Genel Matematik En Küçük Kareler Yöntemi DERS 7 En Küçük Kareler Yöntemi 7.1. En Küçük Kareler Yöntemi. Gerçek ya şamın çe şitli alanlarında herhangi bir uygulama ile toplanan veriler tablo şekline getirilerek incelenir ve toplanan veriyi modelleyen bir fonksiyon bulunmaya çalı şılır. Ço ğu zaman bu veri tablosuna tam olarak uyan bir fonksiyon bulmak mümkün olmaz; veri tablosuna en iyi uyan fonksiyon belirlenmeye çalı şılır. Bir veri tablosuna en iyi uyan fonksiyonu bulma sürecine regresyon analizi denir. Regresyon analizi yaparken en çok kullanılan yöntemlerden biri en küçük kareler yöntemidir. Büyük matematikçi C. F. Gauss’un 18 ya şındayken (1795) geli ştirdi ği bu yöntem, ilk kez 1801 de Cres astroidinin yörüngesinin belirlenmesinde kullanılmı ş ve ilk kez Gauss’un toplu eserlerinin yayınlandı ğı ciltlerden ikincisinde 1809 yılında yayınlanmı ştır. Fransız matematikçi A. Legendre 1805 ve Amerikalı matematikçi R. Adrain de 1808 yıllarında aynı yöntemi Gauss’dan habersiz ve ba ğımsız olarak ke şfetmi şlerdir. En küçük kareler yöntemi, tıp, finans, mühendislik, ziraat, biyoloji ve sosyoloji gibi çe şitli bilim dallarında çe şitli de ği şkenler arasındaki ili şkiler belirlenirken kullanılan en önemli araçlar arasındadır. Belli ölçümler sonucunda i = 1, 2, . . . , n için (x i , y i ) verileri elde edilmi ş olsun. Burada, her bir y i nin x i ye ba ğlı olarak de ği şti ği varsayılmaktadır. (x i , y i ) düzlemde noktalar olarak dü şünüldüğünde, pratikte bu noktalar düzgün bir e ğri üzerinde, ba şka bir deyimle, bilinen bir fonksiyonun grafi ği üzerinde bulunmazlar. Hatta bazı durumlarda, (x i , y i ) ler arasında ne tür bir ba ğıntı bulundu ğu dahi bilinmeyebilir. Ancak, yapılan ölçümlerin do ğası gere ği, her i = 1, 2, . . . , n için y i = f (x i ) olacak biçimde bir fonksiyonun var oldu ğu, ölçümlerde yapılan hata nedeniyle bu e şitliklerin bazıları veya hepsinin sa ğlanmadı ğı kabul edilebilir. Bu dü şünceyle, ölçülen y i de ğeri f (x i ) için yakla şık de ğer kabul edilerek bu yakla şımdaki hatanın minimum oldu ğu f fonksiyonu belirlenmeye çalı şılır. Bu amacı gerçekle ştirmek için f fonksiyonunun bir takım parametrelere ba ğlı bir ifadesi bulundu ğu varsayılıp eldeki veriler yardımıyla bu parametreler belirlenmeye çalı şılır. Örneğin, f fonk- siyonu y = f (x) = mx + b ifadesinde oldu ğu gibi bir do ğrusal fonksiyon veya y = f (x) = ax 2 + bx + c ifadesinde oldu ğu gibi bir karesel fonksiyon olabilir ki bu durumda belirlenmesi gereken parametereler a , b , c , m dir. Ders 7 …………………………………………………………………………………….. 