Fizik Doğrusal Bir Yol Boyunca Hareket 2012-2013 GÜZ YARIYILI F İZ İK 1 DERS İ Yrd. Doç. Dr. Hakan YAKUT SAÜ Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümü Ofis: FEF C Blok, 1. Kat Mekanik Lab. Tel.: (295) 6092 Bölüm 2 DOĞRUSAL BİR YOL BOYUNCA HAREKET (Bir Boyutta Hareket) İçerik • Yerdeğistirme, Ortalama Hız ve Sürat • Ani Hız ve Sürat • İvme • Hareket Diyagramları • Bir Boyutta Sabit İvmeli Hareket • Serbest Düsen Cisimler Goals for Chapter 2 – To study motion along a straight line – To define and differentiate average and instantaneous linear velocity – To define and differentiate average and instantaneous linear acceleration – To explore applications of straight-line motion with constant acceleration – To examine freely falling bodies – To consider straight-line motion with varying acceleration GİRİŞ – Bir hareketi oluşturan unsurları uzay ve zaman cinsinden ifade edilmesiyle ilgilenen klasik mekanik branşına “Kinematik” adı verilir Yerdeğiştirme, zaman ve ortalama hız—Şekil 2.1* Bir parçacığın konumundaki değişiklik onun yerdeğiştirmesi olarak tanımlanır * Ref. Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, S 37, Pearson Education Yayıncılık. •Hareket eden parçacığın aldığı yol ile yerdeğiştirmesi aynı değildir!!! “Yerdeğiştirme vektörel bir niceliktir” – Bir parçacığın ortalama hızı, parçacığın yerdeğiştirmesinin, bu yerdeğiştirme süresine oranı olarak tanımlanır. • Ortalama sürat ise hareket boyunca alınan toplam yolun geçen toplam zamana oranıdır ve ortalama hız gibi vektörel bir büyüklük değildir. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, S 38,39. Pearson Education Yayıncılık. Şekil 2.2 ve 2.3 * Ani veya Anlık hız ise, ?x/ ? t oranının ? t sıfıra giderken aldığı değerdir; Bir parçacığın ani sürati ise, onun hızının büyüklüğü olarak tanımlanır ve konum zaman grafiğinin herhangi bir noktasındaki eğimine eşittir. Örnek Bir parçacık x ekseni boyunca hareket etmekte olup, x koordinatı x=-4t+2t 2 ifadesine göre zamanla değişmektedir. a) t=0 ile t=1 s ve t=1 ile t=3 s aralarındaki parçacığın yerdeğiştirmesini ve ortalama hızını bulunuz, b) t=2 s de parçacığın ani hızını bulunuz. Bir parçacığın hızı zamana göre değişiyorsa parçacık ivmeli hareket ediyor demektir. Bir parçacığın ortalama ivmesi parçacığın hızındaki değişmenin, bu değişimin olduğu ?t zaman aralığına oranı olarak tanımlanır Ani ivme, ortalama ivmenin ?t sıfıra yaklaşırken limiti olarak tanımlanır Örnek 2.1: Ortalama ve anlık hızlar: Şekil * ’de görülen çıta, gözlemcinin aracının 20 m doğusunda yatmaktadır. Çita t=0 anında bir ceylana saldırarak doğrusal bir yol üzerinde koşmaya başlar. Saldırının ilk 2 saniyesi içinde çitanın konumu, x=20m+(5 m/s 2 )t 2 denklemine uymaktadır. (a) Çitanın t 1 =1s ile t=2s arasındaki yerdeğiştirmesini ve bu zaman aralığındaki ortalama hızını bulun. (b) Çitanın t=1s anındaki anlık hızını ?t=0.1 s alarak bulun, sonra ?t=0.01 s ve ?t=0.001 s alarak bulun. (c) Anlık hızı zamanın fonksiyonu olarak veren genel bir ifade oluşturun ve bunu kullanarak t=1 s ve t=2s anlarındaki anlık hızları bulun. • Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, S 41, Pearson Education Yayıncılık. Şekil 2.8 * : (a) Bir parçacığın hareketinin x-t grafiği. Herhangi bir noktadaki teğetin eğimi o noktadaki anlık hıza eşittir. (b) Parçacığın konum ve hızını x-t grafiğinde belirlenen noktalarda gösteren hareket diyagramı Bir cismin x-t grafiğinde eğimi(artı ya da eksi yönde) ne kadar dik ise, cismin hızının artı yada eksi yönde büyüklüğü de o kadar fazladır. