Elektirik - Elektronik Elektirik Elektronik Matematiği T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI MEGEP (MESLEKÎ EĞİTİM VE ÖĞRETİM SİSTEMİNİN GÜÇLENDİRİLMESİ PROJESİ) ELEKTRİK ELEKTRONİK TEKNOLOJİSİ ELEKTRİK ELEKTRONİK MATEMATİĞİ ANKARA 2007 Milli Eğitim Bakanlığı tarafından geliştirilen modüller; • Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığının 02.06.2006 tarih ve 269 sayılı Kararı ile onaylanan, Mesleki ve Teknik Eğ itim Okul ve Kurumlarında kademeli olarak yaygınlaştırılan 42 alan ve 192 dala ait çerçeve öğretim programlarında amaçlanan mesleki yeterlikleri kazandırmaya yönelik geliştirilmiş öğ retim materyalleridir (Ders Notlarıdır). • Modüller, bireylere mesleki yeterlik kazandırmak ve bireysel öğ renmeye rehberlik etmek amacıyla öğ renme materyali olarak hazırlanmış, denenmek ve geliştirilmek üzere Mesleki ve Teknik Eğ itim Okul ve Kurumlarında uygulanmaya başlanmıştır. • Modüller teknolojik gelişmelere paralel olarak, amaçlanan yeterliği kazandırmak koşulu ile eğ itim öğ retim sı rasında geliştirilebilir ve yapılması önerilen değişiklikler Bakanlıkta ilgili birime bildirilir. • Örgün ve yaygın eğ itim kurumları, iş letmeler ve kendi kendine mesleki yeterlik kazanmak isteyen bireyler modüllere internet üzerinden ulaşılabilirler. • Basılmış modüller, eğitim kurumlarında öğrencilere ücretsiz olarak dağıtılır. • Modüller hiçbir şekilde ticari amaçla kullanılamaz ve ücret karşılığında satılamaz. i AÇIKLAMALAR iv GİRİŞ 1 Ö Ğ RENME FAALİYETİ-1 3 1. SAYILAR 3 1.1. Rakamlar ( Numbers)..........................................................................................3 1.2. Sayma Sayıları ....................................................................................................3 1.3. Doğal (Naturals) Sayılar (N)................................................................................3 1.3.1. Doğal Sayıların Tanımı................................................................................3 1.3.2. Doğal Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi.......................................4 1.4. Tam (Integers) Sayılar (Z)...................................................................................4 1.4.1. Tam Sayıların Tanımı ..................................................................................4 1.4.2. Tam Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi.........................................4 1.4.3. Negatif Tam Sayılar Kümesi........................................................................4 1.4.4. Pozitif Tam Sayılar Kümesi.........................................................................4 1.4.5. Çift (Even) Sayılar.......................................................................................4 1.4.6. Tek (Odd) Sayılar........................................................................................5 1.5. Rasyonel Sayılar (Q)...........................................................................................5 1.5.1. Kesir............................................................................................................5 1.5.2. Basit Kesir...................................................................................................5 1.5.3. Bileşik Kesir................................................................................................5 1.5.4. Tam Sayılı Kesir..........................................................................................5 1.5.5. Rasyonel Sayıların Tanımı...........................................................................6 1.5.6. Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi..................................6 1.5.7. Rasyonel Sayılarda İşlemler.........................................................................7 1.6. Ondalıklı Sayılar.................................................................................................8 1.6.1. Ondalık Sayılarda İşlemler...........................................................................8 1.7. Reel (Gerçek) Sayılar (R)....................................................................................9 1.7.1. Reel Sayıların Tanımı ..................................................................................9 1.7.2. Reel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi.........................................9 1.8. Mutlak Değer....................................................................................................10 1.9. Matematiğin Temel Kanunları ...........................................................................10 1.9.1. Toplamanın Değişme Kanunu....................................................................10 1.9.2. Toplamanın Birleşme Kanunu....................................................................11 1.9.3. Çarpmanın Değişme Kanunu.....................................................................11 1.9.4. Çarpmanın Birleşme Kanunu.....................................................................11 1.9.5. Dağılma Kanunu........................................................................................12 1.9.6. Etkisiz Elemanlar.......................................................................................12 1.9.7. Ters Eleman..............................................................................................13 1.9.8. Yutan Eleman............................................................................................13 1.10. Temel İşlemler................................................................................................13 1.10.1. Tam Sayılarda Toplama...........................................................................13 1.10.2. Tam Sayılarda Çıkarma...........................................................................14 1.10.3. Tam Sayılarda Çarpma ve Bölme.............................................................14 1.11. İşlem Sırası......................................................................................................15 1.12. Sayılarla İlgili Basit Elektrik Problemleri ve Çözümleri...................................16 1.13. Direnç, Gerilim ve Akım Problemleri..............................................................17 İÇİNDEKİLER ii 1.14. Üslü İfadeler....................................................................................................17 1.14.1. Üslü Sayıların Tanımı..............................................................................17 1.14.2. Üslü Sayılar İle İlgili Özellikler...............................................................18 1.14.3. Üslü Sayılar ile İlgili İşlemler..................................................................20 1.15. Tabanı 10 Olan Sayılarla İşlemler....................................................................21 1.16. Metrik Birim Çevirme.....................................................................................22 