100 y i de ğeri f (x i ) için yakla şık de ğer, f (x i ) ? y i , kabul edilince yapılan hata y i - f (x i ) dir ve amaç, bu hatalar minimum olacak şekilde bir f fonksiyonu bulmaktır(A şa ğıdaki şekilden izleyiniz). Tanım 1. y i - f (x i ) farklarından her birine bir artık denir. En küçük kareler yönteminde aranan fonksiyon, ya da onun parametreleri, tüm artıkların kareleri toplamı olan 2 2 1 1 1 2 )) ( ( )) ( ( )) ( ( n n n i i i x f y x f y x f y - + + - = - ? = L ifadesini minimum yapacak şekilde belirlenir. Bu, yönteme neden en küçük kareler yöntemi dendi ğini açıklar. Sözü edilen kareler toplamının minimum olması için her bir hatanın küçük olması gerekti ğine dikkat ediniz. Bu dersimizde, bir veri tablosuna en iyi uyan do ğrusal fonksiyonların bulunmasında en küçük kareler yönteminin nasıl kullanıldı ğını örnekleriyle görece ğiz. Tanım 2. Bir veri tablosuna en iyi uyan do ğrusal fonksiyonun grafi ği olan do ğruya regresyon do ğrusu veya en küçük kareler do ğrusu denir. y x ) ( n n x f y - ) , ( n n y x } y i - f (x i ) { ) , ( i i y x ) ( 1 1 x f y - { ) , ( 2 2 y x ) , ( 1 1 y x En Küçük Kareler Yöntemi ………………………………………………………………. 101 7.2. Regresyon do ğrusu. Her i = 1, 2, . . . , n için (x i , y i ) verilmi ş olsun. Şimdi, bu verilere en iyi uyan y = f (x) = mx + b fonksiyonunun belirledi ği do ğruyu yani regresyon do ğrusunu nasıl bulaca ğımızı göreceğiz. Önce ) ( i i x f y - artık de ğerleri bulunarak bunların karelerinin toplamı olan 2 2 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) , ( b mx y b mx y b mx y b m F n n n i i i - - + + - - = - - = ? = L fonksiyonu olu şturulur. Her m ve b için F(m , b) ? 0 oldu ğundan ve y = f (x) = mx + b do ğrusu verilen noktalardan uzakla ştıkça F(m , b) sonsuza ıraksayaca ğından, F(m , b) nin bir mutlak minimum de ğeri vardır ve bu minimum de ğer F(m , b) fonksiyonunun bir kritik noktasında ortaya çıkar. Örnek 1. Bir üretici, üretti ği ürünün çe şitli üretim seviyeleri için maliyetini belirliyor ve aşağıdaki tabloyu olu şturuyor: Bu üretici için gider fonksiyonunu yukarıdaki tabloya en iyi uyan do ğrusal fonksiyon olarak belirleyelim. Elimizdeki veri tablosu, düzlemde şu (x,y) noktalarını verir: (2,4) , (5,6) , (6,7) ve (9,8). Bu noktaların hepsini üzerinde bulunduran bir do ğru yoktur. Amacımız, bu noktalara en iyi uyan do ğruyu, yani regresyon do ğrusunu bulmaktır. Regresyon do ğrusunun denklemi y=C (x) = mx+b m ve b belirlenerek bulunacaktır. Artıkları hesaplayalım ve veri tablomuzu a şağıdaki gibi geni şletelim. Ürün sayısı ( x yüz ) 2 5 6 9 Maliyet ( y bin YTL ) 4 6 7 8 Ürün sayısı ( x yüz ) 2 5 6 9 Maliyet ( y bin YTL ) 4 6 7 8 mx +b 2m + b 5 m + b 6 m + b 9 m + b y -_ mx - b 4 - 2m - b 6 - 5m - b 7 - 6m - b 8 - 9m - b Ders 7 …………………………………………………………………………………….. 102 Artıkların kareleri toplamı a şağıdaki iki de ği şkenli fonksiyonu tanımlar: F(m,b)=(4-2m-b) 2 + (6-5m-b) 2 +(7-6m-b) 2 +(8-9m-b) 2 . Bu fonksiyonun hangi m ve b de ğerleri için minimum de ğeri aldı ğını belirlemeliyiz. Kısmi türevleri hesaplayalım: F m (m,b)=2(4-2m-b)(-2)+2(6-5m-b)(-5)+2(7-6m-b)(-6) +2(8-9m-b)(-9)=0, F b (m,b)=2(4-2m-b)(-1)+2(6-5m-b)(-1)+2(7-6m-b)(-1) +2(8-9m-b)(-1)=0. Bir miktar aritmetik i şlemden sonra a şağıdaki denklem sistemi elde edilir: ? ? ? = + = + 25 4 22 152 22 146 b m b m Bu sistemi yoketme yöntemi ile çözelim. İkinci denklem -11/2 ile çarpılıp birinci denkleme toplanırsa 5 . 