Genel Elektirik Potansiyeli BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 38 III .3. ELEKTRİK POTANSİYELİ III.3.0l. ELEKTRİK POTANS İYELİ, POTANS İYEL FARKI VE E ŞPOTANS İYELLİ YÜZEYLER . Potansiyel enerji kavramı, yerçekimi ve yayın esneklik kuvveti gibi korunumlu kuvvetler incelenirken ele alınmı ştı. Çe şitli mekanik problemlerinin çözümünde, kuvveti ele almak yerine enerjinin korunumu yasasını kullanmak daha elveri şli olmaktadır. Elektriksel Coulomb kuvveti de korunumlu oldu ğundan elektrostatik olaylarda elektriksel potansiyel enerji kavramı vasıtasıyla kolaylıkla incelenebilmektedir. Bu tür konunun ele alınması sonunda , skaler bir büyüklük olan elektriksel potansiyel tanımlanır. Potansiyel uzaysal konumun skaler bir fonksiyonu olup, elektrostatik olayların elektriksel alandan daha basit olarak açıklanmasında yararlı olur.Bir elektrik devresinin iki noktası arasında ölçülen voltaj bu noktalar arasındaki potansiyel farkını ifade eder. BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 39 Genel olarak elektrik alanı yalnızca vektörel bir büyüklük olan E elektrik alan vektörü ile de ğil aynı zamanda skaler bir büyüklük olan V elektrik potansiyeli ilede nitelenir. Bu iki büyüklük arasındada birbiriyle yakın bir ili şki vardır. Bir elektrik alanda, A ve B gibi iki nokta arasındaki elektrik potansiyel farkını bulmak amacıyla pozitif bir sınama q yükü A noktasından B noktasına hareket ettirilir ve bu hareketi sa ğlayan dı ş kuvvet tarafından yapılan i ş büyüklü ğü tayin edilir. Böylece iki nokta arasındaki elektrik potansiyel farkı (voltaj) VV W q AB AB -= ( 0 1 ) ba ğıntısıyla verilir. W A B i şi pozitif , negatif veya sıfır olabilir.Bu durumlardada B deki elektrik potansiyeli A noktasındaki potansiyelden daha yüksek, daha alçak ve ona e şit olur. S I birim sisteminde elektrik potansiyel farkının birimi , joulle / C oulomb = J / C = Volt dur. Yani 1V luk potansiyel farkı boyunca 1C luk yükü götürmek için yapılması gereken i ş 1J dür. Çekirdek Fizi ği ve Atom Fizi ğinde enerji birimi olarak genelde elektron volt kullanılır. Bu da 1V büyüklü ğünde potansiyel farkı boyunca hareket eden bir elektronun (veya protonun) kazandı ğı enerji olarak tanımlanır. 1V=1J/C ve bir temel yük 1,6.10 -19 C oldu ğundan elektron voltun (eV) joule cinsinden de ğeri, 1eV=1,6.10 -19 C.1V=1,6.10 -19 J dur. Genelde A noktası , elektrik alanı olu şturan bütün yüklerden çok uzakta ( sonsuzda ) seçilir ve bu uzaklıktaki V A elektrik potansiyeli keyfi olarak sıfır kabul edilir. Uygulamalarda, üzerinde anla şılmı ş bir noktanın potansiyeli referans olarak seçilir . Genelde teknolojik uygulamalarda yerküre refarans noktası olarak seçilir ve buranın potansiyeli sıfır kabul edilir. ( 0 l ) ba ğıntısında A noktası sonsuzda seçilirse V A = 0 yapılırsa ve indisler kullanılmassa bir noktanın elektrik potansiyeli V W q = ( 0 2 ) olur. BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 40 Potansiyel birim yük ba şına yapılan i ş oldu ğundan skaler bir büyüklüktür. Burada W i şi,bir dı ş etkenin q deneme yükünü sonsuzdan istenilen bir noktaya getirmesi için gereken i ştir. Son ba ğıntıdan anla şılaca ğı gibi , elektrik alanındaki bir noktanın potansiyeli, bir birim pozitif yükü sonsuzdan bu noktaya getirmek için yapılan i şe e şittir. Hep aynı potansiyele sahip olan noktaların geometrik yerine e şpotansiyelli yüzey adı verilmi ştir. Bu kavram uygulamaların kolayla ştırılması için keyfi olarak geli ştirilmi ştir.Bir e şpotansiyelli yüzeyin her noktasında elektrik alan şiddetinin do ğrultusu, daha açıkça kuvvet çizgileri, bu yüzeye diktir. Bir sınama yükünü e şpotansiyelli yüzey üzerindeki iki nokta arasında hareket ettirmek için bir i ş gerekmemektedir, çünki V A =V B oldu ğundan W AB = 0 olur. Şekil 0 l , a , b ve c de sırasıyla bir noktasal artı yükün, paralel yüklü levhaların düzgün alanının ve bir artı bir eksi nokta yük grubunun e şpotansiyelli yüzeyleri gösterilmi ştir. Burada ok i şaretli çizgiler elektrik alan kuvvet çizgilerini oksuz çizgilerde e şpotansiyelli yüzeyleri göstermektedir. _ _ _ _ _ _ +Q + _ Şekil 0 l . E ş potansiyelli yüzeyler . III.3.02. ELEKTR İK ALANDA YAPILAN İŞ , B İR NOKTA YÜKÜN POTANS İYEL İ VE POTANS İYEL GRAD İEND İ Elektrik alanın var oldu ğu her yerdeki bir q yüküne F = q E de ğerinde bir kuvvet etkir. Yük bu kuvvetin etkisinde bir B noktasından bir A noktasına hareket ederse, elektrik alan tarafından bir i ş yapılır. Hareket nedeniyle yükün elektrik potansiyel enerjisinde bir de ği şme olur. Veya q ya etki eden BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 41 elektrik kuvvetlerini yenmek ve hareketi sa ğlamak amacıyla bir dı ş etki ile elektrik kuvvetlerine kar şı i ş yapılır. Bu hareketin ivmesiz olabilmesi yani yükü dengede tutarak hareket ettirebilmek için gerekli dı ş kuvvetin do ğrultusu elektriksel kuvvetle aynı yönü ters ve şiddetide F = -qE olmalıdır. Deneme yükünün böyle bir kuvvet etkisinde elektrik alan içinde bir A nokrasından bir B noktasına gitmesinde yapılan i ş, alınan yola ba ğlı de ğildir. Bunun do ğrulu ğunu a şa ğıdaki gibi gösterebiliriz: Deneme yüküne dr yer de ği ştirmesi için gerekli i ş,( Şekil 02 ) deki yörüngede birim yay uzunlu ğunu ds olarak alırsak d W = F ds = Fds Cos ? dır. Burada ? açısı F ile ds arasındaki açıdır, F = - q E oldu ğundan dW = - q E ds cos ? ( 0 3 ) yazılır. A noktasından B noktasına giden belirli bir yerde ği ştirme için gerekli i ş ifadesi (04) W ds q ds q Edr AB r r r r r r A B A B A B = ? =- ? =- ? F. E. cos? olacaktır. ? ? ? A B r r r dr F +q +Q dS qE Şekil 0 2 . Elektrik alanda yapılan i ş . Wqdv e y aVV W q d AB r A r B BA AB r A r B =- - = =- ?? E s E s .. (05) BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 42 05 ba ğıntısıntaki integrale çizgi integrali adı verilir. Bu integralin de ğeri, elektrik alandaki sınama yükünün yörüngesine ba ğlı de ğildir. Buna göre elektrik alanda yapılan i ş yola ba ğlı de ğildir. (05) ifadesindeki V B - V A potansiyel farkı, kinetik enerjide bir de ği şme olmaksızın bir deneme yükünü bir dı ş etken tarafından A dan B ye götürmek için bir yük ba şına yapılması gerken i şe e şittir. A noktası sonsuz uzakta alınırsa ( r A = ? ) ve sonsuzdaki V A potasiyeli V A = 0 olarak seçilirse, son ba ğıntıya göre B noktasındaki V potansiyeli V d veya E dV ds r B =- =- ? ? E s . (06) (06) ba ğıntısı kısaca matematiksel bir ifade olarak E = - grad V ( 0 6 . a ) şeklinde de yazılır. Bu son ifadeye potansiyel gradienti adı verilir. Burdaki (-) i şareti E ‘nin yönünün azalan (dü şen) V’ler yönünde oldu ğunu gösterir. (06.a) ba ğıntısında ds do ğrultusu olarak; x, y ve z koordinat eksenleri seçilirse herhangi bir noktadaki E’nin bu üç eksen üzerindeki bile şenleri E V x E V y E V z xy =- =- =- ? ? ? ? ? ? ,, 2 (06.b) olur. Buna göre; uzayın bir noktasındaki V bilinirse yani V (x, y, z) fonksiyonu belli olursa E bile şenleri kısmi türev alınarak bulunur. olur. Bu iki ba ğıntı yardımı ile, bir elektrik alanın çe şitli noktalarında E alanı biliniyorsa, iki nokta arasındaki potansiyel farkı veya bir noktadaki potansiyeli hesaplayabiliriz. Bir + Q nokta yükünün elektrik alanında, ( Şekil 02 ) bir deneme yükünü A noktasından B noktasına götürmek için gerekli i ş, dr = ds Cos ? , E = k . Q / r 2 olaca ğından W Qq dr r Qq rr AB o r A r B oBA =- = - ? ? ? ? ? ? ? 44 11 ?? ?? veya W Qq r Qq r UU AB oB oA PB PA =-=- 1 4 1 4 ?? ?? (07) BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 43 dır. Bu i şin de ğeri pozitif i şaretli yükler için pozitiftir. E pA ve E pB , sınama yükünün A ve B noktalarındaki elektrik potansiyel enerji de ğerleridir. A ile B noktaları arasındaki potansiyel farkı ise VV W q Q rr U q U q BA AB oBA PB PA -= = - ? ? ? ? ? ? =- 4 11 ?? (08) olacaktır. Bu ba ğıntıya göre, iki nokta arasındaki potansiyel farkı, birim pozitif sınama yükünü alçak potansiyelli noktadan yüksek potansiyelli bir noktaya getirmek için yapılan i şe e şitir. A noktası sonsuz uzakta alınırsa, r A = ? için V A = 0 olarak seçilirse, bir nokta yükün kendisinden r uzaklıkta bir B noktasındaki potansiyeli ( 0 8 ) ba ğıntısına göre, alt indislerde kaldırılarak V Q r k Q r o == 1 4?? . ( 0 9 ) ba ğıntısıyla verilir. Ba ğıntı ( 0 7 ) ve ( 0 8 ) den izlenece ği gibi, yapılan i ş ve potansiyel farkı sadece A ve B noktalarının Q yükünden olan ilk ve son uzaklıklarına ba ğlıdır. Buna göre i ş ve potansiyel farkı izlenen yörüngeden ba ğımsızdır yani yola ba ğlı de ğildir. Aynı özellik kütlesel çekim kuvvetindede bulunmaktadır, daha açık olarak kütlesel çekim alanında serbest olarak dü şen bir cismim potansiyel enerjiside sadece cismin ilk ve son yükseklik konumlarına ba ğlıdır. III.3.03. ELEKTR İK POTANS İYEL ENERJ İ Bir Q yükünün elektrik alanında, sınama yükü üzerine yapılan i ş, onun potansiyel enerjisinde artma olu şturur. Sınama yükü bu arada kinetik enerji kazanırsa, enerjinin korunumu ilkesine göre yükün toplam enerjisini bulabiliriz. Elektrik alanda v hızı ile hareket eden, m kütleli bir q yükünün toplam enerjisi BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 44 U = U K + U P = 1 2 m v 2 + q V (l0) dır. Bu q yükünün ilk bulundu ğu noktadaki poansiyeli V l ve bundan sonraki bulunaca ğı noktadaki potansiyeli V 2 ise son ba ğıntı 1 2 1 2 1 2 12 2 2 mv qV mv qV + + = ( 1 1 ) olur. Kinetik enerji teoremine göre '' kinetik enerjinin de ği şimi aynı sistem için yapılan i şe e şittir '' hareketteki q parçacı ğına etkiyen kuvvet tarafından yapılan i ş WUm vm v == - ? 1 2 1 2 1 2 2 2 olaca ğından () ?? Um vm vq VVq =-=-= 1 2 1 2 1 2 2 2 12 .V . (12) ? ? UqVq == - · .. E d ( 1 2 . a ) (12.a) ba ğıntısındaki d deneme yükünün hareket etti ği A ve B noktası arasındaki yerde ği ştirme vektörüdür. Bu sonuçtan görüldü ğü gibi q pozitifse ?U negatif olacaktır. Buna göre bir pozitif yük elektrik alan do ğrultusunda hareket ederse elektriksel potansiyel enerji kaybeder. Deneme yükü negatifse ?U pozitif olur ve negatif yük elektrik alan do ğrultusunda hareket etti ği zaman elektriksel potansiyel enerji kazanır. Bir pozitif yük durgun halde bir elektrik alan içine bırakılırsa alan yönünde; negatif yük de elektrik alana durgun halde bırakılırsa alana ters yönde ivmelenir. E ğer parçacı ğın bulundu ğu ikinci konumdaki potansiyeli V 2 = 0 seçer ve ilk konumdaki hızınıV 1 = 0 kabul edersek ( l 2 ) ba ğıntısı 1 2 2 mv qV = ( l 3 ) şeklini alacaktır. Bu ba ğıntı V potansiyel farkında hızlandırılan yüklü parçacı ğın kazanaca ğı kinetik enerji de ğerini verir. Bu özellikten yararlanılarak teknikte kullanılan elektrostatik hızlandırıcılar, televizyonlar v.b ( ve bunun gibi ) bir çok alet ve cihazlar yapılmaktadır. BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 45 Uzayda bulunan Q l , Q 2 , Q 3 ,. gibi noktasal yükler grubunun kendilerinden r l , r 2 , r 3 uzaklıktaki bir A noktasındaki sınama q yükü üzerinde olu şturacakları elektrostatik potansiyel enerji Uq Q r Q r Q r PA o =+ + + ? ? ? ? ? ? 1 4 1 1 2 2 3 3 ?? . ... Uq Q r PA o = ? 1 4?? ( l 4 ) olur. Daha açık olarak, A noktasındaki toplam elektrik potansiyel enerji, her bir yükün o noktada olu şturacakları potansiyel enerjilerinin cebirsel toplamına e şit olur. III.3.04. NOKTASAL YÜKLER İN POTANS İYEL ENERJ İS İ Noktasal yükler toplulu ğunun ele alınan herhangi bir A noktasında olu şturaca ğı potansiyel, sanki topluluk içinde bir yük varmı şta di ğerleri yokmu ş gibi ve her yüke bu kural uygulanarak ayrı ayrı bulunur ve sonra onların cebirsel toplamları yapılır. Bunun nedeni potansiyel farkının skaler bir büyüklük olmasıdır . Bu özellik ba ğıntı olarak VV Q r n n o n n n == ?? 