Lineer Cebir ve Diferansiyel Denklemler Diferansiyel Denklemler - bölüm 1f Diferansiyel Denklemler Prof.Dr. Ş aban EREN Ege Ü niversitesi M ü hendislik Fak ü ltesi Bilgisayar M ü hendisli ğ i B ö l ü m ü B ö l ü m 1 1.8. Bernouilli E şitli ğ i2 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.8. Bernouilli E ş itli ğ i (1.82) ifadesi Bernouilli e şitli ğ i olarak bilinmektedir. 3 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler 1.8. Bernouilli E ş itli ğ i (1.82) ifadesi Bernouilli e şitli ğ i olarak bilinmektedir. Bu e şitli ğ in çö z ü m ü n ü elde etmek i ç in (1.82) nolu e şitli ğ in her iki taraf y n ile b ö l ü n ü rse, (1.83) elde edilir.4 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.84) dersek, 5 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.84) dersek, z ve y, x ’in fonksiyonu oldu ğ undan (1.84) nolu ifadenin her iki taraf n n x ’e g ö re t ü revi al n rsa,6 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.84) dersek, z ve y, x ’in fonksiyonu oldu ğ undan (1.84) nolu ifadenin her iki taraf n n x ’e g ö re t ü revi al n rsa,7 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.84) dersek, z ve y, x ’in fonksiyonu oldu ğ undan (1.84) nolu ifadenin her iki taraf n n x ’e g ö re t ü revi al n rsa, (1.85) elde edilir.8 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.85) nolu ifadeden elde edilen, (1.83) nolu e şitlikte yerine konursa, dx dz n dx dy y n ) 1 ( 1 1 ? ? ?9 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.85) nolu ifadeden elde edilen, (1.83) nolu e şitlikte yerine konursa, ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda, dx dz n dx dy y n ) 1 ( 1 1 ? ? ?10 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.85) nolu ifadeden elde edilen, (1.83) nolu e şitlikte yerine konursa, ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda, (1.86) bulunur. dx dz n dx dy y n ) 1 ( 1 1 ? ? ?11 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler olarak tan mlan rsa (1.86) nolu e şitlik,12 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler olarak tan mlan rsa (1.86) nolu e şitlik, (1.87) şeklinde ifade edilir. Bu ise lineer birinci dereceden diferansiyel denklemdir ve bunun çö z ü m ü n ü n nas l elde edilece ğ i bir ö nceki k s mda anlat lm ş idi.13 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.29. (1.88) diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz.14 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.29. (1.88) diferansiyel denkleminin çö z ü m ü n ü elde ediniz. (1.88) nolu e şitli ğ in her iki yan n y 4 ile b ö lelim. (1.89) bulunur.15 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inin her iki yan n n x ’e g ö re t ü revi al n rsa16 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inin her iki yan n n x ’e g ö re t ü revi al n rsa17 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inin her iki yan n n x ’e g ö re t ü revi al n rsa18 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inin her iki yan n n x ’e g ö re t ü revi al n rsa (1.90) elde edilir. 19 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlikten, bulunur20 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlikten, bulunur ve (1.89) nolu e şitlikte yerine konursa ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda21 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlikten, bulunur ve (1.89) nolu e şitlikte yerine konursa ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda (1.91) elde edilir.22 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitli ğ in çö z ü m ü i ç in, Integral fakt ö r ü23 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitli ğ in çö z ü m ü i ç in, Integral fakt ö r ü elde edilir. 24 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitli ğ in çö z ü m ü i ç in, Integral fakt ö r ü elde edilir. (1.91) nolu e şitli ğ in her iki yan integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa (1.91) nolu e şitlik,25 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitli ğ in çö z ü m ü i ç in, Integral fakt ö r ü elde edilir. (1.91) nolu e şitli ğ in her iki yan integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa (1.91) nolu e şitlik, e şitli ğ ine d ö n üşü r.26 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlikten,27 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlikten,28 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e şitlikten, (1.92) bulunur ve (1.92) nolu e şitlikte yerine konursa, (1.93) genel çö z ü m ü elde edilir.29 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.30. (1.94) diferansiyel denkleminin genel çö z ü m ü n ü elde ediniz.30 (1.94) nolu ifadenin iki yan y 3 ile b ö l ü n ü rse, (1.95) bulunur. B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler31 (1.94) nolu ifadenin iki yan y 3 ile b ö l ü n ü rse, (1.95) bulunur. Bu e şitli ğ in her iki yan tekrar x (1- x 2 ) ile b ö l ü n ü rse (1.95) nolu e şitlik (1.96) şekline d ö n üşü r. B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler32 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inin x ’e g ö re t ü revi al n rsa33 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inin x ’e g ö re t ü revi al n rsa ve dolay s yla,34 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inin x ’e g ö re t ü revi al n rsa ve dolay s yla, elde edilir. 35 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu sonu ç (1.96) nolu e şitlikte yerine konursa e şitlik, ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda,36 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu sonu ç (1.96) nolu e şitlikte yerine konursa e şitlik, ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda, (1.97) bulunur. 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( ) 1 2 ( 2 x x z x x x dx dz ? ? ? ? ? ? ? ?37 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu sonu ç (1.96) nolu e şitlikte yerine konursa e şitlik, ve bu e şitli ğ in d ü zenlenmesi sonucunda, (1.97) bulunur. Bu birinci dereceden lineer diferansiyel denklem olup, ve ’dir. 2 2 2 2 1 2 ) 1 ( ) 1 2 ( 2 x x z x x x dx dz ? ? ? ? ? ? ? ? ) 1 ( ) 1 2 ( 2 ) ( 2 2 x x x x P ? ? ? ?38 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inden A = 2, B = -2, C = 0 elde edilir. 