14 25 = m 58 . 0 = ? m ve m nin bu de ğeri ikinci denklemde yerine konulursa 12.76 + 4b = 25 24 . 11 4 = ? b 06 . 3 = ? b elde edilir. Görüldü ğü gibi, sistemin tek çözümü vardır: m = 0.58 , b = 3.06. m ve b nin bu de ğerleri için F(m,b) nin minimum oldu ğunu biliyoruz. O halde regresyon do ğrusu y=0.58x+3.06 dur. Ba şka bir deyimle, regresyon analizi sonucu ortaya çıkan gider fonksiyonu C(x)=0.58x+3.06 Denklemi ile verilenen fonksiyondur. Üretici, örne ğin, 4 ürün üretince giderinin ne olaca ğını tahmin edebilir : C(4)=(0.58)(4)+3.06 =2.32+3.06 = 5.38. Bu örnekle ilgili olarak veri noktalarını ve regresyon do ğrusunu gösteren bir grafi ği bir sonraki sayfada görebilirsiniz. En Küçük Kareler Yöntemi ………………………………………………………………. 103 Örnek veri tablosu için buldu ğumuz regresyon do ğrusu veri noktaları ile birlikte a şağıdaki grafikte gösterilmi ştir. x 2 5 6 9 y 4 6 7 8 x y (2,4) (5,6) (6,7) (9.8) y=0.58x + 3.06 Ders 7 …………………………………………………………………………………….. 104 Önceki örnekte izlenen yol genel duruma uygulanarak m ve b nin do ğrudan hesaplanmasını sa ğlayacak formüller elde edilebilir. Artıkların karelerinin toplamı olarak tanılanan 2 2 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) , ( b mx y b mx y b mx y b m F n n n i i i - - + + - - = - - = ? = L fonksiyonunun kritik noktaları = ) , ( b m F m 0 2 2 2 ) ( ) ( 2 1 1 1 2 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - = - - - ? ? ? ? = = = = n i i i n i i n i i i n i i i y x b x m x x b mx y = ) , ( b m F m 0 2 1 2 2 ) 1 ( ) ( 2 1 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - = - - - ? ? ? ? = = = = n i i n i n i i n i i i y b m x b mx y ya da ? ? ? ? ? ? ? = + ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = n i i n i i n i i i n i i n i i y b n m x y x b x m x 1 1 1 1 1 2 denklem sistemi çözülerek bulunur. Bu denklem sisteminin daima tek bir çözümü bulundu ğuna dikkat ediniz. n x m y b x x n y x y x n m n k n k k k n k n k k k n k n k n k k k k k ?? ?? ?? ? == == === - = - - = 11 11 2 2 111 ) ( , ) ( ) ( ) )( ( ) ( . İkinci örne ğimizde yukarıdaki formülleri kullanaca ğız. Örnek 2. (0 , 6.4), (1 , 2.6), (2 , 0.5), (3 , 0.6) ve (4 , 0.3) veri noktalarına en iyi uyan do ğrunun denklemini bulunuz. Çözüm. Aranılan do ğrunun denklemi b mx y + = olmak üzere veri noktalarına kar şılık gelen a şa ğıdaki tabloyu olu şturalım: m ve b yi yukarıdaki formüllerden elde edebilmek için bu formüldeki her bir terimin de ğerini buluruz. Öncelikle, n = 5 oldu ğuna dikkat ederek x i 0 1 2 3 4 y i 6.4 2.6 0.5 0.6 0.3 En Küçük Kareler Yöntemi ………………………………………………………………. 105 10 4 3 2 1 0 5 1 = + + + + = ? = k k x , 4 . 10 3 . 0 6 . 0 5 . 0 6 . 2 4 . 6 5 1 = + + + + = ? = k k y 6 . 6 2 . 1 8 . 1 1 6 . 2 ) 3 . 0 ( 4 ) 6 . 0 ( 3 ) 5 . 0 ( 2 ) 6 . 2 ( 1 ) 4 . 6 ( 0 5 1 = + + + = · + · + · + · + · = ? = k k k y x 30 16 9 4 1 0 5 1 2 = + + + + = ? = k k x , 104 ) 4 . 10 ( 10 ) )( ( 5 1 5 1 = · = ? ? = = k k k k y x Böylece, 42 . 1 50 71 50 104 33 100 30 5 104 ) 6 . 