1.17. Üslü Sayılarla Kondansatör Birimlerinin Birbirine Çevrilmesi.........................23 1.18. Üslü Sayılarla Bobin Birimlerinin Çevrilmesi Problem Çözümleri...................24 1.19. Üslü Sayılarla Frekans Birimlerinin Çevrilmesi Problem Çözümleri................24 1.20. Üslü Sayılarla Basit Elektrik Problem Çözümleri.............................................24 1.21. Kareköklü İfadeler...........................................................................................25 1.21.1. Kareköklü Sayıların Tanımı.....................................................................25 1.21.2. Rasyonel Üs.............................................................................................26 1.21.3. Rasyonel Üssün Sadeleştirilmesi veya Genişletilmesi...............................26 1.21.4. Bir Sayıyı Kök İçine Alma veya Kök Dışına Çıkarma..............................26 1.21.5. Toplama-Çıkarma....................................................................................27 1.21.6. Çarpma-Bölme........................................................................................27 1.21.7. Paydayı Rasyonel Yapma........................................................................27 1.21.8. Kareköklü Sayılarla Basit Elektrik Problem Çözümleri............................28 PERFORMANS DEĞERLENDİRME.....................................................................29 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...........................................................................30 ÖĞRENME FAALİYETİ-2 38 2.1. Birinci Derece Denklemler ile İlgili Temel Kavramlar.......................................38 2.2. Özellikler..........................................................................................................38 2.3. Birinci Derece Denklemlerde Bilinmeyenin Bulunması .....................................39 2.4. Birinci Derece İki Bilinmeyenli Denklemlerin Bulunması..................................40 2.4.1. Tanım........................................................................................................40 2.4.2. Çözüm Kümesinin Bulunması....................................................................40 UYGULAMA FAALİYETİ .....................................................................................41 PERFORMANS DEĞERLENDİRME.....................................................................42 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME...........................................................................43 3. ORAN-ORANTI 44 3.1. Oran-Orantının Tanımı ......................................................................................44 3.1.1. Oran..........................................................................................................44 3.1.2. Orantı ........................................................................................................44 3.2. Orantının Özellikleri..........................................................................................44 3.3. Orantı Çeşitleri..................................................................................................45 3.3.1. Doğru Orantı .............................................................................................45 3.3.2. Ters Orantı ................................................................................................45 3.3.3. Bileşik Orantı ............................................................................................46 3.4. Oran-Orantı Çözümleri......................................................................................46 UYGULAMA FAALİYETİ .....................................................................................47 PERFORMANS DEĞERLENDİRME.....................................................................48 ÖĞRENME FAALİYETİ-4 49 4. İKİNCİ DERECE DENKLEMLER 49 4.1. İkinci Derece Denklemler ile İlgili Temel Kavramlar.........................................49 4.1.1. Çarpanlara Ayırma....................................................................................49 iii 4.1.2. Diskriminant Bulma...................................................................................50 4.2. Denklem Kökleri İle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar......................................50 4.3. Kökleri Verilen İkinci Derece Denklemin Yazılması..........................................51 4.4. Çarpanlara Ayırma............................................................................................51 4.4.1. İki Kare Farkı ............................................................................................51 4.4.2. İki Küp Farkı İki Küp Toplamı ..................................................................51 4.4.3. Üç Terimli İfadeler....................................................................................51 4.4.4. Özdeşlikler................................................................................................53 UYGULAMA FAALİYETİ .....................................................................................54 PERFORMANS DEĞERLENDİRME.....................................................................56 5. TRİGONOMETRİ 57 5.1. Birim Çember....................................................................................................57 5.2. Esas Ölçü..........................................................................................................58 5.3. Trigonometrik Fonksiyonlar..............................................................................59 5.4. Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar..................................................................61 5.5. Trigonometrik Eşitlikler....................................................................................62 5.6. Yarım Açı Formülleri........................................................................................63 5.7. Toplam Fark Formülleri....................................................................................63 5.8. Özel Açıların Trigonometrik Oranları................................................................64 5.9. Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri...........................................................65 5.10. Bölgelere Göre İşaretler...................................................................................66 5.11. Kosinüs ve Sinüs Teoremleri...........................................................................66 5.11.1. Sinüs Teoremi..........................................................................................66 5.11.2. Kosinüs Teoremi......................................................................................66 UYGULAMA FAALİYETİ .....................................................................................67 PERFORMANS DEĞERLENDİRME.....................................................................68 ÖĞRENME FAALİYETİ-6 69 6. VEKTÖREL BÜYÜKLÜKLER 69 6.1. Vektörel Büyüklüklerin Tanımı .........................................................................69 6.2. Vektörel Büyüklüklerin Gösterilmesi.................................................................69 6.3. Vektörel Büyüklüklerde İşlemler.......................................................................69 6.3.1. Vektörlerin Toplamı ve Farkı.....................................................................69 6.3.2. Uç Uca Ekleme (Poligon) Metodu.............................................................70 6.3.3. Paralel Kenar Metodu................................................................................70 6.3.4. Vektörlerin Bileşenlerine Ayrılması...........................................................71 UYGULAMA FAALİYETİ .....................................................................................72 PERFORMANS DEĞERLENDİRME.....................................................................73 CEVAP ANAHTARLARI 74 KAYNAKLAR 78 iv AÇIKLAMALAR KOD 460MI0009 ALAN Elektrik Elektronik Teknolojisi DAL/MESLEK Alan Ortak MODÜLÜN ADI Elektrik Elektronik Matematiği MODÜLÜN TANIMI Elektrik elektronik sistemlerle ilgili temel matematik işlemlerini tanıtan, bu işlemlerin hatasız yapılmasına yönelik bilgi ve becerilerin verildiği bir öğrenme materyalidir. SÜRE 40/32 ÖN KOŞUL Ön koşulu yoktur. YETERLİK Elektrik elektronik sistemlerine ait matematiksel çözümleri yapmak. MODÜLÜN AMACI Genel Amaç Gerekli ortam sağlandığında elektrik-elektronik sistemlere ait matematiksel çözümleri yapabileceksiniz. Amaçlar 1. Sayılarla ile ilgili matematik i ş lemlerini hatasız yapabileceksiniz. 2. I.Derece denklemlerle ilgili matematiksel iş lemleri doğru yapabileceksiniz. 3. Oran-orantıyı bilecek, oran-orantı i ş lemleri yapabileceksiniz. 4. II. Derece denklemlerle ilgili matematiksel i ş lemleri yapabileceksiniz. 5. Trigonometrik fonksiyonların matematiksel i ş lemlerini yapabileceksiniz. 6. Vektörel büyüklükleri bilecek ve bunlarla ilgili iş lemleri yapabileceksiniz. EĞİTİM ÖĞRETİM ORTAMLARI VE DONANIMLARI Bilgisayar laboratuarı, imalat yapan işletmelere gezi, internet ortamında inceleme ve araştırma yapma. Elektrik-Elektronik problemleri ve çözümleri ile ilgili kitap ve dokümanları inceleme ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME Her faaliyet sonrasında o faaliyetle ilgili değerlendirme soruları ile kendinizi değerlendireceksiniz. Modül sonunda ise kazandığınız bilgi ve becerileri ölçmek amacıyla hazırlananan ölçme araçları (uygulama, çoktan seçmeli, soru cevap) ile kendinizi değerlendireceksiniz. AÇIKLAMALAR 1 GİRİŞ Sevgili Öğrenci, Elektrik-elektronik sektörü, araştırma-geliştirme çalışmalarında, hayatımızı kolaylaştıran birçok cihazda en hızlı genişleyen alanlardan biridir. Alandaki asıl gelişme II. Dünya Savaşında transistorün keşfi ile olmuştur. Günümüzde bilgisayar endüstrisi gelişimine devam etmektedir. Bilgi akışının gelişimi ile sesler ve görüntüler artık dijitalleşmiştir. Elektrik-elektronik sektörü yerinde saymadan gelişimine devam edecektir. Artık elektronik hayatımızın her yerindedir. Öğrencilerin çoğu elektrik-elektronik temrin çalışmalarına hemen başlamak isterler. Fakat karşılarına çı kan matematikten korkarlar. Matematik korkusunun kaynağı olumsuz deneyimlerdir. Birkaç kez tekrarlanan başarısızlık durumu öğ rencinin kendine güvenini ve bu dersi anlayabileceği inancını sarsar. ‘Ben matematikte başarısızım, konuları anlayamam; öyleyse çalışmam anlamsız‘ dememelisiniz. Öncelikle matematiksel geçmişinizi tespit ediniz. Eksiklerinizi belirleyerek en k ı sa sürede temelinizi sağlamlaştırınız. Konuları küçük parçalara ayırarak basit örneklerden zor örneklere doğru ilerleyiniz. En önemlisi olumsuz iç konuşmalara son veriniz. Burada elektrik-elektronik alanındaki modüllerde en çok kullanılan matematik konularına yer verilmiştir. Bu modül, devre analizi yapmak, birimleri birbirine çevirmek, frekans hesaplamak, faz ve faz farkını hesaplamak, bir direnç üzerinden geçen akımı ve direnç üzerine düşen gerilimi bulmak gibi elektrik-elektroniğin matematikle iç içe olduğu konularda size yardımcı olacaktır. GİRİŞ 2 3 ÖĞRENME FAALİYETİ-1 Sayılar ile ilgili matematik işlemlerini hatasız yapabileceksiniz. Sayı türlerini araştırınız ve sayılarla ilgili bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz sonuçları bir rapor halinde sı n ı f ı n ı zda ö ğ retmeninize ve arkadaşlarınıza sununuz. 1. SAYILAR 1.1. Rakamlar ( Numbers) Sayıları yazmak için kullanılan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 şeklindeki işaretlere rakam denir. Bir displayin gösterebildiği sayıları rakam olarak tanımlayabiliriz. Şekil 1.1: Display 1.2. Sayma Sayıları 1'den başlayıp artarak devam eden doğal sayılara sayma sayıları denir. S = {1, 2, 3, 4, ...+?} 1.3. Doğal (Naturals) Sayılar (N) 1.3.1. Doğal Sayıların Tanımı 0'dan başlayıp artarak devam eden sayılara doğal sayılar denir. N = {0, 1, 2, 3, 4, ...+?} ÖĞRENME FAALİYETİ-1 AMAÇ ARAŞTIRMA 4 1.3.2. Doğal Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Şekil 1.2: Doğal sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterimi 1.4. Tam (Integers) Sayılar (Z) 1.4.1. Tam Sayıların Tanımı Eksi (-) sonsuzdan başlayıp artı (+) sonsuza kadar devam eden sayılara tam sayılar denir. Tam sayılar kümesi: Z= {-?,...., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...,?} 1.4.2. Tam Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi ¥ - ¥ + Şekil 1.3: Tam sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterimi 1.4.3. Negatif Tam Sayılar Kümesi 0 (sıfır) hariç olmak üzere sıfı rdan eksi (-) sonsuza kadar olan sayılara negatif tam sayı denir. Z - = {-?,..., -3, -2, -1} 1.4.4. Pozitif Tam Sayılar Kümesi 0 (sıfır) hariç olmak üzere sıfı rdan artı (+) sonsuza kadar olan sayılara pozitif tam sayı denir. Z + = {1, 2, 3, 4,..., ?} 1.4.5. Çift (Even) Sayılar 2 ile tam olarak bölünebilen tam sayılara çift sayı denir. E = {-?,..., -4, -2, 2, 4, ... +?} 5 1.4.6. Tek (Odd) Sayılar 2 ile tam olarak bölünemeyen tam sayılara tek sayı denir. O = {-?, ... , -3, -1, 1, 3, ... +?} 1.5. Rasyonel Sayılar (Q) 1.5.1. Kesir Z b , a ¸ ve 0 b „ olmak koşuluyla b a ifadesine kesir denir. b a ifadesinde a pay, b payda olarak isimlendirilir. 1.5.2. Basit Kesir Payı paydasından mutlak değerce küçük olan kesirlere basit kesir denir. Bunlar (-1) ile (+1) arasındadır. 3 2 , 7 5 , 17 11 , 4 3 - gibi 1.5.3. Bileşik Kesir Payı paydasına mutlak değerce eşit yada büyük olan kesirlere bileşik kesir denir. 5 5 , 3 7 , 9 16 - , 4 23 gibi 1.5.4. Tam Sayılı Kesir 5 2 6 , 10 8 3 , 7 3 5 gibi kesirlere tam sayılı kesir denir. Tam sayılı bir kesri bileşik kesre, bileşik kesri de tam sayılı kesre çevirebiliriz. a tamsayıyı, b payı ve c’de paydayı ifade etmek üzere; c b ) c a ( c b a + · = bağıntısı ile tamsayılı kesir bileşik kesre dönüştürülebilir. 