Genel Matematik Fonksiyonlar DERS 2 Fonksiyonlar 2.1. Fonksiyon Kavramı. Her bilim dalının önemli bir i şlevi, çe şitli nesneler veya büyüklükler arasında e şlemeler kurmaktır. Böyle bir e şleme kurulması tahmin yürütme olana ğı verir. Örne ğin, bir maliyet analizcisi, üretim sürecinde çe şitli seviyelerdeki ürünlerin maliyetini tahmin etmek ister; bir tıp ara ştırmacısı, kalp rahatsızlıkları ile şi şmanlık arasındaki ili şkiyi ; bir ziraatçı, aynı topraktan de ği şik tür bu ğday tohumlarının ne kadar verim verdi ğini tahmin etmek ister. Fonksiyon denince aklımıza bir tür e şleme gelmelidir. Günlük hayatımızda pek çok eşleme örne ğiyle kar şıla şırız. Bunlardan bazılarını ifade edelim: • Her ö ğrencinin bir numarası vardır. Ba şka bir deyimle, her ö ğrenci bir sayı ile e şlenir. Burcu I şık › 206 93 045 Ali Demir › 205 94 005 • Her insanın yıllık geliri de o insan ile e şlenen bir sayı olarak dü şünülebilir. Bill Gates › 70 000 000 000 $ Rahmi Koç › 7 000 000 000 $ • Bir marketteki her malın bir fiyatı vardır. Makarna › 76 YKr. Sabun › 89 YKr. • Her sayının “iki katı” vardır. 1 › 2 2 › 4 3 › 6 x › 2x • Her sayının bir “kare”si vardır. 1 › 1 2 › 4 3 › 9 x › x 2 Yukarıda zikredilen tüm örneklerde ortak olan şudur: Her bir örnekte belli bir kümenin elemanları ile ikinci bir kümenin elemanlarını e şleyen bir kural vardır. Son örne ğimiz, sayılar kümesinin her elemanını yine sayılar kümesinde o elemanın karesi ile e şlemektedir. Bütün bunlar bizi fonksiyon kavramının tanımına götürür: Tanım. İki küme verilmi ş olsun : A ve B. A kümesinin her elemanına B kümesinin bir ve yalnız bir elemanını kar şılık getiren bir kurala A dan B ye bir fonksiyon denir. A kümesine bu fonksiyonun tanım kümesi, B kümesine de görüntü kümesi denir. A kümesinden B kümesine bir f fonksiyonu f : A › B ile gösterilir. f nin a ? A ile e şledi ği eleman b ? B ise, b = f(a) yazılır ve b = f(a) ya a nın f altındaki görüntüsü veya f nin a daki de ğeri denir. f nin tüm de ğerlerinin kümesine, yani {f(a) : a ? A} kümesine f nin de ğer kümesi denir. De ğer kümesi, görüntü kümesinin altkümesidir. Fonksiyonlar çizelgelerle de gösterilebilir: Tanıma göre A dan B ye f fonksiyonunun A nın her a elemanına B den bir ve yalnız bir , yani tek türlü belirli bir eleman kar şılık getirmesi gerekti ğini unutmamak gerekir. Bu ba ğlamda, çizelgesi A = {1 , 2 , 3} kümesinden B={a , b , c } kümesine bir fonksiyon tanımlar. Ancak, a şa ğıdaki çizelge A = {1 , 2 , 3} kümesinden B={a , b , c } kümesine bir fonksiyon tanımlamaz. a b=f(a) x y=f(x) f : A › B A B 1 a 2 b A B 3 c 1 a 2 b A B 3 c 2.2. Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi Reel Sayı Kümeleri Olan Fonksiyonlar. Bu derste ele alaca ğımız fonksiyonların tanım kümeleri ve görüntü kümeleri sayı kümeleri olacaktır. Böyle bir fonksiyonun tanım kümesindeki her x sayısı için görüntü kümesinde bir ve yalnız bir y = f(x) sayısı bulunacak ve dolayısıyla (x,y) sıralı ikilisi, ya da noktası, ortaya çıkacaktır. Bu şekilde ortaya çıkan noktaların Kartezyen düzlemde olu şturdu ğu nokta kümesine f fonksiyonunun grafi ği denir. x y x y=f(x) (x,f(x)) y= f(x) Örnek. Her reel sayıya o sayının iki katını kar şılık getiren fonksiyonun grafi ği x y (0,0) (-2,-4) (-1,-2) (2,4) (1,2) y = 2x Örnek. Her reel sayıya o sayının karesini kar şılık getiren fonksiyonun grafi ği x y (0,0) (-2,4) (-1,1) (2,4) (1,1) y = x 2 Yukarıdaki örneklerden ilkinde tanım kümesi R deki her x sayısına kar şılık görüntü kümesi R de y = 2x sayısı; ikinci örnekte de tanım kümesi R deki her x sayısına kar şılık görüntü kümesi R de y = x 2 sayısı verilmektedir. Bu derste ele alaca ğımız fonksiyonlardan pek ço ğu, bu örneklerde oldu ğu gibi, denklemler yardımıyla tanımlanacaktır. Ba şka bir anlatımla, tanım kümesindeki her x sayısı için görüntü kümesinde kar şılık gelen y sayısı, x e ba ğlı bir ifade ile verilecektir: Örnek. y = x(x-1) denklemi tüm reel sayılar kümesi R den R ye bir fonksiyon tanımlar. Burada, birden büyük x sayıları için, y, kenar uzunlukları x ve (x-1) birim olan bir dik dörtgenin alanı olarak yorumlanabilir.. Bazen kapalı denklemler de fonksiyon tanımlayabilir. Örne ğin, x ba ğımsız ve y ba ğımlı de ği şkenler olmak üzere, 4x+3y=1 denklemi bir fonksiyon tanımlar. Çünkü, bu denklem her x reel sayısına kar şılık y = (-4/3)x + (1/3) sayısını verir. Bununla beraber, fonksiyon tanımlamayan kapalı denklemler de vardır. Örnek olarak, x b a ğımsız ve y ba ğımlı de ği şkenler olmak üzere y 2 – x 2 = 9 denklemi bir fonksiyon tanımlamaz. Çünkü, örne ğin x = 0 de ğeri için hem y = 3 hem de y = -3 sayıları bu denklemi sa ğlarlar. O halde bu denklem x = 0 sayısına birden çok sayı kar şılık getirmektedir ve bu nedenle bir fonksiyon tanımlamaz. Bir denklemin fonksiyon tanımlayıp tanımlamadı ğını anlamanın pratik bir yolu, o denklemin grafi ğinin dü şey do ğrularla kesi şimlerini düşünmektir. E ğer her dü şey do ğru grafi ği en çok bir noktada kesiyorsa, o denklem bir fonksiyon tanımlar ve denklemin grafi ği fonksiyonun grafi ğidir. E ğer grafi ği birden çok noktada kesen dü şey do ğrular varsa, o denklem bir fonksiyon tanımlamaz. Ba ğımlı De ği şken (dependent variable) Ba ğımsız De ği şken (Independent variable) Çıktı (output) Girdi (input) y = f(x) x = 1 olunca y = 0 x = 5 olunca y = 20 x =1/2 olunca y=-1/4 x y (0,0) 4x+3y = 1 x y (0,0) -3 3 y 2 –x 2 = 9 Fonksiyon tanımlar Fonksiyon tanımlamaz x-1 x Ço ğu zaman, denklemle tanımlanmı ş bir fonksiyonun tanım kümesi açıkça belirtilmez. Bu gibi durumlarda, tanım kümesi, ba ğımsız de ği şkenin ba ğımlı de ği şkeni tek türlü belirli bir reel sayı olarak tanımlayabildi ği de ğerlerin tümü olarak; görüntü kümesi(ve aynı zamanda de ğer kümesi) de ba ğımlı de ği şken için böylece tanımlanan tüm de ğerler olarak alınır. Örnek. x y - = 4 denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi ] 4 , ( -? , görüntü kümesi ) , 0 [ ? dur. Çünkü, x - 4 in tanımlı olması için olmalıdır. Ayrıca, negatif olmayan her reel sayı, uygun bir 4 ? x için x - 4 biçiminde ifade edilebilir. Örnek. 