Genel Matematik Doğrusal Fonksiyonlar, Quadratic Fonksiyonlar, Polinomlar DERS 3 Do ğrusal Fonksiyonlar, Quadratic Fonksiyonlar, Polinomlar 3.1 Bir Fonksiyonun Koordinat Kesi şimleri(Intercepts). Bir fonksiyonun grafi ğinin koordinat eksenlerini kesti ği noktalara o fonksiyonun koordinat kesi şimleri (intercepts) denir. Grafi ğin x-eksenini kesti ği noktalara fonksiyonun x-kesi şimleri (x-intercepts), varsa y-eksenini kesti ği noktaya da y-kesi şimi (y-intercept) denir. x-kesi şimleri : f(x) = 0 olan (x , 0) noktaları. y-kesi şimi : Varsa, ( 0 , f(0)) noktası. 3.2. Do ğrusal Fonksiyonlar(Linear Functions). m ve b reel sayılar, m ?0 olmak üzere f(x) = mx + b denklemi ile tanımlanan fonksiyona bir do ğrusal fonksiyon (linear function) denir. Her do ğrusal fonksiyonun tanım kümesi ve görüntü kümesi R dir. f(x) = x fonksiyonu bir do ğrusal fonksiyondur: m=1 ve b=0 . Her do ğrusal fonksiyon, f(x) = x fonksiyonuna bazı elemanter transformasyonlar uygulanarak elde edilebilir. Bu nedenle, her do ğrusal fonksiyonun grafi ği bir do ğrudur. x y (0,0 y = x x y (0,0 y = mx x y (0,0 y = mx+ b (0,b) x y= f(x) x-kesi şimleri y-kesi şimi b mx y mx y x y + = › = › = y Dolayısıyla, bir do ğrusal fonksiyonun grafi ğini çizmek için iki farklı noktasını belirlemek yeterlidir. Özel olarak, koordinat kesi şimlerinin belirlenmesi, grafik çizimi için yararlı olur. Örnek. f(x) = 2x + 4 doğrusal fonksiyonunun grafi ği: Koordinat kesi şimleri, x-kesi şimi : f(x) = 0 ? x = - 2 oldu ğundan, (-2 , 0). y-kesi şimi : (0 , f(0)) = (0 , 4). 3.3. Sabit Fonksiyon(Constant Function). b her hangi bir reel sayı olmak üzere, f(x) = b denklemi ile verilen, yani, her x reel sayısına aynı b reel sayısını kar şılık getiren fonksiyona, sabit fonksiyon denir. Sabit fonksiyonun grafi ği bir yatay do ğrudur: x y (0,0) (-2 , 0) (0 , 4) f(x) = 2x + 4 x y (0,0) (-1,b) (0,b) (2,b) f(x) = b 3.4. Düzlemde Do ğrular. Yukarıda, her do ğrusal fonksiyonun ve her sabit fonksiyonun grafi ğinin bir do ğru oldu ğunu gördük. A şa ğıda görece ğiz ki, her yatay do ğru (horizontal line) bir sabit fonksiyonun ve her e ğik do ğru (inclined line) da bir do ğrusal fonksiyonun grafiğidir. Bu arada, dikey do ğru (vertical line) ların da denklemini belirleyece ğiz. Dikey do ğru deyimi yerine dü şey do ğru deyimi de kullanılır. Şekilde görülen benzer dik üçgenlerin dik kenarlarının oranları aynı olaca ğından, Bu oranların ortak de ğeri olan m sayısına d doğrusunun e ğimi (slope) denir. Bu e şitlikler- x y (0,0) (x,b) (0,b) Yatay Do ğru : y = b x y (0,0) (a,0) (a,y) Dikey Do ğru : x= a Fonksiyon