Elektrostatik Elektrostatik - Gauss Kanunu Gauss Gauss Kanunu Kanunu Kapal Kapal ı ı bir y bir y ü ü zeyden ge zeyden ge ç ç en en elektrik ak elektrik ak ı ı s s ı ı miktar miktar ı ı zarflanan zarflanan y y ü ü kmiktar kmiktar ı ı ile ile do do ğ ğ ru orant ru orant ı ı l l ı ı d d ı ı r. r.Carl Friedrich Gauss 1777-1855 Yes it Yes it’ ’s the same s the same guy that gave you guy that gave you the Gaussian the Gaussian distribution and distribution and … … To give you some To give you some perspective he was born 50 perspective he was born 50 years after Newton died years after Newton died (1642 (1642- -1727). Predicted the 1727). Predicted the time and place of the first time and place of the first asteroid asteroid CERES CERES (Dec. 31, (Dec. 31, 1801). Had the unit of 1801). Had the unit of magnetic field named after magnetic field named after him and of course had him and of course had much to do with the much to do with the development of development of mathematics mathematics Ceres Ceres ?= 4.6 ?= 4.6 year , d=4.6 Au year , d=4.6 AuAKIAKI ve “skaler çarpım” A v A v r r · = = ? ) cos ( ?Ak Ak ı ı ’ ’ n n ı ı n tan n tan ı ı m m ı ı • • Herhangi bir y Herhangi bir y ü ü zeyden ge zeyden ge ç ç en en toplam elektrik alan toplam elektrik alan , , madde veya madde veya herhangi bir fiziksel nicelik miktar herhangi bir fiziksel nicelik miktar ı ı olarak tan olarak tan ı ı mlanabilir mlanabilir . . • • Y Y ü ü zey alan zey alan ı ı y y ü ü zeye dik olan bir zeye dik olan bir normal vekt normal vekt ö ö r r ü ü gibi tan gibi tan ı ı mlanabilir mlanabilir • • Tan Tan ı ı ma g ma g ö ö re denklemimiz re denklemimiz : : ? · = ? surface A d r r EElektrik Ak Elektrik Ak ı ı • • Y Y ü ü zeyden ge zeyden ge ç ç en en elektrik alan elektrik alan miktar miktar ı ı d d ı ı r. r. • • Elektrik ak Elektrik ak ı ı birimi birimi N N - - m m 2 2 /C /C dir dir . . ? · = ? A E A d E r rE&M de Gauss Kanunu • Bir yük da ğılımının elektrik alanını hesaplarken simetriyi kullanır • Metod: E-alanı hesaplanırken hayali bir alanın bazı yükleri zarfladığını farzedelim • Yüzeyin şekli “çok önemlidir”Gauss Gauss kanununun kanununun KULLANIMI KULLANIMI • Yük dağılımının etrafında seçilecek zarflama yüzeyi hem yük da ğılımına benzer hem de yakın olmalıdır….. ? · = ? A E A d E r rK K ü ü resel koordinatlar resel koordinatlar ? ? ? ? ? ? d r r rd r dr r sin sin › ? › ? › ? • • Y Y ü ü zey zey integrali integrali ? ? ? ? ? d d r S f r S sin 2 ) , ( ?? = sa sa ğ ğda da ( (ye ye ş şil il) )Noktasal bir y Noktasal bir y ü ü k k ü ü saran k saran k ü ü resel bir y resel bir y ü ü zeyden zeyden ge ge ç ç en ak en ak ı ı ?? · = ? surface spherical E A d E r r () r r q r E o ˆ 4 1 2 ?? = r r ?? · = ? surface 2 2 0 sin ˆ ˆ 4 1 ? ? ? ?? d d r r r r q E ? ? ? ?? d d q o E sin 4 ? = ? () r r d d r r q o E ˆ ˆ sin 4 1 2 2 · = ? ? ? ? ? ?? !!! !!! k kı ısaca saca ? ?? surface? ? = ? ? ? ? ?? 2 0 0 ? ? sin 4 d d q o E ? ?? 4 4 o E q = ? o E q ? = ? ? = ? ? ?? ?d ? sin 4 d q o E [] [ ] ? ? ? ?? 