1 4?? ( l 5 ) dır. Elektrik alanı yerine potansiyelin kullanılmasının kolaylı ğı ve üstünlügü elektrik alanın vektörel büyüklük ,potansiyelin skaler bir büyüklük olmasıdır. Elektrik yüklerinin da ğılımı sürekli olursa (l5) ba ğıntısındaki toplam yerine bu kez kullanılır. Vd V dQ r o == ? 1 4?? ? ( l 6 ) integrali alınır . BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 46 İki yükün potansiyel enerjisi UqVk QQ r == 21 12 12 ( 1 7 ) olarak ifade edilir ( Şekil 03.a) Q 3 r 13 r 23 r 12 Q 2 Q 2 Q 1 r 12 Q 1 ( a ) ( b ) Şekil 03.a.b . Nokta yüklerin potansiyel enerjisi . Üç noktasal yükün ( Şekil 03.b) toplam potansiyel enerjisi Uk QQ r QQ r QQ r =++ ? ? ? ? ? ? . 12 12 13 13 23 23 ( 1 8 ) ba ğıntısıyla hesaplanır. III.3.05. YÜKLÜ PARELEL LEVHALAR ARASINDAK İ POTANS İYEL Şekil 0 3 deki gibi , zıt yüklü iki paralel levha arasındaki E eletrik alanı simetrik yapı nedeniyle düzgün olacaktır. Elektrik alanı ayrıca plakalara diktir. Levhalar arasındaki dik uzaklık d ve iç yüzeylerin üzeriindek i A ve B noktalarındaki potansiyeller V A ve V B ise ( l 9 ) () VV VV E d s AB BA d -= --= ? .cos? 0 BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 47 olur. Levhalar arasında E de ğeri sabit ve Cos ? = l olaca ğından V V E d veya E VV d AB A -= = B - . (20) elde edilir. F +q E d AB VV AB + + + + + + _ _ _ _ _ _ Şekil 0 . Yüklü paralel levhalar arasındaki potansiyel . III.3.06.YÜKLÜ İLETKEN KÜREN İN POTANS İYEL İ VE İLETKEN İÇ İNDEK İ B İR OYUK . CORONA YÜK YÜK BO ŞALMASI. İletken, net bir yük ta şıdığında bu yük daima iletkenin dış yüzeyinde toplanmaktadır ve yüzeydeki yük yo ğunlu ğu düzgün de ğildir. Ayrıca iletkenin yüzeyinin çok yakınında elektrik alanı yüzeye diktir ve elektrik alanı iletken içinde sıfırdır. Elektrik alanın yüzeye paralel bir bile şeni bulunmamaktadır, e ğer paralel bir bile şeni bulunmu ş olsaydı yükler hareket edecekler ve ortaya akım çıkacaktı . BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 48 Denge durumundaki yüklü bir iletken yüzeyindeki her bir noktanın potansiyeli aynıdır. Bunu durumu Şekil 05’den yararlanarak görebiliriz. Şekil 05. Yüklü bir iletken yüzeyinde her bir noktanın potansiyeli aynıdır. Şekil 05’deki A ve B noktalarını birle ştiren yol boyunca E dima ds yer de ğiştirmesine diktir. Böylece E . ds = 0 olacaktır. Ba ğıntı (06)’dan V B - V A = - E . ds = 0 A B ? bu iletken yüzey için A ve B noktaları arasındaki potansiyel farkı sıfır olacaktır. Buna göre; dengedeki herhangi yüklü bir iletkenin yüzeyi e şpotansiyel yüzeydir. İletken içindeki alan sıfır oldu ğundan iletken içerisinde her yerde potansiyel sabittir ve bu de ğer iletkenin yüzeyindeki potansiyel de ğerine e şittir. Şimdi Şekil-06’daki gibi herhangi bir iletken içindeki bir oyu ğu ele alalım , bu oyu ğun içindeki alan sıfır dır. A B Şekil 06.Bir oyuk içindeki elektrik alan. BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 49 Bilindi ği gibi iletkenin üzerindeki her noktada potansiyel aynı de ğerdedir. Buna göre Şekil 06’daki A ve B noktalarındaki potansiyel aynı oldu ğundan oyu ğun içindeki elektrik alan E ise, V B - V A = - E . ds A B ? olacaktır. E sıfırdan farklı ise E . ds’ yi herzaman pozitif yapacak bir ds yolu bulunabilir. Ve o zaman da integral pozitif olacaktır. Oysa V B - V A = 0 oldu ğundan integral de sıfır olacaktır. Burada ancak E = 0 oldu ğunda matemaiksel i şlem anlam kazanmaktadır. Bu na göre oyuk içinde hiçbir yük olmadı ğı zaman, iletken duvarla çevrili bir oyukta elektrik alan olmaz. Bu sonucun uygulama alanları vardır örnek olarak, bir elektronik devre veya bir laboraduvarı iletken bir duvarla çevirerek perdeleme i şlemi yapılabilir. Duyarlı elektriksel ölçümlerin yapılması gerekti ğinde bu perdeleme i şlemi yapılmaktadır. Yüklü küresel bir iletkenin dı şındaki elektrik alan şiddeti, yükün hepsi kürenin merkezinde olanla aynıdır. Dolayısıyla kürenin dışında bulunan noktalardaki potansiyel,bir nokta yükün potansiyel ba ğıntısı gibi V Q r o = 1 4?? . ( 2 1 ) olacaktır.. Burada r kürenin yarıçapına e şit veya daha büyük olabilir. Kürenin içerisindeki noktalarda elektrik alan şiddeti sıfırdır dolayısıyla bütün iç noktalarda potansiyel de ğeri aynıdır. Kürenin yarıçapı a ise yüzeyindeki potansiyel V Q a o = 1 4?? . ( 2 2 ) olacaktır. ( 20 ) ba ğıntısı kürenin dı ş noktalarındaki potansiyeli, ( 21 ) ba ğıntısıda kürenin içersindeki ve üzerindeki noktalardaki potansiyeli verir. Şekil 07 'de artı yüklü , a yarıçaplı iletken küreden olu şan elektrik alan ve potansiyel grafik olarak gösterilmi ştir Potansiyel de ğeri kürenin iç ve üstünde sabit de ğerdedir ve kürenin hemen dışında r nin fonksiyonu olarak l / r gibi azalır. Elektrik alan de ğeri kürenin içinde sıfır de ğerdedir ,kürenin yüzeyinde maksimum de ğere ula şır ve yüzeyin hemen dı şında 1 2 r gibi azalır. BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 50 + ++ ++ 1 Q 4?? a o . 1 Q 4?? r o . a r + ++ ++ 1 Q 4pe a o . 