de ğil! x y (0,0) (0,b) ) , ( 1 1 y x ) , ( 2 2 y x ) , ( y x E ğik Do ğru d m x b y x x y y x x y y = - - = - - = - - 0 1 1 1 2 1 2den a şa ğıdaki denklemler elde edilir: Bir (x,y) noktasının d do ğrusu üzerinde olması için gerek ve yeter ko şul, o noktanın bu denklemlerden birini sağlamasıdır. E ğimi ve y - kesi şimi bilinen bir do ğrunun denklemi b mx y + = denklemi ile verilir. E ğimi ve y - kesi şimi bilinen bir do ğrunun denklemi 1 1 ) ( y x x m y + - = denklemi ile verilir. İki noktası bilinen bir do ğrunun denklemi de “nokta-e ğim denklemi” olarak yazılabilir. Söz konusu iki nokta (x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ise, do ğrunun e ğiminin oldu ğunu biliyoruz. Noktalardan biri ve e ğim kullanılarak denklem elde edilir. Örnekler. Şimdi do ğru denklemlerine örnekler verelim. • E ğimi m = 3 ve y – kesi şimi b = 4 olan doğrunun denklemi: E ğim – Kesi şim Denklemi: 4 3 + = x y . • E ğimi m = 3 olan ve (-2 , 3) noktasından geçen do ğrunun denklemi: Nokta – E ğim Denklemi: 9 3 3 )) 2 ( ( 3 + = ? + - - = x y x y . • (-2 , 3) ve (1 ,4) noktalarından geçen do ğrunun denklemi : Bu do ğrunun e ğimi olaca ğından, (-2 , 3) noktası kullanılarak denklemi elde edilir. b mx y m x b y + = ? = - 1 1 1 1 ) ( y x x m y m x x y y + - = ? = - - E ğim -Kesi şim Denklemi (Slope - Intercept Form) Nokta-E ğim Denklemi (Point-Slope Form) 1 2 1 2 x x y y m - - = 3 1 )) 2 ( 1 3 4 = - - - = m 3 11 3 1 3 )) 2 ( ( 3 1 + = ? + - - = x y x y 3.5. Do ğrusal Denklemler. A , B ve C reel sayılar, A ve B den en az biri sıfırdan farklı olmak üzere, Ax + By = C denklemine bir do ğrusal denklem (linear equation) denir. A ve B ye bu denklemin katsayı (coefficient) ları, C ye de sağ taraf sabiti (right hand side constant) denir. x ve y sembollerine bu denklemin de ği şkenleri (variables) denir. Bundan önceki çalı şmalarımız, bir do ğrusal denklemin grafi ğini belirlememize yardımcı olur: 3.6. Kuadratik Fonksiyonlar. a , b ve c reel sayılar, a ? 0 olmak üzere, f(x) = ax 2 + bx + c denklemi ile verilen fonksiyona bir kuadratik fonksiyon (quadratic function) denir. Bazı kitaplarda kuadratik sözcü ğü yerine karesel sözcü ğü de kullanılır. Kareye tamamlama denilen i şlemle ve son ifadede yazılarak her kuadratik fonksiyon k h x a x f + - = 2 ) ( ) ( biçimine dönü ştürülebilir. Varılan sonucu özetleyelim: B C x B A y B A + - = ? ? ? 0 , 0 do ğrusal fonksiyon , e ğik do ğru B C y B A = ? ? = 0 , 0 sabit fonksiyon , yatay do ğru A C x B A = ? = ? 