2 2 2 1 ) 1 ( ) 1 2 ( 2 x C Bx x A x x x ? ? ? ? ? ? ?39 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler e şitli ğ inden A = 2, B = -2, C = 0 elde edilir. Bu sonu ç lar yard m yla integral fakt ö r ü , (1.98) elde edilir. 2 2 2 1 ) 1 ( ) 1 2 ( 2 x C Bx x A x x x ? ? ? ? ? ? ?40 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.97) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa e şitlik,41 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.97) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa e şitlik, ve bunun sonucunda,42 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.97) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa e şitlik, ve bunun sonucunda,43 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler44 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler bulunur. 45 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler bulunur. bu e şitlikte yerine konursa,46 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler bulunur. bu e şitlikte yerine konursa, (1.99) genel çö z ü m ü elde edilir.47 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.31. (1.100) diferansiyel denkleminin x=0 iken y=1 şart n kullanarak ö zel çö z ü m ü n ü elde ediniz.48 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.100) nolu e şitlik (1.101) şeklinde d ü zenlenebilir. Bu e şitli ğ in Bernouilli e şitli ğ i oldu ğ u kolayca g ö r ü lebilir. 49 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.100) nolu e şitlik (1.101) şeklinde d ü zenlenebilir. Bu e şitli ğ in Bernouilli e şitli ğ i oldu ğ u kolayca g ö r ü lebilir. E şitli ğ in her iki yan y 3 ile b ö l ü n ü rse, (1.102) elde edilir. 50 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikten51 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikten52 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikten53 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikten (1.103) bulunur.54 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.103) nolu e şitlikten elde edilen (1.102) nolu e şitlikte yerine konursa e şitlik,55 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.103) nolu e şitlikten elde edilen (1.102) nolu e şitlikte yerine konursa e şitlik,56 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.103) nolu e şitlikten elde edilen (1.102) nolu e şitlikte yerine konursa e şitlik, (1.104) şekline d ö n üşü r. 57 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlikte P ( x ) = -2, Q ( x ) = -2 x ’tir. Dolay s yla (1.104) birinci derece lineer diferansiyel e şitli ğ idir. 58 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlikte P ( x ) = -2, Q ( x ) = -2 x ’tir. Dolay s yla (1.104) birinci derece lineer diferansiyel e şitli ğ idir. Çö z ü m ü elde etmek i ç in integral fakt ö r ü elde edilir.59 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlikte P ( x ) = -2, Q ( x ) = -2 x ’tir. Dolay s yla (1.104) birinci derece lineer diferansiyel e şitli ğ idir. Çö z ü m ü elde etmek i ç in integral fakt ö r ü elde edilir. (1.104) nolu e şitli ğ in her iki yan integral fakt ö r ü e -2 x ile ç arp l rsa,60 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler E şitlikte P ( x ) = -2, Q ( x ) = -2 x ’tir. Dolay s yla (1.104) birinci derece lineer diferansiyel e şitli ğ idir. Çö z ü m ü elde etmek i ç in integral fakt ö r ü elde edilir. (1.104) nolu e şitli ğ in her iki yan integral fakt ö r ü e -2 x ile ç arp l rsa, ve bunun sonucunda, bulunur.61 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,62 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa,63 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Her iki taraf n integrali al n rsa, (1.105) genel çö z ü m ü bulunur.64 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0, y = 1 şart i ç in elde edilir.65 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0, y = 1 şart i ç in elde edilir. Bu de ğ er (1.105) nolu e şitlikte yerine konursa,66 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler x = 0, y = 1 şart i ç in elde edilir. Bu de ğ er (1.105) nolu e şitlikte yerine konursa, (1.106) ö zel çö z ü m ü elde edilir.67 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Ö rnek 1.32. (1.107) diferansiyel denkleminin x=1, y=1 şart n kullanarak ö zel çö z ü m ü n ü elde ediniz.68 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.107) nolu e şitli ğ in her iki yan 2 x ile b ö l ü n ü rse, (1.108)69 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.107) nolu e şitli ğ in her iki yan 2 x ile b ö l ü n ü rse, (1.108) ve (1.108) nolu e şitli ğ in her iki yan y 3 ile b ö l ü n ü rse, (1.109) elde edilir. 70 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler denirse elde edilir. Bu 71 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler denirse elde edilir. Bu e şitlikten bulunur. Bu e şitlik (1.109) 72 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler denirse elde edilir. Bu e şitlikten bulunur. Bu e şitlik (1.109) nolu denklemde yerine konursa e şitlik, (1.110) şekline d ö n üşü r. 73 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler D ü zenleme sonucu (1.110) nolu e şitlik (1.111) durumuna d ö n üşü r. Bu e şitlikte ve74 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler D ü zenleme sonucu (1.110) nolu e şitlik (1.111) durumuna d ö n üşü r. Bu e şitlikte ve Q ( x ) = -2 x ( x +1) olup integral fakt ö r ü , elde edilir.75 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.111) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ve bunun sonucunda,76 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.111) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ve bunun sonucunda,77 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.111) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ve bunun sonucunda,78 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.111) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ve bunun sonucunda,79 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler (1.111) nolu e şitli ğ in her iki yan bu integral fakt ö r ü ile ç arp l rsa, ve bunun sonucunda, (1.112) genel çö z ü m ü elde edilir. 80 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikte x = 1 i ç in y = 1 konursa, e şitli ğ inden C = 4 elde edilir.81 B ö l ü m 1 – Diferansiyel Denklemler Bu e ş itlikte x = 1 i ç in y = 1 konursa, e şitli ğ inden C = 4 elde edilir. Dolay s yla ö zel çö z ü m ü m ü z (1.113) şeklinde bulunur.