1 Q 4?? r o . a r 22 E = 0 1 4 2 ?? o Q a Şekil 07. İletken bir kürenin elektrik alanı ve potansiyeli . Hava içinde bulunan bir iletken tarafından tutulabilen maksimum yük , yakla şık 3.l0 6 Volt/m de ğerinde bir elektrik alan şiddetinin havayı iletken hale getirmesi de ğeri ile sınırlanmı ştır. Genel olarak, E m elktrik alan şiddetinin üst sınırını gösterirse, hava içinde bulunan a yarıçaplı bir küresel iletken tarafından tutulabilecek maksimum yük Q m = 4? ? o a 2 E m olacaktır. Örnek olarak l cm yarıçaplı bir küresel iletkenin sahip olabilece ği maksimum potansiyel V m = a E m ba ğıntısından yararlanılarak, V m = 0,0l.3.l0 6 = 30 000 Volt olarak hesaplanır. Buna göre hiç bir yük miktarı, hava iç.inde bulunan böyle bir kürenin potansiyelini 30 000 volt'tan daha yukarı çıkaramaz. E ğer daha fazla yük miktarı küreye yüklenmeye kalkılırsa bu fazlalık kürenin yakın civarındaki havayı iyonla ştırarak havaya bo şalır . Van de Graff jenaratörü gibi yüksek potansiyel elde etmeye yarayan makinalarda büyük yarıçaplı küresel kutupların kullanılması yukarda belirtilen nedenlerden dolyayı gereklidir. E ğer böyle bir kürenin yarıçapı a= 2 m olursa bu küre 6 milyon Volt'luk potansiyel biriktirerek bunu kullanım için saklar. Yüklü bir iletkenin sivri uçlarındaki yük yo ğunlu ğunun daha fazla olması nedeniyle , sivri uçları yakınında elektrik alan ve potansiyel yüksek de ğerlere ula şır . Bu yüklü iletkenin di ğer noktalarındaysa elektrik alan ve potansiyel de ğerleri zayıftır.. Daha açık olarak , sivri uç ele alınan bir yüzeyin e ğrilik yarıçapı çok küçük olan bir parçasıdır. Maksimum potansiyel yarıçapla ters BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 51 orantılı oldu ğuna göre, hava içinda sivri uçlara uygulanan küçük potansiyelerde bile uçun hemen yanında yeterince yüksek alanlar olu şacaktır. Sivri uçlar yakınında elektrik alan şiddeti yüksek de ğere ula ştığında etrafındaki hava moleküllerini iyonize edecektir. Bunun sonucunda hava iletken hale gelecek ve potansiyel yeterince yüksek bir de ğerinde havaya bir yük bo şalması olacaktır. Sivri uçlar tarafından olu şturulan bu etkiye Corona yük bo şalması denilmektedir. Bu bo şalma hali normal gözle bile izlenen ye şil bir ı şık olu şturmakta ve sivri uçlar cıvarında görünür bir parlama izlenmektedir . Corona bo şalması iletken etrafındaki havanın normal sıcaklık ve basınç ko şullarında, elektrik alan de ğerininin 3. 10 6 V / m veya daha büyük olması durumunda meydana gelir. III.3. 07. DÜZGÜN YÜKLENM İŞ İZOLE ED İLMİŞ B İR KÜREN İN POTANS İYEL İ R yarıçaplı ve düzgün Q yüküyle yüklenmi ş izole edilmi ş bir küre ele alınsın Şekil 08.a ; a) Kürenin dı şındaki bir noktada r>R de elektriksel potansiyeli hesaplayalım. Sonsuzda potansiyelin sıfır oldu ğunu kabul edelim V B Vk Q R r R D =- ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2 2 R C D V O Vk Q r B = Q Vk Q R o = 3 2 P r ( a ) ( b ) R Şekil 08.a.b Düzgün yüklenmi ş izole edilmi ş bir kürenin potansiyeli P noktasındaki elektriksel alanın büyüklü ğü, Ek Q r r = 2 ( r>R için) dir. Q yükü pozitif oldu ğundan elektrik alan ı şınsal olarak dışa do ğrudur. E nin de ğeri E.ds=E r .dr oldu ğundan BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 52 V E dr kQ dr r Br rr =- =- ? ? ?? 2 Vk Q r B = ( r>R için) bulunur. b) C noktasında potansiyel de ğeri r=R için Vk Q R C = ( r = R için) şeklindedir. c) Yüklü kürenin içindeki bir noktadaki elektrik alan Ek Q R r r = 3 · ( r < R için) olarak bulunmu ştu. Buradan V D - V C potansiyel farkını VV E d rk Q R rdr k Q R Rr DC r R r R r -= - = - = - ?? 33 22 2 () Vk Q R C = oldu ğundan; Vk Q R r R D =- ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 2 2 elde edilir. Bu yük da ğılımı için V nin r ye göre de ği şimi Şekil 08.b dedir. III.3.08. YÜKÜN İLETKENLER ARASINDAK İ BÖLÜ ŞÜMÜ Yüklü bir iletken, yüksüz bir iletkenle elektriksel olarak birbiriyle temasa geçirilirse, ilk yük ikisi arasında bölü şülür. Yüklü iletkendeki yüklerin birbirlerini itmesi nedeniyle yüksüz iletkene de ğince yüklerin yer de ği ştirmesi do ğaldır. Temasta ne kadar yükün bir iletkenden di ğerine geçece ği tam BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 53 olarak bilinmemekle beraber bu geçi şte, her iki iletkenin tüm noktalarını aynı potansiyele gelecektir. Kulanı şlı olması bakımından 1) Aralarındaki uzaklık yarıçaplarına göre büyük olan ve bir birine bir iletken telle temas eden iki küreyi 2)Yüklü bir iletkenin,ikinci bir içi bo ş iletkenle iç taraftan temas etmeleri halini inceleyece ğiz ( Şekil 09). Önce l halini ele alalım; l cm yarıcaplı Q A yüklü A küresi ile lO cm yarıçaplı bir B küresinin merkezleri arasındaki uzaklık 50 cm olsun ve bunlar bir tel iletkenle birbirleri ile ba ğlansınlar. Tel yeterince ince oldu ğundan bunun üzerinde yük tutmadı ğı farz edilsin. Küçük kürenin ilk yüküde l0 . l0 -9 C olsun. Küreler ince telle ba ğlanınca, l0 . l0 -9 C luk yük o şekilde da ğılırki, küre ile iletken tel aynı potansiyele gelirler. 50 cm Q Q A B A B Şekil 09. İki yüklü iletkenin iletkenle birle ştirilmesi sonunda yükün bölü şümü B küresindeki yük Q B ile gösterilirse, B küresinin merkezindeki potansiyel V QQ B BA =+ ? ? ? ? ? ? 910 010 050 9 . ,, dir. Di ğer kürenin potansiyelide, aynı şekilde V QQ A AB =+ ? ? ? ? ? ? 910 001 050 9 . ,, dir. Kürelerin her ikiside aynı potansiyelde olaca ğından, ( V A = V B, ) , QQQQ BAA 0 10 0 50 0 01 0 50 ,,,, +=+ B BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 54 dır. Q A + Q B = l0 . l0 -9 C oldu ğuna göre, Q B = 9 , 25 . l0 -9 C Q A = 0 , 75 . l0 -9 C V = 846 Volt olarak bulunur. 2 .durum , l cm yarıçaplı bir küre l0 cm yarıcaplı bir kürenin içine açılmı ş bir delikten girsin ve bunların merkezleri aynı olsun ( Şekil 10). Açılan deli ğin fiziksel olayı etkilemedi ğini varsayalım. Ba şlangıçta büyük kürenin yükü Q B ve küçük kürenin yükü Q A olsun B ve A küresinin potansiyeli V QQ B o BA =+ ? ? ? ? ? ? 1 40 1 00 1 ?? ,, 0 V QQ A o BA =+ ? ? ? ? ? ? 1 40 1 00 0 ?? ,, 1 dir. Buna göre A ile B arsındaki potansiyel farkı V QQQQ AB o BABA =+ - - ? ? ? ? ? ? 