2 1 + - = x x y denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi görüntü kümesi dur. y = f(x) gibi bir denklemle belirlenmi ş bir fonksiyon verildi ğinde, tanım kümesindeki her a sayısı için f(a) , verilen denklemden hesaplanır. Örnek. y = f(x) = x 2 – x denklemi ile tanımlanan fonksiyonun tanım kümesi R dir ve f(0) = 0 , f(1) = 0 , f(2) = 2 , f(3) = 6 , f(-1) = 2 , f(-2) =6 , f(-3) = 12 dir. Her hangi bir a reel sayısı için 4 4 0 4 ? ? - ? - ? ? - x x x () ( ) , , 2 2 , ? - ? - ? - () ) , 1 ( 1 , ? ? ? - f(a) = a 2 – a , f(a+1) = (a+1) 2 – (a+1) = a 2 + a , f(a+2) = (a+2) 2 – (a+2) = a 2 +3 a +2 dir. x y (0,0) (1/2,-1/4) y = x 2 – x 2.3. De ği şim Oranları. Her hangi bir f fonksiyonu ve f nin tanım kümesindeki a < b sayıları için a b a f b f - - ) ( ) ( oranına f nin [a,b] aralı ğındaki ortalama de ği şim oranı denir. Örnek. f(x) = x 2 – x için f nin [1,3] aralı ğındaki ortalama de ği şim oranı tür. Her hangi bir f fonksiyonu ve mutlak de ğerce küçük bir h sayısı için h x f h x f ) ( ) ( - + ora- nına f nin x civarındaki de ği şim oranı denir. Örnek. f(x) = x 2 – x için dir. 2.4. Ekonomide Fonksiyonlar , Kâr – Zarar Analizi. 2.4.1. Gider Fonksiyonu (Cost Function) : C C = (sabit gider) + (de ği şken gider). Örne ğin, bir firmanın aylık sabit gideri a YTL ve ürün ba şına gideri b YTL ise, bu firmanın ayda x ürün üretmesi durumunda aylık toplam gideri C = a + bx YTL olur. () 3 2 0 6 1 3 ) 1 1 ( 3 3 1 3 ) 1 ( ) 3 ( 2 2 = - = - - - - = - - f f ( ) 1 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 - + = - + = - - + - + = - + h x h h h xh h x x h x h x h x f h x f sabitler ürün sayısı (ba ğımsız de ği şken) 2.4.2. Gelir Fonksiyonu (Revenue Function) : R R = (satılan ürün sayısı) . (birim ürün fiyatı). Örne ğin, bir firma bir ayda her biri p YTL den x tane ürün satmı şsa, bu firmanın aylık toplam geliri R = xp YTL olur. 2.4.3. Fiyat Fonksiyonu (Price Function) : p Üretilip satılan ürün sayısı ile ürün birim fiyatı arasında bir ba ğıntı verir. Örne ğin, p = m – nx. 2.4.4. Kâr Fonksiyonu (Profit Function) : P Gelir ile gider arasındaki farkı verir. P(x)= R(x) – C(x) Örne ğin, C = a + bx ve p = m – nx ise , R = xp = x(m-nx) = mx -n x 2 ve böylece P(x) = R(x) – C(x) =( mx - n x 2 ) – (a + bx) = -n x 2 +(m-b)x -a YTL olur. 2.5. Elemanter Fonksiyonlar (Elementary Functions). Bu derste ve benzeri matematik derslerinde en çok kar şıla şaca ğınız fonksiyonlar, elemanter fonksiyonlar olarak bilinen fonksiyonlardır. A şa ğıda, elemanter fonksiyonları, grafikleriyle birlikte listeliyoruz: sabitler p YTL den satılan ürün sayısı 2.5.1. Birim Fonksiyon: Her reel sayıya kendisini kar şılık getiren fonksiyon. x x f = ) ( Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : R x y y = x 2.5.2. Mutlak De ğer Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının mutlak de ğerini kar şılık getiren fonksiyon. Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : [0, ?) ? ? ? < - ? = = 0 , 0 , ) ( x x x x x x f x y y = |x| 2.5.3. Kare Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının karesini kar şılık getiren fonksiyon. 2 ) ( x x f = Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : [0, ?) x y y = x 2 2.5.4. Küp Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının küpünü kar şılık getiren fonksiyon. 3 ) ( x x f = Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : R x y y = x 3 2.5.5. Karekök Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının karekökünü kar şılık getiren fonksiyon. x x f = )( Tanım Kümesi : [0, ?) Görüntü Kümesi : [0, ?) x y x y = 2.5.6. Küpkök Fonksiyonu: Her reel sayıya o sayının küpkökünü kar şılık getiren fonksiyon. 3 ) ( x x f = Tanım Kümesi : R Görüntü Kümesi : R x y 3 x y =2.6. Elemanter Dönü şümler. A şa ğıdaki denklemlerle tanımlanan g , h ve k fonksiyon- larını ele alalım: g(x) = (x-2) 2 , h(x) = x 2 - 1 , k(x) = - 5x 2 Bu fonksiyonlar f(x) = x 2 fonksiyonu cinsinden ifade edilebilir: g(x) = f(x-2) , h(x) = f(x) –1 , k(x) = - 5 f(x). A şa ğıda görece ğimiz üzere, g, h ve k fonksiyonlarının grafikleri de f(x) = x 2 fonksiyonu- nun grafi ği cinsinden elde edilebilir. g , h ve k fonksiyonlarının f fonksiyonu cinsinden tanımı en genel biçimiyle şöyle verilebilir: a, b ve c reel sayılar olmak üzere g(x) = f(x+a) , h(x) = f(x) + b , k(x) = c f(x). Elemanter dönü şümleri tek tek ele alıp incelemeden önce şu hususu belirtmekte yarar görüyoruz. Elemanter dönü şümlerle bir f fonksiyonundan elde edilen bir f fonksiyonunun grafi ği f nin grafi ğinden elde edilirken, düzlemde (x , f (x)) noktası ile (x, f(x)) noktasının konumları kar şıla ştırılır. Örne ğin, f den yatay kayma g(x) = f(x+a) ile elde edilen g fonk- siyonu için (x , f (x)) noktası ile (x , g (x)) = (x , f (x+a)) noktası, f den dü şey kayma h(x) = f (x)+b ile elde edilen h fonksiyonu için (x , f (x)) noktası ile (x , h (x)) yani (x , f(x)+b) noktası; f den yansıma(germe veya büzme) ile elde edilen k fonksiyonu için (x , f (x)) noktası ile (x , k (x)) = (x ,c f (x)) noktasının konumları kar şıla ştırılmalıdır. 