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1 Örnek*: Ortalama İvme: Bir astronot yörüngedeki uzay aracından çıkarak yeni uzay manevra aygıtını denemektedir. Bir doğru üzerinde hareket ederken uzay gemisindeki arkadaşı da onun hızını her 2 s’de bir ölçmektedir. İlk ölçüm t=1 s anında yapılmıştır. Ölçülen hızlar tabloda gösterilmiştir. Belirtilen zaman aralıkları için ortalama x-ivmesini bulunuz ve astronotun hızının bu zaman aralığında artıyor mu yada azalıyor mu olduğunu belirtiniz. a) t1=1s, t2=3 s; b) t1=5s, t2=7 s; c) t1=9s, t2=11 s; d) t1=13s, t2=15 s •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1. Örnek*: Ortalama ve anlık İvme: Şekil’deki arabanın x-hızı v x ‘in herhangi bir t anındaki değerinin V x =60 m/s + (0.50 m/s 2 )t 2 denklemi ile verildiğini varsayalım. (a) Arabanın hızında t1=1s ile t2=3s aralığında meydanan gelen değişikliği bulunuz. (b) bu zaman aralığındaki ortalama ivmeyi bulunuz. (c) Anlık ivmenin t1 anındaki değerini ?t’yi önce 0.1 s, sonra 0.01 s daha sonra da 0.001 s alarak bulunuz. (d) Herhangi bir andaki anlık ivmeyi veren bir ifade türetiniz ve bu ifadeyle t=1 s ve t=3 s anlarındaki ivmeyi bulunuz. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1. Şekil*’deki hareketin V-t grafiği UYARI: Tek başına ivmenin cebirsel işareti (artı yada eksi olması) bir cismin hızlanıyor mu yoksa yavaşlıyor mu olduğunu belirtmez. Bunun için ivmenin ve hızın işaretlerini karşılaştırmalısınız. V ile a’nın işaretleri aynı olduğu zaman cisim hızlanır (herikiside pozitif ise cisim artı yönde hızlanarak ilerlemektedir, Herikisi de negatif ise cisim eksi yönde ilerlemektedir). Öte yandan a ile v’nin işaretleri ters olduğu zaman cisim yavaşlamaktadır (v pozitif ve a negatif old. da cisim artı yönde ve hızı azalarak ilerlemektedir. v negatif ve a pozitif old da ise cisim eksi yönde yavaşlamaktadır). •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1. Sabit İvmeli Hareket (Düzgün Değişen Doğrusal Hareket) Bir boyutlu hareketin en genel ve basit tipi, ivmenin sabit veya düzgün olduğu durumdur. İvme sabit oluğunda, ortalama ivme ani ivmeye eşittir. Bu tür harekette hız, hareketin başından sonuna kadar aynı oranda artar veya azalır. O halde Şekil 2.15 * : (a) Artı x-yönünde, sabit pozitif a ivmesi ile doğrusal hareket yapan bir parçacığın hareket diyagramı. Konum, hız ve ivme eşit aralıklı beş farklı zamanda gösterilmiştir. (b) Parçacığın hız-zaman (v-t) grafiği. Bu durumda ilk hızı v 0 da pozitiftir . i s i s t t ? ? ? ? v v a a (1) •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1. t i = 0 ve t s = t alalım. Aynı zamanda, t = 0’daki ilk hız v i = v 0 ve herhangi bir t zamanındaki hız v s = v olsun. O halde ivmeyi 0 0 ? ? ? t v v a v = v 0 + at (sabit a için) (2) 2 0 ? ? ? ? ? (2) eşitliğine göre, hız zamanla doğrusal olarak değiştiğinden, herhangi bir zaman aralığındaki ortalama hız, v 0 ilk hızı ile V son hızının aritmetik ortalaması olarak ifade edilebilir. (sabit a iç in) (3) (3) Eşitliğini ortalama hızın ifadesinde yerine koyduğumuzda yerdeğiştirmeyi zamanın fonksiyonu olarak elde edebiliriz. X i =x 0 ve t i =0 olarak alınırsa ? ? 