0 , 0 fonksiyon de ğil , dü şey do ğru ? ? ? ? ? ? + + = + + = a c x a b x a c bx ax x f 2 2 ) ( ? ? ? ? ? ? ? ? - + ? ? ? ? ? ? + = ? ? ? ? ? ? ? ? + + + = a b c a b x a a b a c a b x a b x a 4 2 4 - 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c k a b h 4 , 2 2 - = - = , ) ( 2 c bx ax x f + + = a b c k a b h 4 , 2 2 - = - = ( ) k h x a x f + - = 2 ) ( Son ifadeden görüyoruz ki, her kuadratik fonksiyon y = x 2 kare fonksiyonuna elemanter transformasyonlar uygulanarak elde edilebilir. Dolayısıyla, kuadratik fonksiyonun grafi ği de y = x 2 nin grafi ğinin kaydırılması, x-ekseni etrafında yansıtılması veya büzülüp gerilmesiyle elde edilir. Kuadratik fonksiyonun grafi ği parabol (parabola) olarak adlandırılır. (h,k) noktası, parabol üzerindedir ve bu noktaya parabolün kö şesi (vertex) denir. Şimdi, a> 0 , h > 0 , k > 0 olması durumunda f(x) = ax 2 + bx + c nin grafi ğini çizelim : oldu ğunu unutmayalım. () ( ) ( ) k h x a y h x a y h x y x y + - = › - = › - = › = 2 2 2 2 Sa ğa veya sola kayma Germe, büzme veya yansıma Yukarı veya aşağı kayma a b c k a b h 4 , 2 2 - = - = () ( ) ( ) k h x a y h x a y h x y x y + - = › - = › - = › = 2 2 2 2 Sa ğa kayma (-h < 0 ) Germe veya büzme Yukarı kayma (k > 0 ) x y (0,0) (h,0) x y (0,0) (h,0) x y (0,0) (h,k) f nin minimum de ğeri f(h) = k a< 0 , h > 0 , k > 0 olması durumunda f(x) = ax 2 + bx + c nin grafi ği: oldu ğunu unutmayalım. Örnek. f(x) =0.5x 2 - 6x + 21 kuadratik fonksiyonunun grafi ği: a b c k a b h 4 , 2 2 - = - = () ( ) ( ) ( ) k h x a y h x a y h x y x y + - = › - - - = › - - = › - = 2 2 2 2 Sa ğa kayma (-h < 0 ) Germe veya büzme Yukarı kayma (k > 0 ) x y (0,0) (h,0) x y (0,0) (h,0) x y (0,0) (h,k) f nin maksimum de ğeri f(h) = k 3 2 36 21 4 , 6 1 6 2 , 21 , 6 , 5 . 0 2 = - = - = = - - = - = = - = = a b c k a b h c b a () 3 6 - x 5 . 0 21 6 5 . 0 ) ( 2 2 + = + - = x x x f x y (0,0) (6,3) (0,21) x-kesi şimi : YOK y-kesi şimi : f (0) = 21 , (0 , 21) Kö şe : (6 , 3) Yukarıya do ğru açılan parabol ( a > 0) Örnek. f(x) =-2x 2 + 16x - 24 kuadratik fonksiyonunun grafi ği: Kuadratik fonksiyonlarla ilgili bilgileri özetleyelim: • f nin grafi ği, kö şe noktası (h , k) olan paraboldür. f nin y-kesi şimi (0 , c ) noktasıdır; x-kesi şimleri ax 2 + bx + c = 0 denklemi çözülerek belirlenir. • E ğer a > 0 ise, parabol yukarıya do ğru açılır ; f nin minimum de ğeri f(h) =k ve de ğer bölgesi [k, ?) dur. • E ğer a < 0 ise, parabol a şa ğıya do ğru açılır ; f nin maksium de ğeri f(h) =k ve de ğer bölgesi (- ?,k] dır. Uygulama. Bir firmanın gelir ve gider fonksiyonları, x milyon adet ürün için bin YTL olarak veriliyor. R ve C nin grafiklerini aynı koordinat düzleminde çizerek a şa ğıdaki soruları yanıtlayınız: a ) Gelir ve giderin e şit oldu ğu x sayılarını en yakın binli ğe tamamlayarak bulunuz. b ) Kâr edilen ve zarar edilen bölgeleri ve en büyük kârı belirleyiniz. 