1 40 1 00 0 10 1 00 1 0 ?? ,,,, V AB o A = 1 4 90 ?? Q ( 2 l ) olacaktır. BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 55 A Şekil 10. Yüklü bir iletken içinde di ğer bir iletken. Buna göre V AB pozitiftir ve A küresi B den daha yüksek bir potansiyeldedir. Bu durumda küreler birbiriyle temas ettirilirse ( 2l ) ba ğıntısına göre Q A = 0 oluncaya kadar, A dan B ye yük akı şı olacaktır. Bu da bizim beklemedi ğimiz bir sonuçtur, daha açık olarak A küresindeki yükün hepsi, B nin yükü ve potansiyelinin ilk de ğeri ne olursa olsun, B ye geçecektir. Teknolojide ve ara ştırmalarda kullanılmak üzere gerekli çok büyük potansiyel farkları bu özellikten yararlanılarak yapılmı ş olan Van de Graaff jenaratörü denilen bir aletle elde edilir. Şekil 10’dan , büyük küre üzerindeki yük, iç noktalarda bir alan olu şturmadı ğına göre, küçük küreyi büyük kürenin içinde yer de ği ştirmek için her hangi bir i ş gerekli olmayacaktır. Böylece küçük kürenin potansiyeli bütün iç noktalarda aynı olacaktır ve konumu ve olursa olsun üzerinde hiç bir yük kalmayıncaya kadar potansiyeli dı ş iletkeninkinden daha yüksek olacaktır. Ayrıca iletkenlerin şekillerinin küre şeklindede olması gerekli de ğildir. Herhangi bir şekle sahip bir iletkenin içine sokulan diger bir iletkenlede aynı etki gözlenecektir. Küresel şeklin tercih nedeni kullanım kolaylı ğı yönünden olsa gerektir. Şekilleri ne olursa olsun bu tür etkile şmede iletkenlerin ikisi arasında içerden bir temas yapıldı ğında, içteki iletkenin bütün yükü dı ştaki iletkene geçecektir. BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 56 III.3.09. ELEKTROSTATİKLE İLG İLİ UYGULAMALARDAN BAZILARI VAN DE GARAAFF JENARATÖRÜ ELEKTROSTAT İK ÇÖKELT İC İ FOTOKOP İ MAK İNASI Elektrostatik ilkelerine dayalı çeşitli uygulamalar sonucunda çok sayıda faydalı cihaz geliştirilmi ştir. Bu cihazlardan bazıları: yüklü temel parçacıkları hızlandıran elektrostatik van de Graaff jenaratörleri , kopyalama işleminde kullanılam fotokopi makinası, kömür kullanan termik santralların oluşturdu ğu hava kirlili ğini azaltmaya çalışan elektrostatik çökeltici, metal malzemelerin yüzeylerindeki atomları görüntüleyen alan-iyon mikroskobu ve oto üretiminde otoların boya i şleminde kullanılan elektrostatik boyama sistemleri dir. VAN DE GRAAFF JENARATÖRÜ Van de graaff 1931 yılında, sürtünme ile elektriklenme etkisi, yüklerin bir iletkenin dış yüzeyinde toplanma etkisi ve sivri uçlarda elektrik alan yo ğunluğunun daha fazla olması nedeniyle burdaki yüklerin kolay transferi etkisinden yararlanarak birkaç milyon voltluk bir potansiyel farkı olu şturan bir elektrostatik jenaratör planlayarak imal etmi ştir. Bu tür jenaratörün çalışma yöntemi şekil 11 ‘de açıklanmıştır. Şekil 11 Van de Graaff elektrostatik jenaratörü BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 57 Bu sistem yüksek voltaj farkı kayna ğı olarak Çekirdek ( nükleer fizik ) fizi ğinde sık sık kullanılır. Bu elektrostatik jenaratör, esas olarak, yalıtkan yüksek sütunların tepesine monte edilmi ş büyük metal boş bir kürte ( Yüksek voltaj elektrodu ) motorla hareket ettirilen yük ta şıyıcı bir kemer ve yükleyici bir doğru akım elektrik kayna ğından ibarettir. Yalıtkan maddeden ( ipek,naylon, lastik gibi ) yapılmış sonsuz K kayışı ( kemer ) yukarda ve aşa ğıda bulunan P, Q mmakaraları üzerinde sürekli olarak bir motorla sürekli olarak hareket ettirilir.Sivri uçlu D iletkeni ( veye metal tarak ) S metal küresel kabu ğa ve A sivri ucu bir yükleyici elektrik kayna ğının ( do ğru akım jenaratörünün ) + ucuna ba ğlanmıştır. Bu jenaratörün di ğer ucu topra ğa ba ğlıdır.Sivri uç etkisiyle + elektrik A dan ipek kemere püskürür ( esasında elektronlar kayıştan sivri uçlara geçerler ve sonuçta kayış+ yüklenmi ş olur ) ve kemer bu + yükü yukarıya ta şır. Bu yük D sivri uçuna ula şınca, sivri uçta - yük ve S üzerinde + yük indüklenmi ş olur. D ‘ den akan - yük , kemer üzerindeki + yük ile nötr hale gelir. Bu i şlem kemer hareket ettikçe tekrarlanır ve metal küresel kabuk tutabilece ği maksimum sınıra kadar ( kürenin havaya eletrik yükünü bo şaltmadan tutabilece ği sınır ) artan bir yük kazanır bunun sonucu olarak toprağa göre potansiyelide artar. Kürenin potansiyeli onun yarıçapıyla ters orantılıdır. Normal koşullarda havanın yalıtkanlığı,elektrik alan de ğeri E max = 3 . 10 6 volt / m ye ula şınca bozulur. Kürenin voltajı ( topra ğa göre potansiyeli ) ve eletrik alanı arasında r yarıçap olmak üzere V = E r ba ğıntısı bulunmaktadır. Buna göre V max = E max r olacak ve kürenin tutabilece ği maksimum voltaj de ğeride belirlenmi ş olacaktır. Ayrıca S yüzeyi üzerindeki yükü dolayısıyla potansiyeli sınırlayan şartlar laboratuvarın duvarları ve tavanı gibi ba şka cisimlerin alete yakın bulunması durumudur. Jenaratörün daha yüksek voltajlarda çalışabilmesi amacıyla , jenaratörün küresi içindeki hava özel bir sistemle a şa ğı yukarı 10 – 11 Atm./ cm 2 basınca kadar arttırılır. Yüksek basınçtaki havanın normal koşullardaki havaya göre yalıtkanlığının bozulması için gerekli elektrik alan de ğeri normal koşullardaki elektrik alan de ğerinden daha büyük olacaktır. Böylece aynı yarı çaplı küre bu kez daha yüksek elektrik alana dayanacak ve toprakla küra arasında daha yüksek potansiyel farkı olu şturacaktır. Çekirdek fizi ğinde kullanılan yüklü parçacıkların veya iyonların hızlandırılmasında kullanılan bir van de Graaff elektrostatik hızlandırıcısı, bir van de Graaff jenaratörüyle bir iyon kayna ğı ve bu iyonları a şa ğı doğru hızlandırılmasında kullanılan havası boşaltılmış bir tüpten ibarettir Şekil 05. Seçilen hedeflerin protonlarla bombardımanı ile çekirdek reaksiyonları olu şturmak için