6 kalan k c a b bölünen bölen bölüm 20 7 2 27 10 Örnek: 3 2 6 ve 7 2 4 - tamsayılı kesirleri bileşik kesre çeviriniz. Çözüm: 7 30 7 2 28 7 2 7 4 7 2 4 = + = + = , 3 20 3 2 18 ) 3 2 3 6 ( 3 2 6 - = - - = + - = - Bileşik kesir tam sayılı kesre dönüştürülürken pay paydaya bölünür, bulunan bölüm değeri tamsayıya, kalan değer pay’a ve bölen ise paydaya yazılır. , b k c b a = Örnek: 10 27 bileşik kesrini tamsayılı kesir olarak ifade ediniz. Çözüm: 10 27 işleminin sonucu dir. O halde 10 7 2 10 27 = olarak ifade edilir. 1.5.5. Rasyonel Sayıların Tanımı 0 b „ ve a ile b değerlerinden biri asal sayı olmak şartıyla b a kesrine rasyonel sayı denir. Rasyonel sayılar Q ile gösterilir. 1.5.6. Rasyonel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Şekil 1.4: Rasyonel sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterimi İrrasyonel sayılar Q’ ile gösterilir. Rasyonel olmayan sayılar anlamına gelir. Virgülden sonra belli bir kuralı olmadan sonsuza kadar devam eden sayılara irrasyonel sayı denir. 7 15 , 7 , 5 , 3 , 2 kökten kurtulamayan veya, ?=3,14159265…, e=2,71828…gibi sayılar irrasyoneldir. Bir sayı hem rasyonel hem de irrasyonel olamaz. 1.5.7. Rasyonel Sayılarda İşlemler 1.5.7.1. Genişletme ve Sadeleştirme k ? 0 olmak üzere, k b k a b a ve k b k a b a = = dır. Örnek: 8 3 işlemini 2 ile genişletiniz. Çözüm: 16 6 2 8 2 3 8 3 = = Örnek: 15 12 işlemini sadeleştiriniz. Çözüm: 5 4 3 15 3 12 15 12 = = 1.5.7.2. Toplama - Çıkarma Toplama ve çı karma iş leminde payda eş itlenecek şekilde kesirler genişletilir ya da sadeleştirilir. Oluşan kesirlerin payları toplanır ya da çıkarılır. Ortak payda paydaya yazılır. d b b c d a ) b ( d c ) d ( b a – = – 35 41 35 20 21 7 . 5 5 . 4 7 . 3 7 4 5 3 = + = + = + 35 1 35 20 21 7 . 5 5 . 4 7 . 3 7 4 5 3 = - = - = - 8 1.5.7.3. Çarpma - Bölme Rasyonel sayılarda çarpma iş lemi pay ve paydaları birbiri ile çarpmak sureti ile gerçekleştirilir. d b c a d c b a = Rasyonel sayılarda bölme işlemi yapılırken bölünen değer aynen yazılır, bölen değer ise pay ile payda yer değiştirmek suretiyle çarpılır. c b d a c d b a d c b a d c b a = = = ‚ , b c a c b a = , c b a c b a = Örnek: 7 2 Q 1 = , 5 6 Q 2 = olduğuna göre Q = Q 1 × Q 2 işleminin sonucunu bulunuz. Çözüm: 35 12 5 . 7 6 . 2 5 6 7 2 Q Q Q 2 1 = = = · = 4 5 16 20 2 . 8 4 . 5 2 4 . 8 5 4 2 8 5 = = = = , 5 28 5 7 . 4 7 5 4 = = , 35 4 7 . 5 4 7 5 4 = = 1.6. Ondalıklı Sayılar a bir tam sayı ve n sayma sayısı ise n 10 a biçimindeki rasyonel sayılara ondalıklı sayı denir. Paydası 10 ve 10’ un kuvvetleri biçiminde olan rasyonel sayılardır. 1000 d 100 c 10 b a bcd , a 1000 abcd + + + = = dir. Burada a’ ya tam kısım , bcd’ ye de ondalıklı kısım denir. 1.6.1. Ondalık Sayılarda İşlemler 1.6.1.1. Toplama ve Çıkarma Ondalık sayılar toplanırken virgüller alt alta gelecek şekilde yazılmalıdır. Doğal sayılardaki gibi toplama ve çı karma iş lemi yapılır. Sonuç virgüllerin hizasından virgülle ayrılır. 9 Örnek: 9781 , 9 0001 , 0 95 , 4 028 , 5 + 1.6.1.2. Çarpma Ondalık kesirlerin çarpımı yapılırken virgül yokmuş gibi çarpma işlemi yapılır. Sonuç, çarpılan sayıların virgülden sonraki basamak sayılarının toplamı kadar sağdan sola doğru virgülle ayrılır. Örnek: 728 , 0 2 , 0 x 64 , 3 1.6.1.3. Bölme Ondalık kesirlerin bölme işlemi yapılırken bölen, virgülden kurtulacak şekilde 10’ un kuvveti ile çarpılır. Bölünen de aynı 10’ un kuvveti ile çarpılarak normal bölme iş lemi yapılır. Örnek: 6 4 24 0 , 4 0 , 24 4 , 0 4 , 2 = = = 4 , 806 80 64512 0 , 80 0 , 64512 08 , 0 512 , 64 = = = 1.7. Reel (Gerçek) Sayılar (R) 1.7.1. Reel Sayıların Tanımı Rasyonel ve rasyonel olmayan (irrasyonel) sayıları içine alan kümeye reel sayı denir. Q Q R ¨ = 1.7.2. Reel Sayıların Sayı Doğrusu Üzerinde Gösterimi Şekil 1.5: Reel sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterimi 10 Sonuç olarak; N Z Q R 1.8. Mutlak Değer Bir tam sayının işaretine bakılmaksızın gösterdiği değere o tam sayının mutlak değeri denir. Sayının 0 noktasına olan uzaklığıdır. Mutlak değer |...| şeklinde gösterilir. a>0 ise, |a| = a dır. a=0 ise, |a| = 0 dır. a<0 ise, |a| = -a dır. |7| = 7 |-26| = -(-26) = 26 Örnek: |-5|-|-2|-|-9| =? Çözüm: |-5|-|-2|-|-9| = -(-5)-[-(-2)]-[-(-9)] = 5-(+2)-(+9) = 5-11 = -6 1.9. Matematiğin Temel Kanunları 1.9.1. Toplamanın Değişme Kanunu a + b = b + a Örnek: 2 + 3 = 3 + 2 5 = 5 11 1.9.2. Toplamanın Birleşme Kanunu a + (b + c) = (a + b) + c Örnek: 2 + (3 + 4) = (2 + 3)+ 4 2 + 7 = 5 + 4 9 = 9 1.9.3. Çarpmanın Değişme Kanunu ab = ba Örnek: (3) (4) = (4) (3) 12 = 12 1.9.4. Çarpmanın Birleşme Kanunu a (bc) = (ab) c Örnek: 2 x (3 x 4) = (2 x 3) x 4 2 x 12 = 6 x 4 24 = 24 12 1.9.5. Dağılma Kanunu a (b + c) = ab + ac Örnek: 2 (3 + 4) = 2 (3) + 2 (4) 2 (7) = 6 + 8 14 = 14 =3x+18 1.9.6. Etkisiz Elemanlar Toplamada etkisiz eleman 0’dır. a + 0 = 0 + a = a Örnek: 3 + 0 = 3 ve ya 0 + 3 = 3 Çarpmada etkisiz eleman 1’ dir. a x 1 = 1 x a = a Örnek: -7 x 1 = -7 ve ya 1 x (-7) = -7 13 1.9.7. Ters Eleman 1.9.7.1. Toplamada Ters Eleman a ve b reel sayılar olmak üzere a + b sonucu sı fı r ise b, a’nın, a da b’nin ters elemanlarıdır. a + -a = 0 Örnek: 6 + (-6) = 0 1.9.7.2. Çarpmada Ters Eleman a ve b reel sayılar olmak üzere a × b sonucu 1 ise b, a’nın, a da b’nin ters elemanlarıdır. 1 a 1 a a a 1 = = - Örnek: 1 5 1 . 5 5 . 5 1 = = - 1.9.8. Yutan Eleman a . 0 = 0 Örnek: 26 . 0 = 0 1.10. Temel İşlemler 1.10.1. Tam Sayılarda Toplama Aynı işaretli iki sayı toplanırsa sonuca ortak işaret verilir. Örnek: 1. +8 + (+7) = 15 2. -9 + (-24) = -33 14 Farklı işaretli iki sayı toplanırsa mutlak değeri büyük sayıdan mutlak değeri küçük sayı çıkarılır. Mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca verilir Örnek: 1. -8 + (+5) |-8| = 8 |+5| = 5 8 > 5 bu yüzden sonuç negatiftir 8 - 5 = 3 böylece -8 + (+5) = -3 2. (-9) + 14 |+14| = 14 |-9| = 9 14 > 9 bu yüzden sonuç pozitiftir 14 - 9 = 5 böylece 14 + (-9) = +5 1.10.2. Tam Sayılarda Çıkarma Bir sayıyı diğerinden çı karırken çı karılacak sayının iş areti değiştirilir. Daha sonra toplama işlemi yapılır. Örnek: 1. -6 - (-9) = -6 + 9 = 3 2. -13 - (+7) = -13 + (-7) = -20 1.10.3. Tam Sayılarda Çarpma ve Bölme Aynı işaretli sayıların çarpma ve bölme işlemlerinde çıkan sonuç pozitif (+)olur. Örnek: 1. (-8) (-9) = |-8| x |-9| = 8 x 9 = 72 15 2. -27 / (-3) = |-27| / |-3| = 27 / 3 = 9 Zıt işaretli sayıların çarpma ve bölme işlemlerinde çıkan sonuç negatif (-)olur. Örnek: 1. (-8) (9) = -72 2. 81 / (-3) = -27 1.11. İşlem Sırası İlk önce parantez içindeki işlemler Üs alma işlemi Soldan sağa doğru sırasıyla çarpma ve bölme işlemleri Soldan sağa doğru sırasıyla toplama ve çıkarma işlemleri yapılmalıdır. Parantez başına eksi gelirse, parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri değişir. Örnek: 1. 6 + 10 / 2 (ilk önce bölme yap) = 6 + 5 = 11 2. 