2.6.1. Yatay Kayma. g(x) = f(x+a). Önce a>0 durumunu ele alalım. Yatay kayma Dü şey kayma c = -1 : Yansıma c >1 : Germe 0 < c <1 : Büzme x y x x+a g(x)=f(x+a) (x+a ,g(x)) (x ,g(x)) y = f(x) i sa ğlar y = g(x) i sa ğlar Yukarıdaki şekilden de görüldü ğü üzere, a > 0 ise, bir noktanın y = f(x+a)=g(x) in grafi ği üzerinde olması için gerek ve yeter ko şul, o nuktanın yatay do ğrultuda a birim sola kaydırılmasıyla elde edilen noktanın y = f(x) in grafi ği üzerinde bulunmasıdır. Ba şka bir deyimle, y = f(x+a) nın grafi ği y = f(x) in grafi ğinin a birim sola kaydırılmasıyla elde edilir. Şimdi, a < 0 durumunu ele alalım. Yukarıdaki şekilden de görüldü ğü üzere, a < 0 ise, bir noktanın y = f(x+a)=g(x) in grafi ği üzerinde olması için gerek ve yeter ko şul, o nuktanın yatay do ğrultuda -a birim sa ğa kaydırılmasıyla elde edilen noktanın y = f(x) in grafi ği üzerinde bulunmasıdır. Ba şka bir deyimle, y = f(x+a) nın grafi ği y = f(x) in grafi ğinin -a birim sa ğa kaydırılmasıyla elde edilir. Örnek. y = f(x) = x 2 nin yatay kaymaları. x y x g(x)=f(x+a) (x ,g(x)) x+a (x+a ,g(x)) y = f(x) i sa ğlar y = g(x) i sa ğlar x y (0,0) x y (0,0) x y (0,0) y=x 2 y=(x-2) 2 y=(x+2) 2Örnek. y = f(x) = |x| in yatay kaymaları. 2.6.2. Dü şey Kayma. h(x) = f(x) + b. Önce b > 0 durumunu ele alalım. Yukarıdaki şekilden de görüldü ğü üzere, b> 0 ise, bir noktanın y = f(x) + b=h(x) in grafi ği üzerinde olması için gerek ve yeter ko şul, o nuktanın dü şey do ğrultuda b birim yukarı kaydırılmasıyla elde edilen noktanın y = f(x) in grafi ği üzerinde bulunmasıdır. Ba şka bir deyimle, y = f(x) + b nin grafi ği y = f(x) in grafi ğinin b birim yukarı kaydırılmasıyla elde edilir. x x (x ,f(x)) f(x) h(x)=f(x) + b y (x ,h(x)) y = f(x) i sa ğlar y =h(x) i sa ğlar x y (0,0) x y (0,0) x y (0,0) y = |x| y = |x - 2| y = |x + 2|Şimdi, b<0 durumunu ele alalım. Yukarıdaki şekilden de görüldü ğü üzere, b< 0 ise, bir noktanın y = f(x) + b=h(x) in grafi ği üzerinde olması için gerek ve yeter ko şul, o nuktanın dü şey do ğrultuda -b birim a şa ğı kaydırılmasıyla elde edilen noktanın y = f(x) in grafi ği üzerinde bulunmasıdır. Ba şka bir deyimle, y = f(x) + b nin grafi ği y = f(x) in grafi ğinin -b birim a şa ğı kaydırılmasıyla elde edilir. Örnek. y = f(x) = x 2 nin dü şey kaymaları. x x (x ,f(x)) f(x) h(x)=f(x) + b y (x ,h(x)) y = f(x) i sa ğlar y =h(x) i sa ğlar x y (0,0) x y (0,0) x y (0,0) y = x 2 y = x 2 + 2 y = x 2 - 2 Örnek. y = f(x) = |x| in dü şey kaymaları. 2.6.3. Yansıma. k(x) = - f(x) y = - f(x) in grafi ği, y = f(x) in grafi ğinin x – ekseni etrafında yansıtılmasıyla elde edilir. x y (0,0) x y (0,0) x y (0,0) y = |x| y = |x| - 2 y = |x |+ 2 x y (0,0) x (x ,f(x)) f(x) y = f(x) i sa ğlar - f(x) (x ,- f(x)) y = -f(x) i sa ğlar Örnek. y = f(x) = x 2 nin yansıması Örnek. y = f(x) = |x| in yansıması. 2.6.4. Germe ve Büzme. k(x) = c f(x) , c > 0. Önce, durumunu ele alalım. x y (0,0) y = x 2 y = - x 2 x y (0,0) y = |x| y = - |x| y = c f(x) i sa ğlar y = f(x) i sa ğlar x y (0,0) (x ,f(x)) f(x) c f(x) (x ,c f(x)) x E ğer c > 1 ise, y = c f(x) in grafi ği , y = f(x) in grafi ğinin dü şey do ğrultuda gerilmi ş bir biçimi olur. Şimdi, 0