2 0 0 ? cos 4 - = ? o E q () [] [] 0 2 1 1 4 - - - = ? ? ?? o E q Noktasal bir y Noktasal bir y ü ü k k ü ü saran k saran k ü ü resel bir resel bir y y ü ü zeyden ge zeyden ge ç ç en ak en ak ı ıGauss Gauss Kanunu Kanunu Kapal Kapal ı ı bir y bir y ü ü zeyden ge zeyden ge ç ç en toplam ak en toplam ak ı ı o o y y ü ü zey taraf zey taraf ı ı ndan ndan ç ç evrelenen y evrelenen y ü ü k miktar k miktar ı ı ile do ile do ğ ğ ru orant ru orant ı ı l l ı ı d d ı ı r. r. Not: Not: Alan vekt Alan vektö ör rü ü y yü üzeyden d zeyden dış ışar arı ı do do ğ ğru y ru yö önelir nelir 0 ? q A d E surface E = · = ? ? r rGauss Y Gauss Y ü ü zeyi zeyi Gauss kanununun uygulanabilmesi i Gauss kanununun uygulanabilmesi i ç ç in kapal in kapal ı ı , , hayali bir y hayali bir y ü ü zeye ihtiya zeye ihtiya ç ç vard vard ı ı r. r. Herbir Herbir y yü üzeydeki toplam ak zeydeki toplam akı ı nedir? nedir?Gauss kanunu ile problem Gauss kanunu ile problem çö çö z z ü ü m m ü ü 1. Yük yo ğunlukları – Yük yo ğunluklarını çizgisel, yüzeysel ve hacimsel olarak tanımlamak kolaylık sa ğlar 2. Simetri ve koordinat sistemleri – Seçilecek koordinat sistemi, yük da ğılımının simetrisini gösterebilecek şekilde olmalıdır. Mesela, noktasal bir yükün akısını hesaplarken küresel simetri sebebiyle küresel koordinatları kullanırız.Dikkat Dikkat !!! !!! Gauss kanunu ile problem Gauss kanunu ile problem çö çö z z ü ü m m ü ü 3. 3. Gauss kanunundan yararlanarak elektrik alan Gauss kanunundan yararlanarak elektrik alan ı ı n n hesab hesab ı ı - - Elektrik alan, herhangi bir Gauss Elektrik alan, herhangi bir Gauss y y ü ü zeyinde sabit bir b zeyinde sabit bir b ü ü y y ü ü kl kl ü ü k ve do k ve do ğ ğ rultuda olarak rultuda olarak g g ö ö sterilebiliyorsa, problemlerinde alan hesab sterilebiliyorsa, problemlerinde alan hesab ı ı i i ç ç in in Gauss kanununu kullan Gauss kanununu kullan ı ı r r ı ı z. z. A A ş ş a a ğı ğı daki daki üç üç ö ö rne rne ğ ğ i ele alacak olursak i ele alacak olursak : : (1) (1) Y Y ü ü kl kl ü ü , uzun ve do , uzun ve do ğ ğ rusal bir tel rusal bir tel (2) (2) Y Y ü ü kl kl ü ü , d , d ü ü z ve sonsuz b z ve sonsuz b ü ü y y ü ü kl kl ü ü kte olan ince levha kte olan ince levha (3) (3) Y Y ü ü kl kl ü ü bir k bir k ü ü re re . .E E - - alan hesaplar alan hesaplar ı ı nda Gauss kanununun nda Gauss kanununun uygulamas uygulamas ı ı • Küresel simetri • Silindirik simetri • Düzlemsel simetriÖ Ö rnek rnek – – Y Y ü ü kl kl ü ü , uzun ve do , uzun ve do ğ ğ rusal tel rusal tel Ş Şekil ekil (b (b) ) problemin problemin silindirik simetri silindirik simetri problemi problemi oldu oldu ğ ğunu g unu gö österir sterir. . Bu da bize problem Bu da bize problem çö çöz zü üm mü ünde nde silindirik koordinatlar silindirik koordinatları ın kullan n kullanı ılmas lması ın nı ın uygun n uygun oldu oldu ğ ğunu g unu gö österir sterir. . Dikkate al Dikkate alı ınacak nacak üç üç y yü üzey vard zey vardı ır r. . Alt ve Alt ve ü üst dairesel st dairesel y yü üzeylerin zeylerin normal vekt normal vektö örleri z eksenine paraleldir rleri z eksenine paraleldir ayn aynı ı zamandada zamandada elektrik alan vekt elektrik alan vektö ör rü üne diktir ne diktir, , b bö öylece ak ylece akı ıya katk ya katkı ılar ları ı s sı ıf fı ırd rdı ır. r. O halde O halde integralde integralde de de ğ ği i ş şkenimiz kenimiz silindirin y silindirin yü üksekli ksekli ğ ği i olan olan l l dir dir. . Burada zarflanan y Burada zarflanan yü ük, k, ? ? l l dir dir. .Elektrik alan Elektrik alanı ın a n aç çı ısal bir simetriye sahip sal bir simetriye sahip olmas olması ı sebebiyle sebebiyle, , elektrik alan elektrik alanı ın sabit bir r n sabit bir r uzakl uzaklığı ığında sabit bir b nda sabit bir bü üy yü ükl klü ü ğ ğü ü vard vardı ır r. . r r E o ˆ 2 ? ? ? = r ? ? ? ? ? 2 ˆ ˆ 2 0 2 / 2 / l l l l l Er d d Er rd d r r E q o = = · = ? = ? ? ? ? + - () ! ! ! ! ! 