Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler Diferansiyel Denklemler - bölüm 1e Diferansiyel Denklemler Prof.Dr. Ş aban EREN Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Bilgisayar M ü hendisli ğ i B ö l ü m ü B ö l ü m 1 1.7. Birinci Dereceden Lineer E şitlikler2 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.7. Birinci Dereceden Lineer E ş itlikler (1.46) şeklindeki e şitli ğ i g ö z ö n ü ne alal m . a n , a n -1 , ... a 1 , a 0 ve b ya birer sabit veya sadece x ’in bir fonksiyonu olsun. Bu t ü r e şitli ğ e n ’inci dereceden lineer diferansiyel e şitlik denir.3 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Birinci dereceden bir lineer diferansiyel e şitlik (1.47) şeklinde olacakt r. 4 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Birinci dereceden bir lineer diferansiyel e şitlik (1.47) şeklinde olacakt r. E şitli ğ in her iki taraf a 1 katsay s na b ö l ü n ü rse, (1.47) e şitli ğ i (1.48) şeklini al r. 5 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Birinci dereceden bir lineer diferansiyel e şitlik (1.47) şeklinde olacakt r. E şitli ğ in her iki taraf a 1 katsay s na b ö l ü n ü rse, (1.47) e şitli ğ i (1.48) şeklini al r. Katsay lar n sadece x ’in bir fonksiyonu olabilece ğ i belirtildi ğ i takdirde e şitlik (1.49) şeklinde ifade edilebilir. ) ( ) ( x Q y x P dx dy ? ?6 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bunun integralini alabilmek i ç in, e şitli ğ in sol taraf x ’e g ö re, R ( x ) y şeklindeki bir fonksiyonun diferansiyel katsay s haline getirmek i ç in I ( x ) olarak belirtilen integral fakt ö r ü ile ç arpmam z gerekir. Bu ç arp m sonucu sol taraf, (1.50) olur. I(x)P(x)y dx dy I(x) P(x)y dx dy I(x) ? ? ? ? ? ? ? ? ?7 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifadenin (1.51) ile ayn olmas gerekmektedir. (1.50) ve (1.51) ifadeleri a şa ğ daki e şitlikler ge ç erli oldu ğ u takdirde e şit (ayn ) olacakt r. I = R ve IP = R ? yani, IP = I ? dolay s yla ‘ d r. (1.52)8 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.52) nolu e şitlikten (1.53) elde edilir. 9 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.52) nolu e şitlikten (1.53) elde edilir. C i ç in herhangi bir de ğ er, ö rne ğ in C = 0 al n rsa; (1.54) bulunur.10 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Durumu ö zetleyecek olursak (1.55) şeklindeki lineer birinci dereceden diferansiyel denklemin çö z ü m ü i ç in11 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Durumu ö zetleyecek olursak (1.55) şeklindeki lineer birinci dereceden diferansiyel denklemin çö z ü m ü i ç in 1. integral fakt ö r ü bulunur.12 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 2. (1.55) e şitli ğ inin her iki taraf bu integral fakt ö r ü ile ç arp ld ğ nda (1.55) nolu e şitlik (1.56) şeklini al r. ) ( ) ( ) ( x Q e y e dx d dx x P dx x P ? ? ? ? ? ? ? ? ?13 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 2. (1.55) e şitli ğ inin her iki taraf bu integral fakt ö r ü ile ç arp ld ğ nda (1.55) nolu e şitlik (1.56) şeklini al r. 3. (1.56) nolu e ş itlik şeklinde d ü zenlenerek her iki taraf n integrali al n rsa verilen diferansiyel denkleme ili şkin genel çö z ü m elde edilmi ş olur. ) ( ) ( ) ( x Q e y e dx d dx x P dx x P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dx x Q e y e d dx x P dx x P ) ( ) ( ) (14 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.22. diferansiyel denkleminin genel çö z ü m ü n ü elde ediniz.15 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlik g ö z ö n ü ne al n rsa bunun (1.55)’de verilen lineer birinci dereceden diferansiyel denklem t ü r ü oldu ğ u g ö r ü l ü r. Bu durumda integral fakt ö r ü16 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlik g ö z ö n ü ne al n rsa bunun (1.55)’de verilen lineer birinci dereceden diferansiyel denklem t ü r ü oldu ğ u g ö r ü l ü r. Bu durumda integral fakt ö r ü elde edilir.17 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Not: ‘dir. E ğ er t = e n ise elde edilir.Bunun sonucu olarak e ln{...} = {...} bulunur. (1.57) nolu e şitli ğ in her iki taraf integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa ç arp m sonucu, (1.58) elde edilir. ? ? ) ( ) I.F ( (I.F)y x Q dx d ?18 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade (1.59) şeklinde yaz l r ve integrali al n rsa,19 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade (1.59) şeklinde yaz l r ve integrali al n rsa, (1.60) bulunur. 20 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu ifade (1.59) şeklinde yaz l r ve integrali al n rsa, (1.60) bulunur. Bunun sonucu olarak (1.61) elde edilir. 