8 8 256 24 4 , 4 4 16 2 , 24 , 16 , 2 2 = - - - = - = = - - = - = - = = - = a b c k a b h c b a () 8 4 - x 2 24 16 2 ) ( 2 2 + - = - + - = x x x f x-kesi şimleri : f (x) = 0 ? -2x 2 + 16x –24 = 0 ? x = 2 , 6 ? (2 , 0) , (6 , 0) y-kesi şimi : f (0) =- 24 , (0 , -24) Kö şe : (4 , 8) A şağıya do ğru açılan parabol ( a < 0) x y (0,0) (4,8) (0,-24) (2 , 0) (6 , 0) , ) ( 2 c bx ax x f + + = a b c k a b h 4 , 2 2 - = - = ( ) k h x a x f + - = 2 ) ( ( ) 15 1 , 7 . 19 156 ) ( , 5 8 . 94 ) ( ? ? + = - = x x x C x x x R Çözüm. Gelir fonksiyonu, biçiminde ifade edilebilen karesel fonksiyondur. Gider fonksiyonu da bir do ğrusal fonksiyondur ve grafikler şöyledir: Kâr fonksiyonuna bakalım: Maksimum kâr : 126 000.500 YTL. () 5 1 , ) 48 . 9 ( 5 ) 48 . 9 ( 5 8 . 94 5 5 8 . 94 ) ( 2 2 2 ? ? + - - = + - = - = x x x x x x x R ( ) 2 48 . 9 5 , 48 . 9 , 0 , 8 . 94 , 5 = = = = - = k h c b a ()() 15 1 , 48 . 9 . 5 48 . 9 5 ) ( 2 2 ? ? + - - = x x x R ( ) 2 48 . 9 5 , 48 . 9 , 0 , 8 . 94 , 5 = = = = - = k h c b a 15 1 , 7 . 19 156 ) ( ? ? + = x x x C () ( ) () () () 352 . 449 48 . 9 5 . 451 15 7 . 175 1 297 75 8 . 94 15 15 8 . 89 5 8 . 94 ) 1 ( = = = = - = = - = R C C R R zarar kâr zarar y x (0,0) 9.48 250 500 (bin) 2.490 12.530 gelir = gider 1 15 (milyon) () () () ( ) 0005 . 126 51 . 7 5 156 1 . 75 5 7 . 19 156 48 . 9 5 - ) ( 2 2 2 + - - = - + - = - - + - = = x x x x P x x x x C x R x P 0005 . 126 , 51 . 7 , 156 , 1 . 75 , 5 = = - = = - = k h c b a ( ) ( ) 0005 . 126 51 . 7 = = P h P 3.7. Polinom Fonksiyonlar. Pratikte kar şıla şılan fonksiyon türlerinden biri de polinom fonksiyonlardır. a 0 , , a 1 , . . . , a n reel sayılar olmak üzere 0 1 1 1 ) ( a x a x a x a x f n n n n + + + + = - - L denklemi ile verilen fonksiyona bir polinom fonksiyon denir. a 0 , , a 1 , . . . , a n sayılarına bu polinom fonksiyonun katsayıları denir. 0 1 1 1 ) ( a x a x a x a x f n n n n + + + + = - - L ifadesinde a n ? 0 ise, f nin derecesi n dir denir. Daha önce bazı polinom fonksiyonları ele aldı ğımızı anımsayınız. b x f = ) ( Sabit fonksiyon b ax x f + = ) ( Do ğrusal fonksiyon (a ? 0) c bx ax x f + + = 2 ) ( Kuadratik fonksiyon (a ? 0) d cx bx ax x f + + + = 2 3 ) ( Kübik fonksiyon (a ? 0) Do ğrusal fonksiyonun derecesi 1, kuadratik fonksiyonun derecesi 2, kübik fonksiyonun derecesi 3 tür. Her polinom fonksiyonun • tanım kümesi tüm reel sayılar kümesi R dir. • grafi ği kesiksiz(sürekli) dir ve hiç sivri kö şe bulundurmaz. Bir grafikte kesiklilik(süreksizlik) veya sivri kö şe varsa, o grafik bir polinom fonksiyonun grafi ği olamaz. 