gerekli iyon kayna ğı ,artı yüklü yüksek voltaj elektrodu içinde yapılan hidrojen gazı içindeki bir elektrik bo şalması ile elde edilir. Gere ğinde yüksek enerjili elektronlar istendi ğinde , elektron kayna ğı çok zaman eksi yüklü yüksek voltaj elektrodu içinde bulunan sıcak flamandan elde edilir. Proton hızlandırılması halinde , protonlar bo şluk tüpü içinde a şa ğı topraklanmış uca do ğru hızlandırılırlar ve uçta bir hedef üzerine odaklanırlar. Hızlandırma i şleminde elektronlar kullanıldığında , bu kez hedef yukarda olacak ve elektronlar topraklanmış uçtan yukarda bulanan hedefe do ğru hızlandırılacaklardır. Yükü Q olan bir parçacığın topra ğa nazaran V potansiyel farkında kazandığı enerji E =Q V = ½ m v 2 olacaktır. Burada m partikülün kütlesi ve v ‘de partikülün bu potansiyel farkında kazandığı hızdır. İlk yapılan van de Graaff jenaratöründe topra ğa göre ula şılan maksimum potansiyel farkı 1,5 milyon volt idi. Zamanımızda 20 milyon volt’luk elektrostatik jenaratörler yapılmıştır. ELEKTROSTAT İK ÇÖKELT İC İ Gazlardaki elktrik boşalımdan yararlanılarak elektrostatik çökeltici cihazları yapılmı ştır.Bu tür cihazlar yanıcı gazlarda ortaya çıkan bazı maddeleri ayırmak amacıyla kullanılır. Bu şekilde termik santrallarda ortaya çıkan dumandaki toz küllerinin % 99 ‘u bu cihazla süzülebilir. Şekil 12’de elektrostatik çökeltici şematik olarak gösterilmi ştir 40 kV ile 90 kV arasındaki voltaj silindirik sistemin simetri merkezinden yukardan a şagıya doğru inen iletken BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 58 bir telle , silindirik sistemin dı ş duvarlarına uygulanır. Duvarların potansiyeli tele nazaran daha yüksek haldedir ve bu şekilde olu şan elektrik alan duvarlardan tele do ğru olur.Tel etrafındaki elektrik alan yeterince yüksek oldu ğunda telin çevresinde bir elektrik şarj bo şalması ( Corona elektrik boşalması ) olur. Bu bo şalma sonunda elektronlar , pozitif iyonlar ve O - 2 gibi negatif iyonlar meydana gelir. Şekil 12 Elektrostatik çökeltici Negatif iyonlar ve elektronlar düzgün olmayan elektrik alan tarafından sistemin dı ş duvarına doğru hızlanırken akan gaz içindeki kirli parçacıklarla çarpı şırken veya iyon yakalıyarak yüklenirler.Yüklenen bu kirli parçacıklar ço ğunlukla negatif yüklü olduklarından bunlar elektrik alan tarafından dı ş duvara do ğru çekilirler. Sistemin peryodik olarak sarsılması sonunda duvarda toplanan kirli parçacıklar a şağıya düşerler ve alttaki delikten dı şarı çıkarak belli bir yerde toplanırlar. Bu sistem , atmosfere termik santralın bacasından çıkacak olan zararlı atıkları azaltır ve ayrıca alt kısımda toplanan metal oksit yapıdaki de ğerli maddelerin yeniden elde edilmesine olanak sa ğlar. FOTOKOP İ MAK İNASI Bu kuru sistem kopyalama çok geni ş bir alanda kullanılmakta ve doküman, mektup ve di ğer basılmış evrakların ço ğaltılmasında kullanılır. Bütün büro ve kütüphanelerde kuru sistem kopyalamaya dayalı olarak yapılmış olan fotokopi makinaları yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu makinaların çe şitleri ve becerileri gün geçtikçe artmaktadır, hatta bunların yaptığı renkli kopyalamalarının aslından ayırt edlmesinde oldukça zorlanılmaktadır. Kuru sistem kopyalamanın esası , elektrostatik ve poti ğin basit kavramlarına dayanır. Kopyalama sürecinde,karanlıkta zayıf bir iletken olup üzerine ışık düşünce iyi bir iletken olan Foto iletken madde kullanılır. Kuru sistem kopyalama sürecindeki birinci adım , Şekil 13.a ‘da gösterildi ği gibi fotoiletken yüzeyin pozitif olarak yüklenmesidir. İkinci adım Şekil 13.b ‘de gösterildiği gibi ışık kayna ğı ve mercek kullanılarak yüzeyde gizli pozitif yükler biçiminde görüntü olu şturulur. Üçüncü adım Şekil 13.c ‘de görülece ği gibi , görüntü içeren yüzey , yalnız görüntünün bulundu ğu alana yapışan yüklü bir tozla ( BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 59 toner ) kaplanır.Dördüncü adımda, Şekil 13.d , bo ş bir ka ğıt üzerine konularak yük verilir. Bu görünen görüntüyü ka ğıda aktarır. Son adımda, tozun ka ğıtta kalıcı olması için ısıl işlem yapılır. a. Bo ş foto iletkenin yüklenmesi . b. Orijinalden fotoiletkende gizli görüntü olu şturma. c. Gizli görüntünün tonerle tozlanması. d. Bo ş ka ğıda yük verilerek ve tonerlenmi ş görünen görüntü boş ka ğıda aktarılır ve buda ısıl işlemle sabitle ştirilir . Şekil 13.a,b,c,d Kuru sistem kopyalama süreci Bu süreçler sonunda, orijinalin kopyası elde edilmi ş olur. III . 3 . 09 .ÖRNEK PROBLEMLER l ) Her birinin yarıçapı l0 cm olan iki iletken kürenin merkezleri arasındaki uzaklık l m dir. A küresinin yükü + 30 . l0 -9 C ve B küresinin yükü - 60.l0 -9 C dur. Kürelerden her birinin potansiyelini hesaplayınız ( Şekil 14 ). BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 60 +30.10 C -60.10 C -9 -9 1m 10cm 10cm Şekil 14. Örnek problem 1. Çözüm; Kürelerden her biri içindeki ve üzerindeki noktalarda potansiyel aynı oldu ğuna göre, her birinin merkezindeki potansiyeli hesaplanabilir. A küresinin merkezindeki ve kendi yükünden olu şan potansiyel V Q a V o == = - 1 4 91 0 30 10 01 0 2700 9 9 ?? . . , olt dır. B küresinin dı şındaki noktalarda, B üzerindeki bütün yük kendi merkezinde, yani A nın merkezinden l metre uzakta toplanmı ş gibi kabul edilebilir . O halde A nın merkezinde, B nin yükünden ileri gelen potansiyel V Volt = - =- - 91 0 60 10 1 540 9 9 . (.) dır. Dolayısıyla A nın merkezindeki potansiyel, bu potansiyel yüzeyi ile aynıdır , V A = 2700 - 540 = + 2l60 Volt dır. Benzer şekilde B küresinin merkezindeki potansiyel V B = - 5400 + 270 = - 5l30 Volt Küreler arasındaki potansiyel farkı V AB = V A - V B = 2l60 - ( - 5l30 ) = + 7290 Volt BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 61 dır ve A nın potansiyeli daha yüksektir. Bu hesaplama tam olarak do ğru de ğildir, çünki A ve B üzerindeki yükler arasındaki çekim kuvvetleri nedeniyle, kürelerin birbirlerine bakan yüzlerinde bir yük birikmesi olacak buda kürelerin dı ş yüzeydeki potansiyel de ğerlerinin de ği şmesine neden olacaktır. Daha açık olarak kurenin kendi yükünden olu şan potamsiyel ile dı ş yüzündeki potansiyel aynı olmıyacaktır fakat merkezindeki potansiyel bu konumda de ği şmeyecektir. Bu problemin tam olarak çözümü hedeflenen bilgi aktarımının dı şındadır. 