8 + 9 x 2 + 16 - 12 / 4 (soldan sağa doğru çarp ve böl) = 8 + 18 + 16 - 3 (soldan sağa doğru topla ve çıka) = 26 + 16 - 3 = 42 - 3 = 39 3. 28 - (26 - (3 - (4 - 3))) (en içteki parentez ile başla) = 28 - (26 - (3 - 1)) 16 = 28 - (26 - 2) = 28 - 24 = 4 1.12. Sayılarla İlgili Basit Elektrik Problemleri ve Çözümleri Örnek: Birbirine seri bağlı üç direncin değerleri; 3?, 9?, 16? ‘dur. Toplam direnci hesaplayınız. Çözüm: R T = R 1 + R 2 + R 3 R T = 3 + 9 + 16 = 28? Örnek: Birbirine paralel bağlı dört direncin değerleri; 3?, 2?, 4?, 6? ‘dur Toplam direnci hesaplayınız. Çözüm: 4 3 2 1 T R 1 R 1 R 1 R 1 R 1 + + + = W = = = = = + + + = + + + = + + + = 8 , 0 R 5 4 1 R 4 5 R 1 4 5 12 15 12 ) 2 3 6 4 ( R 1 12 2 12 3 12 6 12 4 R 1 6 1 4 1 2 1 3 1 R 1 T T T T T T Örnek: A ve B noktaları arasında seri bağlı iki dirençte okunan değerler -4,5 Volt ve 2,78 Volt’tur. A ve B noktaları arasındaki toplam gerilim nedir? Çözüm: V AB = -4,5 + 2,78 V AB = -1,72 Volt Örnek: Ölçü aletinde okunan değer maksimum değerin 0,707 si kadar olduğuna göre 220 V AC gerilimin maksimum değeri nedir? Çözüm: V 173 , 311 707 , 0 220 V m = = 17 Örnek: 220 V 50 Hz lik şebekede F 20m lık kondansatörün kapasitif reaktansı nedir? Çözüm: W = = = = = p = p = - - 23 , 159 628 100000 628 10 6280 10 10 . 20 . 314 1 10 . 20 . 50 . 2 1 C f 2 1 X 5 6 6 6 C 1.13. Direnç, Gerilim ve Akım Problemleri Örnek: Bir direncin uçlarına düşen gerilim değeri 200 Volt, direncin uçlarından geçen akım 10A ise direnç değeri nedir? Çözüm: W = = = 20 10 200 I V R Örnek: Direnç değeri 5? olan bir direncin uçlarında düşen gerilim 100 Volt ise direncin uçlarından geçen akım değeri nedir? Çözüm: A 20 5 100 R V I = = = Örnek: Direnci 40? olan bir elektrik ocağından geçen akım 5,5A’dır. Bu ocağın 10 dakikada yaydığı ısıyı bulunuz? Çözüm: kcal 24 , 174 cal 174240 60 . 10 . 40 . 5 , 5 . 24 , 0 t . R . I . 24 , 0 Q 2 2 = = = = 1.14. Üslü İfadeler 1.14.1. Üslü Sayıların Tanımı Genel olarak, üslü sayılarda kullanılan format: (taban) üs Üs, tabandaki sayının kaç tanesinin birbiri ile çarpılacağını belirtir. 18 n tane R a ¸ ve + ¸ Z n olmak üzere; a.a.a.a….a = a n dir. (a: taban ; n: üs) a n , a’ n ı n n. kuvveti (üssü) şeklinde okunur. 1.14.2. Üslü Sayılar İle İlgili Özellikler 1. a n ifadesi ile n.a ifadesi karıştırılmamalıdır. Çünkü, n.a = a+a+a+….+a dır Örnek: 8 3 = 8.8.8 = 512 8 3 ? 3.8 Çünkü 3.8.= 8+8+8 = 24 2. Sıfırdan farklı bir sayının sıfırıncı kuvveti 1 dir 0 a „ için a 0 = 1 dir. Örnek: 3968 0 = 1 (-74) 0 = 1 1 7 x 5 x 2 0 = l L + - 3. 0 0 tanımsızdır. 4. 1 n = 1 dir. 5. Negatif sayıların tek kuvveti negatif, çift kuvvetleri pozitiftir. Örnek: (-5) 3 = (-5).(-5).(-5) = -125 (-8) 2 = 64 6. R a ¸ ve + ¸ Z n olmak üzere (-a) 2n ? (-a 2n ) Örnek: -3 4 = -81 7. (a n ) m = a n.m Örnek: (2 2 ) 5 = 2 2.5 =2 10 =1024 19 8. ( ) a m n m n a „ Örnek: ( ) 729 3 3 6 3 2 = = ( ) 6561 3 3 8 2 3 = = 9. a 1 a 1 = - n n a 1 a = - n n a b b a l L = l L - Örnek: 9 1 3 1 2 2 3 = = - 10. Üslü sayılarda çarpma: a. Tabanlar aynı ise üsler işaretleri ile beraber toplanır a x . a y = a x+y Örnek: 10 3 . 10 6 . 10 -2 = 10 3+6-2 = 10 9 = 1000000000 b. Üsler aynı ise ortak üs parantezine alınabilir. a n . b n = (a.b) n Örnek: 6 4 . 23 4 = (6.23) 4 = 362673936 11. Üslü sayılarda bölme a. Tabanlar aynı ise üsler işaretleri ile beraber çıkarılır. x y y x y x a 1 a a a - - = = Örnek: 9 9 9 9 3 4 3 4 = = - b. Üsler aynı ise ortak üs parantezine alınabilir. 20 n n n b a b a l L = Örnek: a 1 b a b a b a a b a x 1 x x 1 x x 1 x a l L = l L = = - - - 12. a x = a y › x = y dir. (a?0, a?±1) 13. a x = b x › |a| = |b| (x?0) 1.14.3. Üslü Sayılar ile İlgili İşlemler 1.14.3.1. Toplama 2,3.10 7 + 5,6.10 7 toplamını yazınız. (2,3+5,6).10 7 =7,9.10 7 1.14.3.2. Çıkarma 4.10 3 – 9.10 3 farkını bulunuz. (4-9).10 3 = -5.10 3 1.14.3.3. Çarpma (5.10 -6 ) . (7.10 4 ) işlemini yapınız. (5.7) . (10 -6 .10 4 ) = 35 . 10 -6+4 = 35 . 10 -2 1.14.3.4. Bölme 10 9 ) 6 ( 3 6 3 10 9 10 90 10 3 270 10 3 10 270 = = = - - - 21 1.15. Tabanı 10 Olan Sayılarla İşlemler 10 0 =1 10 1 =10 10 2 = 10. 10 = 100 10 3 = 10 .10.10 = 1000 10 n =10...0 Üsteki rakam pozitif ise, 1’in sağına üs sayısı kadar 0 yazılır. Üsteki rakam kadar 10 çarpılır. 001 , 0 1000 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 01 , 0 100 1 10 1 10 10 1 10 1 , 0 10 1 10 3 3 2 2 1 = = = = = = = = = = - - - Üsteki rakam negatif ise, 1’in soluna üs sayısı kadar 0 yazılır. En soldaki sıfırdan sonra virgül yazılması unutulmamalıdır. Üsteki rakam kadar 10 1 çarpılır. 000 . 000 . 000 . 1 10 10 10 . 10 10 10 10 10 . 10 9 2 7 2 7 2 7 2 3 4 = = = = = + - - 000 . 4 10 . 4 10 . 4 10 . 10 . 4 10 . 150 10 . 600 10 . 150 10 . 330 10 . 270 3 9 6 9 6 9 6 9 6 6 = = = = = + + - - - - - - - 0001 , 0 000 . 10 1 10 1 10 10 10 . 10 10 . 124 10 . 124 10 . 124 10 . 1240 10 . 124 10 . 680 10 . 560 4 4 8 4 8 4 8 4 8 3 8 3 3 = = = = = = = = + - - - 000 . 610 . 8 000 . 410 000 . 200 . 8 10 . 41 10 . 2 , 8 000 . 790 . 7 000 . 410 000 . 200 . 8 10 . 41 10 . 2 , 8 000 . 410 10 . 41 10 . 10 . 41 10 10 . 41 100 5 . 10 . 2 , 8 Yüzdesi 5 % ) 10 . 2 , 8 ( 4 6 4 6 4 2 6 2 6 6 6 = + = + = - = - = = = = = - m 22 1.16. Metrik Birim Çevirme 10’ un Kuvvetleri Çarpan Önek Sembol 1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 10 24 yotta Y 1 000 000 000 000 000 000 000 = 10 21 zeta Z 1 000 000 000 000 000 000 = 10 18 exa E 1 000 000 000 000 000 = 10 15 peta P 1 000 000 000 000 = 10 12 tera T 1 000 000 000 = 10 9 giga G 1 000 000 = 10 6 mega M 1 000 = 10 3 kilo k 100 = 10 2 *hekto h 10 = 10 1 *deka Da 1 = 10 0 Birim 0.1 = 10 -1 *desi d 0.01 = 10 -2 *santi c 0.001 = 10 -3 mili m 0.000 001 = 10 -6 mikro µ 0.000 000 001 = 10 -9 nano n 0.000 000 000 001= 10 -12 piko p 0.000 000 000 000 001 = 10 -15 femto f 0.000 000 000 000 000 001 = 10 -18 atto a 0.000 000 000 000 000 000 001 = 10 -21 zepto z 0.000 000 000 000 000 000 000 001 = 10 -24 yokto y 23 Örnek 1 100 pF = …..nF 100 x 10 -12 F = 100 x 10 -3 x 10 -9 F 100 pF = 100 x 10 -3 nF 100 pF = 0,1 nF Örnek 2 10 µF= ….. nF 10 x 10 -6 F = 10x10 3 x 10 -9 F 10 µF= 10x10 3 nF 10 µF= 10000 nF Örnek 3 0,1 mH = ….. H 0,1 x10 -3 H = 0,1x10 -3 H 0,1 mH = 0,0001H Örnek 4 0,963 mH = ….. nH 0,963 x 10 -3 H = 0,963 x 10 6 x 10 -9 H 0,963 mH = 0,963 x 10 6 nH 0,963 mH = 963000 nH Örnek 5 10 MHz = ….. KHz 10 x 10 6 Hz = 10x10 3 x 10 3 Hz 10 MHz = 10x10 3 KHz 10 MHz = 10000 KHz Örnek 6 0,05 km = ….. cm 0,05 x 10 3 m = 0,05 x 10 5 x 10 -2 m 0,05 km = 0,05 x 10 5 cm 0,05 km = 5000 cm Örnek 7 500 kW = ….. MW 500 x 10 3 W = 500 x 10 -3 x10 6 W 500 kW = 500 x 10 -3 MW 500 kW = 0,5 MW Örnek 8 750 µµF= ….. µF 750 x 10 -12 F = 750x10 -6 10 -6 µF 750 µµF= 750x10 -6 µF 750 µµF= 0,00075 µF 1.17. Üslü Sayılarla Kondansatör Birimlerinin Birbirine Çevrilmesi 1 F = 1000 mF = 1.000.000 µF = 10 9 nF = 10 12 pF 1 mF = 1.000 µF = 10 6 nF = 10 9 pF = 10 -3 F 1 µF = 10 3 nF = 10 6 pF = 10 -3 mF = 10 -6 F 1 nF = 10 