2 2 4 x A x y ? ?21 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.23. diferansiyel denkleminin genel çö z ü m ü n ü elde ediniz.22 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Integral fakt ö r ü ,23 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Integral fakt ö r ü ,24 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Integral fakt ö r ü ,25 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Dolay s yla (1.62) nolu ifadenin her iki taraf integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ç arp m sonucu,26 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Dolay s yla (1.62) nolu ifadenin her iki taraf integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ç arp m sonucu, (1.63) şeklinde yaz labilir. 27 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan28 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan29 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan30 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Buradan31 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler32 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler33 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.64) bulunur.34 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.24. diferansiyel denkleminin genel çö z ü m ü n ü elde ediniz.35 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Integral fakt ö r ü 36 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Integral fakt ö r ü 37 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Integral fakt ö r ü 38 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Integral fakt ö r ü 39 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler40 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler41 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler42 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler43 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler44 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler45 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.65) nolu e şitli ğ in her iki taraf integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa e şitlik,46 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.65) nolu e şitli ğ in her iki taraf integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa e şitlik, (1.66)47 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.65) nolu e şitli ğ in her iki taraf integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa e şitlik, (1.66) haline d ö n üşü r ve bu e şitlikten elde edilir. ? ? (2)4 x dxeydx ? ? ? ??48 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al nd ğ nda dolay s yla,49 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al nd ğ nda dolay s yla, (1.67) genel çö z ü m ü bulunur.50 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.25. diferansiyel denkleminin x =1 iken y = 0 şart n kullanarak genel çö z ü m ü n ü elde ediniz.51 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.68) nolu e şitlik, e şitli ğ in her iki yan x ’e b ö l ü n ü rse, (1.69) şeklinde d ü zenlenebilir. 52 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.68) nolu e şitlik, e şitli ğ in her iki yan x ’e b ö l ü n ü rse, (1.69) şeklinde d ü zenlenebilir. G ö r ü ld ü ğ ü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklem t ü r ü d ü r. Bu durumda,53 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.68) nolu e şitlik, e şitli ğ in her iki yan x ’e b ö l ü n ü rse, (1.69) şeklinde d ü zenlenebilir. G ö r ü ld ü ğ ü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklem t ü r ü d ü r. Bu durumda, dir.54 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.69) nolu e şitli ğ in her iki yan integral fakt ö r ü x 2 ile ç arp l rsa e şitlik, (1.70) bulunur. 55 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.69) nolu e şitli ğ in her iki yan integral fakt ö r ü x 2 ile ç arp l rsa e şitlik, (1.70) bulunur. (1.70)’ten ve dolay s yla56 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.69) nolu e şitli ğ in her iki yan integral fakt ö r ü x 2 ile ç arp l rsa e şitlik, (1.70) bulunur. (1.70)’ten ve dolay s yla (1.71) elde edilir.57 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1, y = 0 şart (1.71) nolu e şitlikte yerine konursa, elde edilir. 58 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1, y = 0 şart (1.71) nolu e şitlikte yerine konursa, elde edilir. Bunun sonucu olarak ö zel çö z ü m, e şitli ğ inden59 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 1, y = 0 şart (1.71) nolu e şitlikte yerine konursa, elde edilir. Bunun sonucu olarak ö zel çö z ü m, e şitli ğ inden şeklinde bulunur.60 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.26. diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.61 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.72) nolu e şitli ğ in her iki yan x 2 ile b ö l ü n ü rse,62 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.72) nolu e şitli ğ in her iki yan x 2 ile b ö l ü n ü rse, (1.73) elde edilir. (1.73) nolu e şitlikten g ö r ü ld ü ğ ü gibi bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklemdir. 