2 2 r r E or Er q o o o ?? ? ? ? ? ? = = = ? l l Ö Ö rnek rnek – – Y Y ü ü kl kl ü ü , uzun ve do , uzun ve do ğ ğ rusal tel rusal telDi Di ğ ğ er y er y ü ü k da k da ğı ğı l l ı ı m m ı ı geometrileri geometrileri D Dü üzg zgü ün y n yü üklenmi klenmi ş ş dielektrik dielektrik (yal (yalı ıtkan) k tkan) kü üre re Er ra o < = ? ? 3 E a r ra o > = ? ? 3 2 3 D Dü üzg zgü ün y n yü üklenmi klenmi ş ş dielektrik dielektrik (yal (yalı ıtkan) sonsuz d tkan) sonsuz dü üzlem zlem E o = ? ? 2 Bu sonu Bu sonuç çlar ları ı ispatlayabilirmisiniz ispatlayabilirmisiniz? ?Gauss kanunu: Yalıtkan ve yüklü bir yüzeyin yakınındaki elektrik alanın hesabı o o o o o E etkisi, yuzeyin bir E A EA q EA q A d E ? ? ? ? ? ? ? ? 2 = = = = = · ?? r rGauss Kanununu Sonuçları 1. 1. Sadece kapal Sadece kapal ı ı bir y bir y ü ü zeyde zarflanan y zeyde zarflanan y ü ü kler kler y y ü ü zeyde bir ak zeyde bir ak ı ı olu olu ş ş umu sa umu sa ğ ğ larlar larlar . . 2. 2. Y Y ü ü zeydeki toplam ak zeydeki toplam ak ı ı , bu y , bu y ü ü zey taraf zey taraf ı ı ndan ndan zarflanan toplam y zarflanan toplam y ü ü k miktar k miktar ı ı ile do ile do ğ ğ ru ru orant orant ı ı l l ı ı d d ı ı r r . .3. 3. Gauss y Gauss y ü ü zeyi problemi Gauss kanunu zeyi problemi Gauss kanunu kullanarak kullanarak çö çö zmek i zmek i ç ç in hayali bir y in hayali bir y ü ü zeydir zeydir 4. 4. Gauss kanunu y Gauss kanunu y ü ü k da k da ğı ğı l l ı ı mlar mlar ı ı n n ı ı n, y n, y ü ü ksek ksek simetriye sahip olduklar simetriye sahip olduklar ı ı durumlarda, elektrik durumlarda, elektrik alan hesaplar alan hesaplar ı ı i i ç ç in kullan in kullan ı ı labilir labilir Gauss Kanununu Sonuçları5. 5. Elektrostatik olarak Elektrostatik olarak y y ü ü klenmi klenmi ş ş bir iletkenin i bir iletkenin i ç ç ine ine Gauss kanunu uygulan Gauss kanunu uygulan ı ı rsa, rsa, iletkenin i iletkenin i ç ç inde elektrik alan inde elektrik alan daima s daima s ı ı f f ı ı rd rd ı ı r r 6. 6. İ İ letken letken ü ü zerindeki herhangi zerindeki herhangi bir net y bir net y ü ü k daima iletkenin k daima iletkenin y y ü ü zeyinde konu zeyinde konu ş ş lan lan ı ı r, nas r, nas ı ı l? l? Sonu Sonu ç ç : : Gauss kanunu Gauss kanunu ve iletkenler ve iletkenlerKabuk Teoremleri: İletkenler 1) 1) D Dü üzg zgü ün y n yü üklenmi klenmi ş ş iletken bir iletken bir kabuk sanki b kabuk sanki bü üt tü ün y n yü ükler kabu kler kabu ğ ğun un merkezinde toplanm merkezinde toplanmış ış gibi gibi davranarak kabu davranarak kabu ğ ğun d un dışı ışındaki bir ndaki bir y yü ük kü ü iter yada iter yada ç çekerler ekerler. . 2) 2) E E ğ ğer y er yü ükl klü ü par parç çac acı ık iletken ve k iletken ve y yü ükl klü ü kabu kabu ğ ğun i un iç ç k kı ısm smı ına na koyulursa bu y koyulursa bu yü ükl klü ü par parç çac acığ ığa a hi hiç çbir elektriksel kuvvet etkimez. bir elektriksel kuvvet etkimez. r ˆ r q o E 2 4 1 ?? = r 0 = E rİletken bir yüzeydeki elektrik alan yüzeye diktir ve yüzeysel yük yoğunlu ğu ile doğru orantılıdır. Net y Net yü ük daima iletkenin d k daima iletkenin dış ış y yü üzeyinde zeyinde konu konu ş şlan lanı ır r. . Y Yü üzey k zey kü üresel olmad resel olmadığı ığı s sü ürece, y rece, yü ük k yo yo ğ ğunlu unlu ğ ğu u ? ? ( (birim alan ba birim alan ba şı şına d na dü ü ş şen en y yü ük k) ) de de ğ ği i ş şir ir İ İletken bir y letken bir yü üzeyin hemen d zeyin hemen dışı ışında bir nda bir noktadaki elektrik alan noktadaki elektrik alanı ı Gauss Gauss kanununu kullanarak hesaplamak kanununu kullanarak hesaplamak ç çok daha kolayd ok daha kolaydı ır r o o o o o E A EA q EA q dA E q A d E ? ? ? ? ? ? ? = = = = = · ? ?? ?? r r