15 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifadeyi de ğ i şkenlerine ayr labilen diferansiyel denklem t ü r ü ne d ö n üş t ü rmeye ç al şal m. (1.27)16 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifadeyi de ğ i şkenlerine ayr labilen diferansiyel denklem t ü r ü ne d ö n üş t ü rmeye ç al şal m. (1.27) e şitli ğ inin her iki taraf n n integrali al n rsa, (1.28) elde edilir. 17 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifadeyi de ğ i şkenlerine ayr labilen diferansiyel denklem t ü r ü ne d ö n üş t ü rmeye ç al şal m. (1.27) e şitli ğ inin her iki taraf n n integrali al n rsa, (1.28) elde edilir. Bu e şitlikte konursa, (1.29) elde edilir. (1.29) nolu e şitlik verilen diferansiyel denklemin genel çö z ü m ü d ü r.18 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.13. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.19 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.13. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz. (1.30) oldu ğ undan, y = v x diyelim. ifadesi (1.30) nolu e şitlikte yerine konursa,20 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler21 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler22 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler23 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler24 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir. Her iki taraf n integrali al n rsa,25 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,26 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,27 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,28 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler29 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler30 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler bu son e şitlikte yerine konursa,31 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler32 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler33 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir. Bu ifade verilen diferansiyel denklemin genel çö z ü m ü d ü r.34 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.14. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.35 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.14. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.36 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler37 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan verilen diferansiyel denklemde, y = v x konursa,38 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler39 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler40 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler41 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir.42 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,43 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,44 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,45 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,46 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler47 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler48 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir. Bu ifade ilgili diferansiyel denklemin genel çö z ü m ü d ü r.49 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.15. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.50 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler dolay s yla51 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler dolay s yla y = v x e şitli ğ inden, bulunur. 52 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,53 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,54 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,55 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,56 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler57 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler58 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler59 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler60 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler61 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler62 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler63 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler64 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler65 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Genel çö z ü m ü elde edilir. Genel Çö z ü mde x = 1 i ç in y = 0 şart konursa,66 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Genel çö z ü m ü elde edilir. Genel Çö z ü mde x = 1 i ç in y = 0 şart konursa, bulunur.Bunun sonucunda ö zel çö z ü m ü elde edilir.67 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.16. diferansiyel denkleminin x = 1 i ç in y = -2 şart n kullanarak ö zel çö z ü m ü n ü elde ediniz.68 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.16. diferansiyel denkleminin x = 1 i ç in y = -2 şart n kullanarak ö zel çö z ü m ü n ü elde ediniz.69 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.16. diferansiyel denkleminin x = 1 i ç in y = -2 şart n kullanarak ö zel çö z ü m ü n ü elde ediniz.70 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.16. diferansiyel denkleminin x = 1 i ç in y = -2 şart n kullanarak ö zel çö z ü m ü n ü elde ediniz.71 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan, y = v x e şitli ğ i verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,72 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan, y = v x e şitli ğ i verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,73 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan, y = v x e şitli ğ i verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,74 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan, y = v x e şitli ğ i verilen diferansiyel denklemde yerine konursa,75 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler76 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler77 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler78 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler79 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inden A = 1, B = -1 elde edilir.80 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inden A = 1, B = -1 elde edilir.81 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inden A = 1, B = -1 elde edilir.82 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inden A = 1, B = -1 elde edilir.83 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler84 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler85 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler86 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler genel çö z ü m ü bulunur. Bu çö z ü mde x = 1 i ç in y = -2 şart kullan l rsa87 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler genel çö z ü m ü bulunur. Bu çö z ü mde x = 1 i ç in y = -2 şart kullan l rsa e şitli ğ inden elde edilir. 88 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu de ğ er genel çö z ü m ü nde yerine konursa,89 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu de ğ er genel çö z ü m ü nde yerine konursa, ö zel çö z ü m ü elde edilir.