0 t 2 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? v v t v x veya x - x 0 = (sabit a için) (4) ? ?t 2 1 0 v v ? elde ederiz. v = v 0 + at eşitliğini bu denklemde yerine yazarsak 2 0 0 t 2 1 t x - x a v ? ? (sabit a iç in) (5) Eğer, v = v 0 + at eşitliğinden elde ettiğimiz t değerini, (4) denkleminde yerine yazarsak, zamanı içermeyen bir ifade elde edebiliriz. x a v v ? ? ? 2 2 0 2 (6) The equations of motion under constant acceleration v x = v ox + a x t x = x o + v ox t + 1/2a x t 2 v x 2 = v ox 2 + 2a x (x ? x o ) (x ? x o ) = {(1/2)(v ox + v x )}t Örnek: Sabit ivme hesaplamaları: Küçük bir şehirde doğuya doğru ilerleyen bir motosikletli kasabanın sınırını gösteren levhayı geçince hızlanmaya başlar (Şekil*). İvmesi sabittir; 4 m/s 2 . Zaman t=0 iken levhayı 5 m geçmiştir ve doğu yönünde 15 m/s hızla ilerlemektedir. (a) t=2s anındaki hızını ve konumunu bulunuz. (b) Hızı 25 m/s olduğu anda motosiklet nerededir? •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Örnek: Farklı ivmeleri olan iki cisim: Bir sürücü sabit 15 m/s süratle hız limitinin 10 m/s olduğu bir okul yaya geçidini geçer. Köşede durmakta olan bir motosikletli polis onu görür ve 3 m/s 2 lik ivmeyle takibe başlar(Şekil*). (a) Polis araca yetişene kadar ne kadar süre geçer? (b) Polisin o andaki sürati nedir? (c) O noktaya kadar her iki aracın yol aldığı toplam mesafe nedir? •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Problem* : Sabit İvmeli Tek Boyutlu Hareket Bir otomobil ve bir tren 25 m/s hızla paralel yollar boyunca beraber gitmektedirler. Otomobil kırmızı ışık nedeniyle –2,5 m/s 2 ’lik düzgün bir ivmenin etkisi altında kalır ve durur. Otomobil 45 s hareketsiz kalır. Sonra 2,5 m/s 2 ’lik bir ivme ile 25 m/s’lik hıza ulaşır. Trenin hızının 25 m/s’de kaldığını kabul ederek, otomobil 25 m/s’lik hıza ulaştığı zaman trenin ne kadar gerisindedir? Arabanın durana kadar alacağı yol ve geçen zaman bulunur. x = 125 m ve t = 10 s Arabanın durduktan 25 m/s hıza ulaşıncaya kadar alacağı yol ve geçen zaman x = 125 m ve t = 10 s dir. Arabanın aldığı toplam yol = 125 m + 125 m = 250 m Geçen zaman = 10 s + 45 s + 10 s = 65 s Trenin alacağı yol:x t = v t t = 25.65 =1625 m O halde tren ile araba arasındaki mesafe = 1625 m – 250 m =1375 m •Fen ve Mühendislik için Fizik 1, Serway.Beichner, Palme Yayıncılık Problem* : Sabit İvmeli Tek Boyutlu Hareket Bir motosikletli bir doğru yol boyunca 15 m/s’lik sabit bir hızla gitmektedir. Motosikletli, bir polis memurunu geçer geçmez, polis 2 m/s 2 ’lik ivmeyle harekete geçer. Bu sabit ivme değerini koruyarak: a) Polis memurunun motosikletliye yetişmesi için geçecek zamanı hesaplayınız. b) Polis memurunun hızını bulunz. c) Motosikletliyi geçerken toplam yerdeğiştirmeyi bulunuz. ? m =15m/s a p =2 m/s 2 •Fen ve Mühendislik için Fizik 1, Serway.Beichner, Palme Yayıncılık Serbest Düşen Cisimler Şekil*’de düşen bir topun stroboskop (belli aralıklarla kısa ve şiddetli çakan flaşlar üreten cihaz) ışığında çekilmiş fotoğrafıdır. Flaş her çaktığında topun o andaki görüntüsü filmde resmedilir. Flaşlar arasındaki zaman aralığı eşittir. Bu nedenle iki flaş arasındaki ortalama hız iki resim arasındaki mesafeye orantılıdır. Fotoğraftaki toplar arasındaki mesafenin artması hızın sürekli değiştiğini topun aşağıya doğru ivmelendiğini göstermektedir. Dikkatli ölçümler her zaman aralığındaki hız artışının aynı olduğunu yani, serbest düşmekte olan topun ivmesinin sabit olduğunu gösterir. Serbest düşen cismin ivmesine yerçekimi ivmesi denir ve büyüklüğü g ile gösterilir. Dünya yüzeyinde veya yüzeye yakın mesafede g nin sıkça kullanacağımız yaklaşık değeri g=9,8 m/s 2 =980 cm/s 2 ye eşittir. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1 Hava direncini ihmal eder ve yerçekimi ivmesinin yükseklikle değişmediğini kabul edersek, serbest düşen bir cismin hareketi, sabit ivme altındaki bir-boyutlu harekete özdeştir. O nedenle, sabit ivme için olan kinematik eşitliklerimizi bu harekete uygulayabiliriz. Düşey doğrultuyu y ekseni olarak alacağız ve yukarı yöne pozitif diyeceğiz. Bu nedenle, pozitif y yukarı doğru olduğundan, ivme negatiftir (aşağı doğru) ve a = -g ile verilir. O halde, serbest düşen bir cismin kinematik eşitlikleri aşağıdaki gibi olur: Yukar ı (veya aşa ğı) fırlatı lan bir cisim, durgun halden itibaren serbest b ırak ılan bir cisim ile aynı ivmenin etkisi alt ın d a kalır. Cisimler serbest d üşme halinde iken, yerçe k imin d en ileri gelen ivmeye eş i t, aşa ğı d o ğru bir ivmeye sahip olac akla rd ır. ) ( 2 ; 2 1 ) ( 2 1 ; 0 2 0 2 2 0 0 0 0 0 y y g v v gt t v y y t v v y y gt v v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?Örnek 1: Serbest düşen para: Bir Euro’luk bir para Pisa’daki eğik kulenin tepesinden bırakılır(Şekil*). İlk hızsız serbestçe düşmeye başlayan paranın 1s, 2s ve 3s’deki konum ve hızlarını bulunuz. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Örnek 2: Yüksek bir binanın damından yukarı doğru bir top attığınızı düşünün. Top elinizden dam kenarı ile aynı hizada ve yukarı doğru 15 m/s hızla çıkıp sonrada serbest düşüşe geçsin. Dönüşte dam kenarının hemen yanından geçerek yere düşmeye devam etsin(Şekil*). Binanın olduğu mevkide g=9,8 m/s 2 dir. a) Topun elinizden çıktıktan 1s ile 4 s sonraki konum ve hızını bulunuz, b) Topun dam kenarından 5 m yüksekte iken sahip olduğu hızı bulunuz, c) Topun ulaştığı maksimum yüksekliği ve bu yüksekliğe ne zaman ulaştığını ve d)topun maksimum yükseklikte iken sahip olduğu ivmeyi bulunuz. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Örnek 3: Örnek 2’deki topun dam kenarından 5 m aşağıda olduğu anı bulunuz. Değişen doğrusal hareket (ivme sabit değil) İvmenin sabit olmadığı ve zamanın bilinen bir fonksiyonu olduğu durumlarda hız ve konumu ivme fonksiyonunu zaman fonksiyonuna integre ederek bulabiliriz. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Örnek* : Sally klasik 1965 model Mustang otomobilini sürmektedir. Zaman t=0 iken Sally 10 m/s hızla artı x-yönünde ilerlerken x= 50 m’de bir trafik levhasının önünden geçer. Zamanın fonksiyonu olarak ivmesi a= 2 m/s 2 – (0.1 m/s 3 )t olarak verilmiştir. a) Sally nin hızını ve konumunu zamanın fonksiyonu olarak bulunuz, b) hızının ne zaman en büyük değerine ulaşır, c) hızının en büyük değeri nedir? d) hızı en büyük değerine eriştiğinde araba nerededir? •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. Sorular 1) * •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 2) * •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 3) * •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 4) * •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 5) * •Sears ve Zemansky’nin Üniversite Fiziği Cilt 1, Pearson Education Yayıncılık. 6) *