6 ( 5 ) ( ) ( ) )( ( ) ( 11 2 2 111 - = - = - = - · - · = - - = ?? ?? ? == === n k n k k k n k n k n k k k k k x x n y x y x n m , . 92 . 4 5 6 . 24 5 2 . 14 4 . 10 5 10 ) 42 . 1 ( 4 . 10 ) ( 11 = = + = · - - = - = ?? == n x m y b n k n k k k O halde istenilen do ğrunun denklemi y=-1.42x+4.92 dir. Örnek 1 ve Örnek 2 de görüldü ğü üzere regresyon do ğrusunun bulunmasında iki yol izlenebilir. Birinci yol, veri noktalarından artıklar ve artıkların kareleri hesaplanarak F(m,b) fonksiyonunun bulunp F(m,b) yi minimum yapan m ve b de ğerlerinin bulunmasıdır. İkinci yol ise birinci yolun genel duruma uygulanmasıyla m ve b için bulunan formüllerin kullanmasıdır. A şa ğıda regresyon do ğrusunun hesaplanması için bazı durumlarda daha elveri şli olan bir yöntem daha bulundu ğunu görece ğiz. 7.3. Determinantla Çözüm. Regresyon do ğrusunun bulunmasında ortaya çıkan denklem sistemi, genel durumda, Cramer Kuralı ile çözülerek, do ğrunun denklemi için hesapları kolayla ştırıcı bir formül elede etmek mümkündür. Artıkları kareleri toplamı olan iki de ği şkenli 2 2 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) , ( b mx y b mx y b mx y b m F n n n i i i - - + + - - = - - = ? = L Ders 7 …………………………………………………………………………………….. 106 fonksiyonunun kısmi türevleri sıfıra e şitlenerek ortaya çıkan ? ? ? ? ? ? ? = + ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = n i i n i i n i i i n i i n i i y b n m x y x b x m x 1 1 1 1 1 2 denklem sistemi Cramer Kuralı ile çözülürse, , 1 1 1 2 1 1 1 n x x x n y x y x m n i i n i i n i i n i i n i i n i i i ? ? ? ? ? ? = = = = = = = n x x x x y x y x n x x x y x y x x b n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = = = = = = = = = = - = = 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 elde edilir( b nin son ifadesinin elde edili şini iyi izleyiniz). Böylece, F(m , b) nin tam bir tane kritik noktası bulundu ğuna ve bunun da verilere en iyi uyan fonksyonu belirledi ğnne dikkat ediniz. O halde aranan fonksiyon, n x x x x y x y x x n x x x n y x y x y n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = = = = = = = = = - = 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 veya 0 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 = + - ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = = = = = = = = = = n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i x y x y x x n y x y x y n x x x En Küçük Kareler Yöntemi ………………………………………………………………. 107 denklemi ile belirlenmektedir. Son formülün sol tarafı, a şa ğıdaki 3×3 determinantın birinci satıra göre açılımı oldu ğundan bu denklem 0 1 1 1 1 1 2 1 = ? ? ? ? ? = = = = = n x y x x y x x y n i i n i i n i i n i i n i i i biçiminde ifade edilebilir. Dolayısıyla, regresyon do ğrusunu belirlemek için yukarıdaki determinantın son iki satırındaki girdiler bulunup yerine yazılarak determinant açılr ve arzu edilen denklem ortaya çıkar. Örnek 1. Daha önce çözdü ğümüz bir problemin veri tablosu olan a şa ğıdaki tablo için en küçük kareler do ğrusunu determinant kullanarak bulalım. Çözümde kullanaca ğımız 0 1 1 1 1 1 2 1 = ? ? ? ? ? = = = = = n x y x x y x x y n i i n i i n i i n i i n i i i determinantın ikinci ve üçüncü satırlarındaki girdileri, sırasıyla, bulalım. 