2 ) Kö şelerine + l .l0 -8 C , - 2 . l0 -8 C , + 3b .l0 -8 C ve + 2 . l0 -8 C luk yükler konulmum ve kenar uzunlukları l metre olan bir karenin merkezindeki potansiyeli bulunuz. Çözüm ; Her yükün karenin merkezine olan uzaklı ğı 2 = 0 , 7l m dir. Buna göre VV Q r n o n n n == ?? 1 4?? ba ğıntısından, () VV = -++ = - 910 12321 0 071 507 9 8 . . , o l t dır. 3 ) - l . l0 -l0 C luk yük ta şıyan bir cisim, l0 µ C luk bir yükün l0 cm altında bulunan bir konumdan l m altındaki konuma hareket etirildi ğinde, elektriksel kuvvetlere kar şı y a p ılması gereken i şi hesaplayınız. Eksi yüklü cisim son konumda havada asılı kaldı ğına, yani cisme etkiyen elektriksel kuvvetle yerçekim kuvveti e şit ve zıt yönlü olduklarına göre, bu cismin kütlesini bulunuız. Çözüm ; İşin hesaplanması için iki nokta arasındaki potansiyelin hesaplanması gerekir. Yükün l0 cm altındaki potansiyel VV B == - 91 0 10 10 01 91 0 9 6 5 . . , . 1 metre altındaki potansiyel BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 62 VV B == - 91 0 10 10 1 91 0 9 6 4 . . . ve bu iki nokta arasındaki potansiyel farkı V A - V B = 9 . l0 4 - 9 . l0 5 = - 8,l . l0 5 V olur. - l . l0 -l0 C luk yükün bu potansiyel farkı arasında hareket ettirilmesinde yapılan i ş: W AB = Q ( V A - V B ) = ( - l . l0 -l0 ) . ( - 8,l . l0 5 ) = + 8,l . l0 -5 Joulle dır. Cismin havada asılı kalması konumunda : mg QQ r =91 0 9 12 2 . mk == -- - 91 0 10 10 1 10 98 11 91 81 0 9 61 0 7 . .. ,. ,.g olur. 4 ) Yarıçapları, sırasıyla 4 , 6 ve 8 cm olan aynı merkezli yalıtılmı ş metal üç bo ş kürenin yükleri + 8 , - 6 ve + 4 µ C dur. Merkezden 2 , 5 , 7 , ve l0 cm uzaktaki noktalarda elektrik alan şiddetleri ve potansiyelleri bulunuz ( Şekil 15 ). A B C +8 -6 +4 xyz e Şekil 15. Problem 4. BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 63 Çözüm: Bilindi ği gibi yüklü bo ş bir iletken kürenin dı şındaki alan şiddeti, bütün Q yükünün onun merkezinde toplanmı ş halinin aynısı olacaktır. İçinde ise alan sıfır olacaktır. Kürenin içindeki ve yüzeyindeki potansiyel aynı fakat dı şındaki potansiyel k. Q / r dır. Buna göre: x deki elektrik alan şiddeti, x noktası üç küreninde içinde oldu ğundan sıfır olacaktır. Potansiyel ise VV x =-+ ? ? ? ? ? ? = - 910 8 004 6 006 4 008 10 1350 99 . ,,, . olacaktır çünkü bunlar her kürenin içindeki potansiyellerdir. y noktasındaki elektrik alan şiddeti () EN y == - 910 810 005 28800 9 9 2 . . , /C dır. Burada y noktası A nın dı şında, fakat B ve C nin içindedir. y deki potansiyelde aynı dü şünceyle VV y =-+ ? ? ? ? ? ? = - 910 8 005 6 006 4 008 10 990 99 . ,,, . z noktasındaki alan şiddeti ve potansiyel EN z =-C ? ? ? ? ? ? = - 910 8 007 6 007 10 3673 9 22 9 . ,, ./ VV z =-+ ? ? ? ? ? ? = - 910 8 007 6 007 4 008 10 707 99 . ,,, . e deki alan şiddeti ve potansiyelde BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 64 EN e =-+C ? ? ? ? ? ? = - 910 8 01 6 01 4 01 10 5400 9 222 9 . ,,, ./ VV e =- + ? ? ? ? ? ? = - 910 8 01 6 01 4 01 10 540 99 . ,,, . dur. III.3.10. PROBLEMLER l ) Kenarları l0 cm olan e şkenar bir üçgenin üst kö şesine - 4 . l0 -7 C luk , sol alt kö şesine + l0 -7 C luk ve sa ğ alt kö şesine + 2 .l0 +7 C luk yükler konulmu ştur. a- +2. l0 +7 C luk yükün elektriksel potansiyel enerjisini, b- Sistemin , yani yüklerin kar şılıklı potansiyel enerjisini hesaplayınız. Cevap. - l,8 .l0 -3 Joulle . - 9 . l0 -3 Joulle. 2 ) Bir nokta elektrik yükünden bilinmeyen bir uzaklıktaki potansiyel 600V ve elektrik alan şiddetide 200 N / C dur. Nokta yükten olan bu uzaklı ğı ve yükün de ğerini bulunuz. Cevap: 3 m, 2 . l0 - 7 C . 3 ) Bir elektronun 0,6 C hızına e şit hız kazanması için nekadarlık bir potansiyal farkında hızlandırılmalıdır. Burada C ı şık hızıdır ve de ğeri 3 . l0 8 m / sn dir. Cevap: l,28 . l0 5 V 4 ) O,3 µ C luk üç yük kenarları l metre olan bir e şkenar üçgenin kö şelerine yerle ştirilmi ştir. Bu sistemin potansiyel enerjisini hesaplayınız. Cevap : 2 ,43 .l0 – 3 Joulle. 5 ) + 0,2 ve - 0,l µ C luk yükler 5 metre aralıkla yerle ştirilmi şlerdir.Artı yükten 3 m ve eksi yükten 4 m uzaklıktaki A noktası ile artı yükten 4 m ve eksi yükten 3 m uzaktaki B noktasındaki BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 65 potansiyeli bulunuz. 2.l0 -8 C luk bir yükün bu noktalar arasında yerde ğiştirmesi için yapılması gerekli işi hesaplayınız. Cevap . V A = + 375 V , V B = + l50 V ve - 45 l0 -7 Joulle. 6 ) Bir elektron aralarında l000 voltluk potansiyel farkı bulunan iki paralel levha arasında bir levhadan ötekine hareket ediyor. Bu elektronun öteki levhaya ula ştığındaki hızını ve enerjisini bulunuz. Cevap: l, 88.l0 7 m / sn , l,6.l0 -l6 Joulle. 7 ) -60 µ C luk bir yükten 20 ve 40 cm uzaklıktaki iki nokta arasındaki potansiyel farkını, +2µC luk bir yükü alçak potansiyelli noktadan yüksek potansiyelli noktaya götürmek için gerekli i şi hesaplayınız. Cevap : l,35 . l0 6 V , 2, 70 Joulle. 