3.8. Rasyonel Fonksiyonlar. n(x) ve d(x) polinom fonksiyonlar olmak üzere ile tanımlanan fonksiyona bir rasyonel fonksiyon denir. n(x) ve d(x) polinomlarına, sırasıyla, bu rasyonel fonksiyonun payı ve paydası denir. ) ( ) ( ) ( x d x n x f = ifadesinde ) ( ) ( x d x n kesrinin sadele ştirilmi ş oldu ğu kabul edilir. () () () () 0 , ? = x d x d x n x f Payı n(x) ve paydası d(x) olan bir rasyonel fonksiyonun tanım kümesi { x : d(x) ? 0 } kümesidir. Örnek. 1 2 ) ( + - = = x x x f y rasyonel fonksiyonuna bakalım. Bu fonksiyonun tanım kümesi { x : x+1 ? 0 } = R\{-1} = (- ? , -1) ? (-1 , ?) dur. x -kesi şimi : (2 , 0) , y-kesi şimi : (0 , -2) x , -1 e soldan yakla şırken, y , ? a gider. x › -1 - için y › ? . x , -1 e sa ğdan yakla şırken, y , - ? a gider. x › -1 + için y › - ? . x , - ? veya ? a yakla şırken, y , 1 e yakla şır. x › - ? veya x › ? için y › 1. Bu fonksiyonun grafi ği a şa ğıda gösterilmi ştir. 1 3 1 1 3 1 1 2 + - + = + - + = + - = x x x x x y -1 1 (2,0) x y (0,0) (0,-2) düşey asimtot x = -1 yatay asimtot y = 1 1 2 + - = x x y 3.9. Asimtotlar. ) ( ) ( ) ( x d x n x f y = = rasyonel fonksiyonu verilmi ş olsun. • d(a) = 0 olan her a için x = a do ğrusuna f nin bir dü şey asimtotu (vertical asymptote), • x › - ? veya x › ? için y › b olan her b için y = b doğrusuna f nin bir yatay asimtotu (horizontal asymptote) denir. Örnek. 4 3 ) ( 2 - = = x x x f y rasyonel fonksiyonuna bakalım. • düşey asimtot : x 2 – 4 = 0 ? x = 2 , x = -2 . • yatay asimtot : x › - ? veya x › ? için y › 0 ? y = 0 • x › - 2- veya x › 2- için y › - ? • x › - 2+ veya x › 2+ için y › ? Bu rasyonel fonksiyonun grafi ği a şa ğıda verilmi ştir. İleride bu tür grafikleri çizmek için daha elveri şli yöntemler görece ğiz. x y (0,0) -2 2 4 3 2 - = x x y 3.10. Uygulama (Meslek içi e ğitim). Bilgisayar üreten bir firma t gün i ş ba şında e ğitim görmü ş bir teknisyenin günde monte etti ği bilgisayar sayısı N(t) ile gösterilirse, olarak gerçekle şti ğini görüyor. y = N(t) nin grafi ğini çiziniz ve yorumlayınız. • düşey asimtot : t+ 4 = 0 ? t = -4 . • yatay asimtot : t › - ? veya t › ? için y › 50 ? y = 50 • t › - 4 - için y › ? • t › - 4 + için y › - ? Biz, grafi ğin t ? 