152 72 42 30 8 4 1 = + + + = ? = i i i y x , 146 81 36 25 4 4 1 2 = + + + = ? = i i x , 22 9 6 5 2 4 1 = + + + = ? = i i x 25 8 7 6 4 4 1 = + + + = ? = i i y , 22 9 6 5 2 4 1 = + + + = ? = i i x , n = 4. x 2 5 6 9 y 4 6 7 8 Ders 7 …………………………………………………………………………………….. 108 Böylece, 0 ) 25 146 22 152 ( ) 25 22 152 4 ( ) 22 22 146 4 ( 4 22 25 22 146 152 1 = · - · + · - · - · - · = x y x y ve buradan, en küçük kareler do ğrusunun denklemi 0 306 58 100 = - - x y ya da 06 . 3 58 . 0 + = x y olarak elde edilir. Örnek 2. A şa ğıdaki veri tablosu için en küçük kareler do ğrusu(regresyon do ğrusu)nu bulunuz ve x = 15 için y yi tahmin ediniz. Bu tabloya kar şılık gelen nokta kümesi (2,-4), (6,0), (10,8), (14,12), (18,14) tür. x 1 =2 , y 1 =-4, . . . . Böylece, 492 252 168 80 0 8 5 1 = + + + + - = ? = i i i y x , 660 324 196 100 36 4 5 1 2 = + + + + = ? = i i x , 50 18 14 10 6 2 5 1 = + + + + = ? = i i x , 30 14 12 8 0 4 5 1 = + + + + - = ? = i i y , 50 18 14 10 6 2 5 1 = + + + + = ? = i i x , n = 5. x 2 6 10 14 18 y -4 0 8 12 14 En Küçük Kareler Yöntemi ………………………………………………………………. 109 Elde edilen de ğerler determinant formülünde yerlerine yazılınca 0 ) 660 30 50 492 ( ) 50 30 492 5 ( ) 50 50 660 5 ( 5 50 30 50 660 492 1 = · - · + · - · - · - · = x y x y ve buradan 800y – 960x + 4800 = 0 ? y = 1.2x -6 bulunur. Böylece, regresyon do ğrusunun denkleminin 6 ) 2 . 1 ( - = x y oldu ğu görülür. x=15 için 12 6 18 = - = y olur. En küçük kareler yöntemi ile çözülebilecek bir fiyat analizi problemi örne ği veriyoruz. Örnek 3. Bir büyük ma ğaza zincirinin pazar ara ştırmaları bölümü belli bir ürünün fiyatını h e r a y d e ği ştirerek 5 ay boyunca aylık talebi kaydetti ve yandaki veri tablosunu elde etti. Burada, x, birim para(bp) olarak satı ş fiyatını; y, aylık kaç bin adet talep oldu ğunu göstermektedir. a) En küçük kareler yöntemini kullanarak fiyat-talep denklemini bulunuz. b) Bir adet ürünün maliyeti 4 bp ise, aylık kârın maksimum olması için satı ş fiyatı ne olmalıdır? Çözüm. a) Son elde etti ğimiz determinant formülünü kullanalım. Problemimiz için 0 1 1 1 1 1 2 1 = ? ? ? ? ? = = = = = n x y x x y x x y n i i n i i n i i n i i n i i i determinantın ikinci ve üçüncü satırlarındaki girdileri x y 5.0 2 5.5 1.8 6 1.4 6.5 1.2 7.0 1.1 Ders 7 …………………………………………………………………………………….. 110 8 . 43 7 . 7 8 . 7 4 . 8 9 . 9 10 5 1 = + + + + = ? = i i i y x , 5 . 182 49 25 . 42 36 25 . 30 25 5 1 2 = + + + + = ? = i i x , 36 7 5 . 6 6 5 . 5 5 5 1 = + + + + = ? = i i x , 5 . 7 1 . 1 2 . 1 4 . 1 8 . 1 2 5 1 = + + + + = ? = i i y , 30 7 5 . 6 6 5 . 5 5 5 1 = + + + + = ? = i i x , n = 5 tir. Bu de ğerler yerle ştirilince 0 ) 5 . 182 5 . 7 30 8 . 43 ( ) 5 . 7 30 8 . 43 5 ( ) 30 30 5 . 182 5 ( 5 30 5 . 7 30 5 . 182 8 . 43 1 = · - · + · - · - · - · = x y x y ve buradan 0 75 . 