8 ) Metal iki kürenin çapları 3 cm ve düz ğün olarak da ğılmış yükleri + l .l0 -8 C ve -3.l0 -8 C dur. Merkezlerinin aralığı 2 metre oldu ğuna göre, merkezler aralığının tam orta noktasındaki ve her kürenin potansiyelini hesaplayınız. Cevap: - l80 V , 2863 V ve - 9954 V. 9 ) Bohr atom modelinde sadece bir elektron bir protondan olu şan bir çekirdek etrafında 5,28.l0 -9 cm yarıçaplı bir daire çizmektedir. Atomun elektrostatik potansiyel enerjisini ve herhengi bir ba şka elektronun bu enerjiyi kazanması için ne kadarlık bir potansiyel farkında hızlandırılması gerektiğini hesaplayınız. C. - 4,37.10 – 18 J. veya - 27,3 eV. ‘’ 1 eV ? 1,6 10 – 19 J. ‘’ 10 ) Yarıçapları l ve 2 cm olan iki iletken küreden her birinin yükü l0 -9 C dur. Kürelerin merkezleri arasındaki uzaklık l metredir, bunlar ince iletken bir telle birle ştirilirlerse, herbirinin üzerindeki sonuç yükü ve potansiyellerini hesaplayınız. Cevap: l,34 .l0 -8 C , 0,66 . l0 -8 C ve 6070 V . BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 66 l1 ) İki iletken plaka arasındaki uzaklık 0,4 cm ve plakalar arasındaki potansiyel farkıda 300 Volt'tur. Eksi yüklü levhayı sıfır hızla terkeden bir elektronun 2 mm gitmesi sonundaki ve artı yüklü plakaya çarptı ğı andaki hızını hesaplayınız. Cevap : 8,9.l0 6 m / sn , l0,3.l0 6 m / sn . 12) Bir pozitron protonla aynı yüke sahiptir, fakat kütlesi elektronunkiyle aynıdır. Pozitronun 480V/m düzgün bir elektrik alan yönünde 5,2cm hareket etti ğini varsayarsak, a) ne kadarlık potansiyel enerji kazanır veya kaybeder? b) ne kadarlık kinetik enerji kazanır veya kaybeder? C . a . – 4 .10 – 18 J. Potansiyel enerji kaybeder. b . 4 . 10 – 18 J . Potansiyel enerji kazanır. 13) Bir deutron (bir nötron ve bir protondan olu şan hidrojen izotopunun çekirde ği) 2,7kV luk potansiyel farkına kadar hızlandırılıyor. a) ne kadar enerji kazanır? b) harekete durgun halden ba şladıysa hızı ne olurdu? C. a . 4,33.10 – 16 J . b. 5,09 . 10 5 m / s 14) Şekil 16 da gösterilen yükleri bulundukları yerlere getirmek için gereken enerjiyi hesaplayınız. 0,20m _ _ -12µC + +6µC + 0,40m +12µC -18µC Şekil 16. Problem 11. C . – 3,96 J. 15) Bir kenarı a olan bir karenin kö şelerine Q büyüklü ğünde özde ş yükler yerle ştirmek için 5,4k Q a 2 kadarlık i ş yapmak gerekti ğini gösteriniz. 16) Bir noktasal yükten belirli bir uzaklıkta elektrik alan şiddeti 500V/m , elekriksel potansiyel - 3000V dur. a) Bu yükten olan uzaklık ne kadardır? b) Yükün büyüklü ğü nedir? BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 67 C . a. 6 m. , b. 2 . 10 – 6 m. 17) 0,3 m yarıçaplı, ba şlangıçta yüksüz bir küresel iletkenden kaç tane elektron uzakla ştırılmalıdır ki bu küre yüzeyinde 7,5kV luk bir potansiyel olu şsun . C . 156 . 10 1 3 tane. 18) Bir diktörtgenin tabani 4 m ve yüksekli ği 3 m.dir. Bu dikdörtgenin sol üst kö şesinde + 125 µ C., sa ğ üst kö şesinde + 36 µ C. Vve sol alt kö şesinde - 32 µ C. luk yükler bulunmaktadır.Bu elektrik yüklerinin da ğılımı için + C. ‘luk bir yükün dikdörtgenin sa ğ alt kö şesinden kö şegenlerin kesim noktasına getirmek için gerekli i şi hesaplayınız. C . İki nokta arasındaki potansiyel farkı = ( 464,4 - 261 ) . 10 3 V. Ve gerekli İş = 610,2.10 3 J. 19 ) kenar uzunlukları 4 m olan bir karenin kö şelerine özde ş 4. 10 – 3 C. luk yükler konulmu ştur. Bu yüklerin yerle ştirilmesi için gerekli i şi hesaplayınız. C . 36 . 10 3 J. 20 ) Kenarlar a olan bir kübün bütün kü şelerine özde ş Q yükleri konulmu ştuır. Tüm kö şelere konulan bu 8 yükün oraya konulması için gerekli i şi hesaplayınız. C . Yol gösterme : kübün 6 yüzü ve 12 kenarı bulunmaktadır. Buna göre 12 kenardaki yükler birbirlerinden a uzaklıkta ve 12 adet yüz kö şegeninde bulunan yüklerde birbirlerinden 2 a uzaktadırlar .Ayrıca dört adet kö şegen çiftide birbirlerinden 3 a uzaklı ğında bulunurlar. Bu uzaklıkları yüklerin potansiyel enerjisini veren ifadede yerine ileterek gerekli i şi hesaplarız. Bu i ş de ğeri W = 22,8 k .Q 2 / a olacaktır. 21 ) Van de Graff jenaratörünün , 15 0 Mev enerjide 120 µ A ‘lik proton ı şınımı ollu şturabilmesi için ona verilmesi gerekli olan gücü hesplayınız. Yol gösterme : I = ?Q / ? t ‘den yararlanarak ? t ‘ yi bulup oradan güçü hesaplayınız. C . 1200 W. 22 ) Yüklü bir iletken kürenin biraz dı şında eelktriksel potansiyel de ğeri 400 V ve onun merkezinden 20 cm uzaklıktada 300 V ‘dur. Küre yarıçapını ve üzerindeki yük de ğerini hesaplayınız. C. 0, 60 m ve 26, 7 .10 – 9 C. BÖLÜM III.3. ELEKTR İK POTANS İYEL İ 68 23 ) Kenar uzunlu ğu 2 m olan bi şr kübün yedi kö şesinde - 2 . 10 - 6 C ‘luk yükler bulunmaktadır. Kübün boş kö şesinmdeki elektrik potansiyeli hesaplayınız. C . - 5, 13 . 10 4 V. 24 ) Herbiri - Q de ğerinde yüklü,? 0 yük yoğunluğuna sahip yüzey elektrik alan de ğerleri E 0 ve elektrikj potansiyelleri V 0 olan küresel yapılı özde ş iki ya ğmur tanesi çarpışarak daha büyük boyutlu küresel yapılı bir ya ğmur tanesi olu şturuyor. Bu büyük damlanın yüzeysel yük yoğunluğunu , elektrik alan de ğerini ve elektriksel potansiyel de ğerlerini ilk damlalara ait veriler cinsinden hesaplayınız. C . ? = 1,26 ? 0 , E = 1,26 E 0 , V = 1,59 V 0 . 25 ) Birinin yarıçapı 6 cm. di ğerinin yarıçapı 4 cm. olan iki iletken yüklü küre uzun bir iletken telle birbirlerine ba ğlanmışlardır. Bu ba ğlama sonunda küreler üzerindeki toplam yük + 20.10 – 6 C. dur. Her bir küre yüzeyi yakınındaki elektrik alanı ve kürelerin elektriksel potansiyeli hesaplayınız. C . E 4 = 4,5 .10 7 V / m , E 6 = 3.10 7 V / m , V 4 = V 6 = 1,8 .10 6 V. 26 ) Uzun kenarı yatay ve kenarları 6 ve 3 cm. olan bir dikdörtgenin sol üst kö şesinde 8.10 - 6 C.’luk yük, sağ alt köşesinde 2.10 – 6 C. ‘luk yük ve sol ve sa ğ üst köşelerinde 4.10 – 6 C.’luk yükler bulunmaktadır. İki 4.10 - 6 C.’ luk yükün yerlerinden ayrılarak sonsuza götürülmesi için gerekli i şi hesaplayınız. C . 20,1 J.