3 pF = 10 -3 µF = 10 -6 mF = 10 -9 F 1 pF = 10 -3 nF = 10 -6 µF = 10 -9 mF = 10 -12 F 10 12 pF = 10 9 nF = 1.000.000 µF = 1000 mF = 1 F 24 1.18. Üslü Sayılarla Bobin Birimlerinin Çevrilmesi Problem Çözümleri 1 H = 1000 mH = 1.000.000 µH = 10 9 nH = 10 12 pH 1 mH = 1.000 µH = 10 6 nH = 10 9 pH = 10 -3 H 1 µH = 10 3 nH = 10 6 pH = 10 -3 mH = 10 -6 H 1 nH = 10 3 pH = 10 -3 µH = 10 -6 mH = 10 -9 H 1 pH = 10 -3 nH = 10 -6 µH = 10 -9 mH = 10 -12 H 10 12 pH = 10 9 nH = 1.000.000 µH = 1000 mH = 1 H 1.19. Üslü Sayılarla Frekans Birimlerinin Çevrilmesi Problem Çözümleri 1 MHz = 1000 KHz = 1.000.000 Hz 1 KHz = 1000 Hz = 0,001 MHz 1 Hz = 0,001 KHz = 10 -6 MHz 1 Hz = 1000 mHz = 1.000.000 µHz = 10 9 nHz = 10 12 pHz 1 mHz = 1.000 µHz = 10 6 nHz = 10 9 pHz = 10 -3 Hz 1 µHz = 10 3 nHz = 10 6 pHz = 10 -3 mHz = 10 -6 Hz 1 nHz = 10 3 pHz = 10 -3 µHz = 10 -6 mHz = 10 -9 Hz 1 pHz = 10 -3 nHz = 10 -6 µHz = 10 -9 mHz = 10 -12 Hz 10 12 pHz = 10 9 nHz = 1.000.000 µHz = 1000 mHz = 1 Hz 1.20. Üslü Sayılarla Basit Elektrik Problem Çözümleri Örnek: Birbirine seri bağlı üç direncin değerleri; 2,7M?, 3,3K?, 79K? ‘dur. Toplam direnci hesaplayınız. Çözüm: R T = R 1 + R 2 + R 3 R T = 2,7x10 6 + 3,3x10 3 + 79x10 3 R T = 2700000 + 3300 + 79000 R T = 2782300? Örnek: Birbirine paralel bağlı üç direncin değerleri; 2,7M?, 3,3K?, 79K?’dur. Toplam direnci hesaplayınız. Çözüm: 3 2 1 T R 1 R 1 R 1 R 1 + + = 25 W @ W = W = = = = = = + = + = + = + + = + + = + + = + + = K 16 , 3 K 16396721 , 3 96721 , 3163 R 4707 , 222 703890 R 703890 4707 , 222 R 1 703890 4707 , 222 10 . 703890 10 . 4707 , 222 10 . 89 , 703 10 . 4707 , 222 R 1 10 . 89 , 703 10 ). 21 , 222 2607 , 0 ( 10 . 89 , 703 10 . 21 , 222 10 . 2607 , 0 10 . 89 , 703 10 . 21 , 222 7 , 260 R 1 10 . 89 , 703 10 ). 91 , 8 3 , 213 ( 7 , 260 10 . 89 , 703 10 . 91 , 8 10 . 89 , 703 10 . 3 , 213 10 . 89 , 703 7 , 260 R 1 10 . 3 , 3 . 7 , 2 . 10 . 79 10 . 3 , 3 . 7 , 2 10 . 79 . 7 , 2 . 10 . 3 , 3 10 . 79 . 7 , 2 79 . 3 , 3 . 10 . 7 , 2 79 . 3 , 3 R 1 10 . 79 1 10 . 3 , 3 1 10 . 7 , 2 1 R 1 T T T 3 3 6 3 T 6 3 6 3 3 6 3 T 6 3 6 3 6 3 6 T 3 3 3 3 3 3 6 T 3 3 6 T Örnek: 5 68 0 0 – W lik bir direncin toleransı nedir? Bu direncin alabileceği en yüksek ve en düşük değerleri bulunuz. Çözüm: W = = = W = 4 , 3 100 340 100 5 68 5 68 T 0 0 W = - = W = + = - + 6 , 64 4 , 3 68 T 4 , 71 4 , 3 68 T Örnek: 20 M 1 0 0 – W lik bir direncin toleransı nedir? Bu direncin alabileceği en yüksek ve en düşük değerleri bulunuz. Çözüm: W = = = W = M 2 , 0 100 20 100 20 . 1 20 M 1 T 0 0 W = W = - = W = W = + = - + K 800 M 8 , 0 2 , 0 1 T K 1200 M 2 , 1 2 , 0 1 T 1.21. Kareköklü İfadeler 1.21.1. Kareköklü Sayıların Tanımı R a ¸ ve ) 1 n ( Z n > ¸ olmak üzere n a ifadesine a’ nı n n’ inci kuvvetten kökü denir. a a 2 = ; karekök a 26 3 a ; küp kök a 4 a ; dördüncü dereceden kök a şeklinde okunur Her köklü ifade bir reel sayı belirtmez. n a ifadesinin bir reel sayı belirtmesi için a ? 0 olmalı veya n tek sayı olmalıdır. n çift sayı ve a < 0 ise n a ifadesi bir reel sayı belirtmez. Örnek: 3 3 5 , 5 , 2 - sayıları reeldir. 4 6 16 , 2 , 5 - - - sayıları reel değildir. 1.21.2. Rasyonel Üs m n m n a a = dir. Örnek: 2 1 3 3 = , 8 5 8 5 2 2 = , 10 10 10 4 4 = = , 10 10 10 2 = = , 5 5 3 3 = , 5 ) 5 ( 3 3 - = - 1.21.3. Rasyonel Üssün Sadeleştirilmesi veya Genişletilmesi k bir doğal sayı olmak üzere, 0 a , m k n k m n a a > = 0 a , a k m k n m n a > = Örnek: 6 3 2 3 1 3 7 7 7 = = Çözüm : 3 4 12 4 4 12 4 12 2 2 2 16 = = = 1.21.4. Bir Sayıyı Kök İçine Alma veya Kök Dışına Çıkarma t>0 olmak üzere, n n n a t a t = dır. n tek doğal sayı ve R t ¸ için, n n n a t a t = dır. 27 Örnek: 18 2 3 2 3 2 = = 5 5 5 5 2 2 2 2 64 = = 1.21.5. Toplama-Çıkarma Köklerinin dereceleri ve içleri aynı olan ifadeler toplanır veya çıkarılır. n n n n x ) c b a ( x c x b x a - + = - + Örnek: 3 3 3 3 3 10 3 10 ) 7 3 1 ( 10 7 10 3 10 - = - + = - + 1.21.6. Çarpma-Bölme Kök dereceleri birbirine eşit ise; n n n y x y x = n n n y x y x = Örnek: 6 3 2 3 2 18 8 3 3 3 3 3 = = = 5 5 25 6 150 6 150 2 = = = = Kök dereceleri eşit değilse, eşitlenir. Sonra işlem yapılır. n çift sayı ise x ve y pozitif sayı olmalıdır 6 6 6 2 6 3 3 2 1 2 2 3 1 3 3 500 4 125 2 5 2 5 2 5 = = = = 1.21.7. Paydayı Rasyonel Yapma b b a b a = c b ) c b ( a c b a - + = - c b ) c b ( a c b a - - = + Örnek: 3 3 2 3 3 3 2 3 2 = = 1 3 1 3 ) 1 3 ( 2 ) 1 3 ( ) 1 3 ( ) 1 3 ( 2 1 3 2 + = - + = + - + = - ) 2 7 ( 3 2 7 ) 2 7 ( 15 ) 2 7 ( ) 2 7 ( ) 2 7 ( 15 2 7 15 - = - - = - + - = + 28 1.21.8. Kareköklü Sayılarla Basit Elektrik Problem Çözümleri Örnek: Seri RLC devresinde F 2 , 0 C , H 35 , 0 L , 300 R m = = W = olduğuna göre rezonans frekansını bulunuz. Çözüm: Hz 5 , 603 657 , 1 1000 264 , 0 14 , 3 . 2 10 07 , 0 2 10 f 07 , 0 10 2 1 10 . 07 , 0 2 1 10 . 2 , 0 . 35 , 0 2 1 LC 2 1 f 3 3 r 3 6 6 r = = = p = p = p = p = p = + + - - - Örnek: R=60 W X L =80?W ise toplam empedans Z değeri nedir? Çözüm: W = = + = + = + = 100 Z 10000 6400 3600 Z 80 60 Z X R Z 2 2 2 L 2 29 PERFORMANS DEĞERLENDİRME Aşağıdaki i ş lemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır Sayı çeşitlerini bilmek Doğal, tam, rasyonel, irrasyonel, reel, ondalıklı sayılarla matematiksel işlemleri yapmak Üslü ve kareköklü ifadelerle matematiksel işlemler yapmak Sayıları elektrik ve elektronik devre hesaplamalarında kullanmak DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu “evet”, “hayır” cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı “evet” ise diğer öğ renme faaliyetine geçiniz PERFORMANS DEĞERLENDİRME 30 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME A) Aşağıdaki soruları cevaplandırınız. ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME 31 B) Aşağıdaki soruları cevaplandırınız. 32 33 C) Aşağıdaki soruları cevaplayınız. 1. 4 12 + 2 6 6. 4 10 + 9 11 2. 2 12 + 3 5 7. 1 4 + 1 12 3. 1 4 + 2 3 8. 6 9 + 10 12 4. 6 7 + 6 6 9. 4 7 + 7 11 5. 3 3 + 2 9 10. 2 8 + 8 11 D) Aşağıdaki soruları cevaplayınız. 1). 2 + 0 - 2 × 7 + 3 × 5 = 2). (7 - 1) - 7 = 3). 1 × (1 × 3) + 7 = 4). 3 + 4 - 1 = 5). (2 - 5) + 3 - 3 = 6). (3 - 0) + 1 - 6 = 7). 5 × (5 - 6) = 8). (7 × 3) - 6 × 3 × 7 = 9). 6 + 4 + 6 + 6 × 6 × 6 = 10). 6 + (7 + 5) - 7 = 34 E) Aşağıdaki soruları cevaplayınız 1). 5 - 1 + (4 + 0) + 0 2). (6 + 6) - 5 - 7 3). 1 × 3 × 4 × (2 × 2) - 4 4). 4 + (4 × 7) - 0 × 2 5). 4 - (3 + 5) × 4 6). 4 × 1 × (2 - 2) × 3 - 0 7). (1 - 4) - 5 8). (5 × 7) - 2 - 1 + 4 9). 2 × 2 - (2 - 1) 10). 4 - (0 × 7) 35 F) Aşağıdaki soruları cevaplayınız. 36 G) Aşağıdaki sorular için doğru cevabı işaretleyiniz. 1. x . x = ? a. 2x b. x 2 c. 0 d. x 3 e. Sadeleşmez 2. x(x 2 -2x+2) = ? a. 2 b. 5x - 2x 2 c. x 3 -2x 2 + 2x d. x 3 -2x 2 + 2 e. Hiçbiri 3. x 3 y 4 z -5 (x -2 y 3 z 8 ) = ? a. xy 7 z 13 b. x 3 y 7 z 13 c. xyz 3 d. xyz e. Hiçbiri 4. 