54 6 5 . 12 = - + x y elde edilir. Böylece fiyat talep denklemi( x fiyatı ve y talebi göstermek üzere) 38 . 4 48 . 0 + - = x y olarak elde edilir. b) Bir ürünün maliyeti 4 bp ise, ba şka gider olmadı ğı varsayılarak, toplam gider, 52 . 17 92 . 1 ) 38 . 4 48 . 0 ( 4 4 + - = + - = = x x y C bp olur. Toplam gelir ise x x yx R 38 . 4 8 . 40 2 + - = = olaca ğından, kâr fonksiyonu = - = C R P x x 38 . 4 48 . 0 2 + - -(- 52 . 17 92 . 1 + x )= 52 . 17 3 . 6 48 . 0 2 - + - x x olur. Kârın maksimum olması için 0 3 . 6 96 . 0 ' = + - = x P 56 . 6 ? ? x , satı ş fiyatı yakla şık olarak 6.56 bp olmalı. En Küçük Kareler Yöntemi ………………………………………………………………. 111 Problemler 7 1. A şa ğıdaki veri tablolarından her biri için en küçük kareler do ğrusu(regresyon do ğrusu)nu bulunuz. Veri tablosuna kar şılık gelen noktaları ve regresyon do ğrusunu grafikle gösteriniz. a) b) c) ç) 2. A şa ğıdaki veri tablolarından her biri için en küçük kareler do ğrusu(regresyon do ğrusu)nu bulunuz ve verilen x de ğeri için y yi tahmin ediniz. a) b) c) ç) x 1 2 3 4 y 1 3 4 3 x 1 2 3 4 y 8 5 4 0 x 1 2 3 4 y 2 3 3 2 x 1 2 3 4 5 y 2 3 3 2 3 x 1 2 3 4 y 3 1 2 0 x 0 5 10 15 20 y 10 22 31 46 51 x -1 1 3 5 7 y 14 12 8 6 5 x 1 4 6 8 y 1 2 3 4 x=2.5 için y yi tahmin ediniz x=25 için y yi tahmin ediniz x=2 için y yi tahmin ediniz x=5 için y yi tahmin ediniz Ders 7 …………………………………………………………………………………….. 112 3. Bir büyük ma ğaza zincirinin pazar ara ştırmaları bölümü belli bir ürünün fiyatını her ay de ği ştirerek 5 ay boyunca aylık talebi kaydetti ve a şa ğıdaki veri tablosunu elde etti. Burada, x, YTL olarak satı ş fiyatını; y, aylık kaç bin adet talep oldu ğunu göstermektedir. x 10 10.5 11 11.5 12 y 8.5 8 7 6 4.5 a) En küçük kareler yöntemini kullanarak fiyat-talep denklemini bulunuz. b) Bir adet ürünün maliyeti 7 YTL ise, aylık kârın maksimum olması için satı ş fiyatı ne olmalıdır? 4. Bir matematik sınıfındaki ö ğrencilerden 10 unun dönem içi not ortalamaları ile dönem sonu sınavından aldıkları notlar a şa ğıdaki tabloda verilmi ştir: Dönem İçi 40 55 62 68 72 76 80 86 90 94 Dönem Sonu 30 45 65 72 60 82 76 92 88 98 Bu tablo için regresyon do ğrusunu bulunuz. Dönem içi not ortalaması 70 olan bir ö ğrencinin dönem sonu sınavından alaca ğı notu tahmin edininz. 5. (1 , 1.5), (2, 0.8), (3 , 1.7), (4 , 3.8) ve (5 , 7.6) veri noktalarına en iyi uyan do ğrunun denklemini bulunuz. 6. (0 , 7.4), (1 , 3.6), (2 , 1.5), (3 , 0.6) ve (4 , 1.3) veri noktalarına en iyi uyan do ğrunun denklemini bulunuz. 7. Bir matematik dersinin ilk iki arasınavında 7 ö ğrencinin aldı ğı notlar a şa ğıdaki tabloda gösterilmi ştir. Birinci arasınav : x 72 34 96 72 0 37 72 İkinci arasınav : y 35 10 85 70 20 10 75 a) Bu verilere en iyi uyn do ğrusal fonksiyon y = mx + b için m ve b yi birinci ondalık basama ğına yuvarlayarak bulunuz. b) Birini arasınavdan 49 almı ş ve ikinci arasınavı kaçırmı ş bir ö ğrenci, ikinci arasınava girmi ş olsaydı bu sınavdan kaç puan alması beklenirdi?