Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler Diferansiyel Denklemler - bölüm 1d Diferansiyel Denklemler Prof.Dr. Ş aban EREN Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Bilgisayar M ü hendisli ğ i B ö l ü m ü B ö l ü m 1 1.6.2 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.6. Verilen diferansiyel denklemde c veya c ? sabitlerinden ? en az birinin s f r olmad ğ varsay lmaktad r. Her ikisinin s f r oldu ğ u durumda e şitlik homojen diferansiyel t ü r ü ne d ö n üşü r. Bu diferansiyel denklemin çö z ü m ü nde iki durumun ? g ö z ö n ü ne al nmas gerekir.3 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Durum-I: ax + by + c = 0 ve a ? x + b ? y + c ? = 0 do ğ rular n n kesi şmesi durumu. Bu durum Ş ekil:1.2’de g ö r ü lmektedir. Ş ekilden de g ö r ü ld ü ğ ü gibi P noktas n n koordinatlar O xy koordinat sistemine g ö re P ( x,y ) ve O ? XY koordinat sistemine g ö re P ( X,Y )’dir. O ? noktas n n bu iki do ğ runun kesim noktas ve koordinatlar n n ( h, k ) oldu ğ unu varsayal m.4 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ş ekil: 1.2. P noktas n n O xy ve O’ XY koordinat eksenlerine g ö re pozisyonu.5 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem6 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32) şekline d ö n üşü r.7 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.31) diferansiyel denkleminde, x = h + X, y = k + Y konursa denklem (1.32) şekline d ö n üşü r.8 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ( h, k ) iki do ğ runun kesim noktas olup do ğ ru denklemlerinde yerine kondu ğ unda ah + bk + c = 0 ve a ? h + b ? k + c ? = 0 olaca ğ ndan (1.32) nolu e şitlik, (1.33) homojen denklem t ü r ü ne d ö n üşü r. Bu t ü r denklemlerin çö z ü m ü bir ö nceki b ö l ü mde a ç klanm ş idi.9 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.17. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.10 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.17. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz. Pay ve paydadaki do ğ rular n e ğ imleri e şit olmad ğ ndan do ğ rular kesi şir. Kesim noktas n n koordinatlar n n ( h, k ) oldu ğ u varsay l rsa, 2 x + 3 y – 1 do ğ rusundan 2 h + 3 k – 1 = 0 ve x – 2 y – 4 do ğ rusundan h – 2 k – 4 = 0 e şitlikleri elde edilir.11 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitliklerden h = 2 ve k = -1 de ğ erleri bulunur. Verilen diferansiyel denklemde, x = X + h ve y = Y + k konursa diferansiyel denklem (1.34) homojen denklem t ü r ü ne d ö n üşü r. 12 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu e şitlikte, konursa13 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.34) nolu e şitlikte, konursa (1.34) nolu e şitlik şekline d ö n üşü r ve buradan,14 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler15 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler16 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler17 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler18 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler19 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler elde edilir.20 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.35) de ğ erleri (1.35) nolu e şitlikte yerine konursa genel çö z ü m21 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.35) de ğ erleri (1.35) nolu e şitlikte yerine konursa genel çö z ü m şeklinde olur.22 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.18. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.23 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E ğ imleri e şit olmad ğ ndan pay ve paydadaki do ğ rular n kesim noktas ( h, k ) olsun. h – k = 0 h – 8 k + 7 = 0 e şitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir. 24 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E ğ imleri e şit olmad ğ ndan pay ve paydadaki do ğ rular n kesim noktas ( h, k ) olsun. h – k = 0 h – 8 k + 7 = 0 e şitliklerinden h = 1, k = 1 elde edilir. Dolay s yla x = X + h den X = x – h = x – 1 ve y = Y + k dan Y = y – k = y – 1 elde edilir. 25 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve Y = Y + k e şitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem t ü r ü ne d ö n üşü r. 26 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve Y = Y + k e şitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa, diferansiyel denklemimiz (1.36) homojen denklem t ü r ü ne d ö n üşü r. Y = VX ifadeleri (1.36)’da yerine konursa,27 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler28 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler29 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler30 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler31 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler32 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler33 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler34 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler35 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler36 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler37 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler38 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler39 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.37) bulunur.40 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler X = ( x – 1), Y = ( y – 1) de ğ erleri (1.37)’de yerine konursa41 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler X = ( x – 1), Y = ( y – 1) de ğ erleri (1.37)’de yerine konursa genel çö z ü m ü elde edilmi ş olur.42 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.19. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.43 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Pay ve paydadaki do ğ rular n e ğ imi e şit de ğ ildir. Dolay s yla bu do ğ rular kesi şir ve kesim noktas n n ( h, k ) oldu ğ unu varsayal m. 2 h – k = 0 h +2 k – 5 = 0 e şitliklerinden h = 1, k = 2 bulunur. Dolay s yla X = x – 1 ve Y = y – 2 ’dir.44 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = X + h ve y = Y + k e şitlikleri verilen diferansiyel denklemde yerine konursa diferansiyel denklemimiz, (1.38) homojen denklem t ü r ü ne d ö n üşü r. 45 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX e şitlikleri yard m yla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz,46 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX e şitlikleri yard m yla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz,47 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Y = VX e şitlikleri yard m yla (1.38) nolu diferansiyel denklemimiz, şekline d ö n üşü r.48 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,49 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,50 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,51 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan,52 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler53 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler54 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler55 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler56 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler57 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler58 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler genel çö z ü m ü elde edilir.59 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Do ğ rular n paralel olmas durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki do ğ rular n e ğ imleri e şit yani do ğ rular paralel ise denklemin çö z ü m ü i ç in a şa ğ daki ad mlar uygulan r.60 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Do ğ rular n paralel olmas durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki do ğ rular n e ğ imleri e şit yani do ğ rular paralel ise denklemin çö z ü m ü i ç in a şa ğ daki ad mlar uygulan r. dersek61 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Durum II. Do ğ rular n paralel olmas durumu. diferansiyel denkleminde pay ve paydadaki do ğ rular n e ğ imleri e şit yani do ğ rular paralel ise denklemin çö z ü m ü i ç in a şa ğ daki ad mlar uygulan r. dersek (1.39) olur.62 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inden elde edilir. 63 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inden elde edilir. e şitli ğ i (1.39)’da yerine konursa64 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inden elde edilir. e şitli ğ i (1.39)’da yerine konursa (1.40)65 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur. 66 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda (1.41) bulunur. G ö r ü ld ü ğ ü gibi verilen diferansiyel denklem de ğ i şkenlerine ayr lm ş oldu ğ undan e şitli ğ inin integrali al narak sonuca gidilir.67 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.20. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.68 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan do ğ rular paraleldir.69 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan do ğ rular paraleldir. z = x – 2 y dersek Dolay s yla,70 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler oldu ğ undan do ğ rular paraleldir. z = x – 2 y dersek Dolay s yla, olur. 71 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa72 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlik verilen diferansiyel denklemde yerine konursa ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda (1.42) elde edilir.73 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.42) nolu e şitlik de ğ i şkenlerine ayr labilir duruma d ü zenlenebilir. Bu e ş itli ğ in her iki yan n n integrali al n rsa, ifadesinden74 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ i bulunur. Bu e şitlikte z = x – 2 y konursa (1.43) genel çö z ü m ü elde edilir.75 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.21. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.76 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlikten de g ö r ü ld ü ğ ü gibi oldu ğ undan do ğ rular paraleldir. 77 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlikten de g ö r ü ld ü ğ ü gibi oldu ğ undan do ğ rular paraleldir. Verilen denklemde,78 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlikten de g ö r ü ld ü ğ ü gibi oldu ğ undan do ğ rular paraleldir. Verilen denklemde,79 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlikten de g ö r ü ld ü ğ ü gibi oldu ğ undan do ğ rular paraleldir. Verilen denklemde, konursa, 80 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitlik81 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitlik82 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitlik (1.44) şekline d ö n üşü r. 83 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,84 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,85 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,86 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler87 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler88 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler89 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.45) genel çö z ü m ü bulunur.