2x 2 (3x) = ? a. 5x 3 b. 18x c. 9x 3 d. 6x 3 e. Sadeleşmez 5. (2x 2 -x +1) - x(x -1) = ? a. 2x 2 -2x -1 b. x 2 -2x -1 c. x 2 + 1 d. x 2 - 1 e. x 2 -2x + 1 37 6. (p 2 q 5 r)/(p 3 qr 2 ) = ? a. q 4 /(pr) b. p -1 q 4 r -1 c. (p -1 r -1 )/q -4 d. Hiçbiri e. Hepsi 7. x(x 2 -2) = ? a. 3x – 2 b. x c. x 3 -2 d. x 3 -2x e. Hiçbiri 8. x 2. x 4. x -3 = ? a. x 3 b. x 9 c. 1 d. x 5 e. Sadeleşmez 9. (x 3 ) 4 = ? a. x b. x 7 c. x 12 d. x 4/3 e. Sadeleşmez 10. 8 4 aşağıdakilerden hangisine eşittir? a. 2 7 b. 2 12 c. 4 8 d. a ve b e. b ve c 38 ÖĞRENME FAALİYETİ-2 Birinci derece denklemler ile ilgili matematik işlemlerini hatasız yapabileceksiniz. Birinci derece denklemler konusunu araştırınız ve bu konu hakkındaki bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz bilgileri bir rapor halinde öğretmeninize ve arkadaşlarınıza sununuz. 2. BİRİNCİ DERECE DENKLEMLER 2.1. Birinci Derece Denklemler ile İlgili Temel Kavramlar R b , a ¸ ve a? 0 olmak üzere ax+b=0 şeklindeki eş itliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x reel sayısına da denklemin kökü denir. Denklemin köklerinden oluşan kümeye de denklemin çözüm kümesi denir. 2x+5=0, x-10=0, 6x=0, a+3=0, 4t+7=0, 2y-1=0 denklemleri birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir. 2.2. Özellikler c b c a b a + = + = c b c a b a - = - = ) 0 c ( , c b c a b a „ = = ) 0 c ( , c b c a b a „ = = n n b a b a = = n n b a b a = = ( n çift ise a?0, b?0 ) ÖĞRENME FAALİYETİ-2 AMAÇ ARAŞTIRMA 39 a=b ve c a c b = = d b c a d c b a + = + = = d b c a d c b a - = - = = bd ac d c b a = = = d b c a d c b a = = = , (c?0, d?0) 2.3. Birinci Derece Denklemlerde Bilinmeyenin Bulunması ax+b=0 denkleminin çözüm kümesini bulurken üç durum vardır. 1- a b x 0 a - = „ dır. - = a b Ç (Çözüm kümesi bir elemanlıdır.) 2- a=0 ve b=0 ise Ç=IR dir. (Çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.) 3- a=0 ve b?0 ise { } = Ç (Çözüm kümesinin hiçbir elemanı yoktur.) Örnek: 4x-1=7 4x=7+1 4x=8 4 8 x = x=2 { } 2 Ç = dir. 40 2.4. Birinci Derece İki Bilinmeyenli Denklemlerin Bulunması 2.4.1. Tanım R c , b , a ¸ ve a ? 0, b ? 0 olmak şartıyla ax+by+c=0 şeklindeki eş itliklere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir. ax+by+c=0 dx+ey+f=0 şeklindeki birden fazla iki bilinmeyenli denklemlerden oluşan sisteme iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. 2.4.2. Çözüm Kümesinin Bulunması 2.4.2.1. Yerine Koyma Metodu İşlem yapması kolay olan denklem seçilerek iki bilinmeyenden birisi eş itliğin bir tarafında yalnız bırakılır. Diğer bilinmeyen cinsinden değeri bulunur. Bulunan bu değer diğer denklemde yerine konur. Bilinmeyenlerin değeri bulunarak sonuca gidilir. x – y = 4 2x - 3y = 6 x = y+4 2(y+4)-3y = 6 y = 2, x = 6 2.4.2.2. Yok Etme Metodu Verilen denklemlerin katsayıları, değişkenlerden birinin yok edilmesini sağlayacak şekilde düzenlenir. Katsayılar düzenlendikten sonra taraf tarafa toplama veya çı karma yapılarak sonuca gidilir. Örnek: 3x-2y = 13 x+2y = 7 sisteminin çözüm kümesini bulmak gerekirse; Verilen denklemleri taraf tarafa toplayalım, 3x-2y = 13 x+2y = 7 4x = 20 x = 5 olur. Bu değer verilen denklemlerden birinde (en sade olanı) yazılarak y bulunur. Buna göre x+2y = 7 ve x=5 ise 5+2y = 7 2y = 7-5 y = 1 dir. 41 UYGULAMA FAALİYETİ 1. A 5 I 3 15 I 4 19 I 3 19 I 3 2 2 19 I 3 I 2 A 2 I 14 28 I 9 19 I 14 19 9 I 12 I 2 19 ) 3 I 4 ( 3 I 2 I 3 I 4 3 I I 4 19 I 3 I 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 = = - = = + = + = = + = = - + = - + = - = - = + 2. mA 4 , 434 A 4344 , 0 I 25 86 , 10 I 14 , 1 12 I 25 12 14 , 1 I 25 12 057 , 0 20 I 25 mA 57 A 057 , 0 I 35 2 I 2 I 35 50 48 I 115 I 80 50 I 115 I 100 48 I 80 I 100 10 ) 5 ( I 23 ) 5 ( I 20 ) 5 ( 12 4 I 20 4 I 25 4 10 I 23 I 20 12 I 20 I 25 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 = = = - = = + = + = = - - = - = - - = - - = - - = + - = - + - = + = + = + UYGULAMA FAALİYETİ 42 PERFORMANS DEĞERLENDİRME Aşağıdaki i ş lemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır Birinci derece denklemlerde bilinmeyeni bulmak Birinci derece iki bilinmeyenli denklemlerin çözüm kümesini bulmak DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu “evet”, “hayır” cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı “evet” ise diğer öğ renme faaliyetine geçiniz. PERFORMANS DEĞERLENDİRME 43 ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME A) Aşağıdaki sorularda bilinmeyeni bulunuz. 1) -7y + 11 = 18 2) -6y = 18 3) 11y +1 = 45 4) 12y – 7 = 103 5) -11y – 7 = 37 6) 6y = 24 7) 1y – 4 = 1 8) 8 + y = 10 9) -4y + 4 = -20 10) 1 – y = 3 B) Aşağıdaki iki bilinmeyenli denklemleri çözünüz. ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME 44 ÖĞRENME FAALİYETİ - 3 Oran ve orantı konusunu bilecek, oran ve orantı işlemlerini hatasız yapabileceksiniz. Oran ve orantı konusunu araştırınız ve bu konu hakkındaki bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz sonuçları bir rapor halinde sınıfınızda sununuz. 3. ORAN-ORANTI 3.1. Oran-Orantının Tanımı 3.1.1. Oran Aynı birimden iki çokluğun karşılaştırılmasına oran denir. b a biçiminde gösterilir. a ve b reel sayılarından en az biri sıfırdan farklı olmak şartıyla b a ye a nın b ye oranı denir. 3.1.2. Orantı İki oran arasındaki eşitlik ifadesine orantı denir. d c b a = Burada a ile d’ ye dışlar, b ile c’ ye ise içler denir. 35 15 7 3 = İçler ve dışlar çarpımı birbirine eşittir. 3.2. Orantının Özellikleri d c b a = olsun. Bu durumda 1- ad = bc dir. 2- d b c a = dir. ÖĞRENME FAALİYETİ-3 AMAÇ ARAŞTIRMA 45 3- a c b d = dır. 4- c d a b = dir. 5- k d n b m c n a m k d c b a = + + = = dır. 6- 2 2 2 2 2 k d c b a k d c b a = = = = dir. 3.3. Orantı Çeşitleri 3.3.1. Doğru Orantı İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa ya da biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa bu iki çokluk doğru orantılıdır denir. Kısaca orantılıdır denir k bir sabit ve x ile y aralarında doğru orantılı olsun. x y k = e doğru orantı sabiti, y=kx ’ e doğru orantı denklemi denir Şekil 3.1: Doğru orantı 3.3.2. Ters Orantı İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa yada biri azalırken diğeri de aynı oranda artıyorsa bu iki çokluk ters orantılıdır denir. k bir sabit ve x ile y aralarında ters orantılı olsun. k = x.y ye ters orantı sabiti, 46 x k y = e ters orantı denklemi denir Şekil 3.2: Ters orantı 3.3.3. Bileşik Orantı k Bileşik orantı sabiti olmak üzere y, x ile doğru ve z ile ters orantılı ise, z kx y = dir 3.4. Oran-Orantı Çözümleri Bir haritada 1 cm’nin 10 km’ye karşılık gelmektedir. Bu durumda harita km 10 cm 1 oranına sahiptir. 3,5 cm nin karşılığını bulabilmek için şu orantıyı kurabiliriz. km 10 cm 1 x cm 5 , 3 = km 35 10 5 , 3 x = = Bir saat 60 dakika olduğuna göre 15 saat kaç dakikadır? x saat 15 dakika 60 saat 1 = dakika 900 60 15 x = = Kapasiteleri eşit olan 11 işçi bir işi 12 günde yapabiliyor. Buna göre, aynı işi 6 işçi kaç günde yapar. 11 işçinin 12 günde yaptığı işi 6 işçi daha fazla günde yapar. Yani işçi sayısı ile süre arasında ters orantı vardır. 