0 olan kısmı ile ilgilenece ğiz. () 0 , 4 50 ? + = t t t t N E ğitim süresi arttıkça monte edilen bilgisayar sayısı da artar. Ancak, belli bir süreden sonra bu artı ş çok yavaşlar; monte edilen bilgisayar sayısı daima 50 den azdır. t y (0,0) -4 50 Problemler 3 1. A şa ğıdaki denklemlerin her birinin grafi ğini çiziniz: a) y = 2x – 3 b) 1 2 + = x y c) 12 3 2 = + y x 2. A şa ğıda denklemi verilen her bir do ğrunun e ğimini ve y-kesi şimini (y-intercept) bulunuz: a) y = 2x – 3 b) 1 2 + = x y c) 12 2 3 = - y x 3. Verilen e ğim ve y -kesi şimine sahip olan do ğrunun denklemini yazınız ve grafi ğini çiziniz: a) e ğim = -2 , y-kesi şimi = 4 b) e ğim = - 3 2 , y-kesi şimi = -2 c) e ğim = 1 , y-kesi şimi = -2 d) e ğim = -1 , y-kesi şimi = 2 4. A şa ğıda, her şıkta bir do ğrunun e ğimi ve geçti ği bir nokta verilmi ştir. Do ğrunun denklemini b mx y + = biçiminde yazınız: a) m = -3 , nokta (-4 , 1) b) m = -2 , nokta (-3 , 2) c) m = 3 2 , nokta (-6 , -5) d) m = 2 3 , nokta (-5 , -6) 5. Verilen iki noktadan geçen do ğrunun denklemini önce b mx y + = , sonra C By Ax = + biçiminde yazınız: a) (1 , 3) , (7 , 5) b) (-5 , -2) , (5 , -4) c) (0 , 2 1 ) , (1 , 2 3 ) 6. E ğer P YTL, r faiz oranı ile t yıl bankada tutulursa, t yıl sonunda ula şaca ğı de ğer A = P r t + P olur. (Burada r ondalık kesir olarak dü şünülmektedir. Örne ğin, faiz oranı % 6 ise, r = 0.06 dır ve 100 YTL, % 6 dan t yıl faizde kalırsa, ula şaca ğı de ğer A = 6 t + 100 YTL olur.) a) 100 YTL, % 6 faizle 5 yıl sonunda kaç YTL olur? 20 yıl sonunda kaç YTL olur? b) 100 6 + = t A ün 20 0 ? ? t için grafi ğini çiziniz. c) Grafi ğin e ğimi nedir? 7. Radyo üreten bir firmanın günlük giderinin üretilen radyo sayısının doğrusal fonksiyonu oldu ğu bilinmektedir. Firmanın, günlük 200 $ sabit gideri vardır ve e ğer bir günde 20 radyo üretirse, o günkü toplam gideri 3 800$ olmaktadır. Firmanın günde x adet radyo üretmesi durumunda günlük toplam gideri C(x) ile gösteriliyor. a) C(x) i bulunuz.. b) Günde 12 radyo üretilmesi durumunda toplam gider nedir? c) Gider fonksiyonunun 20 0 ? ? x için grafi ğini çiziniz. 8. A şa ğıdaki kuadratik fonksiyonlardan her biri için, grafik çizmeden, (i) koordinat kesi şimlerini(intercepts), (ii) köşe noktasını, (iii) maksimum veya minimumunu, (iv) de ğer kümesini bulunuz: a) 1 ) 2 ( ) ( 2 + - - = x x f b) 4 ) 3 ( ) ( 2 - - = x x m c) 2 10 ) ( 2 + + = x x x r d) 6 8 2 ) ( 2 - + - = x x x f e) 15 18 3 ) ( 2 + + = x x x m f) 10 3 ) ( 2 + + - = x x x r 9. Bundan önceki alı ştırmada verilen kuadratik fonksiyonların grafiklerini çiziniz. 10. A şa ğıdaki rasyonel fonksiyonlardan her birinin (i) koordinat kesi şimlerini bulunuz (ii) tanım bölgesini belirleyiniz (iii) yatay ve dü şey asimtotlarını bulunuz (iv) grafi ğini çiziniz a) 2 2 ) ( - + = x x x f b) 2 3 ) ( + = x x x f c) 4 2 4 ) ( + - = x x x f