63 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikten integral fakt ö r ü ,64 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikten integral fakt ö r ü ,65 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikten integral fakt ö r ü ,66 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikten integral fakt ö r ü , bulunur. 67 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.73) nolu e şitli ğ in her iki yan bu interal fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ve dolay s yla68 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.73) nolu e şitli ğ in her iki yan bu interal fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ve dolay s yla bulunur. 69 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Sa ğ taraf n integralini elde etmek i ç in, İ fadeleri kullan l rsa, 70 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Sa ğ taraf n integralini elde etmek i ç in, İ fadeleri kullan l rsa,71 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Sa ğ taraf n integralini elde etmek i ç in, İ fadeleri kullan l rsa,72 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Sa ğ taraf n integralini elde etmek i ç in, İ fadeleri kullan l rsa,73 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler74 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler75 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler bulunur. 76 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler bulunur. Her iki taraf n integralinin al nmas sonucu,77 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler78 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.74) genel çö z ü m olarak elde edilir.79 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.27. diferansiyel denklem sisteminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.80 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.75) nolu e şitli ğ in her iki taraf ( x – 1) ile b ö l ü n ü rse e şitlik, (1.76) şeklini al r. 81 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.75) nolu e şitli ğ in her iki taraf ( x – 1) ile b ö l ü n ü rse e şitlik, (1.76) şeklini al r. Bu e şitlikten integral fakt ö r ü82 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.75) nolu e şitli ğ in her iki taraf ( x – 1) ile b ö l ü n ü rse e şitlik, (1.76) şeklini al r. Bu e şitlikten integral fakt ö r ü83 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler84 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler olarak bulunur. 85 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler olarak bulunur. (1.76) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa,86 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler olarak bulunur. (1.76) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa, elde edilir. 87 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Dolay s yla bu e şitlikten (1.77) bulunur. 88 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Dolay s yla bu e şitlikten (1.77) bulunur. Her iki taraf n integrali al n rsa,89 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler90 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler91 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.78) genel çö z ü m ü elde edilir.92 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.28. diferansiyel denklem sisteminin genel çö z ü m ü n ü elde ediniz.93 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.79) nolu e şitli ğ in her iki yan x (1- x 2 ) ile b ö l ü n ü rse e şitlik, (1.80) birinci dereceden lineer denklem şekline d ö n üşü r. 94 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.79) nolu e şitli ğ in her iki yan x (1- x 2 ) ile b ö l ü n ü rse e şitlik, (1.80) birinci dereceden lineer denklem şekline d ö n üşü r. Bu e şitlikten integral fakt ö r ü ifadesinin çö z ü m ü sonucunda elde edilir.95 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. 96 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolay s yla integral fakt ö r ü ,97 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolay s yla integral fakt ö r ü ,98 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler ifadesinden A = 1, B = C = -1 elde edilir. Dolay s yla integral fakt ö r ü , bulunur.99 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.80) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa,10 0 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.80) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa,10 1 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.80) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ve bu e şitlikten, elde edilir. 10 2 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Dolay s yla her iki taraf n integrali al n rsa,10 3 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Dolay s yla her iki taraf n integrali al n rsa,10 4 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Dolay s yla her iki taraf n integrali al n rsa,10 5 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Dolay s yla her iki taraf n integrali al n rsa, (1.81) Verilen diferansiyel denklemin genel çö z ü m ü elde edilmi ş olur.