11.12 = 6.x x = 22 gündür 6 işçi 4 m 2 halıyı 12 günde dokuyor. Buna göre, 9 işçi 3 m 2 halıyı kaç günde dokur. x 6 12 6 3 4 = 4.9.x = 3.6.12 x = 6 gün 47 UYGULAMA FAALİYETİ İşlem Basamakları Öneriler Oran ve orantının özelliklerini kullanın. Oran ve orantının özelliklerini tablo haline getiriniz.. Doğru ve ters orantıyı kurun. İki çokluktan biri artarken diğerinin artmasına veya azalmasına dikkat ediniz. Wheatstone köprüsü olarak bilinen elektrik devresi 4 R 3 R 2 R 1 R = ile ilişkilidir. Eğer R 1 = 6?, R 3 = 62,5?, R 4 = 15? ise R 2 değeri nedir? Çözüm: 15 5 , 62 R 6 2 = 5 , 62 15 6 R 2 = R 2 = 1,44? UYGULAMA FAALİYETİ 48 PERFORMANS DEĞERLENDİRME Aşağıdaki i ş lemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır Oran ve orantının özelliklerini bilmek Doğru ve ters orantıyı kurabilmek DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu “evet”, “hayır” cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı “evet” ise diğer öğ renme faaliyetine geçiniz. PERFORMANS DEĞERLENDİRME 49 ÖĞRENME FAALİYETİ-4 İkinci derece denklemler konusu ile ilgili matematik i ş lemlerini hatasız yapabileceksiniz. İkinci derece denklemler konusunu araştırınız ve bu konu hakkındaki bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz sonuçları bir rapor halinde sınıfını zda sununuz. 4. İKİNCİ DERECE DENKLEMLER 4.1. İkinci Derece Denklemler ile İlgili Temel Kavramlar ax 2 +bx+c=0, a?0, R c , b , a ¸ Çözüm yolları : 4.1.1. Çarpanlara Ayırma a=1 için b=m+n c=m.n ise; ax 2 +bx+c=(x+m).(x+n)=0 x 1 =-m, x 2 =-n Örnek : x 2 +3x+2 ifadesini çarpanlara ayırınız. (x+2)(x+1) a?1 için a=s.t, b=s.n+t.m ve c=m.n ise; ax 2 +bx+c=(s.x+m).(t.x+n)=0 s m x 1 - = , t n x 2 - = Örnek : 5x 2 +13x-6 (5x-2)(x+3) ÖĞRENME FAALİYETİ-4 AMAÇ ARAŞTIRMA 50 4.1.2. Diskriminant Bulma ax 2 +bx+c ifadesinde diskriminant, ac 4 b 2 - = D dir. a 2 b x , a 2 b x 0 2 1 D + - = D - - = > D a 2 b x x 0 2 1 - = = = D Æ D 0 Reel kökler yoktur. Örnek : x 2 +3x+2 1 8 9 2 . 1 . 4 3 2 = - = - = D 1 2 2 2 1 3 2 1 3 1 . 2 1 3 x 2 2 4 2 1 3 2 1 3 1 . 2 1 3 x 0 2 1 - = - = + - = + - = + - = - = - = - - = - - = - - = > D 4.2. Denklem Kökleri İle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar ax 2 +bx+c=0 denkleminin kökleri x 1 ile x 2 olsun, a b x x 2 1 - = + a c x x 2 1 = c b x 1 x 1 2 1 - = + a x x x x 1 2 2 1 D = - = - Örnek : 3 3 1 3 ) 1 ( 2 - = - - = - + - 2 2 1 2 ) 1 ( 2 = = - - 51 2 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 1 2 1 - = - - = - + - - = - + - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 ) 1 ( 2 ) 1 ( 2 = = = - = - = + - = + - = - - - = - - - 4.3. Kökleri Verilen İkinci Derece Denklemin Yazılması a?0 olmak üzere kökleri x 1 ile x 2 olan ikinci derece denklem: a(x-x 1 ) (x-x 1 )=0 ve a=1 alınırsa; x 2 -(x 1 +x 2 ).x+x 1 .x 2 =0 4.4. Çarpanlara Ayırma 4.4.1. İki Kare Farkı x 2 -y 2 =(x-y).(x+y) 4.4.2. İki Küp Farkı İki Küp Toplamı x 3 -y 3 =(x-y).(x 2 +xy+y 2 ) x 3 +y 3 =(x+y).(x 2 -xy+y 2 ) 4.4.3. Üç Terimli İfadeler 4.4.3.1. ax 2 +bx+c’nin Çarpanlarına Ayrılması a=1 iken b=x 1 +x 2 ve c=x 1 .x 2 ise x 2 +bx+c = x 2 + (x 1 +x 2 )x + x 1 .x 2 x 2 +bx+c = (x+x 1 ) . (x + x 2 ) dir. Örnek: x 2 +7x+10 = (x+2).(x+5) a?1 iken a=mn, b=mp+nq ve c=pq ise ax 2 +bx+c = mnx 2 + (mp+nq)x + pq mx q nx p mpx+nqx=(mp+nq)x 52 ax 2 +bx+c = (mx+q).(nx+p) dir. Örnek: 5x 2 +11x+2 = (5x+1).(x+2) • Farklı Bir Çözüm Yolu 2x 2 +x-6 Bu tür denklemlerde birinci ifadeyi tablonun sol üst köşesine, üçüncü ifadeyi ise sağ alt köşesine yazınız. 2x 2 -6 Hem a.c=2.(-6)=-12’yi hem de b=1’i bulmak için -3 ile 4 rakamlarını kullanınız. (- 3.4=-12=a.c) ve (-3+4=1=b) sağlayacaktır. Boş kalan kutulara -3x ile 4x ifadelerini yerleştiriniz 2x 2 -3x 4x -6 Daha sonra satır ve sütunlardaki ortak ifadeleri yazanız. 2x 2x -3 2x 2 -3x 2x 2 -3x 4x -6 4x -6 2x -3 2x -3 x 2x 2 -3x x 2x 2 -3x 4x -6 2 4x -6 Ortak ifadelerin iş aretlerine dikkat ederek, satırları bir paranteze ve sütunları bir paranteze yazıp çarpanları elde ediniz. 2x 2 +x-6=(2x-3)(x+2) 53 Örnek : 5x 2 +11x+2 5x 1 5x 2 5x 2 1x x 5x 2 1x 2 10x 2 2 10x 2 5x 2 +11x+2 = (5x+1).(x+2) 4.4.3.2. Tam Kare İfadeler (x+y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x-y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 (x+y+z) 2 = x 2 + y 2 +z 2 + 2(xy+yz+xz) (x+y-z) 2 = x 2 + y 2 +z 2 + 2(xy-yz-xz) n tam sayı olmak üzere, (x-y) 2n = (y-x) 2n 4.4.4. Özdeşlikler x 2 +y 2 = (x+y) 2 – 2xy x 2 +y 2 = (x-y) 2 + 2xy (x+y) 2 = (x-y) 2 + 4xy (x-y) 2 = (x+y) 2 - 4xy x 3 +y 3 = (x+y) 3 – 3xy(x+y) x 3 -y 3 = (x-y) 3 + 3xy(x-y) 54 UYGULAMA FAALİYETİ İşlem Basamakları Öneriler İkinci derece denklemi çarpanlarına ayır b=m+n ve c=m.n özelliklerine dikkat ediniz. İkinci derece denklemin köklerini hesapla Her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyiniz. Paralel bağlı iki direncin toplamını bulmak için verilen denklemi çözerek R değerini bulunuz. œ ß ø Œ º Ø = + + 5 1 10 R 20 R 20 ÇÖZÜM: 0 1000 R 190 R 0 1000 R 200 R 10 R R 10 R 1000 R 200 R 10 R ) 200 R 40 ( 5 5 1 R 10 R 200 R 40 5 1 R 10 R R 20 200 R 20 5 1 ) 10 R ( R R 20 ) 10 R ( 20 5 1 10 R 20 R 20 2 2 2 2 2 2 = - - = - - + + = + + = + = + + = + + + = + + + = + + UYGULAMA FAALİYETİ 55 W - = W = - = = - = + = – = – = + – = - - - – - - = - – - = 125 , 5 R 125 , 195 R 2 249 , 10 R 2 249 , 390 R 2 249 , 200 190 R 2 249 , 200 190 R 2 249 , 200 190 2 40100 190 2 4000 36100 190 R 1 2 ) 1000 ( 1 4 ) 190 ( ) 190 ( R a 2 ac 4 b b R 2 1 2 1 2 1 2 , 1 2 2 , 1 2 2 , 1 56 PERFORMANS DEĞERLENDİRME Aşağıdaki i ş lemlerde kendi çalışmalarınızı kontrol ediniz. Hedefe ilişkin tüm davranışları kazandığınız takdirde başarılı sayılırsınız. DEĞERLENDİRME ÖLÇÜTLERİ Evet Hayır İkinci derece denklemin köklerini hesaplamak İkinci derece denklemi çarpanlarına ayırmak DEĞERLENDİRME Performans değerlendirme sonucu “evet”, “hayır” cevaplarınızı değerlendiriniz. Eksiklerinizi faaliyete dönerek tekrarlayınız. Tamamı “evet” ise diğer öğ renme faaliyetine geçiniz. PERFORMANS DEĞERLENDİRME 57 ÖĞRENME FAALİYETİ - 5 Trigonometrik fonksiyonların matematiksel işlemlerini hatasız yapabileceksiniz. Trigonometri konusunu araştırınız ve bu konu hakkındaki bilgilerinizi pekiştiriniz. Elde ettiğiniz sonuçları bir rapor halinde sınıfınızda sununuz. 5. TRİGONOMETRİ 5.1. Birim Çember Şekil 5.1: Trigonometri çemberi Merkezi koordinat eksenlerinin başlangıç noktası ve yarıçapı bir birim uzunlukta olan çembere birim çember ya da trigonometri çemberi denir. Birim çemberde yarıçap r=1 olduğundan çevresi 2?’ dir Çemberin çevresi 360 derece = 2? radyan = 400 Grad’ dır Bu açı ölçü birimleri arasında : ÖĞRENME FAALİYETİ - 5 AMAÇ ARAŞTIRMA 58 200 G R 180 D = p = bağıntısı vardır. 90 0 = 2 p radyan = 100 graddır. 180 0 = ? radyan = 200 graddır. 270 0 = 2 3p radyan = 300 graddır. 360 0 = 2? radyan = 400 graddır. Şekil 5.2: Trigonometrik çemberde dönüş yönleri Birim çemberde saat ibresinin dönme yönünün ters yönü (+), aynı yönü ise (-) işaretle gösterilir. 5.2. Esas Ölçü 0 0